BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊ LAN HƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM MẠNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊ LAN HƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM MẠNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO TRỌNG QUYẾT HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đào Trọng Quyết, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy phòng Sau đại học, thầy giáo dạy lớp thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Ngô Thị Lan Hương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Đào Trọng Quyết, luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài "Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh lớp phương trình Parabolic suy biến" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Ngô Thị Lan Hương Mục lục MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Sự tồn tập hút toàn cục Tập hút toàn cục lớp phương trình Parabolic suy biến 10 2.1 Đặt toán 10 2.2 Sự tồn tính nghiệm mạnh 11 2.3 Tính liên tục nghiệm mạnh 18 2.4 Tập hút toàn cục nghiệm mạnh 23 KẾT LUẬN 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi nghiên cứu hệ động lực vô hạn chiều sinh phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình vi phân hàm, vấn đề đặt nghiên cứu tồn nghiệm tốn (nghiệm nghiệm mạnh nghiệm yếu) Sau nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Một cách tiếp cận toán hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều nghiên cứu tồn tập hút tồn cục Đó tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét Trong năm qua, tồn tập hút toàn cục nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến dựa kết tổng quát lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều, xem tham khảo [1] Bên cạnh đó, lớp phương trình Parabolic suy biến toán thời nhiều nhà tốn học nước ngồi nước nghiên cứu chẳng hạn xem [2], [5] Có thể kể đến lớp toán tử suy biến kiểu Grushin Gα u = x u + |x|2α y u, α ≥ 0, giới thiệu lần đầu [10] Tiếp theo, Thuy Tri [8] xét tốn tử suy biến có dạng Pα,β u = x u + y u + |x|2α |y|2β z u; α, β > Trong luận văn này, theo tài liệu tham khảo [2] C.T.Anh L.T.Tuyet, chúng tơi trình bày tồn tại, nghiệm mạnh dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh cho lớp phương trình với tốn tử suy biến Pα,β Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm tập hút tồn cục Thiết lập kết tổng quát tồn tập hút toàn cục hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều Chương 2: Tập hút tồn cục lớp phương trình Parabolic suy biến Áp dụng kết tổng quát Chương để nghiên cứu tồn tập hút tồn cục nửa nhóm sinh lớp phương trình Parabolic suy biến sau chứng minh tồn tại, nghiệm mạnh tốn Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu tồn tại, nghiệm mạnh lớp phương trình Parabolic suy biến • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh thông qua chứng minh tồn tập hút tồn cục nửa nhóm sinh tốn Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu tồn tại, tính nghiệm mạnh lớp phương trình Parabolic suy biến • Chứng minh tồn tập hút tồn cục nửa nhóm sinh toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm mạnh tập hút tồn cục • Phạm vi nghiên cứu: Nghiệm mạnh tập hút toàn cục lớp phương trình Parabolic suy biến Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tồn nghiệm: phương pháp Galerkin • Nghiên cứu tồn tập hút toàn cục: phương pháp lí thuyết hệ động lực Dự kiến đóng góp luận văn Thiết lập kết tồn tập hút toàn cục Áp dụng kết tổng quát để xét tồn tập hút toàn cục lớp phương trình Parabolic suy biến Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], chúng tơi trình bày lý thuyết tập hút tồn cục, cơng cụ sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic suy biến xét chương 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Khái niệm hệ động lực Định nghĩa 1.1.1 Hệ động lực cặp (X, S(t)) gồm không gian metric đủ X họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn: a) S(0) = I ; b) S(t + s) = S(t).S(s) với t, s ≥ 0; c) với t ≥ 0, S(t) ∈ C (X, X); d) với u ∈ X, t → S(t)u ∈ C ((0; +∞), X) Họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi nửa nhóm liên tục X Khi X gọi khơng gian pha (hay khơng gian trạng thái) Nếu khái niệm số chiều định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính) giá trị dim X gọi số chiều hệ động lực 1.1.2 Quỹ đạo tập bất biến Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (X, S(t)) hệ động lực a) Quỹ đạo dương x ∈ X tập hợp γ + (x) = {S(t)x | t ≥ 0} Nếu E ⊂ X , quỹ đạo dương E tập hợp γ + (E) = t≥0 S(t)E = z∈E γ + (z) Tổng quát hơn, với τ ≥ 0, ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ E γτ+ (E) = γ + (S(τ )E) b) Quỹ đạo S(t) khoảng I ⊂ R ánh xạ u : I → X thỏa mãn u(t+s) = S(t)u(s), với s ∈ I, t ≥ cho t + s ∈ I Đặc biệt, I = (−∞, 0] u(0) = z ∈ X , u gọi quỹ đạo âm xuyên qua z kí hiệu γ − (z) Nếu I = R u(0) = z , u gọi quỹ đạo đầy đủ xuyên qua z kí hiệu γ(z) c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈ R} gọi quỹ đạo tuần hồn có số τ > cho: u(t + τ ) = u(t), ∀t ∈ R d) Phần tử u0 ∈ X gọi điểm cân (điểm dừng, điểm cố định) hệ động lực (X, S(t)) S(t)u0 = u0 , với t ≥ Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (X, S(t)) hệ động lực Tập Y không gian pha X gọi a) bất biến dương S(t)Y ⊂ Y với t ≥ 0; b) bất biến âm S(t)Y ⊃ Y với t ≥ 0; c) bất biến vừa bất biến dương vừa bất biến âm, tức S(t)Y = Y với t ≥ 17 Hơn nữa, lấy qua giới hạn (5) ta có du − Pα,β u + f (u) = g L2 (0, T ; L2 (Ω)) dt du Vì u ∈ L2 (0, T ; S02 (Ω)), ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)) S02 (Ω) dt S0 (Ω) ⊂ L (Ω), theo Định lí 1.8 ([6], trang 33), ta có u ∈ C ([0, T ]; S01 (Ω)) Bây ta chứng minh u(0) = u0 Chọn hàm thử φ ∈ C ([0, T ]; S01 (Ω)∩Lp (Ω) với φ(T ) = 0, ta có T T du ( , φ)dt + dt (∇x u∇x φ + ∇y u∇y φ + |x|2α |y|2β ∇z u∇z φ)dXdt Ω T T (f (u), φ)dt = + (g, φ)dt 0 Lấy tích phân phần theo biến thời gian, ta có T T (∇x u∇x φ + ∇y u∇φ + |x|2α |y|2β ∇z u∇z φ)dXdt −(u, φ ) + 0 Ω T T (f (u), φ)dt = + (g, φ)dt + (u(0), φ(0)) Làm tương tự trường xấp xỉ Galerkin T T (∇x un ∇x φ + ∇y un ∇φ + |x|2α |y|2β ∇z un ∇z φ)dXdt −(un , φ ) + 0 Ω T + T (f (un ), φ)dt = (g, φ)dt + (un (0), φ(0)) Cho n → ∞ bất đẳng thức cuối ta có 18 T T (∇x u∇x φ + ∇y u∇φ + |x|2α |y|2β ∇z u∇z φ)dXdt −(u, φ ) + 0 Ω T T (g, φ)dt + (u0 , φ(0)) (f (u), φ)dt = + 0 un (0) = Pn u0 → u0 (trong L2 (Ω)) n → ∞ Vậy u(0) = u0 (ii) Tính nhất: Cho u, v hai nghiệm toán (1) với giá trị ban đầu u0 , v0 Xét w = u − vthỏa mãn  dw − Pα,β w + f (u) − f (v) = 0, dt w(0) = u + v 0 Do 1d w dt + w S01 (Ω) + (f (u) − f (v))(u − v)dX = Ω Sử dụng (3) ta có: d w + w 2S01 (Ω) ≤ 2C3 w dt d ⇒ w ≤ 2C3 w dt Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có w(t) ≤ w(0) e2C3 t Ta có điều phải chứng minh 2.3 Tính liên tục nghiệm mạnh Trước tiên, tương tự lập luận sử dụng Định lí 2.2.3 để có ước lượng nghiệm xấp xỉ un , ta có kết sau Bổ đề 2.3.1 Với giả thiết (F)-(G), với T > 0, 19 nghiệm u(X, t) toán (1) thỏa mãn T sup u(t) ≤ N, 0≤t≤T u(t) S01 (Ω) dt ≤ N, T |u(X, t)|p dXdt ≤ N, sup u(t) 0≤t≤T ≤ N, Ω T T du (X, t) dXdt ≤ N, dt |Pα,β u(X, t)| dXdt ≤ N, S01 (Ω) Ω Ω N số dương, N = N (Ω, g, f, T, R), R số cho u(0) S01 (Ω)∩Lp (Ω) ≤ R Bổ đề 2.3.2 Với giả thiết (F)-(G), với T > 0, nghiệm u(X, t) toán (1) thỏa mãn T |u(X, t)|2p−2 dXdt ≤ N, Ω N số dương, N = N (Ω, g, f, T, R), R số cho u0 S01 (Ω)∩Lp (Ω) ≤ R Chứng minh Nhân (1) với |u|p−2 u lấy tích phân Ω ta có 1d |u|p dX + f (u)|u|p−2 udX p dt Ω Ω Pα,β u|u|p−2 udX + = Ω g|u|p−2 udX Ω (8) 20 Sử dụng (2) bất đẳng thức Young, ta có: f (u)|u|p−2 udX ≥ C1 Ω |u|2p−2 dX − C0 Ω C1 ≥ |u|p−2 dX Ω |u|2p−2 dX − C Ω Mặt khác, Pα,β u|u|p−2 udX + Ω g|u|p−2 udX Ω |Pα,β u||u|p−1 dX + ≤ |g||u|p−1 udX Ω ≤ Ω C1 |u|2p−2 dX + C Ω |Pα,β u|2 dX + C Ω Từ (8)-(10) suy ra: d p C1 |u|p dX + dt Ω |g|2 dX (10) Ω |u|2p−2 dX ≤ C + C Ω |Pα,β u|2 dX Ω Lấy tích phân từ đến T ta có: T p C1 |u(T )|p dX + |u|2p−2 dXdt Ω Ω T |u0 |p dX + CT + C ≤ |Pα,β u|2 dXdt Ω ω Sử dụng Bổ đề 2.3.2 ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.3.3 Với giả thiết (F)-(G), với T > 0, nghiệm u(X, t) toán (1) thỏa mãn sup 0≤t≤T t du ≤ N, dt N số dương, N = N (Ω, g, f, T, R), R số 21 cho uo S01 (Ω)∩Lp (Ω) ≤ R Chứng minh Lấy đạo hàm (1) theo thời gian kí hiệu v = ut ta có dv − Pα,β v + f (u)v = (11) dt Nhân (11) với ν lấy tích phân Ω ta có 1d v = v 2S01 (Ω) = − f (u)v ≤ C3 v (12) dt Ω Nhân (12) với t2 ta có t2 d v dt ≤ 2C3 t2 v Do vậy, d tv dt ≤ 2t v + 2C3 t2 v ≤ c v , với t ∈ [0, T ] Lấy tích phân từ đến t, t ∈ [0, T ] ta có: t t d tv dt ≤ t c v du dXdt, với t ∈ [0, T ] dt ≤c 0 Ω Do sup 0≤t≤T t du ≤ N, dt với N số dương, N = N (Ω, g, f, T, R) Bổ đề 2.3.4 Với giả thiết (F)-(G), với T > 0, nghiệm u(X, t) toán (1) thỏa mãn tPα,β u ≤ N với t ∈ [0, T ], 22 N số dương, N = N (Ω, g, f, T, R), R số cho uo S01 (Ω)∩Lp (Ω) ≤ R Chứng minh Nhân (1) với −t2 Pα,β u lấy tích phân Ω ta có du tPα,β u = t tPα,β udX + t2 f (u)Pα,β u dX − tg t Pα,β udX dt Ω Ω Ω (13) Hơn t2 f (u)Pα,β udX = −t2 Ω ≤ C3 t f (u)(|∇x u|2 + |∇y u|2 + |x|2α |y|2β |∇z u|2 )dX Ω u S01 (Ω) ≤ c với t ∈ [0, T ], (14) t du t Pα,β u dX − dt t g t Pα,β u dX Ω Ω ≤ t du t Pα,β udX + dt Ω Ω tPα,β u ≤ tPα,β u Từ (13)-(15) ta có ≤ tg t Pα,β udX du dt du + t dt 2 + t + tPα,β u + tg 2 + tg (15) tPα,β u ≤ N với t ∈ [0, T ] N số dương, N = N (Ω, g, f, T, R) Định lý 2.3.5 Với giả thiết (F)-(G) un,0 , u0 ∈ S01 (Ω) ∩ Lp (Ω) Nếu un,0 bị chặn Lp (Ω) un,0 → u0 S01 (Ω) un (t) → u(t) S01 (Ω) với t ≥ 0, un (t) u(t) 23 nghiệm mạnh toán (1) với điều kiện ban đầu un,0 , u0 tương ứng Chứng minh Giả sử {un,0 } bị chặn Lp (Ω) un,0 → u0 S01 (Ω) Khi đó, có số dương R cho un,0 S01 (Ω) + un,0 Lp (Ω) , ∀n = 1, 2, · · · Từ (5) ta có: tPα,β un (t) ≤ N, ∀n = 1, 2, · · · Vì ánh xạ u0 → u(t) liên tục L2 (Ω), ta có un (t) → u(t) L2 (Ω) hay un (t) − u(t) → n → ∞ (16) Sử dụng biểu thức sau bổ đề 2.2.2 ta có w ta có un (t) − u(t) S01 (Ω) ≤ w 1/2 S01 (Ω) w 1/2 , 1/2 S01 (Ω) ≤ un (t) − u(t) S (Ω) un (t) − u(t) 1/2 1/2 ≤ √ tun (t) − tu(t) S (Ω) un (t) − u(t) 1/2 t ≤ √ un (t) − u(t) 1/2 (17) t Từ (16)-(17) suy un (t) − u(t) S01 (Ω) → 0, n → ∞, ∀t ∈ [0, T ] Trường hợp t = ta có un,0 → u0 Vì thế, un (t) → u(t) S01 (Ω) với t ∈ [0, T ], hay nghiệm mạnh toán(1) phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu S01 (Ω) 2.4 Tập hút toàn cục nghiệm mạnh Trong phần ta giả sử số mũ p giả thiết (F) đảm bảo 2N S01 (Ω) → Lp (Ω), cụ thể ≤ p ≤ Nα,βα,β −2 Nα,β = N1 + N2 + (α + β + 1)N3 24 Khi ta xây dựng nửa nhóm liên tục S(t) : S01 (Ω) → S01 (Ω) xác định nghiệm mạnh toán (1) sau: S(t)u0 = u(t), u(t) nghiệm mạnh tốn (1) với điều kiện ban đầu u0 Ta chứng minh tồn tập hấp thụ tồn cục compact cho nửa nhóm S(t) S01 (Ω) Trước tiên ta chứng minh tồn tập hấp thụ S01 (Ω) Bổ đề 2.4.1 Với giả thiết (F)-(G), đó, nửa nhóm S(t) có tập hấp thụ S01 (Ω), hay tồn số dương ρ2 cho u(t) S01 (Ω) ≤ ρ2 , ∀t ≥ t2 ( uo S01 (Ω) ), u(t) = S(t)u0 Chứng minh Từ (1) ta có 1d u + u 2S01 (Ω) + dt f (u)udX = Ω Sử dụng (2) bất đẳng thức Cauchy ta có d g u + u 2S01 (Ω) + 2C1 |u|p dX ≤ dt λ1 Nhờ bất đẳng thức u Ω S01 (Ω) ≥ gudX Ω + 2C0 |Ω| λ1 u , ta có d u(t) ≤ −λ1 u(t) + g + 2C0 |Ω| dt λ1 Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có 2C0 |Ω| g 2 −λ1 t u(t) ≤ e u0 + + (1 − e−λ1 t ) λ1 λ1 2C0 |Ω| g ≤ e−λ1 t u0 2S01 (Ω) + + λ1 λ1 λ1 u0 S (Ω) Chọn t1 ( u0 2S (Ω) ) = ln , λ1 2C0 |Ω|+ λg 21 (18) 25 ∀t ≥ t1 ( u0 S01 (Ω) ) ta có g 2C0 |Ω| + λ1 λ1 Lấy tích phân (18) từ t đến t + 1, ta có u(t) ≤ ρ21 , ρ21 = (19) t+1 u(t + 1) u(s) + S01 (Ω) ds ≤ t g λ1 + 2C0 |Ω| + u(t) Sử dụng (19) ta có: t+1 u(s) S01 (Ω) ds ≤ t g λ1 + 2C0 |Ω| + ρ21 , ∀t ≥ t1 ( u0 S01 (Ω) (20) Mặt khác, nhân (1) với −Pα,β u lấy tích phân Ω ta có 1d u 2S01 (Ω) + Pα,β u − f (u)Pα,β udX = − gPα,β udX dt Ω Ω Lấy tích phân phần ta có: 1d u 2S01 (Ω) + Pα,β u + dt f (u) u S01 (Ω) dX Ω =− gPα,β udX Ω Sử dụng (3) bất đẳng thức Cauchy ta có: d u dt S01 (Ω) ≤ 2C3 u S01 (Ω) + g 2 Theo bất đẳng thức Gronwall đều, từ điều (20) ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.4.2 Với giả thiết (F)-(G), tồn số dương ρ3 cho du (t) ≤ ρ3 với ∀t ≥ t0 ( u0 S01 (Ω) ), u(t) = S(t)u0 dt 26 Chứng minh Từ (18) ý C4 (|s|p − 1) ≤ F (s) ≤ C5 (|s|p + 1), ta có:   d u dt + c u S01 (Ω) F (u)dX  ≤ C + (21) Ω Lấy tích phân (21) từ t đến t + ta có:  t+1 u(t + 1)  u +c ≤ t ρ1 + F (u)dX  ds ≤ u(t) + +C Ω ∀t ≥ t1 ( u0 C, Vì thế,  t+1  u S01 (Ω)  S01 (Ω) )  S01 (Ω) t F (u)dX  ds ≤ ρ, + ∀t ≥ t1 ( u0 S01 (Ω) ) Ω du lấy tích phân Ω ta có: dt du du du du − Pα,β u dX + f (u) dX = g dX dt dt dt dt Ω Ω Ω   du d ⇒ +  u 2S01 (Ω) + F (u)dX  ≤ g (22) dt dt Ω   d ⇒  u 2S01 (Ω) + F (u)dX  ≤ g dt Nhân (1) với Ω Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có: u 2S01 (Ω) + F (u)dX ≤ ρ + g , ∀t ≥ t1 ( u0 Ω S01 (Ω) ) + 27 Sử dụng (4) suy ra: S01 (ω) u |u|p dX − C4 |Ω| ≤ C, + C4 ∀t ≥ t2 ( u0 S01 (Ω) ) Ω = t1 ( u0 S01 (Ω) ) + Do |u|p dX ≤ C, ∀t ≥ t2 ( u0 S01 (Ω) ) Ω Hơn nữa, lấy tích phân (22) từ t đến t + ta có: t+1 du dt 2 S01 (Ω) ds + u(t + 1) +2 t F (u(t + 1))dX Ω ≤ u(t) S01 (Ω) F (u(t))dX + g +2 Ω Sử dụng (4) lần ta có: t+1 du dt |u(t + 1)|p dX ds + 2C4 t Ω ≤ C|Ω| + 2ρ22 + 2C5 |u(t)|p dX + g , Ω với ∀t ≥ t2 ( u0 Do vậy, t+1 du dt S01 (Ω) ) d du ds ≤ ρ2 (12) ta có dt dt ≤ 2C3 du dt t Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.4.3 Với giả thiết (F)-(G), S(t) có tập hấp thụ S02 (Ω) hay có số dương ρ0 cho: u(t) S02 (Ω) ≤ ρ0 , ∀t ≥ t0 , u(t) = S(t)u0 28 Chứng minh Nhân (1) với −Pα,β u lấy tích phân Ω ta có du Pα,β u = Pα,β udX + f (u).Pα,β udX − g.Pα,β udX dt Ω Ω Ω Sử dụng bất đẳng thức Cauchy lấy tích phân phần ta có: du (t) + 2C3 u(t) 2S01 (Ω) + g Pα,β u(t) ≤ dt ≤ 2ρ23 + 2C3 ρ22 + g = ρ20 , với t ≥ t0 ( u0 S01 (Ω) ) = t2 (( u0 S01 (Ω) ) + 1, ta sử dụng Bổ đề 2.4.1, 2.4.2 Do vậy, B = BS02 (Ω) (0, ρ0 ) tập hấp thụ S(t) S02 (Ω) Định lí sau tồn tập hút toàn cục toán (1) Định lý 2.4.4 Với giả thiết (F)-(G) ≤ p ≤ 2Nα,β Nα,β −2 Khi nửa nhóm S(t) sinh tốn (1) có tập hút tồn cục compact liên thơng S01 (Ω) Chứng minh Vì S01 (Ω) liên thơng S(t) có hấp thụ S02 (Ω), tập compact S01 (Ω), phép nhúng S02 (Ω) → S01 (Ω) compact, nên ta có điều phải chứng minh 29 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chương chúng tơi trình bày cách hệ thống lý thuyết tập hút toàn cục sở nghiên cứu tài liệu tham khảo [1] Tiếp theo, chương 2, theo báo [2], chúng tơi trình bày kết tồn tại, tính nghiệm mạnh lớp phương trình Parabolic suy biến dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh thông qua chứng minh tồn tập hút toàn cục Do lực nghiên cứu trình độ thân tác giả hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện nhiều 30 Tài liệu tham khảo [1] C.T.Anh, Cơ sở lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội, 2012 [2] C.T.Anh, L.T Tuyet: Strong solutions to a strongly segenerate semilinear parabolic squation Viet J Math (2013) 41: 217-232 [3] C.T.Anh: Pullback attractors for non-autonomous parabolic equations involving Grushin operators Electron J Differ Equ 2010 (11), 1–14 (2010) [4] C.T.Anh, T.D.Ke: Existence and continuity of global attractor for a semilinear degenerate parabolic equation Electron J Differ Equ 2009 (61), 1–13 (2009) [5] C.T.Anh, L.T.Tuyet: On a semilinear strongly degenerate parabolic equation in unbounded domains J Math Sci Univ Tokyo Vol 20, 91-113, (2013) [6] Chepyzhov, V.V., Vishik, M.I.: Attractors for Equations of Mathematical Physics Am Math Soc Colloq Publ., vol 49 Am Math Soc., Providence (2002) [7] Lions, J.-L.: Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires Dunod, Paris (1969) [8] P.T.Thuy, N.M.Tri: Nontrivial solutions to boundary value problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations Nonlinear Differ Equ Appl 19, 279–298 (2012) [9] P.T.Thuy, N.M.Tri: Long-time behavior of solutions to semilinear parabolic equations involving strongly degenerate elliptic differential operators Nonlinear Differ Equ Appl (2012) Vol 20, 1213 - 1224, (2013) 31 [10] V.V, Grushin: A certain class of elliptic pseudo differential operators that are degenerated on a submanifold Sb Math 84, 163–195 (1971) English transl Math USSR Sb 13, 155–185 (1971) ... toàn cục lớp phương trình Parabolic suy biến Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [2], chúng tơi trình bày tồn nghiệm mạnh dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh lớp phương trình Parabolic suy biến. .. sinh lớp phương trình Parabolic suy biến sau chứng minh tồn tại, nghiệm mạnh tốn Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu tồn tại, nghiệm mạnh lớp phương trình Parabolic suy biến • Nghiên cứu dáng điệu tiệm. .. liệu tham khảo [2] C.T.Anh L.T.Tuyet, chúng tơi trình bày tồn tại, nghiệm mạnh dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh cho lớp phương trình với tốn tử suy biến Pα,β Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận