BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————— —————— NGUYỄN THỊ THANH HOA TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU MÔ TẢ BỞI HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Quang Huy Hà Nội-2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập để hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hoa LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định toán điều khiển tối ưu mô tả hệ tuyến tính rời rạc” hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hoa BẢNG KÝ HIỆU ¯ R tập số thực suy rộng F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF tập xác định F gphF đồ thị F x chuẩn véc tơ x BX hình cầu đơn vị đóng không gian X Bρ (x) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ X∗ không gian đối ngẫu không gian Banach X limsup giới hạn cho dãy số thực Limsup giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski intΩ phần Ω clΩ bao đóng Ω coΩ bao lồi Ω coneΩ nón lồi sinh Ω N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến qua giới hạn (nón pháp tuyến Mordukhovich) Ω x¯ N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet Ω x¯ ∂f (x) vi phân giới hạn (dưới vi phân Mordukhovich) f x ∂ ∞ f (x) ˆ (x) ∂f vi phân Fréchet f x D∗ F (¯ x, y¯) đối đạo hàm Mordukhovich F (¯ x, y¯) D∗ F (¯ x, y¯) đối đạo hàm Fréchet F (¯ x, y¯) vi phân suy biến f x Ω x → x¯, x ∈ Ω x −→ x¯ f x → x¯, f (x) → f (¯ x) α↓α ¯ α→α ¯, α ∇f (x) gradient f x (∇f (x))∗ toán tử liên hợp ∇f (x) x −→ x¯ α ¯ Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón pháp tuyến 1.2 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 1.3 Dưới vi phân 10 1.4 Một số phép toán vi phân 12 Dưới vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich 16 2.1 Dưới vi phân Fréchet hàm giá trị tối ưu 16 2.2 Dưới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu 27 Tính chất Aubin tập nghiệm 46 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xét toán điều khiển tối ưu mô tả hệ tuyến tính rời rạc (Pw ): N −1 Min hk (xk , uk , wk ) + hN (xN ), (0.1) k=0 N −1 véctơ điều khiển u = (u0 , u1 , uN −1 ) ∈ U := Uk qũy k=0 N đạo x = (x0 , x1 , , xN ) ∈ X := Xk , thỏa mãn phương trình động k=0 lực xk+1 = Ak xk + Bk uk + Tk wk với k = 0, 1, , N − 1, (0.2) với ràng buộc uk ∈ Ωk ⊂ Uk với k = 0, 1, , N − 1, (0.3) điều kiện ban đầu x0 ∈ C, đó, xk biến trạng thái, uk tham số điều khiển, w := (w0 , w1 , , wN −1 ) tham số nhiễu, Xk , Uk , Wk không gian hữu hạn chiều, (0.4) Ωk tập khác rỗng Uk , C tập lồi đóng khác rỗng X0 , Ak : Xk → Xk+1 , Bk : Uk → Xk+1 , Tk : Wk → Xk+1 ánh xạ tuyến tính Bài toán nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu; chẳng hạn, xem [5, 8, 9] tài liệu trích dẫn Một ví dụ cổ điển cho toán (0.1)–(0.4) toán ổn định kinh tế; xem [8, 9] Gọi S(w) tập nghiệm toán (Pw ) tương ứng với tham số N −1 w = (w0 , w1 , wN −1 ) ∈ W := Wk k=0 Trong trường hợp C tập phần tử, tác giả B T Kien đồng nghiệp [5] thu vài công thức cho việc tính toán vi phân Fréchet hàm giá trị tối ưu V với giả thiết Tk toàn ánh với k Bằng cách thiết lập kết dựa vi phân Fréchet hàm giá trị tối ưu toán quy hoạch có tham số, tác giả N H Chieu Jen-Chih Yao [3] thu công thức tính toán vi phân Fréchet V giả thiết yếu [5] Gần đây, tác giả N T Toan, B T Kien Jen-Chih Yao [16, 17] thiết lập công thức tính vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu V điều kiện đủ cho tính Aubin ánh xạ nghiệm S Luận văn thạc sĩ với đề tài “Tính ổn định toán điều khiển tối ưu mô tả hệ tuyến tính rời rạc” nhằm trình bày công thức tính vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu V điều kiện đủ cho tính chất Aubin (tính giả Lipschitz) ánh xạ nghiệm S Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc, tính ổn định tập nghiệm hàm giá trị tối ưu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich; lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; trình bày công thức tính vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich làm công cụ thiết lập tính chất Aubin ánh xạ nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích biến phân đạo hàm suy rộng, giải tích đa trị, đại số tuyến tính lý thuyết tối ưu Dự kiến đóng góp luận văn Nội dung luận văn trình bày công thức tính vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; sử dụng kết đạt công cụ để thiết lập điều kiện đủ cho tính chất Aubin ánh xạ nghiệm Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón pháp tuyến Trong toàn luận văn sử dụng khái niệm, kí hiệu giải tích biến phân đạo hàm suy rộng; chi tiết đọc giả tham khảo sách Mordukhovich [6, 10] Trừ phát biểu khác, tất không gian xét không gian Banach với chuẩn kí hiệu · Với không gian Banach X, ta xét không gian đối ngẫu X ∗ với tôpô yếu∗ kí hiệu w∗ BX BX ∗ kí hiệu tương ứng hình cầu đơn vị đóng không gian Banach X không gian đối ngẫu Kí hiệu A∗ toán tử liên hợp toán tử tuyến tính liên tục A Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ kí hiệu Bρ (x) Với tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω cone Ω kí hiệu tương ứng bao đóng, phần trong, bao lồi nón lồi sinh Ω Ta nhắc lại Ω ∈ X đóng địa phương x¯ ∈ Ω có lân cận U x¯ cho Ω ∩ clU tập đóng Cho F : X ⇒ X ∗ ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian đối ngẫu X ∗ X Giới hạn theo dãy theo nghĩa Painlevé - Kuratowski tôpô chuẩn X tôpô yếu* X ∗ x¯ xác định w∗ Lim sup F (x) := {x∗ ∈ X ∗ : ∃ xk → x¯, x∗k −→ x∗ , x∗k ∈ F (xk ), ∀k ∈ N} x→¯ x (1.1) Định nghĩa 1.1 (Nón pháp tuyến) Cho Ω tập khác rỗng không gian Banach X, x¯ ∈ Ω ε (i) Tập ε - véctơ pháp tuyến Fréchet Ω x¯ xác định Nε (¯ x; Ω) := x∗ , x − x¯ x ∈ X : lim sup x − x¯ Ω x→¯ x ∗ ∗ ε , (1.2) Ω x − → x¯ nghĩa x → x¯ x ∈ Ω Khi ε = 0, ta có N (¯ x; Ω) := N0 (¯ x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet Ω x¯ (ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn Ω x¯ tập N (¯ x; Ω) := Lim sup Nε (x; Ω), (1.3) Ω x→¯ x ε↓0 hay Ω w∗ N (¯ x; Ω) := x∗ ∈ X ∗ : ∃εk → 0, xk → x¯, x∗k → x∗ , x∗k ∈ Nεk (xk ; Ω) ∀k , đặt ε = Ω tập đóng lân cận x¯ X không gian Asplund Bổ đề 1.1 (Tích Đề các) [6, Proposition 1.2] Lấy tùy ý điểm x¯ = (¯ x1 , x¯2 ) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ X1 × X2 Khi N (¯ x; Ω1 × Ω2 ) = N (¯ x1 ; Ω1 ) × N (¯ x2 ; Ω2 ), (1.4) N (¯ x; Ω1 × Ω2 ) = N (¯ x1 ; Ω1 ) × N (¯ x2 ; Ω2 ) (1.5) 48 ta N hk (xk , uk , µk ), f (x, u, µ) = (3.5) k=0 K(w) = {(x, u) ∈ Z | xk+1 = Ak xk + Bk uk + wk , x0 = c, αk ≤ uk ≤ βk , k = 0, 1, , N − 1} (3.6) Bài toán (3.1)–(3.4) viết lại đơn giản sau: min{f (x, u, µ) | (x, u) ∈ K(w)} (3.7) Giả sử z¯ = (¯ x, u¯) nghiệm toán (¯ µ, w), ¯ nghĩa (¯ x, u¯) ∈ S(¯ µ, w) ¯ tồn lân cận lồi µ ¯, x¯ u¯ tương ứng N −1 M0 = N −1 N Mk0 , Xk0 , X0 = k=0 Uk0 U0 = k=0 k=0 cho điều kiện sau thỏa mãn: (H1) Với k ∈ {0, 1, , N − 1} cố định λ ∈ Mk0 , hàm số hk (., , λ) : Xk0 × Uk0 → R hN : XN0 → R hàm lồi (H2) Với k ∈ {0, 1, , N − 1} cố định, hàm số hk : Xk0 × Uk0 × Mk0 → R hN : XN0 → R liên tục (H3) Với k ∈ {0, 1, , N − 1} cố định, hàm số hk : Xk0 × Uk0 × Mk0 → R hN : XN0 → R thuộc lớp C ánh xạ ∂ f (¯ z, µ ¯) :Z ×M →Z ∂µ∂z toàn ánh Ở đây, µ ¯ = (¯ µ0 , µ ¯1 , , µ ¯N −1 ), x¯ = (¯ x0 , x¯1 , , x¯N ), u¯ = (¯ u0 , u¯1 , , u¯N −1 ) Mk0 , Xk0 , Uk0 tương ứng lân cận lồi µ ¯, x¯, u¯ Lưu ý điều kiện ( 3.3) viết lại dạng sau uk ≤ βk −uk ≤ −αk 49 Xác định   w0    −w               wN −1  x0      −w  x   N −1         c             −c   xN  ,  , b(w) =  z=      β0   u0       −α   u           β1           −α1  uN −1          βN −1    −αN −1 (3.8) 50  0 −A0 Im×m   0  A0 −Im×m    −A1 Im×m     A1 −Im×m        0 0    0 0    C =  Im 0   −I 0  m    0 0    0     0 0    0       0  0 −B0 0 0 B0 0 0 −B1 0 B1 Im×m 0 −AN −1 AN −1 −Im×m 0 0 0 0 0 0 In×n 0 0 −In×n 0 0 In×n 0 0 0 0 −In×n                  −BN −1    BN −1                             −In×n (3.9) đó, Im×m In×n tương ứng ma trận đơn vị cấp m × m n × n Khi đó, ta có K(w) = {z ∈ X × U | Cz ≤ b(w)} (3.10) toán (3.7) có dạng min{f (z, µ) | z ∈ K(w)} (3.11) Ta đặt Π = R2(N +1)m+2N n , P = M × Π ánh xạ K1 : Π → 2Z xác định bởi: K1 (b) = {z ∈ Z | Cz ≤ b}, ∀b ∈ Π, (3.12) đó, C ma trận cho (3.9) Như vậy, K(w) = K1 (b(w)) với w ∈ W , với b(w) cho (3.8) Ta kí hiệu D1 miền hữu hiệu 51 K1 D miền hữu hiệu K Dễ thấy D = {w ∈ W | K(w) = ∅} = {w ∈ W | b(w) ∈ D1 } Ta nghiên cứu tính liên tục ánh xạ nghiệm, tức ta phải nghiên cứu tính chất Aubin ánh xạ nghiệm toán (3.1 - 3.4) Vì liên tục Lipschitz mạnh so với tính chất nửa liên tục nên giả thiết (H1) (H2) chưa đủ để thiết lập tính chất Do vậy, ta cần giả thiết (H3) công cụ vi phân suy rộng để giải toán Chú ý rằng, với cặp (µ, w) cố định, (3.11) toán quy hoạch lồi ràng buộc tuyến tính Vì f hàm lồi khả vi biến z nên ta thấy z nghiệm toán ∈ fz (z, µ) + N (z; K(w)), N (z; K(w)) nón pháp tuyến K(w) z theo nghĩa giải tích lồi Đặt φ(z, µ) = fz (z, µ) ta ∈ φ(z, µ) + N (z; K(w)) (3.13) bất đẳng thức biến phân chứa tham số Cho tập Q ⊂ Z, tập Q∗ := {z ∗ ∈ Z | z ∗ , z ≤ 0, ∀z ∈ Q} gọi nón cực Q Cho Ω ⊂ Z z¯ ∈ Ω Nón tiếp tuyến từ Ω z¯ kí hiệu T (¯ z ; Ω) xác định T (¯ z ; Ω) = N (¯ z ; Ω)∗ = {v ∈ Z : z ∗ , v ≤ 0, ∀z ∗ ∈ N (¯ z ; Ω)} Từ bây giờ, ta viết ¯b thay cho b(w) ¯ Với (µ, b) ∈ M × Π ta xét toán: tìm z = z(µ, b) thỏa mãn phương trình ∈ φ(µ, z) + N (z; K1 (b)) (3.14) 52 Kí hiệu S1 (µ, b) tập nghiệm (3.14) tương ứng với (µ, b) ∈ M × Π Dễ thấy, S(µ, w) = S1 (µ, b(w)) với (µ, w) ∈ M × D, S(µ, w) tập nghiệm toán (3.13) ánh xạ nghiệm toán (3.1)–(3.4) Lưu ý rằng, C = (cij )p×q , p = 2(N + 1)m + 2N n q = (N + 1)m + N n Đặt T = {0, 1, , p} = T0 ∪ T1 , T0 = {1, 2, , 2(N + 1)m}, T1 = {2(N + 1)m + 1, 2(N + 1)m + 2, , 2(N + 1)m + 2N n} Kí hiệu Ci hàng thứ i ma trận C Với phần tử z ∈ K1 (b) cố định, tập số hoạt z cho công thức I(z, b) = {i ∈ T : Ci z = (b)i }, (3.15) đó, (b)i thành phần thứ i b Ở đây, véctơ b gồm có 2(N + 1)m + 2N n thành phần, véctơ z gồm có (N + 1)m + N n thành phần Để thuận tiện, ta giả sử βi = (ˆb2(N +1)m+2in+1 , ˆb2(N +1)m+2in+2 , , ˆb2(N +1)m+2in+n ), − αi = (ˆb2(N +1)m+(2i+1)n+1 , ˆb2(N +1)m+(2i+1)n+2 , , ˆb2(N +1)m+(2i+1)n+n ), i = 0, 1, , N − Ở đây, ˆbk cố định với k = 2(N + 1)m + 1, , 2(N + 1) + 2N n Như vậy, ta có b(w) = w0 , −w0 , w1 , −w1 , , wN −1 , −wN −1 , c, −c, ˆb T đó, ˆb = (ˆb2(N +1)m+1 , ˆb2(N +1)m+2 , , ˆb2(N +1)m+2N n ) Vì Ci z¯ = ¯bi với i ∈ T0 nên ta có I(¯ z , ¯b) = T0 ∪ T1 (z, b), (3.16) 53 T1 (¯ z , , ¯b) = {i ∈ T1 | Ci z¯ = (ˆb)i } Với tập I ⊂ T ta đặt I = T \ I cho CI (tương ứng CI ) ma trận cho hàng Ci , i ∈ I C (tương ứng hàng Ci , i ∈ I) Mệnh đề sau đây, cho ta công thức tính nón pháp tuyến nón tiếp tuyến hàm lồi đa diện (3.12) Việc chứng minh xem [11, Lema 3.1] Mệnh đề 3.1 [11, Lema 3.1] Giả sử K1 (b) xác định (3.12), z ∈ K1 (b) I(z, b) xác định (3.15) Khi đó, ta có biểu diễn sau: (i) N (z; K1 (b)) = {y ∈ Z : y ∈ pos{CiT : i ∈ I(z, b)}}, (3.17) đó, pos{CiT : i ∈ I(z, b)} = { λi CiT , λi ≥ 0}; i∈I(z,b) (ii) T (z; K1 (b)) = {v ∈ Z : Ci v ≤ 0, ∀i ∈ I(z, b)} (3.18) Giả sử ánh xạ F2 : Z ×Π −→ 2Z xác định F2 (z, b) = N (z; K1 (b)) giả sử Ω2 tập ảnh F2 Bổ đề sau cho công thức tính tiền nón pháp tuyến Ω2 điểm Bổ đề 3.1 [12, Lema 4.1] Nếu (z ∗ , b∗ , v ∗ ) ∈ N ((z, b, v); Ω2 ) (z ∗ , v ∗ ) ∈ (T (z; K1 (b)) ∩ v ⊥ )∗ × (T (z; K1 (b)) ∩ v ⊥ ) (3.19) z ∗ = −CIT b∗I (3.20) b∗I = (3.21) đó, I = I(z, b) v ⊥ = {z ∈ Z | v¯, z = 0} 54 Nhắc lại rằng, tập Q gọi mặt đóng nón H tồn v¯ ∈ H ∗ cho Q = {z ∈ H | v¯, z = 0} Định lý 3.1 [17, Theorem 3.3] Giả sử (¯ z , ¯b, v¯) ∈ Ω2 (z ∗ , b∗ , v ∗ ) ∈ N ((¯ z , ¯b, v¯); Ω2 ) Khi đó, tồn tập số I ⊂ I(¯ z , ¯b) := T0 ∪T1 (¯ z , ¯b) mặt đóng Q nón đa diện lồi T ( I ; K1 (¯b)) ∩ v¯⊥ cho (z ∗ , v ∗ ) ∈ Q∗ × Q, (3.22) v ∈ pos{CiT : i ∈ I }, (3.23) z ∗ = −CIT b∗I , (3.24) b∗I = (3.25) đó, I = {z = (x, u) | CI z = bI , CI z < bI }, với I = T1 (¯ z , ¯b) \ I Chứng minh Việc chứng minh định lý dựa Bổ đề 3.1 sử dụng lập luận tương tự việc chứng minh [12, Theorem 4.3] Định lý 3.2 [17, Theorem 3.4] Giả sử (¯ z , ¯b, v¯) ∈ Ω2 v ∗ ∈ Z Nếu (z ∗ , b∗ ) ∈ D∗ F2 (¯ z , ¯b, v¯)(v ∗ ) tồn tập số I ⊂ I(¯ z , ¯b) mặt đóng Q nón đa diện lồi T ( I ; K1 (¯b)) ∩ v¯⊥ cho điều kiện (3.23–3.25) điều kiện (z ∗ , v ∗ ) ∈ Q∗ × Q (3.26) thỏa mãn Định lý sau kết tính chất Aubin ánh xạ nghiệm với toán (3.1– 3.4) 55 Định lý 3.3 [17, Theorem 3.5] Giả sử z¯ = (¯ x, u¯) nghiệm toán (3.1– 3.4) tương ứng với tham số (¯ µ, w), ¯ giả thiết (H1) (H3) thỏa mãn Nếu cho (z ∗ , b∗ ) ∈ R(N +1)m+N n × R2N m+2N n bất kì, ta có (z ∗ , b∗ ) = (0, 0) (( ∂ f (¯ z, µ ¯) T ∗ ∗ ) z , z ) ∈ Q∗ × Q, ∂z (3.27) ∂ f (¯ z, µ ¯) T ∗ ) z = −CIT b∗I , ∂z (3.28) b∗I = 0, (3.29) ( với tập số I ⊂ I(¯ z , ¯b) = T0 ∪ T1 (¯ z , ¯b) mặt đóng Q nón lồi đa diện T ( I ; K(w)) ¯ ∩ (∇z f (¯ z, µ ¯))⊥ , ánh xạ nghiệm M × D (µ, w) → S(µ, w) có tính chất Aubin (¯ µ, w, ¯ z¯) ∈ gphS Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.2 [13, Corollary 4.4] Giả sử X, Y không gian Euclid hữu hạn chiều, φ1 : X −→ Y khả vi ngặt x¯ ∈ X Φ2 : X ⇒ Y ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Khi đó, với x¯ ∈ φ1 (¯ x) + Φ2 (¯ x) y ∗ ∈ Y ta có D∗ (φ1 + Φ2 )(¯ x, y¯)(y ∗ ) = (∇φ1 (¯ x)T y ∗ + D∗ Φ2 (¯ x, , y¯ − φ1 (¯ x))(y ∗ ) Bổ đề 3.3 [14, Theorem 4.4] Giả sử X, Y Z không gian Euclid hữu hạn chiều, F : X × Y ⇒ Z ánh xạ đa trị G hàm ẩn đa trị xác định F , nghĩa là, G(y) = {x ∈ X | ∈ F (x, y)} (x0 , y0 ) ∈ X × Y cho x0 ∈ G(y0 ) Giả thiết điều kiện sau đúng: (a) Ảnh F đóng địa phương w0 = (x0 , y0 , z0 ), 56 (b) KerD∗ F (w0 ) = {0}, (3.30) (c) {y ∗ ∈ Y | (0, y ∗ ) ∈ D∗ F (z ∗ )} = {0} (3.31) z ∗ ∈Z Khi hàm ẩn đa trị G có tích chất Aubin (y0 , x0 ) nghĩa tồn lân cận U x0 , V y0 số l > cho G(y ) ∩ U ⊂ G(y) + l y − y BX , ∀y, y ∈ V Lưu ý P = M × Π = RN s × R2(N +1)m+2N n Cho ánh xạ: φ1 : Z × P → Z, Φ2 : Z × P → 2Z F : Z × P → 2Z xác định sau φ1 (z, µ, b) = φ(z, µ) = ∇z f (z, µ), Φ2 (z, µ, b) = F2 (z, b) = N (z; K1 (b)), F (z, µ, b) = φ1 (z, µ, b) + Φ2 (z, µ, b) Khi đó, ta có S(µ, b) = {z ∈ Z | ∈ F (z, µ, b)} Ta thấy F Φ2 có đồ thị đóng Thực vậy, lấy dãy tùy ý (zk , µk , bk , zk∗ ) ∈ gphF giả sử (zk , µk , bk , zk∗ ) → (z, µ, b, z ∗ ) k → ∞ Ta cần (z, µ, b, z ∗ ) ∈ gphF Vì (zk , µk , bk , zk∗ ) ∈ gphF nên ta có zk∗ ∈ φ(zk , µk ) + N (zk ; K1 (bk )) Do đó, ta có φ(zk , µk ) − zk∗ , z − zk ≥ 0, ∀z ∈ K1 (bk ) Cố định tùy ý z ∈ K1 (b) Từ [15, Theorem 2.2], K1 liên tục Lipschitz với số Lipschitz l Vì vậy, với k tồn zk ∈ K1 (bk ) cho z − zk ≤ l b − bk Suy zk → z Vì φ(zk , µk ) − zk∗ , zk − zk ≥ 0, 57 cho k → ∞ nên ta (z, µ) − z ∗ , z − z ≥ Khi z ∈ K1 (b) tùy ý, ta thu (z, µ, b, z ∗ ) ∈ gphF Do đó, F có đồ thị đóng Tương tự, ta Φ2 có đồ thị đóng Biến đổi trình tự thành phần sử dụng Bổ đề 3.1, ta thấy với z ∗ ∈ Z = R(N +1)m+N n ta có D∗ F (¯ z, µ ¯, ¯b, 0Z )(z ∗ ) = ∇φ(¯ z, µ ¯, ¯b)T (z ∗ ) + D∗ Φ2 (¯ z, µ ¯, ¯b, −φ(¯ z, µ ¯, ¯b)) = (∇z φ(¯ z, µ ¯)T z ∗ , ∇µ φ(¯ z, µ ¯)T z ∗ , 0Π ) + D∗ Φ2 (¯ z, µ ¯, ¯b, −φ1 (¯ z, µ ¯, ¯b))(z ∗ ) = (∇z φ(¯ z, µ ¯))T z ∗ , 0Π ) + D∗ F2 (¯ z , ¯b, −φ(¯ z, µ ¯))(z ∗ ) × {∇µ φ(¯ z, µ ¯)T (z ∗ )} (3.32) Bây giờ, ta D∗ F (¯ z, µ ¯))T z ∗ , 0Z )(z ∗ ) ⇒ z ∗ = 0, (3.33) đúng, 0Π , 0Z phần tử không Π Z Thật vậy, từ (3.32) điều kiện ∈ D∗ F (¯ z, µ ¯)T z ∗ , 0Z )(z ∗ ), ta có ∇µ φ(¯ z, µ ¯)T (z ∗ ) = (3.34) Vì ∂ f (¯ z, µ ¯) : Z × M −→ Z ∇µ φ(¯ z, µ ¯) = ∂µ∂z toàn ánh nên từ [6, Lema 1.18] ta suy ánh xạ liên hợp ∂ f (¯ z, µ ¯) T ∇µ φ(¯ z, µ ¯) = ( ) : Z −→ Z × M ∂µ∂z T nội xạ Do đó, ta thu từ (3.34) z ∗ = Tương ứng, (3.33) Phần lại kiểm tra điều kiện {(µ∗ , b∗ ) ∈ P ∗ | (0, µ∗ , b∗ ) ∈ D∗ F (¯ y )(z ∗ )} = {0} với y¯ = (¯ z, µ ¯, ¯b, 0Z ) z ∗ ∈Z (3.35) 58 Thật vậy, giả sử (µ∗ , b∗ ) ∈ P thỏa mãn (0, µ∗ , b∗ ) ∈ D∗ F (¯ y )(z ∗ ) với vài phần tử z ∗ ∈ Z Từ (3.32) ta có µ∗ = ∇µ φ(¯ z, µ ¯)T (z ∗ ) (3.36) (0, b∗ ) ∈ (∇z φ(¯ z, µ ¯)T (z ∗ ), 0Π ) + D∗ F2 (¯ z , ¯b, −φ(¯ z, µ ¯))(z ∗ ) (3.37) Tương đương với (−∇z φ(¯ z, µ ¯)T (z ∗ ), b∗ ) ∈ D∗ F2 (¯ z , ¯b, −φ(¯ z, µ ¯))(z ∗ ) Bởi Định lý 3.1, tồn tập số I ⊂ I(¯ z , ¯b) = T0 ∪ T1 (¯ z , ¯b) mặt đóng Q nón lồi đa diện T( cho I ; K1 (¯b)) ∩ (∇z f (¯ z, µ ¯))⊥ = T ( I ; K(w)) ¯ ∩ (∇z f (¯ z, µ ¯))⊥   z, µ ¯)T (z ∗ ), −z ∗ ) ∈ Q∗ × Q   (−∇z φ(¯ −∇z φ(¯ z, µ ¯)T (z ∗ ) = −CIT b∗I    b∗ = I (3.38) Tương đương với  ∂ f (z, µ ¯) T    (( ) (−z ∗ ), −z ∗ ) ∈ Q∗ × Q   ∂z ∂2 ( f (¯ z, µ ¯)T (−z ∗ ) = −CIT b∗I   ∂z    b∗ = I Từ giả thiết định lý, suy −z ∗ = Thế z ∗ = vào (3.36) ta µ∗ = Như điều kiện (3.35) Do đó, Bổ đề (3.3) áp dụng Từ Bổ đề (3.3), ánh xạ M × Π (µ, b) → S1 (µ, b) có tính chất Aubin (¯ µ, ¯b, x¯, u¯) nghĩa tồn số dương δ1 , δ2 , l lân cận V ⊂ X × U (¯ x, u¯) cho S1 (µ , b ) ∩ V ⊂ S1 (µ, b) + l( µ − µ + b − b )BZ (3.39) 59 với µ, µ ∈ B(¯ µ, δ1 ) b, b ∈ B(¯b, δ2 ) ∩ D1 √ Lưu ý rằng, với b = b(w), ¯b = b(w) ¯ ta có b(w)−b(w ) = w−w δ1 S(µ, w) = S1 (µ, b(w)) Do đó, với µ, µ ∈ B(¯ µ, √ ), w, w ∈ δ2 B(¯ µ, √ ) ∩ D từ (3.39) ta √ S(µ , w ) ∩ V ⊂ S(µ, w) + l 2( µ − µ + w − w )BZ Định lý chứng minh 60 KẾT LUẬN Trong luận văn ta trình bày: – Các khái niệm nón pháp tuyến Fréchet, đối đạo hàm vi phân Fréchet – Các khái niệm nón pháp tuyến Mordukhovich, đối đạo hàm vi phân Mordukhovich – Công thức tính vi phân Fréchet, vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc – Tính chất Aubin ánh xạ nghiệm cho toán điều khiển tối ưu mô tả hệ tuyến tính rời rạc Chắc chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận ý kiến góp ý Quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 61 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đông Yên, 2007, Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [2] J S Bonnans and A Shapiro, 2000, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York [3] N H Chieu and J.-C Yao, 2010, “Subgradients of the optimal value function in a parametric discrete optimal control problem” ,Joural of industrial and management optimal, volume 6, number 2, 401-410 [4] A D.Ioffe and V M Tihomirov, 1979, Theory of Extremal Problems, North-Holand Publishing Company [5] B T Kien, Y C Liou, N.-C Wong and J.-C Yao, 2009,“Subgradients of value functions in para-metric dynamic programming”, European Journal of Operational Research, 193 , 12–22 [6] B S Mordukhovich, 2006, Variational Analysis and Generalized Differentiation I, Basis Theory, Springer [7] B S Mordukhovich, N M Nam and N D Yen, 2009, “Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming”, Mathematical Programming, Ser B, 116 (2009), 369– 396 [8] R S Pindyck, 1972, “ An application of the linear quaratic tracking problem to economic stabilization policy”, IEEE Transactions on Automatic Control, 17, 287–300 62 [9] P N V Tu, 1991, Introductory Optimization Dynamics, SpringerVerlag, Berlin [10] B S Mordukhovich, 2006, Variational Analysis and Generalized Differentiation 2, Basis Theory, Springer [11] N.M.Nam, 2010, “Coderivative of normal cone mapping and Lipschitzian stability of parametric variational inequalities ”, Nonlinear Analysis, 73, 2271-2282 [12] J.-C Yao and N D Yen, 2009, “ Coderivative calcultion relate to parametric affine variational inequation I Basic calculations”, Acta Mathemmatica Vietnamica, 34, 157-172 [13] B S Mordukhovich, 1994, “ Generalized differential calculus for nonsmooth and set- value mappings”, J Math Anal App, 183, 250288 [14] G M Lee and N D Yen, “ Frechet and normal corderivative of implicit multifunctions”,Applicable Analysis (Online First, DOI: 10.1080/000036811.2010.483432) [15] O L Mangasarian and T.-H Shiau, 1987, “ Lipschitz continuity of solutions of linear inequalities, programs and complementarity problems”, SIAM J Control and Optim 25, 583-595 [16] N T Toan and J.-C Yao, 2013, “Mordukhovich subgradient of the value function to a parametric discrete optimal control problem”, Journal of Global Optimization, Volume 58 [17] N T Toan and B T Kien, 2011,“Continuity properties of the solution map to a parametric discrete optimal control problem”, Journal of Nonlinear and Convex Anlaysis, Volume 12, Number 3, 635-650 [...]... Fréchet của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch có tham số; cụ thể trình bày một đánh giá trên cho dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu trong bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc Ta xét bài toán điều khiển tối ưu (Pw ) mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc (0.1)–(0.4) Với mỗi x = (x0 , x1 , , xN ) ∈ X, u = (u0 , u1 , , uN −1 ) ∈ U, w = (w0 , w2 , , wN −1 ) ∈ W ta đặt... Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu Trong phần này, ta thiết lập một kết quả cho dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị đối với bài toán quy hoạch chứa tham số Từ đó, ta suy ra một công thức tính dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu trong bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc Xét bài toán (2.1) Giả sử rằng Ωk là đóng địa phương tại u¯k , với mọi k = 0, 1, , N − 1 và điều. .. lân cận của x¯, f chính quy dưới tại (¯ x, Φ(¯ x)) và một trong hai điều sau xảy ra (a) dimY < ∞, Φ Lipschitz tại x¯ với gphΦ chính quy tại (¯ x, Φ(¯ x)), hoặc (b) Φ khả vi chặt tại x¯ 16 Chương 2 Dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich 2.1 Dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu Trong mục này, ta đi thiết lập công thức tính dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy... những ánh xạ tuyến tính với ánh xạ liên hợp A∗ : Z ∗ −→ X ∗ và T ∗ : Z ∗ −→ W ∗ Giả sử f : X × Y −→ R là một hàm giá trị thực mở rộng Với mỗi w ∈ W ta đặt G(w) := {x ∈ X | Ax = T w} Giả sử w¯ ∈ W và K là một tập con khác rỗng của X Xét bài toán µ(w) := inf f (x, w) (2.3) x∈G(w)∩K Đặt S(w) là tập nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số w ∈ W Giả sử rằng x¯ là một nghiệm của bài toán (2.3) tương... u¯1 , u¯2 ) = (−α, 0, 0) Ta thấy rằng (¯ x, u¯) là điểm chấp nhận được của bài toán (Pwα¯ ) và   I(¯ xk , k) = (¯ xk + u¯k )2 + I(¯ xk+1 , k + 1) (k = 0, 1, 2), 1  I(¯ x3 , 3) = 1 + x¯23 26 Theo [4, Theorem 2 of §6.4], (¯ x, u¯) ∈ S α (w) ¯ với S α (w) ¯ là nghiệm của bài toán (Pwα¯ ) Kí hiệu V α (w) ¯ là giá trị tối ưu của bài toán (Pwα¯ ) Ta có V α (w) ¯ = 1 và V (w) ¯ = inf V α (w) ¯ = 1 α∈(−∞,1]... đẳng thức Xét bài toán tối ưu min{f (x, y) | y ∈ Φ(x)} (1.25) phụ thuộc tham số x và hàm giá trị tối ưu tương ứng µ(x) := inf{f (x, y) : y ∈ Φ(x)}, (1.26) ¯ là một hàm thực suy rộng và Φ : X ⇒ Y ánh xạ ở đó f : X × Y → R đa trị giữa các không gian Banach Ký hiệu S(x) := {y ∈ Φ(x) | f (x, y) = µ(x)} (1.27) là tập nghiệm có tham số của (1.25) Định lý 1.4 (Dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu) [6, Theorem... cho dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu Định lý 2.1 [3, Theorem 1.1] Giả sử hàm giá trị tối ưu được xác định bởi (2.1) là hữu hạn tại w, ¯ hk là khả dưới vi phân Fréchet tại (¯ xk , u¯k , w¯k ), hN là khả dưới vi phân Fréchet tại xN và Ωk là chính quy pháp tuyến tại u¯k với mọi k = 0, 1, , N − 1 Giả thiết rằng [ − N ((¯ x, u¯); K)] ∩ A∗ (kerT ∗ ) = {0} (2.2) ∗ Khi đó điều kiện cần để w∗ = (w0∗... zk+1  ∂uk Điều kiện trên cũng là đủ để w∗ ∈ ∂V (w) ¯ nếu ánh xạ nghiệm S có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại (w, ¯ x¯, u¯) Để chứng minh Định lý 2.3 ta quy bài toán về một bài toán quy hoạch và thiết lập công thức tính dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị Ta giả sử rằng X, W và X là những không gian hữu hạn chiều Giả sử rằng A : X −→ X và T : W −→ X là những ánh xạ tuyến tính liên tục... (w, ¯ z¯) và Ω là tập con của Z, với intΩ = ∅ Với mỗi w ∈ W , ta đặt G(w) := {z ∈ X | Az = T w} Xét bài toán µ(w) := inf f (w, z) (2.15) z∈G(w)∩Ω Ta kí hiệu S(w) là tập nghiệm của (2.15)tương ứng với tham số w ∈ W Giả sử rằng hàm giá trị tối ưu µ là hữu hạn tại w, ¯ z¯ là một nghiệm của bài toán tương ứng với tham số w, ¯ tức là z¯ ∈ S(w) ¯ và Ω là đóng địa phương tại z¯ 30 Định lý 2.4 [16, Theorem... và T ∗ lần lượt là các toán tử liên hợp của A và T Ta kí hiệu S(w) là tập nghiệm của bài toán (Pw ) và giả sử rằng (¯ x, u¯) là một nghiệm của (Pw¯ ) tức là (¯ x, u¯) ∈ S(w) ¯ ở đó x¯ := (¯ x0 , x¯1 , , x¯N ), u¯ := (¯ u0 , u¯1 , , u¯N −1 ) và w¯ := (w¯0 , w¯1 , , w¯N −1 ) Giả sử thêm rằng Ωk là bao đóng địa phương của w¯k với mọi k = 0, 1, , N − 1 Kết quả chính của mục này là thiết lập