BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN HẢI DƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN HẢI DƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO TRỌNG QUYẾT HÀ NỘI, 2017 i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đào Trọng Quyết, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy lớp thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Hải Dương ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Đào Trọng Quyết, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình Parabolic suy biến" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Hải Dương iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 1.1 Các khái niệm 1.2 Sự tồn tập hút toàn cục 1.3 Cấu trúc tập hút toàn cục 10 1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận tập hút toàn cục 10 1.5 Các ví dụ 11 Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình Parabolic suy biến 14 2.1 Đặt toán 14 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 18 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục 23 KẾT LUẬN 29 Tài liệu tham khảo 30 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, phương trình phi tuyến với toán tử đạo hàm riêng suy biến nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà toán học nước quốc tế Có thể kể đến loại lớp phương trình với hạng tử phi tuyến thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz địa phương điều kiện tăng trưởng Sobolev: |f (u) − f (v)| ≤ C(1 + |u|ρ + |v|ρ )|u − v|, 0≤ρ< , Q−2 số điều kiện khuếch tán phù hợp; xem [3], [18]-[21], [12] Loại thứ hai lớp phương trình với hạng tử phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng đa thức C1 |u|ρ − C0 ≤ f (u)u ≤ C2 |u|ρ + C0 với ρ ≥ 2, f (u) ≥ −l, xem [4], [7], [10], [12] Lưu ý hai lớp phương trình kể trên, hạng tử phi tuyến có hạn chế tốc độ tăng trưởng, chẳng hạn, với hạng tử phi tuyến kiểu hàm mũ Một số kết công bố gần giải hạn chế hạng tử phi tuyến, luận văn này, dựa kết báo [8], trình bày kết tồn tại, tính dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ có dạng sau:    ut −    λ u + f (u) = g(x), x ∈ Ω, t > 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(x, t) = 0,      u(x, 0) = u0 (x), (1) x ∈ Ω, Ω miền bị chặn RN (N ≥ 2) có biên trơn ∂Ω, u0 , g ∈ L2 (Ω), hạng tử phi tuyến f (u), toán tử suy biến xác định bởi: λ n ∂xi (λ2i (x)∂xi ) λ := i=1 Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Lý thuyết tập hút toàn cục Trong chương này, trình bày lí thuyết tập hút toàn cục, công cụ sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán xét chương Chương 2: Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình Parabolic suy biến Trong chương nghiên cứu lớp phương trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ Sự tồn tập hút toàn cục lớp phương trình chứng minh sau chứng minh tồn tại, nghiệm yếu toán Mục đích nghiên cứu Chứng minh tồn nghiệm yếu tập hút toàn cục cho toán (1) 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính; Chứng minh tồn nghiệm yếu toán (1); Chứng minh tồn tập hút toàn cục cho toán (1) Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại, nghiệm yếu tập hút toàn cục Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số công cụ giải tích lý thuyết định tính phương trình vi phân bao gồm: • Lý thuyết hệ động lực học; • Lý thuyết tập hút toàn cục Dự kiến đóng góp Chứng minh chi tiết kết công trình [8] Chương LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], trình bày lý thuyết tập hút toàn cục, công cụ sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic suy biến xét chương 1.1 1.1.1 Các khái niệm Khái niệm hệ động lực Định nghĩa 1.1.1 Hệ động lực cặp (X; S(t)) gồm không gian metric đủ X họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn: a) S(0) = I; b) S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ≥ 0; c) với t ≥ 0, S(t) ∈ C (X, X); d) với u ∈ X, t → S(t)u ∈ C ((0; +∞), X) Họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi nửa nhóm liên tục X Khi X gọi không gian pha (hay không gian trạng thái) Nếu khái niệm số chiều định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, X không gian tuyến tính) giá trị dim X gọi số chiều hệ động lực 1.1.2 Quỹ đạo tập bất biến Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (X; S(t)) hệ động lực a) Quỹ đạo dương x ∈ X tập hợp γ + (x) = {S(t)x | t ≥ 0} Nếu E ⊂ X , quỹ đạo dương E tập hợp γ + (E) = γ + (z) S(t)E = t≥0 z∈E Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ E γτ+ (E) = γ + (S(τ )E) b) Quỹ đạo S(t) khoảng I ⊂ R ánh xạ u : I → X thỏa mãn: u(t + s) = S(t)u(s), với s ∈ I, t ≥ cho t + s ∈ I Đặc biệt, I = (−∞, 0] u(0) = z ∈ X , u gọi quỹ đạo âm xuyên qua z kí hiệu γ − (z) Nếu I = R u(0) = z , u gọi quỹ đạo đầy đủ xuyên qua z kí hiệu γ(z) c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈ R} gọi quỹ đạo tuần hoàn có số τ > cho: u(t + τ ) = u(t), ∀t ∈ R Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (X, S(t)) hệ động lực Tập Y không gian pha X gọi 18 2.2 Sự tồn nghiệm yếu Định nghĩa 2.2.1 Một hàm u gọi nghiệm yếu toán (1) (0; T ) u∈ o 1,2 2 C([0; T ]; L (Ω)) ∩ L (0, T ; W λ (Ω)), o 1,2 ∗ f (u) ∈ L1 (QT ), u(0) = u0 , du dt ∈ L (0, T ; (W λ (Ω)) ) + L (QT ), o 1,2 du − ∆λ u + f (u) = g dt L2 (0, T ; (W λ (Ω))∗ ) + L1 (QT ) điều kiện tương đương, du − ∆λ u + f (u), w = g, w dt o 1,2 với hàm thử w ∈ W := W λ (Ω) ∩ L∞ (Ω) hầu khắp t ∈ (0; T ) Ở đây, , kí hiệu tích vô hướng W đối ngẫu W ∗, o 1,2 o 1,2 (W λ (Ω))∗ không gian đối ngẫu W λ (Ω) Định lý 2.2.2 Với giả thiết (F)-(G) Khi với u0 ∈ L2 (Ω) T > cho trước, toán (1) tồn nghiệm yếu khoảng (0; T ) Hơn nữa, ánh xạ u0 → u(t) liên tục L2 (Ω), nói cách khác nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Chứng minh i)Sự tồn Ta chứng minh tồn nghiệm yếu phương pháp compact hóa Điểm khác so với chứng minh [4], [12] hạng tử phi tuyến f (u) thuộc L1 (QT ) không bị hạn chế độ tăng trưởng Vì có số khó khăn cần thiết thiết lập đánh giá hội tụ giới hạn cho hạng tử phi tuyến Cho {un } nghiệm Galerkin thích hợp Ta thiết lập số đánh giá cho un Ta có 1d un dt L2 (Ω) + un o 1,2 + f (un )un dx = gun dx W λ (Ω) Ω Ω (6) 19 Do đó, 1d un (t) 2L2 (Ω) + un (t) 2o 1,2 − µ un (t) dt W λ (Ω) ε g 2L2 (Ω) + un (t) 2L2 (Ω) ≤ 2ε 2 L2 (Ω) − C1 |Ω| Sử dụng bất đẳng thức (5), ta có d un (t) 2L2 (Ω) + ε un (t) dt ≤ g 2L2 (Ω) + 2C1 |Ω|, ε o 1,2 + (2γ1 − 2µ − εγ1 − ε) un (t) W λ (Ω) L2 (Ω) ε > đủ nhỏ 2γ1 − 2µ − εγ1 − ε > Tích phân từ đến t, ≤ t ≤ T , ta có t un (t) L2 (Ω) +ε t un (s) ds + (2γ1 − 2µ − εγ1 − ε) o 1,2 W λ (Ω) ≤ g ε L2 (Ω) T un (s) L2 (Ω) ds + 2C1 |Ω|T + u(0) L2 (Ω) Ta có {un } bị chặn L∞ (0, T ; L2 (Ω)), {un } bị chặn L2 (0, T ; Wλ1,2 (Ω)) o 1,2 Sử dụng tính bị chặn {un } L2 (0, T ; W λ (Ω)), ta dễ dàng kiểm tra o 1,2 {∆λ un } bị chặn L2 (0, T ; (W λ (Ω))∗ ) Từ kết trên, ta khẳng định o 1,2 un u L2 (0, T ; W λ (Ω)), un ∗ ∆λ un u L∞ (0, T ; L2 (Ω)), ∆λ u o 1,2 L (0, T ; (W λ (Ω))∗ ) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (6) ta có 1d un dt L2 (Ω) + un o 1,2 f (un )un dx ≤ + W λ (Ω) Ω g 2γ1 L2 (Ω) + γ1 un 2 L2 (Ω) 20 Chú ý un o 1,2 ≥ γ1 un L2 (Ω) , ds + f (un )un dxdt ≤ u0 W λ (Ω) tích phân hai vế từ đến T, ta có T un o 1,2 W λ (Ω) L2 (Ω) + g γ1 L2 (Ω) T QT Do đó, f (un )un dxdt ≤ C (7) QT Bây ta chứng minh {f (un )} bị chặn L1 (QT ) Đặt h(s) = f (s) − f (0) + γs, γ > l ý h(s)s = (f (s) − f (0))s + γs2 = f (c)s2 + γs2 ≥ (γ − l)s2 ≥ 0, |h(un )|dxdt ≤ QT ∀s ∈ R, ta có |h(un )un |dxdt + QT ∩{|un |>1} ≤ |h(un )|dxdt QT ∩{|un |≤1} h(un )un dxdt + sup |h(s)||QT | |s|≤1 QT f (un )un dxdt + |f (0)| un ≤ L1 (QT ) + γ un L2 (QT ) + sup |h(s)||QT | |s|≤1 QT ≤ C Ở ta sử dụng (7) tính bị chặn {un } L∞ (0, T ; L2 (Ω)) Do đó, {h(un )} bị chặn L1 (QT ) Nhớ dun = ∆λ un − f (un ) + g, dt o 1,2 dun } bị chặn L 0, T ; (W λ (Ω))∗ ) + L1 (QT ), ta suy { dt o 1,2 L (0, T ; (W λ (Ω))∗ + L1 (Ω)) o 1,2 Bởi W λ (Ω) ⊂⊂ L2 (Ω) o 1,2 ⊂ (W λ (Ω))∗ + L1 (Ω), sử dụng bổ đề compact Aubin-Lions-Simon (xem[13]), ta thấy {un } compact L2 (0, T ; L2 (Ω)) Khi đó, ta khẳng định rằng, un → u hầu khắp QT Sử dụng Bổ đề 6.1 [16], ta thấy h(u) ∈ L1 (QT ) với 21 o 1,2 hàm thử ξ ∈ C0∞ ([0, T ]; W λ (Ω) ∩ L∞ (Ω)), h(un )ξdxdt → QT h(u)ξdxdt QT Khi đó, f (u) ∈ L1 (QT ) o 1,2 f (un )ξdxdt → QT f (u)ξdxdt, ∀ξ ∈ C0∞ ([0, T ]; W λ (Ω) ∩ L∞ (Ω)) QT Như vậy, u thỏa mãn (6) Sử dụng chứng minh [4], ta có u(0) = u0 từ đó, u nghiệm yếu toán (1) ii) Tính liên tục vào giá trị ban đầu Giả sử u v hai nghiệm yếu toán (1) với giá trị ban đầu u0 ; v0 ∈ L2 (Ω) Đặt w = u − v , ta có    wt − ∆λ w + f (u) − f (v) − lw = 0,   w(0) = u − v , (8) o 1,2 Ở f (u) = f (u) + ls Mà w(t) không thuộc W := W λ (Ω) ∩ L∞ (Ω), ta chọn w(t) hàm thử giống [4] Vì vậy, chứng minh trở nên phức tạp Ta sử dụng số ý tưởng [17] Cho Bk : R → R hàm sau Bk (s) =    k    s > k, s |s| ≤ k,      −k s < −k Xem xét ánh xạ Nemytskii Bk : W → W định nghĩa Bk (w)(x) = Bk (w(x)) , ∀x ∈ Ω 22 Sử dụng bổ đề 2.3 [15], ta có Bk (w) − w W → k → ∞ Ta nhân phương trình (8) với Bk (w), tích phân Ω × (ε, t) , t ∈ (0; T ), ta t t d (w(s)Bk (w)(s))dxds − ds ε w ε Ω d (Bk (w)(s)dxds ds Ω t + |∇λ w|2 dxds {x∈Ω:|w(x,s)|≤k} ε t t (f (u) − f (v))Bk (w)dxds − l + ε wBk dxds = ε Ω Lưu ý ω dtd (Bk (w)) = d 2 dt ((Bk (w)) ), Ω ta có t w(t)Bk (w)(t)dx − Bk (w)(t) 2 L2 (Ω) + |∇λ w|2 dxds {x∈Ω:|w(x,s)|≤k} ε Ω t + f (ξ)wBk (w)dxds ε Ω t w(ε)Bk (w)(ε)dx − Bk (w)(ε) = L2 (Ω) wBk (ω)dxds +l ε Ω Ω Chú ý f (s) ≥ sBk (s) ≥ với s ∈ R, Cho ε → k → ∞ ta có t w(t) L2 (Ω) ≤ w(0) L2 (Ω) + 2l w(s) L2 (Ω) ds Hơn nữa, bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân, ta có w(t) L2 (Ω) ≤ w(0) 2lt L2 (Ω) e ≤ w(0) 2lt L2 (Ω) e , ∀t ∈ [0; T ] Chú ý w ∈ C([0; T ]; L2 (Ω)), ta có suy w(0) = 23 Sau nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu cách chứng minh tồn tập hút toàn cục toán 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục Bởi định lí 2.2.2, ta định nghĩa nửa nhóm liên tục S(t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) với toán (1) sau: S(t)u0 := u(t), u(.) nghiệm yếu (1) với điều kiện ban đầu u0 Ta chứng minh nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A không gian o 1,2 W λ (Ω) Trước hết ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.3.1 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn L2 (Ω) Chứng minh Nhân phương trình thứ (1) với u, ta có 1d u dt L2 (Ω) + u + o 1,2 f (u)udx = (9) gudx W λ (Ω) Ω Ω Sử dụng (3),(5), bất đẳng thức Cauchy, ta thu d u dt L2 (Ω) + (γ1 − µ) u L2 (Ω) ≤ 2C1 |Ω| + g γ1 − µ L2 (Ω) Từ đây, sử dụng bổ để Gronwall, ta có u R1 = R1 (γ1 , µ, |Ω|, g u L2 (Ω) ≤ u0 L2 (Ω) ) L2 (Ω) −(γ1 −µ)t L2 (Ω) e + R1 , Khi đó, ta chọn ρ1 = 2R1 , ta có ≤ ρ1 , ∀t ≥ T1 = T1 ( u0 (10) L2 (Ω) ) Ta có điều phải chứng minh o 1,2 Bổ đề 2.3.2 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn W λ (Ω) 24 Chứng minh Nhân phương trình thứ (1) với −∆λ u tích phân phần, ta có 1d u dt o 1,2 W λ (Ω) L2 (Ω) + ∆λ u f (u)|∇λ u|2 dx − =− Ω g∆λ udx Ω ≤ l u 2o 1,2 + g W λ (Ω) L2 (Ω) + ∆λ u 2 L2 (Ω) Đặc biệt d u dt ≤ 2l u o 1,2 W λ (Ω) + g o 1,2 W λ (Ω) L2 (Ω) (11) Tích phân (9) từ t đến t + dùng (3), ta có t+1 u(s) ds + o 1,2 W λ (Ω) u(t + 1) 2 L2 (Ω) t t+1 ≤(µ + 1) u(s) L2 (Ω) ds + u(t) 2 L2 (Ω) + C1 |Ω| + g L2 (Ω) t ≤ρ2 = ρ2 (γ1 , µ, |Ω|, g với t ≥ T1 = T1 ( u0 (12) L2 (Ω) ), L2 (Ω) ), ta sử dụng bất đẳng thức ước lượng Cauchy (10) Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, từ (11) (12), ta có u o 1,2 ≤ ρ2 , ∀t ≥ T2 = T1 + (13) W λ (Ω) Chứng minh hoàn thành Bổ đề 2.3.3 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn D(∆λ ) Chứng minh Ta đạo hàm (1) theo t, ta có utt − ∆λ ut + f (u)ut = 25 sử dụng (2), ta có 1d ut dt L2 (Ω) ≤ l ut L2 (Ω) , (14) Nhân vế (1) với ut , ta thu d dt u 2 F (u)dx − + o 1,2 = − ut gudx W λ (Ω) Ω L2 (Ω) ≤ (15) Ω Tích phân (9) từ t đến t + sử dụng (10), ta có t+1 u f (u)udx − + o 1,2 gudx ds W λ (Ω) t Ω ≤ u(t) Ω L2 (Ω) ≤ ρ1 , ∀t ≥ T1 Sử dụng bất đẳng thức (4), dẫn đến t+1 u f (u)udx − + o 1,2 gudx ds W λ (Ω) t t+1 ≥ Ω u F (u)dx − + o 1,2 Ω W λ (Ω) t t+1 L2 (Ω) Ω u ≥ l u 2 l gudx ds − ρ1 F (u)dx − W λ (Ω) t gudx ds Ω + o 1,2 − Ω ∀t ≥ T1 Ω Ở ta sử dụng bất đẳng thức (10) Hơn nữa, t+1 u t o 1,2 l gudx ds ≤ (1 + )ρ1 F (u)dx − + W λ (Ω) Ω ∀t ≥ T1 Ω Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, từ (15) (16), ta suy (16) 26 u 2 F (u)dx − + o 1,2 gudx ≤ ρ3 với t ≥ T2 = T1 + (17) W λ (Ω) Ω Ω Tích phân (15) từ t đến t + sử dụng (17), ta có t+1 ut L2 (Ω) ds ≤ ρ3 với t ≥ T2 (18) t Kết hợp (14) (18) sử dụng bất đẳng thức Gronwall nhất, ta có ut L2 (Ω) ≤ ρ3 với t ≥ T3 = T2 + (19) Ta nhân phương trình (1) với −∆λ u, sử dụng (2) bất đẳng thức Cauchy, ta thu ∆λ u L2 (Ω) f (u)|∇λ u|2 dx − ut ∆λ udx − = Ω Ω ≤l u Ω + ut o 1,2 g∆λ udx W λ (Ω) L2 (Ω) + ∆λ u 2 L2 (Ω) + g L2 (Ω) ∆λ u L2 (Ω) Sử dụng bất đẳng thức ( 13) (19), dẫn đến ∆λ u(t) L2 (Ω) ≤ ρ4 với t ≥ T3 Ta có điều phải chứng minh o 1,2 Bổ đề 2.3.4 Phép nhúng D(∆λ ) → W λ (Ω) compact Chứng minh Đầu tiên, với u ∈ D(∆λ ), ta có u o 1,2 |∇λ u|2 dx = − = W λ (Ω) Ω u.∆λ udx ≤ u L2 (Ω) Ω Kế tiếp, ta chứng minh với ε > 0, tồn C(ε) cho (20) 27 u o 1,2 W λ (Ω) ≤ ε ∆λ u L2 (Ω) + C(ε) u L1 (Ω) , (21) o 1,2 với u ∈ D(∆λ ) Thực vậy, ta có W λ (Ω) ⊂⊂ L2 (Ω) ⊂ L1 (Ω), sử dụng bổ đề Ehrling, ta có với η > 0, u L2 (Ω) ≤η u o 1,2 W λ (Ω) + C1 (η) u L1 (Ω) Thay bất đẳng thức vào (20), ta u o 1,2 W λ (Ω) ≤ ∆λ u ≤η u L2 (Ω) o 1,2 W λ (Ω) η u o 1,2 W λ (Ω) + η ∆λ u + C1 (η) u L2 (Ω) L1 (Ω) + C2 (η) u L1 (Ω) , ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi đó, ta có điều (21) ta chọn η thích hợp o 1,2 Bây ta chứng minh ánh xạ nhúng D(∆λ ) → W λ (Ω) compact Cho {un } dãy bị chặn D(∆λ ) Khi tồn dãy {unk } cho unk u D(∆λ ) Sử dụng (21), ta có unk − u o 1,2 W λ (Ω) ≤ ε ∆λ unk − ∆λ u L2 (Ω) + C(ε) unk − u L1 (Ω) o 1,2 Ta có D(∆λ ) ⊂ W λ (Ω) ⊂⊂ L1 (Ω) tính bị chặn {unk − u} D(∆λ ), o 1,2 ta thấy unk → u W λ (Ω) Vậy ta có điều phải chứng minh 28 Kết sau hệ trực tiếp từ Bổ đề 2.3.3 sử dụng tính compact o 1,2 phép nhúng D(∆λ ) → W λ (Ω) Định lý 2.3.5 Với giả thiết (F)-(G), nửa nhóm S(t) toán o 1,2 (1) có tập hút toàn cục A không gian W λ (Ω) 29 Kết luận Trong luận văn này, chương trình bày cách hệ thống lý thuyết tập hút toàn cục sở nghiên cứu tài liệu tham khảo [1] Tiếp theo, Chương 2, theo báo [8] trình bày số kết tồn tại, tính dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu lớp phương trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ 30 Tài liệu tham khảo [1] C.T Anh (2012), Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư Phạm [2] C.T Anh (2014), Global attractor for a semilinear strongly degenerate parabolic equation on RN, Nonlinear Differ Equ Appl 21, 663–678 [3] C.T Anh, P.Q Hung, T.D Ke, T.T Phong (2008), Global attractor for a semilinear parabolic equation involving Grushin operator, Electron J Differ Equ 2008, 32 11 pages [4] C.T Anh, T.D Ke (2009), Existence and continuity of global attractor for a degenerate semilinear parabolic equation, Electron J Differ Equ 2009, 61 13 pages [5] C.T Anh, B.K My (2016), Existence of solutions to λ-Laplace equations without the Ambrosetti– Rabinowitz condition, Complex Var Elliptic Equ 61, 137–150 [6] C.T Anh, L.T Tuyet (2013), On a semilinear strongly degenerate parabolic equation in an unbounded domain, J Math Sci Univ Tokyo 20, 91–113 [7] C.T Anh , L.T Tuyet (2013), Strong solutions to a strongly degenerate semilinear parabolic equation, Vietnam J Math 41, 217–232 [8] D.T Quyet, L.T Thuy, and N.X Tu (2017), Semilinear Strongly Degenerate Parabolic Equations with a New Class of Nonlinearities, Vietnam J Math.DOI 10.1007/s10013-016-0228-5 31 [9] D.T Luyen, N.M Tri (2015), Existence of solutions to boundary-value problems for similinear differential equations, Math Notes 97, 73–84 [10] M.X Thao (2016), On the global attractor for a semilinear strongly degenerate parabolic equation, Acta Math Vietnam 41, 283–297 [11] P.T Thuy, N.M Tri (2012), Nontrivial solutions to boundary value problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations, Nonlinear Differ, Equ Appl 19, 279–298 [12] P.T Thuy, N.M Tri (2013), Long-time behavior of solutions to semilinear parabolic equations involving strongly degenerate elliptic differential operators, Nonlinear Differ, Equ Appl 20, 1213–1224 [13] F Boyer, P Fabrie (2013), Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models Applied Mathematical Sciences, vol 183 Springer, New York [14] G.B Folland (1975), Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups, Ark Mat 13, 161–207 [15] B Franchi, E Lanconelli (1984), Une metrique associ’ee une classe d’op’erateurs elliptiques d’eg’ en’er’es In:’ Conference on Linear Partial and Pseudodifferential Operators (Torino, 1982), Rend Sem Mat Univ Politec Torino 1983, Special Issue, 105–114 [16] P.G Geredeli (2015), On the existence of regular global attractor for p-Laplacian evolution equation, Appl Math Optim 71, 517–532 [17] P.G Geredeli, A Khanmamedov (2013), Long-time dynamics of the parabolic p-Laplacian equation, Commun Pure Appl Anal 12, 735–754 [18] A.E Kogoj, E Lanconelli (2012), On semilinear λ-Laplace equation, Nonlinear Anal TMA 75, 4637–4649 [19] A.E Kogoj, S Sonner (2013), Attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations, J Evol Equ 13, 675–691 32 [20] A.E Kogoj, S Sonner (2014), Attractors met X-elliptic operators, J Math Anal Appl 420, 407–434 [21] D Li, C Sun (2016), Attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations with critical exponent, J Evol Equ doi:10.1007/s00028-016-0329-3 [22] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems Cambridge University Press, Cambridge ... chương này, trình bày lí thuyết tập hút toàn cục, công cụ sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán xét chương Chương 2: Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình Parabolic suy biến Trong... hút A = {0} 14 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình Parabolic suy biến Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [8], xét lớp phương trình Parabolic suy biến với hạng tử phi tuyến... 10 1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận tập hút toàn cục 10 1.5 Các ví dụ 11 Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình Parabolic suy biến 14 2.1 Đặt toán