BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐINH THỊ THU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG PHÁP SẮP XẾP SPLINE ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Tuấn HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Tuấn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp, BGH tổ KHTN trường THCS Xuân Hòa thị xã Phúc Yên tỉnh Vĩnh Phúc cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Đinh Thị Thu Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:“Sự ổn định phương pháp xếp spline phương trình vi tích phân ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Đinh Thị Thu Mục lục Mở đầu Kiến thức 1.1 Không gian vectơ 1.2 Không gian định chuẩn 12 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 12 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 16 1.3 Không gian Hilbert 16 1.4 Không gian hàm spline 19 1.4.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách 19 1.4.2 Spline đa thức tổng quát 24 Sai số, tốc độ hội tụ 28 1.5.1 Sai số 28 1.5.2 Xấp xỉ tốt 29 1.5.3 Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ 30 1.5.4 Ma trận đường chéo trội 31 1.5.5 Các khái niệm lý thuyết ổn định 32 1.5 Sự ổn định phương pháp xếp spline phương trình vi tích phân 2.1 36 Định nghĩa phương pháp xếp spline 36 2.2 Sự ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi phân 2.2.1 Sử dụng ma trận đường chéo trội nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân 2.2.2 38 Sự ổn định phương pháp xếp spline cho phương trình vi phân bậc hai 2.3 38 45 Sự ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi tích phân 2.3.1 Phương pháp xếp spline cho phương trình vi tích phân Volterra bậc hai 2.3.2 48 48 Sự ổn định phương pháp xếp spline cho phương trình vi tích phân Volterra bậc hai Ứng dụng 54 58 3.1 Ứng dụng với phương trình vi phân 58 3.2 Ứng dụng với phương trình vi tích phân 60 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 BẢNG KÍ HIỆU N N∗ R C C[a,b] S3 (π) · Tập số tự nhiên Tập số tự nhiên khác không Tập số thực Tập số phức Tập tất hàm số thực liên tục [a, b] Tập tất hàm spline đa thức bậc Chuẩn Mở đầu Lí chọn đề tài Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế, lĩnh vực khác sống ta gặp nhiều toán đưa tới việc nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Giải phương trình vi tích phân khó người ta thường áp dụng phương pháp xấp xỉ để giải Có nhiều phương pháp giải gần khác nhau, phương pháp xếp spline phương pháp thường lựa chọn Ưu điểm phương pháp xếp spline sử dụng hàm đa thức tính toán để giải Các hàm đa thức dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán thuận lợi, hiệu Trong số trường hợp phương pháp xếp spline thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ xác nghiệm gần tốt phương pháp khác Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ spline bậc cao hàm B-spline Sự ổn định nghiệm xấp xỉ nhà Toán học nước quan tâm nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu ổn định nghiệm xấp xỉ phương pháp xếp spline nhằm nâng cao kiến thức học chương trình đại học cao học nên em chọn đề tài để nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm định lý phương pháp xếp spline Nghiên cứu ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi phân phương trình vi tích phân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ổn định phương pháp xếp spline với phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Nghiên cứu lập trình Maple để ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: “Sự ổn định phương pháp xếp spline ” Phạm vi nghiên cứu: khái niệm, định lý kết phương pháp xếp spline Các phương trình vi phân, vi tích phân Lập trình Maple với phương pháp xếp spline Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Đóng góp Sẽ nghiên cứu ổn định lớp phương trình vi tích phân phương pháp xếp spline, chứng minh ổn định lớp phương trình vi tích phân phương pháp xếp spline Chương Kiến thức Chương trình bày số không gian thường dùng như: Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian hàm spline, sai số, tốc độ hội tụ, ổn định nghiệm để phục vụ chứng minh chương sau 1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho V tập khác rỗng mà phần tử kí hiệu : α, β, γ, K trường mà phần tử kí hiệu: x, y, z, Giả sử V trang bị hai phép toán, gồm: Phép toán cộng, kí hiệu + : V × V −→ V (α, β) −→ α + β Phép toán nhân, kí hiệu · : K × V −→ V (x, α) −→ x · α Định nghĩa 2.3.1 Chúng ta nói phương pháp xếp spline ổn định cho α, β, λ ∈ C f ∈ C d0 [0, T ] nghiệm xấp xỉ u bị chặn C[0, T ] t → Chúng ta thấy tính bị chặn αn bị chặn u C[0,T ] tương đương với với chuẩn Rm+d+1 Nguyên lý bị chặn cho phép thiết lập Mệnh đề 2.3.2 Phương pháp xếp spline ổn định u C[0,T ] ≤ c f C d0 [0,T ] , ∀f ∈ C d0 [0, T ], (2.49) Trong số c phụ thuộc vào T, α, β, λ ∈ C phụ thuộc vào tham số cj c0j Để tìm nghiệm xếp spline cho phương trình tích phân Volterra d (∆n ) thỏa cho phương trình vi - tích phân Volterra bậc Sm+d mãn (2.39) tnj ta qua bước sau: Ổn định cho phương trình tích phân Volterra tùy theo ma trận ˜ = U˜ −1 U˜ U˜0 U˜ (m + d + 1)(m + d + 1) ma trận M sau:  E U˜0 = ˜ G A , U˜0 = , ˜ G c1 cm+d        ˜ G     c cm+d  m m E A xác định V V0 ˜ nằm hình tròn đơn vị đóng Nếu toàn giá trị riêng M giá trị nằm đường tròn đơn vị có hệ số đại số hình học nhau, phương pháp xếp spline ổn định 55 ˜ có giá trị riêng nằm hình tròn đơn vị đóng, Nếu M phương pháp không ổn định ( u tăng theo hàm số mũ : u ∞≥ ceKN cho số K ≥ c ≥ ˜ nằm hình tròn đơn vị đóng Nếu toàn giá trị riêng M có môt giá trị riêng nằm đường tròn đơn vị có hệ số đại số hệ số hình học khác nhau, phương pháp yếu không ổn định ( u có phát triển đa thức : u ∞∼ cN k , c > 0, k ∈ N ) Mệnh đề 2.3.3 Nếu M có giá trị riêng bên hình tròn đơn vị đóng, phương pháp xếp spline không ổn định Nghiệm xấp xỉ tăng theo hàm số mũ Chứng minh: Xét giá trị riêng µ M + W cho |µ| ≥ + δ với δ > cố định, với h đủ nhỏ Cho α1 = vec tơ riêng M + W, Ta có: (V − βhV1 − αh2 V2 − λh3 V3 )α1 = h2 g0 (2.50) Khi g0 = (a10 , , a1d , f (t11 ), , f (t1m )), a1j = hj y j (0) j! , j = 0, , d Vì: y (0) = αy(0) + βy (0) + f (0), y (0) = αy j−2 (0) + βy j−1 (0) + λy j−3 (0) + f j−2 (0), j = 3, , d (2.51) j xác định vectơ α1 qua (2.50)và (2.51) giá trị f (j) (0), j = 0, , d − 1, f (t11 ), , f (t1m ) Ta thấy f [0, h] đa thức nội suy với giá trị f (j) (0), j = 0, , d − 2, f (t1j ), j = 1, , m, Và f (j) (h) = 0, j = 0, , d0 ( cm = f (j) (h) = 0, j = 0, · · · , d0 , ) Trong trường hợp dùng phương pháp bổ sung điểm f [0, h] 56 đa thức nội suy f (0), f (t0j ), j = 0, · · · , d − 1, f (1j ), j = 1, · · · , m f (j) (h) = ( d0 = cm = , f (t1m ) = f (h) cho sẵn bỏ qua yêu cầu f (h) = ) Trong hai trường hợp kiểm tra f [nh, (n + 1)h], n ≥ đa thức nội suy giá trị f (j) (nh) = f (j) ((n + 1)h) = 0, j = 0, · · · , d0 (nếu cm = với j = 1, · · · , d0 ) f (tn+1,j ) = f (t1j ), j = 1, · · · , m đảm bảo f ∈ C d0 [0, T ] rn = 0, n ≥= Nội suy f biểu diễn [tn , tn+1 ] công thức ki k f (t) = f (tn + τ h) = ( i−1 sl h pil f (sl) (τ − br ) (ξl )) (2.52) r=0 i=0 l=0 Với br , cj c0j , ξl tnj tj , ≤ sl ≤ d1 , ki ≤ i, số pil phụ thuộc vào cj c0j Trong trường hợp điều kiện ban đầu k = m + d + d0 − 1(k = m + d + d0 − cm=1 ) Và trường hợp nút bổ sung k = m + d + 1, (k = m + d cm = 1) khoảng [0, h]và k = m + 2d0 + 1, (k = m + 2d0 cm = 1) khoảng [nh, (n + 1)h], n ≥ Thay h h/k, k = 1, 2, , Và giữ α1 = h2 /k ,ta có g0 ∞ bị chặn ,có nghĩa f (t1j ), j = 1, , m, hj y (j) (0)/k j , j = 0, , d hj f (j) (0)/k j , j = 0, , d0 bị chặn k → ∞ Do (2.52) cho f C d0 [0, T ] ≤ ck d0 (2.53) αn+1 ≥ (1 + δ)n α1 cho h (2.54) αkn ≤ (1 + δ)kN −1 k Và (2.49) thoả mãn Bất đẳng thức (2.53)và (2.54) trung Mặt khác bình tăng số mũ nghiệm xấp xỉ giữ tiêu chuẩn f bị chặn C d0 xem[9] 57 Chương Ứng dụng 3.1 Ứng dụng với phương trình vi phân Ví dụ: Giải toán biên Lx(t) = x (t) − x(t) = x(0) = x(1) = Lời giải: Giả sử φ1 (t) = t(t − 1) φ2 (t) = t2 (t − 1) Lφ1 (t) = − t(t − 1), Lφ2 (t) = 6t − − t2 (t − 1) Lφ1 (0) = 2, Lφ2 (0) = −2, Lφ1 (1) = 2, Lφ2 (1) = 4, Cho t = t = 2, nghiệm xấp xỉ collocation có dạng: xˆ(t) = a1 φ1 (t) + a2 φ2 (t) Như ta có hệ phương trình dạng ma trận:   2 a1 =  −2 a2 58 Giải hệ ta a1 = 12 a2 = 61 , xˆ(t) = 1 t(t − 1) + t2 (t − 1) 12 Ta có nghiệm xác x(t) = t 2(e+1) (e + e1−t ) − 21 Ứng dụng Maple tính nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ sai số phương pháp Đặt x ˆ(t) = y, x(t) = x tính x(t), xˆ(t) | x(t) − xˆ(t) | Maple 13 với chương trình [> restart; [> for i from to 10 y[i]:=evalf((1/(2*(exp(1)+1)))*(exp(i/10)+exp(1-i/10))-2) x[i]=evalf((1/12)*(i/10)*(i/10-1)+(1/6)*(i/10-1)*(i/10)2 a[i]=evalf(abs(x[i]-y[i])); od; Chạy chương trình kết x(t), x ˆ(t) sai số e(t) =| x(t) − xˆ(t) | số giá trị bảng sau : t 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x(t) 0.0000 0000 -0.0206 4230 -0.0364 8703 -0.0476 9277 -0.0543 7166 -0.0565 9056 -0.0543 7166 -0.0476 9277 -0.0364 8703 -0.0206 4230 0.0000 0000 x ˆ(t) 0.0000 0000 -0.009 00000 -0.0186 6667 -0.0280 0000 -0.0360 0000 -0.0416 6667 -0.0440 0000 -0.0420 0000 -0.0346 6667 -0.0210 0000 0.0000 0000 Bảng 3.1: 59 | x(t) − x ˆ(t) | 0.0000 0000 0.0116 4230 0.0178 2037 0.0196 9277 0.0183 7166 0.0149 2389 0,0103 7166 0.0056 9277 0.0018 2037 0.0003 5770 0.0000 0000 3.2 Ứng dụng với phương trình vi tích phân Ví dụ : Giải toán sau  y (t) = y(t) + y (t) + t y(s)ds − sin(t) − cos(t) − et ,  y(0) = 1, y (0) = 1, t ∈ [0, 1] Phương trình có nghiệm xác y(t) = (sin(t)+cos(t)+et )/2 Chương trình chạy máy sau: [> restart; [> with(linalg): > D2 (y)(t) = y(t) + D(y)(t) + int(y(s), s = t) − sin(t) − cos(t) − exp(t) : ; > y := t → (sin(t)+cos(t)+exp(t)) y := t → 21 sin(t) + 12 cos(t) + 12 et > f := t → − sin(t) − cos(t) − exp(t); f := t → − sin(t) − cos(t) − et > N := 4096 : h := N1 : m := : d := : [> a := array(1 m + d + 1, 1) : > a[1, 1] := : a[2, 1] := N : [> c := array(1 d, 1) : [>  c[1, 21] := 0, : c[2, 1]2 := 0, : > N · · a[3, 1] + N · · a[4, 1] · c[1, 1] = a[1, 1] + a[2, 1] · c[1, 1]+  a[3, 1] · (c[1, 1])2 + a[4, 1] · (c[1, 1])3 + N · (a[2, 1]+   · c[1, 1] · a[3, 1] + · a[4, 1] · (c[1, 1])2 ) + N1 (c[1, 1] · a[1, 1]+ a[2,1]·(c[1,1])2 a[3.1]·(c[1,1])3 a[4,1]·(c[1,1])4 + + ) + f ( c[1,1] N ) : > simplif y(%); 3.3554432 107 a3,1 + 4.026531840 107 a4,1 = 5.000000000 10−9 + 3276.960005a3,1 + 1966.144002a4,1  > (3.3554432 107 − 3276.960005) · a[3, 1] + (4.026531840 107 −  1966.144002) · a4,1 = 5.000000000 10−9 ; 3.355115504 107 a3,1 + 4.026335226 107 a4,1 = 5.000000000 10−9 60 > · N · a[3, 1] + N · · a[4, 1] · c[2, 1] = a[1, 1] + a[2, 1] · c[2, 1]  +a[3, 1] · (c[2, 1])2 + a[4, 1] · (c[2, 1])3 + N · (a[2, 1]+   · c[2, 1] · a[3, 1] + · a[4, 1] · (c[2, 1])2 )  a[2,1]·(c[2,1])2 a[3,1]·(c[2,1])3  (c[2, 1] · a[1, 1] + + +  N  c[2,1] a[4,1]·(c[2,1])4 ) + f ( N ); +   33554432a3,1 + 6.03979776 107 a4,1 = 1.0 10−8 + 4915.560018a3,1 + 4423.896008a4,1  > (33554432 − 4915.560018)a[3, 1] + (6.03979776 107 −  4423.896008) · a[4, 1] = 1.0 10−8 ; 3.354951644 107 a3,1 + 6.039355370 107 a4,1 = 1.000000000 10−8  > solve({3.355115504 107 a3,1 + 4.026335226 107 a4,1 = 5.000000000 10−9 ,  3.354951644 107 a3,1 + 6.039355370 107 a4,1 = 1.000000000 10−8 }, {a[3, 1], a[4, 1]}); {a3,1 = −1.490334423 10−16 , a4,1 = 2.48370877410−16 } [ > a[3, 1] := −1.49033442310−16 : a[4, 1] := a[4, 1] := 2.48370877410−16 :  [> [> > N := 4096 : h := N : m := : d := : [> [> c := array(1 m, 1) : [>  c[1, 1] := 0, : c[2, 1] := 0, : > print(c);  [ > t := t → k · h; > T := (n, j) → N 0.4 0.6 t := t → kh · (n − 1) + c[j, 1] · h; T := (n, j) → n−1 N + cj,1 h [>  f := t → −sin(t) − cos(t) − exp(t); y := t → (sin(t)+cos(t)+exp(t) ; t  f := t → −sin(t) − cos(t) − e y := t → 12 sin(t) + 12 cos(t) + 21 et > evalf (f (T (2, 1)) − f (T (1, 2))); −0, 000390624 [> α[n] := array(1 m + d + 1, 1) : g[n] := array(1 m + d + 1, 1) : [> α[n + 1] := array(1 m + d + 1, 1) : [> 61 > α[1][1, 1] := : α[1][2, 1] := N1 : α[1][3, 1] := −1.490334423 10−16 : α[1][4, 1] := 2.483708774 10−16 : [>  > α[1] := array([[α[1][1,1]], [α[1][2, 1]], [α[1][3,1]], [α[1][4, 1]]]);      4096 α1 :=   −16  −1.490334423 10 2.483708774 10−16  > V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) :  V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) :   V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) :  V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) :   V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) : V := array(1 m + d + 1, m + d + 1) :  > for i to d + for j to m + d + doV 1[i, j] := 0;  V 2[i, j] := 0; V 3[i, j] := 0; V 4[i, j] := 0;  if i < j or i > j then V [i, j] := else V [i, j] := 1; fi; V 0[i, j] := binomial(j − 1, i − 1); od; od; [> for i to d + a[i] := 0; od : > for j from d + tom + d + 1do a[j] : = evalf (f (T (2, j − (d + 1))) − f (T (1, j − (d + 1))), 15); od : > b[4] := evalf (f (T (2, 1)) − f (T (1, 2)), 15); b4 := −0.00039062500000 [>  > g[1] := array([[a[1]], [a[2]], [a[3]], [b[4]]]);        g1 := −0.00048828125000  −0.00039062500000  > for i from d + to m + d + for j to m + d + doV 1[i, j] :=  (j − 1) · c[i − (d + 1), 1]j−2 ; V 2[i, j] := c[i − (d + 1), 1]j−1 ;  (c[i−(d+1),1])j  V 3[i, j] := ; V 4[i, j] := 1j ;  j  V [i, j] := (j − 1) · (j − 2) · (c[i − (d + 1), 1])j−3 ; V 0[i, j] := (j − 1) · (j − 2) · (c[i − (d + 1, 1])j−3 ; od; od;  > for i from d + to m + d + for j to m + d + doV 1[i, j] :=  (j − 1) · c[i − (d + 1), 1]j−2 ; V 2[i, j] := c[i − (d + 1), 1]j−1 ;  j  ; V 4[i, j] := 1j ; V 3[i, j] := (c[i−(d+1),1])  j  V [i, j] := (j − 1) · (j − 2) · (c[i − (d + 1), 1])j−3 ; V 0[i, j] := (j − 1) · (j − 2) · (c[i − (d + 1, 1])j−3 ; od; od; [> 62 > A :=  evalm(V − h · V − h · V − h · V 3);   0  0     A := −5.961046555 10−8 −0.0002441644681 1.999804678 2.399882808 −5.961337593 10−8 −0.0002441763904 1.999707010 3.599736315 [>  B := inverse(A) : > C :=  evalm((V − h · V − h · V − h · (V − V 4));   1 1      C := −5.959591363 10−8 −0.0002441644608 1.999804678 2.399882808 −5.959882401 10−8 −0.0002441763831 1.999707010 3.599736315 [>  > G[1, 1] := multiply(C, α[1]);    1.000244141   0.0002441406250   G1,1 := −1.192063774 10−7   −1.192121982 10−7 > evalm(h · g[1]) : > H[1, 1] := evalm(G[1, 1]+ h2 · g[1]);   1.000244141   0.0002441406250   H1,1 := −1.192354812 10−7   −1.192354813 10−7 [> > for k from to N − for i to d + g[k][i, 1] : = : for j from d + to m + d + 1do g[k][j, 1] : = evalf (f (T (k + 1, j − (d + 1))) − f (T (k, j − (d + 1)))) : od : od : od; [> > evalf (g[14][3, 1]); evalf (g[14][4, 1], 15); −0.000488281 −0.000488281 [> for i to N − doL[i] := array([[g[i][1, 1]], [g[i][2, 1]], [g[i][3, 1]], [g[i][4, 1]]]); od :  > print(L[20]);        −0.000488282  −0.000488282 > for i to N − G[i, l] := multiply(C, α[i]) : H[i, l] := evalm(G[i, l] + h2 · L[i]) : α[i + 1] := multiply(B, H[i, l]) : od :  63       > print(evalm(H[22, 1]));   1.005371102  0.0002441406932  −1.195402116 10−7  −1.195402111 10−7 > print(evalm(α[4000]));   2.021629379 0.0002913217979  1.88659066 10−8  8.5505 10−12 > for i to N − β[j] := array([[α[j][1, 1]], [α[j][2, 1]], [α[j][3, 1]], [α[j][4, 1]]]); od :  > print(β[2]);    1.000244141  0.0002441406250   −5.8204 10−12   4.85156 10−12 > for j to N − u := (t, j) → β[j][1, 1] + β[j][2, 1] · N · (t − j−1 N )+ (j−1) (j−1) β[j][3, 1] · N · (t − N )2 + β[j][4, 1] · N · (t − N )3 ; od : > u(t, 1); + t − 2.500366253 10−9 t2 + 0.00001706791673 t3 [>  > (u(t, 2));  1.000000000 + 1.000000000t − 0.00009765010801(t − + 4096 0, 3333966646(t − ) 4096  > (u(t, 2015));  0.9917256303 + 1.022283452t + 0.07028297737(t − 1007 2048 ) + 0, 4399833218(t − 1007 2048 ) > u(0.075, 3); 1.074897323 [>  > K := array(1 11, 5) : K[1, 1] := T T : K[1, 2] := BL :  K[1, 3] := GT u[n] : K[1, 4] := GT y : K[1, 5] := SS :  for i to 10 K[i + 1, 1] := i :   K[i + 1, 2] := evalf ( n−1 + i ) : K[i + 1, 3] := evalf (y( n−1 + i )) :  N N ·10 N N ·10  K[i + 1, 4] := evalf (u(( n−1 i n−1 + ), n)) : K[i + 1, 5] := evalf (abs(y(  N N ·10 N  + i ) − u(( n−1 + i ), n)), 8) : N ·10 N N ·10 od :     64                                                       > K := array(1 11, 5) : K[1, 1] := T T : K[1, 2] := BL : K[1, 3] := GT u[2] : K[1, 4] := GT y : K[1, 5] := SS : for i to 10 K[i + 1, 1] := i : i 2−1 i K[i + 1, 2] := evalf ( 2−1 N + N ·10 ) : K[i + 1, 3] := evalf (y( N + N ·10 )) : i K[i + 1, 4] := evalf (u(( 2−1 N + N ·10 ), 2)) : K[i + 1, 5] := i 2−1 i evalf (abs(y( 2−1 N + N ·10 ) − u(( N + N ·10 ), 2)), 13) : od : > print(K);  T T BL GT u2 GT y SS −10  0.0002685546875 1.000268555 1.000268555 3.74 10   0.0002929687500 1.000292969 1.000292969 3.75 10−10     0.0003173828125 1.000317383 1.000317383 3.74 10−10     0.0003417968750 1.000341797 1.000341797 3.74 10−10     0.0003662109375 1.000366211 1.000366211 3.74 10−10     0.0003906250000 1.000390625 1.000390625 3.74 10−10     0.0004150390625 1.000415039 1.000415039 3.75 10−10     0.0004394531250 1.000439453 1.000439453 3.73 10−10   0.0004638671875 1.000463867 1.000463867 3.73 10−10  10 0.0004882812500 1.000488281 1.000488282 3.74 10−10 > K := array(1 11, 5) : K[1, 1] := T T : K[1, 2] := BL : K[1, 3] := GT u[10] : K[1, 4] := GT y : K[1, 5] := SS : for i to 10 K[i + 1, 1] := i : i 10−1 K[i + 1, 2] := evalf ( 10−1 N + N ·10 ) : K[i + 1, 3] := evalf (y( N + i K[i + 1, 4] := evalf (u(( 10−1 N + N ·10 ), 10)) : K[i + 1, 5] i 10−1 i := evalf (abs(y( 10−1 N + N ·10 ) − u(( N + N ·10 ), 10)), 13) : od : > print(K);  T T BL GT u2 GT y SS −9  0.002221679688 1.002221679 1.002221683 3.377 10   0.002246093750 1.002246094 1.002246097 3.379 10−9     0.002270507812 1.002270508 1.002270511 3.381 10−9     0.002294921875 1.002294922 1.002294925 3.383 10−9     0.002319335938 1.002319336 1.002319339 3.386 10−9     0.002343750000 1.002343750 1.002343753 3.387 10−9     0.002368164062 1.002368164 1.002368167 3.389 10−9     0.002392578125 1.002392578 1.002392582 3.391 10−9   0.002416992188 1.002416992 1.002416996 3.394 10−9  10 0.002441406250 1.002441406 1.002441410 3.397 10−9 65 i N ·10 )) :                                                       > K := array(1 11, 5) : K[1, 1] := T T : K[1, 2] := BL : K[1, 3] := GT u[1000] : K[1, 4] := GT y : K[1, 5] := SS : for i to 10 K[i + 1, 1] := i : i + N ·10 ) : K[i + 1, 3] : K[i + 1, 2] := evalf ( 1000−1 N 1000−1 i = evalf (y( N + N ·10 )) : K[i + 1, 4] : i = evalf (u(( 1000−1 + N ·10 ), 1000)) : K[i + 1, 5] : N 1000−1 = evalf (abs(y( N i i ) − u(( 1000−1 + N ·10 ), 1000)), 13) : + N ·10 N od : >  print(K);  TT BL GT u2 GT y SS  0.2439208984 1.244075592 1.244077166 0.000001574193  0.2439453125 1.244100068 1.244101643 0.000001574530    0.2439697266 1.244124546 1.244126120 0.000001574870  0.2439941406 1.244149022 1.244150597 0.000001575208    0.2440185547 1.244173499 1.244175074 0.000001575546    0.2440429688 1.244197976 1.244199551 0.000001575883  0.2440673828 1.244222452 1.244224028 0.000001576223    0.2440917969 1.244246929 1.244248506 0.000001576561   0.2441162109 1.244271406 1.244272983 0.000001576899 10 0.2441406250 1.244295883 1.244297460 0.000001577238 > K := array(1 11, 5) : K[1, 1] := T T : K[1, 2] := BL : K[1, 3] := GT u[2015] : K[1, 4] := GT y : K[1, 5] := SS : for i to 10 K[i + 1, 1] := i : i i + N ·10 ) : K[i + 1, 3] := evalf (y( 2015−1 + N ·10 )) : K[i + 1, 2] := evalf ( 2015−1 N N 2015−1 i K[i + 1, 4] := evalf (u(( N + N ·10 ), 2015)) : i i K[i + 1, 5] := evalf (abs(y( 2015−1 + N ·10 ) − u(( 2015−1 + N ·10 ), 2015)), 13) : N N od : >  print(K);  TT BL GT u2 GT y SS  0.4917236328 1.494399264 1.494406563 0.000007299037  0.4917480469 1.494424222 1.494431521 0.000007299858    0.4917724609 1.494449179 1.494456479 0.000007300679  0.4917968750 1.494474137 1.494481438 0.000007301499    0.4918212891 1.494499094 1.494506396 0.000007302320    4918457031 1.494524052 1.494531356 0.000007303142  0.4918701172 1.494549010 1.494556314 0.000007303964    0.4918945312 1.494573968 1.494581273 0.000007304784   0.4919189453 1.494598926 1.494606231 0.000007305606 10 0.4919433594 1.494623884 1.494631190 0.000007306427 66 Kết luận Luận văn trình bày kiến thức spline bậc 3,nghiên cứu không gian tuyến tính S3 (π), Sm (π) Trên sở nghiên cứu phương pháp Spline collocation giải lớp phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Volterra bậc hai Luận văn nghiên cứu ổn định phương pháp Spline collocation phương trình vi tích phân Luận văn nêu ứng dụng máy tính vào tính toán nghiệm sai số nghiệm gần số điểm cụ thể Mặc dù tác giả cố gắng, song với phạm vi nghiên cứu thời gian nghiên cứu khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Đinh Thị Thu 67 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996 ), Giải Tích Số,NXB Đại học quốc gia hà nội [2] Nguyễn Minh Chương (chủ biên),Nguyễn Văn Khải,Khuất Văn Ninh,Nguyễn Văn Tuấn,Nguyễn Tường (2001), Giải Tích Số ,Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Minh Chương,Ya.D.mamedov, Khuất Văn Ninh ( 1992 ), Giải xấp xỉ phương trình toán tử ,Nhà xuất Khoa học kỹ thuật,Hà Nội [4] Phạm Huy Điển (2002),Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple ,Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm,NXB Khoa học Kĩ thuật [6] Phan Hồng Trường (2001), Giáo trình đại số tuyến tính ,NXB Khoa học Kĩ thuật [B] Tài liệu Tiếng Anh [7] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Van Tuan (1995), Collocation methods for Fredholm - Volterra integro - differential equations of second order,Acta Mathematica Vietnamica (No 1),85 -98 [8] P.M.Prenter (1975),Splines and Interscience,New York 68 Variational Methods,Wiley- [9] Mare Tarang , Stability of the spline collocation method for second order Volterra integro-differential equations,Mathematical Modelling and Analysis,9(1), 2004, 79 – 90 69 [...]... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y ,các tiên đề trên gọi là tiên đề tích vô hướng Định lý 1.3.1 Đối với mỗi x ∈ X Ta đặt (x, x) x = (1.2) Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz |(x, y)| ≤ x y (1.3) Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X Định nghĩa 1.3.2 Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô hướng gọi là... lân cận của 0 x ∈ X, {x + Uα }α∈I là họ lân cận của x Định nghĩa 1.3.7 Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: U ) được gọi là họ cơ sở của lân cận nếu: 1 U bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại U0 ⊂ U sao cho U0 ⊂ U ; 2 Với U1 , U2 ∈ U thì U1 ∩ U2 ∈ U ; 18 ∞ Ui ∈ U ; 3 Với Ui ∈ U , i = 1, · · · , ∞ thì i=1 4 Với W ∈ U , tồn tại U0 ∈ U sao cho U0 + U0 ⊆ W 1.4 Không gian các hàm spline 1.4.1 Spline. .. 32 Định nghĩa 1.5.7 Nghiệm Z = Z(t) (a < t < ∞) của hệ (1.21) được gọi là ổn định theo Liapunốp khi t → +∞ ( hay ngắn gọn là ổn định ) , nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho: 1 Tất cả các nghiệm Y = Y (t) của hệ (1.21) ( bao gồm cả nghiệm Z(t)thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ (1.22) xác định trong khoảng t0 < t < ∞, tức là Y (t) ∈ DY khi t ∈ [t0 , ∞); 2 Đối với. .. nghiên cứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt buộc trong vi c giải bài toán Định nghĩa 1.5.1 Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a sai khác với a∗ không nhiều Kí hiệu a ≈ a∗ 28 Định nghĩa 1.5.2 Đại lượng ∆ =| a − a∗ | được gọi là sai số thực sự của a Nói chung ta không biết a∗ nên ta không biết ∆ Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dương ∆a... đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD tuy chúng có cùng sai số tuyệt đối ∆a = ∆b = 0, 01m Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng a∗ là không duy nhất Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.5.2 Xấp xỉ tốt nhất Định nghĩa 1.5.5 Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn ,M ⊂ X và p ∈ X Điểm y0 ∈ M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ... j=1,j=i Định lý 1.5.2 ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy biến Khi đó hệ phương trình  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = y1    a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = y2    an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = yn luôn có nghiệm Đặt ma trận A = (aij )ni,j=1 , y = (y1 , y2 , , yn )T ,ta được phương trình Ax = y luôn có nghiệm 31 1.5.5 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định Xét hệ phương trình. .. h3 là B − spline Bi (t) với các nút cách đều Bi (t) = (1.17) Tổng quát chúng ta có : Ft (x) = (x − t)m + và m+1 m+1 K(t) = ∆ (−1)i Cim+1 (xi − t)m + Ft (x) = (1.18) i=0 với m = 1, 2, 3, mà (xi − t)m + = 0, t ≥ xi suy ra K(t) = 0 khi t ≤ x0 và t ≥ xm+1 Hơn nữa K(t) là tổng của m − 1 hàm số khả vi liên tục và K(t) khả vi liên tục, từ đó ta có K(t) ∈ Sm (π) Định nghĩa 1.4.2 Giả sử π là một phân hoạch... (t0 ) < δ Kéo theo bất đẳng thức Y (t) < ε khi t0 < t < ∞ 33 Định nghĩa 1.5.8 Nếu số δ > 0 có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu t0 ∈ G , tức là δ = δ(ε) thì ổn định được gọi là ổn định đều trong miền G (a < t < ∞) được gọi là không Định nghĩa 1.5.9 Nghiệm Z = Z(t) ổn định theo Liapunốp,nếu với ε > 0 và t0 ∈ (a, ∞) nào đó và với mọi δ > 0 tồn tại nghiệm Yδ (t) ( ít nhất là một) và thời... sao cho mọi nghiệm Y (t)(t0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < ∆, sẽ có tính chất lim t→∞ Y (t) − Z(t) = 0 (1.24) Như vây ổn định tiệm cận là "ổn định có tải",tức là ổn định kèm thêm điều kiên Đặc biệt nghiệm tầm thường Z(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận,nếu nó ổn định và lim Y (t) = 0 khi t→∞ 34 Y (t0 ) < ∆ ... b]} là không gian định chuẩn f (t) = max | f (t) | a≤t≤b 12 Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn 2 1 và Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và m > 0 sao cho: m x1 ≤ x2 ≤ M x1 , ∀x ∈ X Định lý 1.2.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ bất kì x, y ∈ X ta đặt d(x, y) = x − y (1.1) Khi đó d là một metric trên X Chứng minh của định lý trên dễ