BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ HOA PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP DIRICHLET - NEUMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ HOA PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP DIRICHLET - NEUMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Anh HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, nơi mà tác giả hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình tâm huyết Thầy, Cô Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, người Thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn, người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả luận văn Phạm Thị Hoa LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả luận văn Phạm Thị Hoa Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.2 Không gian phần tử hữu hạn 10 1.3 Một số bất đẳng thức 11 Xấp xỉ Galerkin phương trình Parabolic tuyến tính với điều kiện biên Dirichlet - Neumann 13 2.1 Phát biểu toán 13 2.2 Một số đánh giá tiên nghiệm 17 2.3 Sự hội tụ nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc 21 2.4 Sự hội tụ nghiệm θ - xấp xỉ 27 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình vi phân cung cấp sở nhiều mô hình toán học cho ứng dụng thực tế sống Những tình thực tế dẫn đến nghiên cứu toán biên phương trình đạo hàm riêng dừng phụ thuộc vào thời gian với điều kiện biên khác Một phương pháp tiếp cận quan trọng bậc phương diện lí thuyết ứng dụng toán phương pháp giải số Trong khuôn khổ đề tài luận văn quan tâm phương pháp xấp xỉ Galerkin cho toán biên ban đầu phương trình parabolic với điều kiện biên biên hỗn hợp Dirichlet – Neumann Bởi vậy, hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh, chọn đề tài: "Phương pháp xấp xỉ Galerkin phương trình Parabolic với điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet - Neumann" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải được, hội tụ ước lượng sai số dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc toán Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu tính giải toán không gian Sobolev • Nghiên cứu đánh giá tiên nghiệm, hội tụ ước lượng sai số dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán biên ban đầu phương trình parabolic với điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet – Neumann miền bị chặn Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: Hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp, tính chất phương trình đạo hàm riêng, không gian Sobolev số bất đẳng thức • Phương pháp xấp xỉ Galerkin Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev Cho Ω miền Rn ∞ C ∞ (Ω) = {u : Ω → R khả vi vô hạn } = ∩ C k (Ω) k=0 Cc∞ (Ω) ký hiệu hàm C ∞ (Ω) với giá compact Lp (Ω) = {u : Ω → R |u đo Lebesgue, u Lp (Ω) < ∞}, 1/p u Lp (Ω) |u|p dx = (p ≥ 1) Ω L1loc (Ω) = {u : Ω → R |u ∈ L1 (Ω ), ∀Ω ⊂⊂ Ω} Cho trước đa số α, ký hiệu: Dα u(x) = ∂ |α| u(x) α1 αn α1 αn = ∂x1 ∂xn u ∂x1 ∂xn Không gian Sobolev lớp không gian dùng nhiều trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Để đến định nghĩa lớp không gian này, trước tiên phải tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" Giả sử u hàm khả vi Khi với "hàm thử" φ ∈ Cc∞ (Ω), sử dụng công thức tích phân phần ta thu đẳng thức sau du φ dx = − dxj u dφ dx dxj Ω Ω Lặp lại trình |α| lần, tương tự ta có Dα uφ dx = (−1)|α| Ω uDα φ dx Ω với đa số α Chúng ta có định nghĩa đạo hàm yếu sau: Định nghĩa 1.1 Với hàm u ∈ L1loc (Ω), ta nói v đạo hàm yếu u ứng với biến xj , ký hiệu v = Dj u, v ∈ L1loc (Ω) vφ dx = − Ω u ∂φ dx ∂xj Ω với φ ∈ Cc∞ (Ω) Bằng cách quy nạp, định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao sau: Định nghĩa 1.2 Nếu u, v ∈ L1loc (Ω) v gọi đạo hàm yếu cấp α u, viết v = Dα u, vφ dx = (−1)|α| Ω uDα φ dx Ω với φ ∈ Cc∞ (Ω) Dựa vào tính chất khả tích đạo hàm yếu, ta đưa định nghĩa không gian Sobolev Định nghĩa 1.3 Không gian Sobolev định nghĩa W k,p (Ω) = u : Dα u ∈ Lp (Ω), với ≤ |α| ≤ k , với chuẩn u W k,p =   Dα u p Lp 1/p    0≤|α|≤k Không gian Sobolev W k,p (Ω) định nghĩa không gian Banach khả ly Tương tự không gian L2 (Ω), không gian Sobolev W k,p (Ω), trường hợp p = dùng nhiều nghiên cứu Vì lý đó, sau nghiên cứu chủ yếu không gian W k,2 (Ω) sở L2 (Ω) Vì không gian đặc biệt dùng thường xuyên không gian Sobolev khác nên có ký hiệu riêng W k,2 (Ω) = H k (Ω) Người ta chọn ký hiệu H k (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng trang bị sau Dα uDα vdx, < u, v >H k = 0≤|α|≤k Ω đó, chuẩn H k (Ω) tương ứng với tích vô hướng xác định sau 1/2  u Hk = |Dα u|2 dx  0≤|α|≤k Ω Chúng giới thiệu nửa chuẩn  1/2 |Dα u|2 dx |u|H k (Ω) =  |α|=k Ω ∞ Định nghĩa 1.4 Ta kí hiệu Wk,p (Ω) bao đóng Cc (Ω) Wk,p (Ω) ∞ Do đó, u ∈ Wk,p (Ω) tồn hàm um ∈ Cc (Ω) cho um → u Wk,p (Ω) r h u(t), theo Định lí 1.1 ta chọn vh ∈ Vh cho vh = h u − vh + u − vh H (Ω) L2 (Ω) ta có ≤ C2 hr+1 |u|H r+1 (Ω) Do đó, vế phải bất đẳng thức (2.22) bị chặn sau t M2 E1 = α t H (Ω) ds u(s) − vh ≤ C1 h2r t ∂(u − vh ) (s) ∂t E2 = |u(s)|2H r+1 (Ω) ds, t ∂u (s) ∂t 2r ds ≤ C2 h L2 (Ω) E3 = (u − vh )(t) L2 (Ω) 2r ≤ C3 h E4 = (u − uh )(0) L2 (Ω) + (u − uh )(0) ds, H r (Ω) |u|2H r (Ω) , L2 (Ω) (u − vh )(0) L2 (Ω) ≤ C4 h2r |u(0)|2H r (Ω) Hệ là, E1 + E2 + E3 + E4 ≤ Ch2r N (u), t N (u) = t |u(s)|2H r+1 (Ω) ds + ∂u 2 ∂t (s) H r (Ω) ds + |u|H r (Ω) + |u(0)|H r (Ω) hàm thích hợp phụ thuộc vào u ∂u Theo cách ta ∂t bất đẳng thức t (u − uh )(t) 2 L2 (Ω) (u − uh )(s) +α H (Ω) ds t ≤ Ch2r N (u) + (u − uh )(s) L2 (Ω) ds Sau áp dụng bổ đề Gronwall ta ước lượng sai số tiên nghiệm ∀t > t u(t) − uh (t) L2 (Ω) u(s) − uh (s) + 2α 24 H (Ω) ds ≤ Ch2r N (u)et (2.23) Định lí chứng minh Định lí sau với cách chứng minh không sử dụng bất đẳng thức Gronwall nhận đánh giá sai số tương tự định lí bỏ nhân tử et bên vế phải: Định lý 2.4 Giả sử u ∈ L2 (R+ ; V ) ∩ C (R+ ; L2 (Ω)) nghiệm yếu toán (2.1) - (2.4) Giả thiết thêm u(t) ∈ H r+1 (Ω) với t ∈ R+ với r số nguyên, r ≥ Khi có đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ Galerkin sau đây: t u(t) − uh (t) L2 (Ω) ∇u(s) − ∇uh (s) +α   2r ≤ Ch |u0 |2H r (Ω) +  t L2 (Ω) ds t |u(s)|2H r+1 (Ω) ds ∂u(s) ∂t + ds H r+1 (Ω)    Chứng minh Nếu ta trừ (2.6) từ (2.5) đặt Eh = u − uh , ta có ∂Eh , vh + a (Eh , vh ) = 0, (∀vh ∈ Vh , ∀t > 0) ∂t Ta xác định toán tử chiếu trực giao r 1,h r 1,h w : V → Vh : ∀w ∈ V, a − w, vh = ∀vh ∈ Vh (2.24) Sử dụng kết có tài liệu [7, tr.50-51] ta chứng minh tồn số C > 0, ∀w ∈ V ∩ H r+1 (Ω), r 1,h w −w H (Ω) + h−1 r 1,h w −w L2 (Ω) ≤ Chp |w|H p+1 (Ω) ≤ p ≤ r (2.25) ta đặt E h = σh + e h = u − r 1,h u 25 + r 1,h u − uh (2.26) Chú ý sai số phép chiếu trực giao σh bị chặn theo bất đẳng thức (2.25) eh phần tử không gian Vh Khi ∂eh ∂σh , vh + a (eh , vh ) = − , vh − a (σh , vh ) ∂t ∂t ∀vh ∈ Vh , ∀t > Nếu ta lấy t > 0, vh = eh (t), thực thực mục 2.2 để đánh giá tiên nghiệm nghiệm bán rời rạc uh , ta 1d eh (t) dt L2 (Ω) L2 (Ω) + α ∇eh (t) (2.27) ∂ σh (t), eh (t) ∂t ≤ |a (σh (t), eh (t)) | + Sử dụng tính liên tục dạng song tuyến tính a(·, ·) (M số liên tục) bất đẳng thức Young ta có |a (σh (t), eh (t)) | ≤ α ∇eh (t) L2 (Ω) + M2 ∇σh (t) α L2 (Ω) Sử dụng bất đẳng thức Poincaré bất đẳng thức Young lần ta ∂ σh (t), eh (t) ∂t ≤ ∂ σh (t) ∂t α ≤ ∇eh (t) CΩ ∇eh (t) L2 (Ω) L2 (Ω) L2 (Ω) C2 ∂ + Ω σh (t) α ∂t L2 (Ω) Sử dụng giới hạn (2.27), sau lấy tích phân ta t eh (t) L2 (Ω) ∇eh (t) +α L2 (Ω) ds t 2M 2 ≤ eh (0) L2 (Ω) + α ∇σh (s) L2 (Ω) ds t 2CΩ2 + α ∂ σh (s) ∂t ds (t > 0) L2 (Ω) 26 Ta sử dụng (2.25) để giới hạn sai số vế phải: ∇σh (t) L2 (Ω) ∂ σh (t) ∂t ≤ Chr |u(t)|H r+1 (Ω) , = L2 (Ω) ∂u − ∂t Cuối cùng, ý eh (0) r ∂u 1,h ∂t L2 (Ω) ≤ Chr (t) L2 (Ω) ∂u(t) ∂t H r+1 (Ω) ≤ Chr |u0 |H r (Ω) , sử dụng (2.25) · , Khi với chuẩn u − uh ≤ σh + eh Sử dụng đánh giá trước ta kết luận tồn số C > độc lập với t h t u(t) − uh (t) L2 (Ω) ∇u(s) − ∇uh (s) +α   2r |u0 |2H r (Ω) + ≤ Ch  t L2 (Ω) ds t |u(s)|2H r+1 (Ω) ds ∂u(s) ∂t + ds H r+1 (Ω)    Bất đẳng thức sai số có dạng tương tự (2.23), nhiên dự đoán, vế phải không bao gồm hàm mũ et Định lí chứng minh 2.4 Sự hội tụ nghiệm θ - xấp xỉ • Trước tiên phân tích tính ổn định phương pháp θ Áp dụng phương pháp θ toán Galerkin (2.6) ta có uk+1 − ukh h , vh + a θuk+1 + (1 − θ)ukh , vh h ∆t = θF k+1 (vh ) + (1 − θ)F k (vh ), (2.28) ∀vh ∈ Vh với k ≥ 0, với u0h = u0h ; F k giá trị phiếm hàm thời điểm tk 27 Chúng trước hết xét trường hợp F = xét trường hợp phương pháp Euler lùi θ = , − ukh uk+1 h , vh + a uk+1 h , vh = ∀vh ∈ Vh ∆t Chọn vh = uk+1 h , ta có k+1 k+1 uk+1 + ∆t.a uk+1 = ukh , uk+1 h , uh h , uh h Bằng cách khai thác bất đẳng thức sau k+1 ≥ α uk+1 a uk+1 h h , uh V, ≤ ukh , uk+1 h k u h + L (Ω) uk+1 h L2 (Ω) , ta có uk+1 h L2 (Ω) + 2α∆t uk+1 h V ≤ ukh L2 (Ω) (2.29) Lấy tổng số k từ đến n − ta suy n−1 unh 2L2 (Ω) uk+1 h + 2α∆t V ≤ u0h L2 (Ω) k=0 Trong trường hợp f = 0, sử dụng bổ để Gronwall rời rạc ta chứng minh cách tương tự để nhận n unh 2L2 (Ω) n ukh 2V + 2α∆t n ≤ C(t ) u0h L2 (Ω) k=1 ∆t f k + L2 (Ω) k=1 (2.30) Chú ý uk+1 h V uk+1 h L2 (Ω) , ta suy từ (2.29) với ∆t > cho trước ta có lim ukh k→∞ L2 (Ω) = Như phương pháp Euler lùi hoàn toàn ổn định mà không cần hạn chế ∆t Trước phân tích trường hợp chung, θ tham số tùy ý 1, ta giới thiệu định nghĩa sau 28 Định nghĩa 2.2 Ta nói vô hướng λ giá trị riêng dạng song tuyến tính a(·, ·) : V × V → R w ∈ V hàm riêng tương ứng a(w, v) = λ(w, v) ∀v ∈ V Do dạng song tuyến tính a(·, ·) đối xứng cưỡng nên có vô số giá trị riêng, tất thực dương, vector riêng tạo thành sở V Các giá trị riêng hàm riêng a(·, ·) xấp xỉ cách tìm cặp λh ∈ R wh ∈ Vh thỏa mãn a(wh , vh ) = λh (wh , vh ), ∀vh ∈ Vh (2.31) Theo quan điểm đại số, toán (2.31) phát biểu sau Aw = λh M w, A ma trận độ cứng M ma trận khối lượng Dó ta xử lý với toán giá trị riêng tổng quát Các giá trị riêng dương có nhiều Nh (Nh có số chiều không gian Vh ), sau đặt h chúng theo thứ tự tăng dần, λ1h ≤ λ2h ≤ ≤ λN h , ta có h λN h → ∞, Nh → ∞ Các hàm riêng tương ứng tạo thành sở không gian Vh chọn để chúng tạo thành sở trực chuẩn tích vô hướng L2 (Ω) Nghĩa biểu thị hàm riêng whi tương ứng đến giá trị riêng λih , có (whi , whj ) = δij , ∀i, j = 1, , Nh Thật vậy, ∀vh ∈ Vh biểu diễn sau Nh vj whj (x) vh (x) = j=1 29 Và nhờ hàm riêng trực chuẩn, Nh vh 2L2 (Ω) vj2 = (2.32) j=1 Ta xét θ ∈ [0, 1] Giả sử {whi } biểu thị hàm riêng a(·, ·) Vì ukh ∈ Vh , ta viết Nh ukh (x) ukj whj (x) = j=1 Nếu ta đặt F = (2.28) lấy vh = whi , ta thấy ∆t Nh Nh uk+1 j − ukj whj , whi θuk+1 + (1 − θ)ukj a whj , whi = 0, j + j=1 j=1 với i = 1, , Nh Với cặp i, j = 1, , Nh ta có a whj , whi = λjh whj , whi = λjh δij = λih , với i = 1, , Nh , uk+1 − uki i + θuk+1 + (1 − θ)uki λih = i ∆t Giải uk+1 , ta thấy i uk+1 = uki i − (1 − θ)λih ∆t + θλih ∆t Nhắc lại (2.32), ta kết luận để phương pháp ổn định tuyệt đối, ta cần thỏa mãn bất đẳng thức − (1 − θ)λih ∆t < 1, + θλih ∆t hay −1 − θλih ∆t < − (1 − θ)λih ∆t < + θλih ∆t 30 Vì − − θ < θ − < θ λih ∆t Bất đẳng thức thứ hai đúng, bất đẳng thức thứ viết lại sau 2θ − > − λih ∆t Nếu θ ≥ , vế trái không âm, vế phải âm nên bất đẳng thức với ∆t Ngược lại, θ < , bất đẳng thức thỏa mãn ∆t < (2.33) (1 − 2θ)λih Điều phải với giá trị riêng λih dạng song tuyến tính, h đủ để yêu cầu với cực đại nó, mà ta giả sử λN h Tóm lại ta có: - Nếu θ ≥ , phương pháp θ ổn định vô điều kiện, ổn định với ∆t - Nếu θ < , phương pháp θ ổn định với ∆t ≤ h (1 − 2θ)λN h Nhờ định nghĩa giá trị riêng (2.31) tính liên tục a(·, ·), ta suy h λN h a(wNh , wNh ) M wNh 2V = ≤ ≤ M + C h−2 2 wNh L2 (Ω) wNh L2 (Ω) Hằng số C > xuất bước cuối xuất phát từ bất đẳng thức nghịch đảo sau: ∃C > : ∇vh L2 (Ω) ≤ Ch−1 vh L2 (Ω) ∀vh ∈ Vh Nh −2 h Do vậy, với h đủ nhỏ, λN h ≤ Ch Ta chứng minh λh 31 bậc với h−2 , nghĩa i h λN h = maxi λh Nhờ điều này, ta có với θ < ch−2 phương pháp ổn định tuyệt đối ∆t ≤ C(θ)h2 , (2.34) C(θ) biểu thị số dương phụ thuộc vào θ Với θ < , ∆t không chọn tùy ý giới hạn để chọn h • Tiếp theo phân tích hội tụ phương pháp θ Ta chứng minh định lý hội tụ sau Định lý 2.5 Với giả thuyết u0 , f nghiệm yếu toán (2.1) - (2.4) đủ trơn đánh giá sai số tiên nghiệm sau ∀n ≥ 1, n n u(t ) − unh 2L2 (Ω) u(tk ) − ukh + 2α∆t V (θ) ≤ C(u0 , f, u) ∆tp + h2r , k=1 1 p(θ) = θ = , p 2 h ∆t = C số không phụ thuộc Chứng minh Chứng minh thực cách so sánh nghiệm toán rời rạc (2.28) với toán bán rời rạc (2.6) sử dụng kết (2.30) Để đơn giản, ta giới hạn để xét phương pháp Euler lùi (tương ứng với θ = 1) k+1 uk+1 − ukh , vh + a uk+1 , vh h h , vh = f ∆t 32 ∀vh ∈ Vh (2.35) r 1,h Lấy toán tử chiếu trực giao giới thiệu (2.24) Khi u(tk ) − ukh L2 (Ω) ≤ u(tk ) − r k 1,h u(t ) L2 (Ω) r k 1,h u(t ) + − ukh L2 (Ω) (2.36) Số hạng đánh giá theo (2.25) Để phân tích số hạng thứ hai, đặt εkh = ukh − r k 1,h u(t ), ta có k+1 εk+1 − εkh , vh + a εk+1 , vh h h , vh = δ ∆t ∀vh ∈ Vh (2.37) ta đặt ∀vh ∈ Vh , ∆t k+1 − a u(t ) vh , δ k+1 , vh = f k+1 , vh − r 1,h u(tk+1 ) − u(tk ) , vh để ý tính trực giao (2.24) toán tử r 1,h (2.38) Dãy {εkh , k = 0, 1, } thỏa mãn toán (2.37), tương tự với (2.35) (miễn δ k+1 thay f k+1 ) Sử dụng đánh giá ổn định (2.30), ta có với n n εnh 2L2 (Ω) 1, n εkh 2V + 2α∆t n ≤ C(t ) ε0h 2L2 (Ω) k=1 ∆t δ k + L2 (Ω) k=1 (2.39) Chuẩn liên quan đến thời gian ban đầu dễ dàng đánh giá: chẳng r h u0 hạn, u0h = thành phần nội suy u0 , sử dụng đánh giá (2.25) ta có ε0h L2 (Ω) r 1,h u0 = u0h − r h u0 ≤ − u0 L2 (Ω) L2 (Ω) + u0 − r 1,h u0 L2 (Ω) ≤ Chr |u0 |H r (Ω) (2.40) Ta đánh giá δ k f L2 (Ω) k+1 Ta ý rằng, nhờ định nghĩa, k+1 , vh − a u(t ), vh = 33 ∂u tk+1 , vh ∂t Điều cho ta viết lại (2.38) sau δ k+1 ∂u tk+1 , vh ∂t , vh = − ∆t r 1,h u(tk+1 ) − u(tk ) , vh ∂u tk+1 u(tk+1 ) − u(tk ) − , vh ∂t ∆t = I− + u(tk+1 ) − u(tk ) , vh ∆t r 1,h (2.41) Sử dụng công thức Taylor với số dư dạng tích phân, ta có ∂u tk+1 u(tk+1 ) − u(tk ) − = ∂t ∆t ∆t tk+1 k s−t ∂ 2u (s)ds ∂t2 (2.42) tk Sử dụng định lý tích phân khai thác tính giao hoán toán tử r 1,h đạo hàm thời gian t, ta có tk+1 I− r 1,h u(tk+1 ) − u(tk ) = I− r 1,h ∂u (s)ds (2.43) ∂t tk Chọn vh = δ k+1 (2.41), nhờ (2.42) (2.43), ta đánh giá tích phân sau tk+1 δ k+1 L2 (Ω) ≤ ∆t s−t k ∂ 2u (s)ds ∂t2 tk L2 (Ω) tk+1 + ∆t I− ∂u (s)ds ∂t r 1,h tk tk+1 tk tk+1 ∂ u (s) ∂t2 ≤ L2 (Ω) ds + L2 (Ω) ∆t I− tk r 1,h ∂u (s) ∂t ds L2 (Ω) (2.44) 34 Quay lại đánh giá ổn định (2.39), khai thác (2.40) đánh giá (2.44) ta có  n εnh 2L2 (Ω)  2r ≤ C (t )  h |u0 |H r (Ω) + n  k=1   ∆t   2 tk ∂ 2u (s) ∂t2 tk−1 k t  +  ∆t ∂u (s) ∂t r 1,h I− tk−1 L2 (Ω) L2 (Ω)  ds 2     ds   Khi đó, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đánh giá (2.25) r 1,h , phép chiếu toán tử  εnh 2L2 (Ω) ta thu   ≤ C (t ) h2r |u0 |2H r (Ω) + n  ∆t ∆t k=1  + tk n tk−1 tk   ∆t2 ∂u (s) ∂t hr tk−1 ∂ 2u (s) ∂t2 H r (Ω)  tk  ≤ C (t ) h2r |u0 |2H r (Ω) + ∆t2 n k=1 + h2r ∆t n ∆t k=1 tk−1 ∂ 2u (s) ∂t2 tk−1  ∂u (s) ∂t H r (Ω)  ds Kết nhận nhờ (2.36) đánh giá (2.25) Định lí chứng minh 35 ds L2 (Ω) 2     ds   n tk 2 ds L2 (Ω) Kết luận Luận văn Phương pháp xấp xỉ Galerkin phương trình Parabolic với điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet - Neumann trình bày số kết sau: Thiết lập số đánh giá tiên nghiệm nghiệm nghiệm xấp xỉ toán (2.1) - (2.4) Thiết lập đánh giá sai số tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ nửa rời rạc rời rạc Chắc chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận ý kiến góp ý Quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn 36 Tài liệu tham khảo [1] S C Brenner, L Ridgway Scott (2008), The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer Science+ Business Media, LLC [2] R Dautray, J L Lions (2000), Mathemtical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Volume 5, Evolution Problem I, Springer [3] R Dautray, J L Lions (2000),Mathemtical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Volume 6, Evolution Problem II, Springer [4] L Evans (1997), Partial Differential Equations, American Mathematical Soclety [5] P Knabner, L Angermann (2003), Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partical Differentical Equations, Springer-Verlag New York, Inc [6] J.L Lions, R Dautray (2000), Mathemtical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Volume 2, Functional and Variational Methods, Springer-Verlag [7] Alfio Quarteroni (2009), Numerical Models for Differential Problems, Springer [8] V Thomee (1997, 2006), Galerkin Finite Element Methods for 37 Parabolic Problems, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 38 [...]... mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân t x(t) ≤ C1 x(s)ds + C2 0 với C1 , C2 là các hằng số không âm Khi đó x(t) ≤ C2 1 + C1 eC1 t với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T • Bất đẳng thức Poincaré Cho Ω là một tập bị chặn trên Rn , khi đó tồn tại một hằng số CΩ sao cho v L2 (Ω) ≤ CΩ |v|H 1 (Ω) 12 ∀v ∈ H01 (Ω) Chương 2 Xấp xỉ Galerkin đối với phương trình Parabolic tuyến tính với điều kiện biên Dirichlet - Neumann. .. nghiệm θ - xấp xỉ • Trước tiên chúng tôi phân tích tính ổn định của phương pháp θ Áp dụng phương pháp θ đối với bài toán Galerkin (2.6) ta có uk+1 − ukh h , vh + a θuk+1 + (1 − θ)ukh , vh h ∆t = θF k+1 (vh ) + (1 − θ)F k (vh ), (2.28) ∀vh ∈ Vh với mỗi k ≥ 0, với u0h = u0h ; F k chỉ giá trị của phiếm hàm tại thời điểm tk 27 Chúng tôi trước hết chỉ xét trường hợp F = 0 và xét trường hợp phương pháp Euler... 0) ∂t ở đây f = f (x, t) là một hàm cho trước, với điều kiện ban đầu u(x, 0) = uo (x) (x ∈ Ω) (2.1) (2.2) và các điều kiện biên u(x, t) = 0 (x ∈ ΓD , t > 0) , (2.3) ∂u(x, t) = 0 (x ∈ ΓN , t > 0) (2.4) ∂n ở đây u0 là hàm cho trước, n là trường vector pháp tuyến đơn vị ngoài của ∂Ω (2.3) được gọi là điều kiện biên Dirichlet, (2.4) được gọi là điều kiện biên Neumann 14 Để thuận tiện, dưới đây chúng tôi... đẳng thức 2 1 luôn đúng với mỗi ∆t Ngược lại, nếu θ < , bất đẳng thức thỏa mãn 2 nếu 2 ∆t < (2.33) (1 − 2θ)λih Điều này phải đúng với mọi giá trị riêng λih của dạng song tuyến tính, h nó đủ để yêu cầu nó luôn đúng với cực đại của nó, mà ta giả sử là λN h Tóm lại ta có: 1 - Nếu θ ≥ , phương pháp θ là ổn định vô điều kiện, nó ổn định 2 với mỗi ∆t 1 - Nếu θ < , phương pháp θ ổn định với 2 ∆t ≤ 2 h (1 −... lại ở dạng ma trận như sau · M u (t) + Au(t) = f(t) Đối với hệ phương trình vi phân thường này, có nhiều phương pháp sai phân hữu hạn khác nhau có thể sử dụng Ở đây chúng tôi giới hạn chỉ xét θ - phương pháp Phương pháp này đầu tiên rời rạc hóa theo đạo hàm theo thời gian bởi tỉ số giữa các số gia đơn giản và thay thế các số hạng khác thông qua một tổ hợp tuyến tính của giá trị tại thời điểm tk và của... số), chỉ số k biểu thị số lần được nhắc đến thời điểm tk Chúng ta lấy một số trường hợp riêng của (2.8): Với θ = 0 ta thu được phương pháp Euler tiến (hoặc Euler hiển) uk+1 − uk M + Auk = fk ∆t 16 Với θ = 1 ta có phương pháp Euler lùi (hoặc Euler ẩn) uk+1 − uk M + Auk+1 = fk+1 ∆t 1 ta có phương pháp Crank-Nicolson 2 Với θ = M 2.2 uk+1 − uk 1 1 k+1 + A uk+1 + uk = f + fk ∆t 2 2 Một số đánh giá tiên... ds (2.18) (t > 0) 0 2.3 Sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh sự hội tụ của uh đến u Định lý 2.3 Giả sử u ∈ L2 (R+ ; V ) ∩ C 0 (R+ ; L2 (Ω)) là nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.4) Giả thiết thêm rằng u(t) ∈ H r+1 (Ω) với mỗi t ∈ R+ với r là số nguyên, r ≥ 1 Khi đó có đánh giá sai số đối với nghiệm xấp xỉ Galerkin sau đây: t u(t) − uh (t) 2 L2 (Ω) u(s)... h Do vậy, với h đủ nhỏ, λN h ≤ Ch Ta có thể chứng minh rằng λh 31 cùng bậc với h−2 , nghĩa là i h λN h = maxi λh Nhờ điều này, ta có với θ < ch−2 1 thì phương pháp này ổn định tuyệt đối 2 nếu ∆t ≤ C(θ)h2 , (2.34) 1 ở đây C(θ) biểu thị một hằng số dương phụ thuộc vào θ Với θ < , ∆t 2 không được chọn tùy ý nhưng được giới hạn để chọn h • Tiếp theo chúng tôi phân tích sự hội tụ của phương pháp θ Ta... θuk+1 + (1 − θ)ukj a whj , whi = 0, j + j=1 j=1 với mỗi i = 1, , Nh Với mỗi cặp i, j = 1, , Nh ta có a whj , whi = λjh whj , whi = λjh δij = λih , và do đó với mỗi i = 1, , Nh , uk+1 − uki i + θuk+1 + (1 − θ)uki λih = 0 i ∆t Giải đối với uk+1 , ta thấy i uk+1 = uki i 1 − (1 − θ)λih ∆t 1 + θλih ∆t Nhắc lại (2.32), ta kết luận để phương pháp là ổn định tuyệt đối, ta cần thỏa mãn bất đẳng thức 1 − (1 −... nhân tử et bên vế phải: Định lý 2.4 Giả sử u ∈ L2 (R+ ; V ) ∩ C 0 (R+ ; L2 (Ω)) là nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.4) Giả thiết thêm rằng u(t) ∈ H r+1 (Ω) với mỗi t ∈ R+ với r là số nguyên, r ≥ 1 Khi đó có đánh giá sai số đối với nghiệm xấp xỉ Galerkin sau đây: t u(t) − uh (t) 2 L2 (Ω) ∇u(s) − ∇uh (s) +α   2r ≤ Ch |u0 |2H r (Ω) +  0 t 2 L2 (Ω) ds t |u(s)|2H r+1 (Ω) ds 0 ∂u(s) ∂t + 0 2 ds H r+1