BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thu Hà TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ BẤT ĐẲNG THỨC TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THU HÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ BẤT ĐẲNG THỨC TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN QUANG HUY Hà Nội – Năm 2016 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Lời cảm ơn Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quang Huy tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô giáo Tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thu Hà i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Lời cam đoan Khóa luận hoàn thành Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả khẳng định kết khóa luận riêng tác giả, không trùng với công trình khoa học khác Các tài liệu trích dẫn khóa luận trung thực xác Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thu Hà ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu Danh mục kí hiệu chữ viết tắt Tập đa diện lồi 1.1 1.2 Một số khái niệm 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Bất đẳng thức tuyến tính 10 Tập đa diện lồi 11 1.2.1 Các khái niệm tính chất 11 1.2.2 Cơ sở, đỉnh cạnh đa diện lồi 16 Tập đa diện lồi có tham số 23 2.1 Hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số 23 2.2 Tính liên tục ánh xạ đa diện lồi 25 Kết luận 33 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Tài liệu tham khảo 34 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Lời mở đầu Lí chọn đề tài Phép tính vi phân cho hàm giá trị tối ưu toán tối ưu có tham số trở thành chủ đề thú vị quan tâm nghiên cứu nhiều gần xuất phát từ ứng dụng tiềm để giải vấn đề phát sinh tối ưu hóa, lý thuyết điều khiển lĩnh vực khác toán học ứng dụng Một số đánh giá cho vi phân hàm giá trị tối ưu nghiên cứu thiết lập [5, 9, 11] tài liệu trích dẫn Tuy nhiên, làm để tính phần tử vi phân nhiệm vụ khó khăn tối ưu không trơn Như biết việc tính vi phân cho hàm giá trị tối ưu toán tối ưu có tham số đòi hỏi phải quan sát biến thiên tập nghiệm toán tối ưu Đối với toán tối ưu có ràng buộc biến đổi tập ràng buộc tác động trực tiếp đến tập nghiệm hàm giá trị tối ưu Điều dẫn đến việc cần phải nghiên cứu biến thiên tính ổn định tập ràng buộc có tham số Một lớp tập ràng buộc có tham số có cấu trúc đặc thù nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tập đa diện lồi; xem, chẳng hạn, [5] bình luận trích dẫn Một tập đa diện lồi giao số hữu hạn nửa không gian đóng Nói cách khác, tập đa diện lồi tập nghiệm hệ hữu hạn bất đẳng thức tuyến tính dạng Γ (ω) := x ∈ Rn : (ω) , x − bi (ω) 0, i = 1, , m , Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà ω ∈ Ω, Ω ⊂ Rp , hàm liên tục từ Rp vào Rn bi hàm số liên tục Rp Các kết quan trọng tính liên tục ánh xạ Γ thiết lập [2, 4, 5, 8] Đề tài "Tính ổn định hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số" nhằm tìm hiểu tính liên tục ánh xạ tập lồi đa diện có tham số trình bày [5] Mục đích nghiên cứu Khảo sát tập lồi, tập đa diện lồi biểu diễn, tính chất đặc trưng tập đa diện lồi Nghiên cứu tính liên tục tập đa diện lồi phụ thuộc tham số Đối tượng nghiên cứu Tập lồi, tập đa diện lồi; tính nửa liên tục nửa liên tục tập đa diện lồi có tham số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu kết Giải tích lồi, Đại số tuyến tính Giải tích đa trị Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Danh mục kí hiệu chữ viết tắt N tập số nguyên dương R tập số thực Rn không gian Euclide n chiều Bn hình cầu đơn vị đóng Rn Sn mặt cầu đơn vị Rn ||x|| chuẩn vectơ x x, y aff (A) tích vô hướng vectơ x y bao affin A cl (A), A¯ bao đóng A int (A) phần A ri (A) phần tương đối A co (A) bao lồi A co(A) bao lồi đóng A cone (A) nón sinh tập A pos (A) nón dương A gr (G) đồ thị G supp (x) giá x ✷ Kết thúc chứng minh Chương Tập đa diện lồi Trong chương này, ta nhắc lại số khái niệm khái niệm không gian Euclid n-chiều, khái niệm tập lồi, bao lồi, phần tương đối tập lồi, bất đẳng thức tuyến tính tập đa diện lồi Biểu diễn đặc trưng tập đa diện lồi 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Tập lồi Định nghĩa 1.1 Rn không gian Euclid n-chiều n-vectơ cột Vectơ x với thành phần x1 , , xn xác định 1/2 n ||x|| = (xi ) i=1 Tích vectơ x y Rn xác định n x, y = xi yi i=1 Hình cầu đơn vị đóng, hình cầu đơn vị mở mặt cầu đơn vị Rn tương ứng xác định Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà xét vectơ x − tv Nếu t 1, vectơ z = x − v hướng tiệm cận đa diện x tổng đỉnh v hướng tiệm cận Ta thấy hướng z biểu diễn nhưlà tổ hợp lồi hướng tiệm cận cực trị Nếu t < 1, ta áp dụng kỹ thuật chứng minh Định lí 1.2 Thật vậy, đặt z = x − tv / (1 − t) ta suy z Az = 1−t b − t 1−t b =b Hơn nữa, giá z tập thực giá x thành phần j z với giá trị t = xj /vj1 không Khi đó, x = tv + (1 − t) z với supp(z) tập thực supp(x) Tiếp tục trình này, ta tìm hữu hạn đỉnh v , , v p hướng tiệm cận z cho x tổng tổ hợp lồi v , , v p z Vì z tổ hợp lồi hướng tiệm cận cực trị Ta có số đỉnh hướng tiệm cận cực trị đa diện P hữu hạn Kí hiệu chúng tương ứng v , , v p z , , z p Khi phần tử x P biểu diễn p λi v i + x= i=1 n µi z i j=1 với p λi = 1, λi 0, i = 1, , p µj 0, j = 1, , q i=1 Lưu ý biểu diễn x nhất, nghĩa là, phần tử x P viết số tổ hợp v i , i = 1, , p z j , j = 1, , q với hệ số khác λi , µj Một ví dụ đơn giản thấy điểm x hình vuông với đỉnh 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học  v1 =  0  Nguyễn Thu Hà   , v2 =     , v3 =     , v4 =  1   Rõ ràng x xem điểm v v , điểm v v Một điểm khác cần lưu ý kết phần liên quan đến đa diện cho hệ (1.5) chúng không hệ khác Chẳng hạn, theo Định lí 1.4, đa diện xác định hệ (1.5) có đỉnh điều không đa diện cho hệ khác Một siêu phẳng xác định phương trình d, x = với vectơ khác không d ∈ R2 Ta thấy siêu phẳng đa diện mà đỉnh Một hệ tương đương đưa công thức (1.5) sau d, x+ − d, x− = x+ , x− Hệ sau tạo đa diện R4 mà có đỉnh Tuy nhiên, đỉnh (x+ , x− )T đa diện cho phần tử x = x+ − x− đa diện trước đỉnh 22 Chương Tập đa diện lồi có tham số 2.1 Hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số Cho tập mở khác rỗng Ω không gian Euclid hữu hạn chiều Xét tập đa diện lồi Γ (ω) phụ thuộc tham số ω ∈ Ω Giả sử Γ (ω) xác định hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số (ω) , x − bi (ω) 0, i = 1, , m, (2.1) , i = 1, , m hàm vectơ Ω với giá trị Rn bi , i = 1, , m hàm số thực Ω Ta phân biệt hai loại ràng buộc: loại rút gọn thành đẳng thức loại lại Để thuận tiện, ta viết (2.1) dạng (ω) , x − bi (ω) 0, i = 1, , p aj (ω) , x − bj (ω) = 0, j = p + 1, , p + q = m 23 (2.2) (2.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Chúng ta quan tâm đến thay đổi Γ (ω) phụ thuộc vào ω Cụ thể hơn, người ta xét ánh xạ Γ : Ω ⇒ Rn đặt tương ứng tham số ω Ω tập Γ (ω) không gian Rn nghiên cứu ổn định hay liên tục ω thay đổi Tập nghiệm hệ (2.2) (2.3) kí hiệu tương ứng P (ω) Q (ω) Đối với tập số I ⊆ {1, , p} , J ⊆ {1, , m} , ta xét tập PI (ω) := x ∈ Rn : (ω) , x − bi (ω) 0, i ∈ I PˆI (ω) := x ∈ Rn : (ω) , x − bi (ω) < 0, i ∈ I P I (ω) := x ∈ Rn : (ω) , x − bi (ω) 0, i ∈ {1, , p} \I QJ (ω) := x ∈ Rn : aj (ω) , x − bj (ω) = 0, j ∈ J AI (ω) ma trận mà hàng chuyển vị (ω), i ∈ I, bI (ω) vectơ mà thành phần bi (ω) , i ∈ I Tính liên tục ánh xạ đa trị Ta xét ánh xạ đa trị G : Ω ⇒ Rn Đồ thị G tập gr (G) = {(ω, x) ∈ Ω × Rn : x ∈ G (ω)} Định nghĩa 2.1 Ta nói i) Ánh xạ G đóng ω0 ∈ Ω giới hạn dãy hội tụ {(ωr , xr )}r Ω × Rn với xr ∈ G (ωr ) lim ωr = ω0 , thuộc đồ r→∞ thị G ii) Ánh xạ G gọi nửa liên tục ω0 ∈ Ω với tập mở V Rn với G (ω0 ) ∩ V = ∅, tồn lân cân U ω0 Ω cho: G (ω) ∩ V = ∅ ω ∈ U Và G nửa liên tục ω0 ∈ Ω với tập mở chứa G (ω0 ) tồn lân cận U ω0 ∈ Ω cho G (ω) ⊆ V ω ∈ U 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Một ánh xạ đa trị đóng, nửa liên tục nửa liên tục trên Ω có đặc trưng tương ứng điểm thuộc Ω Ánh xạ đa trị gọi liên tục đồng thời nửa liên tục nửa liên tục Nhận xét 2.1 Ánh xạ giao G1 ∩ G2 hai ánh xạ đa trị nửa liên tục G1 G2 ω0 ∈ Ω nửa liên tục điều kiện sau thỏa mãn: a) G1 nửa liên tục ω0 ; b) Có tập D ⊂ G2 (ω0 ) cho với x ∈ D ta tìm lân cận W ω0 lân cận U x với U ⊂ G2 (w) với w ∈ W; c) G1 (ω0 ) ∩ G2 (w0 ) trùng với bao đóng tập G1 (w0 ) ∩ D 2.2 Tính liên tục ánh xạ đa diện lồi Trong mục này, ta giả thiết hàm vectơ (ω) , , am (ω) b (ω) := (b1 (ω) , , bm (ω))T liên tục Định lý 2.1 Giả sử hàm số a1 (ω) , , am (ω) b (ω) liên tục Khi đó, ánh xạ đa trị Γ (ω) đóng Hơn nữa, với tập mở W0 ⊆ Ω có tập mở W W0 cho tập Γ (ω) nửa liên tục W Do đó, Γ (ω) không nửa liên tục tập không đâu trù mật Để chứng minh định lí ta cần số kết bổ trợ Bổ đề 2.1 Cho ω0 điểm Ω J ⊆ {1, , m} tập khác rỗng Nếu hệ aj (ω0 ) : j ∈ J độc lập tuyến tính, có lân cận W 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà ω0 Ω cho ánh xạ đa trị QJ (ω) nửa liên tục W Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử J = {1, , l} với l m Kí hiệu A (ω) ma trận cấp l × n mà hàng chuyển vị a1 (ω) , , al (ω) Rõ ràng l n ω = ω0 hàng độc lập tuyến tính, nên tồn ma trận A (ω0 ) ma trận cấp l × l không suy biến, kí hiệu C (ω0 ) Phần bù C (ω0 ) A (ω0 ) kí hiệu D (ω0 ) Ta giả sử A (ω) có dạng (C (ω) , D (ω)) Khi đó, hệ đẳng thức xác định QJ (ω) viết lại sau   xC  = b (ω) , (C (ω) , D (ω))  xD xC vectơ có l thành phần đầu tiên, xD vectơ có (n − l) thành phần lại vectơ x Rn Do đó, tập QJ (ω0 ) biểu diễn QJ (ω0 ) = x ∈ Rn : xC = (C(ω0 ))−1 (b(ω0 ) − D(ω0 )xD ), xD ∈ Rn−l , (C (ω0 ))−1 ma trận nghịch đảo ma trận C (ω) Bởi tính liên tục thành phần C (ω0 ) nên có lân cận W ω0 cho C (ω) không suy biến với ω ∈ W Khi đó, công thức với ω ∈ W Bây giờ, ta lấy tùy ý ω ∈ W x ∈ QJ (ω) với thành phần xC xD Cho {ωr }r dãy W hội tụ tới ω Đặt xrC = (C (ωr ))−1 (b (ωr ) − D (ωr ) xD ) Rõ ràng xr thuộc QJ (ωr ) hội tụ tới x r tiến ∞ Do QJ nửa liên tục W 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Bổ đề 2.2 Cho W0 tập mở Ω cho J ⊆ {1, , m} khác rỗng Nếu hệ aj (ω) : j ∈ J phụ thuộc tuyến tính với ω ∈ W0 tồn tập mở W W0 tập thực J J cho hệ aj (ω) : j ∈ J aj (ω) : j ∈ J hệ độc lập tuyến tính cực đại hệ với ω ∈ W Chứng minh Như chứng minh Bổ đề 2.1, ta giả sử J = {1, , l} Với ω W0 hạng hệ aj (ω) : j = 1, , l không lớn l−1 Ta tìm điểm ω0 W0 cho hạng hệ cực đại, giả sử r, r < l với hệ aj (ω0 ) : j = 1, , r độc lập tuyến tính Ma trận A (ω0 ) cấp r × n thiết lập từ hàng chuyển vị vectơ a1 (ω0 ) , , ar (ω0 ) có ma trận không suy biến C (ω0 ) cấp r × r Lấy W lân cận ω0 W0 mà C (ω) không suy biến Khi đó, với ω ∈ W, hệ a1 (ω0 ) , , ar (ω0 ) có hạng r hệ độc lập tuyến tính cực đại hệ aj (ω) : j ∈ J Bổ đề 2.3 Với tập mở W0 Ω, có tập mở W W0 cho ánh xạ đa trị Q (ω) nửa liên tục W Chứng minh Nếu tồn điểm ω0 W0 cho hệ aj (ω0 ) : j = p + 1, , m độc lập tuyến tính ta suy từ Bổ đề 2.1 ánh xạ Q nửa liên tục lân cận W ω0 W0 Nếu hệ phụ thuộc tuyến tính với ω W0 từ Bổ đề 2.2 ta tìm tập mở W1 W0 tập thật J ⊆ {p + 1, , m} cho với ω ∈ W1 , hệ aj (ω) : j ∈ J hệ độc lập tuyến tính cực 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà đại hệ aj (ω) : j = p + 1, , m Ta khẳng định tồn tập mở W W1 cho Q (ω) rỗng với ω ∈ W, Q (ω) trùng QJ (ω) với ω ∈ W Thật vậy, lấy số j0 từ tập số {p + 1, , m} \J Vì hệ aj (ω) : j ∈ J ∪ {j0 } phụ thuộc tuyến tính nên ta tìm hệ số tj (ω) ∈ R cho aj0 (ω) = tj (ω) aj (ω), j∈J tj (ω) , j ∈ J xác định hệ aj (ω) : j ∈ J độc lập tuyến tính Hơn nữa, với ω cố định, tj (ω) , j ∈ J liên tục lân cận ω Nếu ω W1 ta có bj0 (ω) = tj (ω) bj (ω) j∈J ta suy từ tính liên tục có lân cận W ω W1 cho tj (ω ) bj (ω ) với ω ∈ W bj0 (ω ) = j∈J Do đó, tập Q (ω ) rỗng với ω ∈ W Bây giờ, tj (ω) bj (ω) với ω ∈ W1 , bj0 (ω) = j∈J đẳng thức thứ j0 hệ xác định Q thừa, QJ (ω) = QJ∪{j0 } (ω) với ω ∈ W1 Tiếp tục trình với số khác tập {p + 1, , p + q} \J, ta đến kết luận Q (ω) rỗng với ω ∈ W Q (ω) = QJ (ω) với ω ∈ W Trong trường hợp, ánh xạ Q nửa liên tục W Bổ đề 2.1 Bổ đề chứng minh 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Bổ đề 2.4 Cho ω0 điểm Ω I ⊆ {1, , p} khác rỗng Nếu tập PˆI (ω0 ) khác rỗng, với phần tử x0 nó, tồn lân cận U x0 Rn lân cận W ω0 Ω cho U ⊆ PˆI (ω) với ω ∈ W Do đó, ánh xạ PI (ω0 ) nửa liên tục W Chứng minh Với phần tử x PˆI (ω0 ) ta có bất đẳng thức thực (ω0 ) , x − bi (ω0 ) < với i ∈ I Do đó, ta tìm số dương ε cho (ω0 ) + αi , x + x − (bi (ω0 ) + βi ) < với số i ∈ I, với vectơ αi x Rn số thực βi với max αi , x , βi Từ tính liên tục (ω) bi (ω) ta suy tồn lân cận W ω0 cho max (ω) − (ω0 ) , |bi (ω) − bi (ω0 ) | < ε với ω ∈ W Đặt U = {x ∈ n : x − x < ε} Ta có (ω) , x − bi (ω) < với i ∈ I, x ∈ W ω ∈ W Điều có nghĩa U ⊆ PˆI (ω) với ω ∈ W Vì PI bao đóng PˆI nên PI nửa liên tục W Bổ đề 2.5 Với tập mở W0 Ω, tồn tập mở W W0 tập I ⊆ {1, , p} cho với ω ∈ W ta có P (ω) = PI (ω) ∩ QJ (ω) PˆI (ω) = 0, 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà J = {1, , m} \I Chứng minh Trước tiên ta nhận thấy PˆI (ω) rỗng (ω) = bi (ω) 0, điểm ω0 mà tập PˆI (ω0 ) khác rỗng PˆI (ω) khác rỗng với ω lân cận đủ nhỏ ω0 Do đó, không tính tổng quát, ta giả sử Pˆi (ω) = ∅ với ω ∈ W0 , i = 1, , p Lấy I (ω) tập lớn tập số {1, , p} mà PˆI(ω) (ω) khác rỗng, tức PˆI(ω) (ω) ∩ Pˆi (ω) = ∅ với i ∈ / I (ω) Từ |I (ω) | p, ta tìm điểm ω0 ∈ W0 cho |I (ω0 ) | = max {|I (ω) | : ω ∈ W0 } Ta khẳng định có lân cận W ω0 cho I (ω) = I (ω0 ) với ω ∈ W Thật vậy, chứng minh Bổ đề 2.4, PˆI(ω0 ) (ω0 ) = ∅ kéo theo tồn lân cận W ω0 cho PˆI(ω0 ) (ω) = ∅ với ω ∈ W Do I (ω0 ) ⊆ I (ω) ω ∈ W Thực tế, ta có đẳng thức I (ω0 ) có lực lượng lớn Đặt I = I (ω0 ) Một mặt, với ω ∈ W ta có PI (ω) ∩ QJ (ω) ⊆ P (ω) Mặt khác, x ∈ P (ω) kéo theo aj (ω) , x − bj (ω) = 0, j ∈ J Thật vậy, điều không với số j ∈ J ta có aj (ω) , x − bj (ω) < 0, 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà đó, có lân cận U x Rn cho aj (ω) , x − bj (ω) < 0, với x ∈ U Vì PI (ω) bao đóng tập khác rỗng PˆI (ω) nên ta tìm điểm chung x U PˆI (ω) Do đó, x ∈ PˆI (ω) ∩ Pj (ω), điều mâu thuẫn với tính cực đại I Bằng cách này, ta có P (ω) = PI (ω) ∩ QJ (ω) với PˆI (ω) khác rỗng với ω ∈ W Tiếp theo trình bày chi tiết chứng minh Định lí 2.1 Chứng minh Định lý 2.1 Để chứng minh Γ(ω) đóng, ta xét dãy {(ωr , xr )}r phần tử thuộc đồ thị Γ mà hội tụ đến ω0 , x0 với ω0 ∈ Ω Theo định nghĩa, hệ (ω) , x − bi (ω) 0, i = 1, , m thỏa mãn ω = ωr x = xr với r Vì hàm số , bi , với i = 1, , m liên tục nên lấy giới hạn hệ bất đẳng thức (2.1) với ω = ωr x = xr r tiến ∞ ta suy hệ bất đẳng thức (2.1) với ω = ω0 x = x0 Do x0 thuộc Γ(ω0 ), Γ đóng Chứng minh tính nửa liên tục Γ(ω) dựa kết bổ trợ mà vừa chứng minh Lấy Γ(ω) giao P (ω) Q (ω) Bởi Bổ đề 2.5, tồn tập mở W1 W0 cho P (ω) = PI (ω) ∩ QJ (ω) PˆI (ω) = ∅ với ω ∈ W1 , J = {1, , m} \I Biểu diễn Γ dạng Γ (ω) = P (ω) ∩ Q (ω) = PI (ω) ∩ [Q (ω) ∩ QJ (ω)] 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà với ω ∈ W1 Áp dụng Bổ đề 2.3 cho ánh xạ Q ∩ QJ ta tìm tập mở W W1 mà ánh xạ Q ∩ QJ nửa liên tục Ta phải áp dụng Bổ đề 2.4 Nhận xét 2.1 để suy tính nửa liên tục ánh xạ giao PI ∩ (Q ∩ QJ ) ánh xạ Γ Định lý ✷ chứng minh 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà Kết luận Nội dung khóa luận bao gồm: - Các khái niệm tập lồi, tập đa diện lồi biểu diễn, tính chất đặc trưng tập đa diện lồi - Các khái niệm tính liên tục ánh xạ đa trị - Một số định lý biểu diễn tập đa diện lồi - Một định lý tính nửa liên tục ánh xạ tập đa diện lồi Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu, chẳng hạn: + Tính nửa liên tục ánh xạ tập đa diện lồi + Tính H¨older ánh xạ tập đa diện lồi 33 Tài liệu tham khảo [1] J.-P Aubin and H Frankowska, Set-valued analysis, Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 1990 [2] B Bank, J Guddat, D Klatte, B Kummer and K Tammer, Nonlinear Parametric Optimization, Birkh¨auser Verlag, BaselBoston, Mass., 1983 [3] J P Evans and F J Gold, Stability in nonlinear programming, Oper Res 18 (1970), 107-118 [4] A V Fiacco, Introduction to sensitivity and stability analysis in nonliear programming, Academic Press, New York, 1983 [5] D T Luc, Multiobjective linear programming An introduction, Springer, Cham, 2016 [6] D T Luc, Smooth representation of a parametric polyhedral convex set with application to sensitivity in optimization, Proc Amer Math Soc 125 (1997), 555–567 [7] D T Luc and P H Dien, Differentiable selection of optimal solutions in parametric linear programming, Proc Amer Math Soc 125 (1997), 883–892 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thu Hà [8] S M Robinson, Stability theory for systems of inequalities, Part 1: Linear systems, SIAM J Number Anal 12 (1975), 754-769 [9] L Thibault, On subdifferentials of optimal values function, SIAM J Control Optim 29 (1991), 1019-1036 [10] D E Ward, Differential stability in non- Lipschitzian optimization, J Optim Theory Appl 73 (1992), 101-120 [11] N D Yen and P H Dien, On differential estimations for marginal functions in mathematical programming problems with inclusion constraints, Lectures Notes in Control and Inform Sci., Vol 143, Springer- Verlag, Berlin, 1990, pp 244- 251 35 ... lồi có tham số 2.1 Hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số Cho tập mở khác rỗng Ω không gian Euclid hữu hạn chiều Xét tập đa diện lồi Γ (ω) phụ thuộc tham số ω ∈ Ω Giả sử Γ (ω) xác định hệ bất đẳng. .. nhiều tập số I mà F tập nghiệm hệ (1.4) Tuy nhiên, ta hiểu bất đẳng thức đẳng thức thay đổi tập nghiệm nói hệ (1.4) xác định mặt F Bởi vậy, hai bất đẳng thức hợp thành đẳng thức, số chúng tính I... Rp vào Rn bi hàm số liên tục Rp Các kết quan trọng tính liên tục ánh xạ Γ thiết lập [2, 4, 5, 8] Đề tài "Tính ổn định hệ bất đẳng thức tuyến tính có tham số" nhằm tìm hiểu tính liên tục ánh