Không gian L p
Các kết quả được trình bày trong phần này được trích từ tài liệu tham khảo [1].
Cho Ω là miền trong R n và p là một số thực dương Ta kí hiệu L p (Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho
Trong không gian L p (Ω), các hàm được coi là bằng nhau hầu khắp trên Ω, dẫn đến việc các phần tử của L p (Ω) thực chất là các lớp tương đương của các hàm đo được thỏa mãn điều kiện (1.1) Hai hàm được xem là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên Ω Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ không chú ý đến sự khác biệt này và sẽ viết f ∈ L p (Ω) nếu f thỏa mãn (1.1), và f = 0 trong L p (Ω) nếu f(x) = 0 hầu khắp trên Ω.
|f(x) +g(x)| p ≤ (|f(x)|+|g(x)|) p ≤ 2 p (|f(x)| p +|g(x)| p ) nên rõ ràng L p (Ω) là một không gian vectơ.
Ta đưa vào L p (Ω) phiếm hàm k ã k p được xỏc định bởi kuk p Z
1.1.1 Định lí ([1])(Bất đẳng thức H¨older) Nếu 1 < p < ∞ và u ∈ L p (Ω), v ∈ L p (Ω) thì uv ∈ L 1 (Ω) và
|u(x)v(x)|dx ≤ kuk p kvk p 0 (1.3) trong đó p 0 = p p−1, tức là
1 p + 1 p 0 = 1, p 0 được gọi là số mũ liên hợp đối với p. 1.1.2 Định lí ([1])(Bất đẳng thức Minkowski) Nếu 1≤ p < ∞ thì kf +gk p ≤ kfk p +kgk p (1.4)
Một hàmukhả tích trênΩđược nói lànhất thiết bị chặn(essentially bounded) nếu tồn tại một hằng số c ≥ 0 sao cho |u(x)| ≤ c hầu khắp nơi (h.k.n) trong
Ω Ta định nghĩa ess sup x∈Ω
Không gian L ∞ (Ω) đại diện cho các lớp tương đương của các hàm đo được Lebesgue, với điều kiện là phải bị chặn trên Ω Nó là một không gian Banach, được trang bị với chuẩn kuk L ∞ (Ω), được định nghĩa là giá trị lớn nhất thiết yếu (ess sup) trên tập Ω.
1.1.3 Định lí ([1]) L p (Ω),1 ≤p < ∞ là một không gian Banach.
Chứng minh Giả sử{f n } là dãy Caushy trong L p (Ω) Khi đó tồn tại dãy {f n j } sao cho
2 j < 1, m = 1,2, Đặt g(x) = lim m→∞g m (x) Theo bổ đề Fatou ta được
Như vậy g(x) < ∞ hầu khắp trên Ω và chuổi f n 1 (x) +
(f n j+1 (x)−f n j (x)) (1.5) hội tụ tới f(x) hầu khắp trên Ω Đặtf(x) = 0 khi nó không được xác định Do (1.5) ta có limfn m (x) =f(x) hầu khắp trên Ω, và với ε > 0 tuỳ ý, tồn tại N sao cho nếu m, n ≥ N thì ||f m −f n || < ε.
Do bổ đề Fatou, ta lai có
Ω f n j (x)−f n (x) pdx≤ ε p , nếu n ≥ N Như vậy f = (f − f n ) + f n ∈ L p (Ω) và ||f − f n || p −→ 0 khi n−→ ∞ Do đó L p (Ω) là không gian đầy đủ.
1.1.4 Hệ quả ([1]) L 2 (Ω) là không gian Hilbert tương ứng với tích vô hướng
Ta gọi giá của hàm f xác định trên Ω và ký hiệu suppf là suppf = {x ∈ Ω : f(x) 6= 0}.
Khi suppf ⊂⊂ Ω và suppf là compact thì ta nói f có giá compact trên Ω.
1.1.5 Định lí ([1]) Không gian C 0 (Ω) các hàm liên tục có giá compact trên Ω trù mật trong L p (Ω) với 1≤ p < ∞.
1.1.6 Định lí ([1]) Nếu 1 ≤ p < ∞ thì L p (Ω) tách được.
Không gian Sobolev H s với s ∈ (−∞, +∞)
Các kết quả được trình bày trong phần này được trích từ tài liệu tham khảo [16].
Như ở phần trên, chúng ta đã biết rằng L p (Ω) là một không gian Banach với chuẩn kuk L p (Ω) :
. Đặc biệt, với p = 2 ta có không gian các hàm bình phương khả tích và là không gian Hilbert với tích vô hướng
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá không gian Sobolev H s (Ω), với Ω là một miền trong R n Để dễ hiểu, chúng ta bắt đầu với trường hợp s = m ∈ N 0 và định nghĩa các không gian này là bổ sung đầy đủ của không gian các hàm C m (Ω).
Trước hết, chúng tôi giới thiệu không gian hàm
C ∗ m (Ω) :=nu ∈ C m (Ω) | kuk W m (Ω) < ∞o trong đó kuk W m (Ω) :
Khi đó, ta định nghĩa không gian Sobolev bậc mlà bổ sung đầy đủ củaC ∗ m (Ω) đối với chuẩn k.k W m (Ω) Điều này có nghĩa là với mỗi u ∈ W m (Ω), tồn tại một dãy {u k } k∈
N ⊂ C ∗ m (Ω) sao cho k→∞limkuưu k k W m (Ω) = 0 Hai dãy Cauchy {u k } và {v k } trong C ∗ m (Ω) được coi là tương đương nếu và chỉ nếu lim k→∞ku k −v k k W m (Ω) = 0 Điều này có nghĩa là không gian W m (Ω) bao gồm tất cả các lớp tương đương của các dãy Cauchy, và giới hạn ở (1.6) chỉ là một đại diện cho lớp các dãy Cauchy tương đương {u k } Hơn nữa, W m (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định bởi.
Rõ ràng, với m = 0 ta có W 0 (Ω) = L 2 (Ω).
Cách tiếp cận tượng tự có thể được sử dụng để định nghĩa không gian Sobolev
W s (Ω) với số số thực dương không nguyên s Đặt s = m+σ với m ∈ N 0 và 0< σ < 1. Chúng tôi giới thiệu không gian
C ∗ s (Ω) := nu ∈ C m (Ω) | kuk W s (Ω) < ∞o trong đó kuk W s (Ω) :
Với cách tương tự như trường hợp bậc nguyên, không gian Sobolev W s (Ω) bậc s là bổ sung đầy đủ của không gian C ∗ s (Ω) đối với chuẩn k.k W s (Ω) Khi đó,
W s (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
Rõ ràng, với m = 0 ta có W 0 (Ω) = L 2 (Ω).
Chú ý rằng tất cả các định nghĩa ở trên cũng đúng cho trường hợp Ω = R n Trong trường hợp này C 0 ∞ (R n ) trù mật trong W s (R n ) Ta ký hiệu
H s (R n ) := W s (R n ) với s ≥0. Thay vì các hàm trong không gian C m (Ω) ta xét không gian hàm
C ∞ (Ω) := u = u|e Ω với ue∈ C 0 ∞ (R n ) và giới thiệu chuẩn sau với s ≥ 0 kuk H s (Ω) := inf nkuk H s ( R n )|u = u|e Ω o.
Bây giờ ta định nghĩa H s (Ω) là bổ sung đầy đủ của C ∞ (Ω) đối với chuẩn k.k H s (Ω), nghĩa là với mỗi u ∈ H s (Ω), tồn tại một dãy {u k } k∈
Vì C 0 ∞ (Ω) ⊂C ∞ (Ω)nên với bất kỳ u ∈ C 0 ∞ (Ω), mở rộng tầm thường uebằng
0 bên ngoài Ω thuộc C 0 ∞ (R n ), ta định nghĩa không gian He s (Ω) với s ≥ 0 là bổ sung đầy đủ của C 0 ∞ (Ω) đối với chuẩn kukH e s (Ω) := kuke H s ( R n ). Định nghĩa này kéo theo
Chú ý rằng (1.7) kéo theo rằng He s (Ω) là một không gian con đóng của không gian H s (R n ).
Với s < 0, ta định nghĩa H s (Ω) là không gian đối ngẫu đối với tích vô hướng (., ) L 2 (Ω) Cụ thể hơn, với s < 0 ta định nghĩa chuẩn theo công thức kuk s = sup
Như thường lệ, ta ký hiệu bổ sung đầy đủ của L 2 (Ω) đối với chuẩn xác định theo công thức (1.8) bởi
/ với s < 0 (1.9) Đó là các không gian Sobolev có bậc âm.
Mở rộng (1.9), ta cũng có định nghĩa không gian He s (Ω) với s < 0 là bổ sung đầy đủ của không gian L 2 (Ω) đối với chuẩn kukH e s (Ω) := sup
Bổ sung đầy đủ này được ký hiệu bởi
He s (Ω) = H −s (Ω) / và là đối ngẫu của H −s (Ω) Với s > 0 ta có
Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt Ω = R n Trong trường hợp này, với bất kỳ s∈ R, ta có
Hơn nữa, các không gian Sobolev này có thể được đặc trưng qua biến đổi Fourier. Với bất kỳ u ∈ C 0 ∞ (R n ), biến đổi Fourier ub của u được xác định bởi
R n e −ix.ξ u(x)dx (1.11) và biến đổi Fourier ngược của ub là
Khi đó ta có công thức Parseval-Plancherel như sau kukb L 2 ( R n ) = kuk L 2 ( R n ) (1.13) với bất kỳ u ∈ C 0 ∞ (R n ) Một ứng dụng đơn giản của công thức (1.13) tới đồng nhất thức
= (iξ) α bu(ξ) với bất kỳ α ∈ N n 0 chứng tỏ rằng
(ξ α u(ξ))b ∈ L 2 (R n ) với mọi α ∈ N n 0 (1.14) và u ∈ C 0 ∞ (R n ) Điều này kéo theo
Đối với mọi s ∈ R và u ∈ C 0 ∞ (R n ), điều kiện 1 +|ξ| 2 s |bu(ξ)| 2 dξ < ∞ được thỏa mãn Ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng ||| ã ||| s là một chuẩn Định nghĩa H s (R n ) là không gian bổ sung đầy đủ của C 0 ∞ (R n ) theo chuẩn ||| ã ||| s Do đó, H s (R n ) trở thành một không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định.
Từ công thức Parseval (1.13), ta có
Trên thực tế, ta có thể chứng tỏ rằng H s (R n ) tương đương với H s (R n ) với mọi s ∈ R (chẳng hạn xem [23, p.235]) Do đó, ta có thể đồng nhất hai không gian
Khi nghiên cứu các bài toán giá trị biên, chúng ta cần xem xét giá trị của một phần tử trong không gian H¹(Ω) tại biên Γ của Ω Nếu u ∈ Hˢ(Ω) liên tục đến tận biên Γ, ta có thể nói rằng giá trị của u trên Γ là sự hạn chế của hàm u, ký hiệu là u|Γ Tuy nhiên, các phần tử của Hˢ(Ω) thường được xác định với sai khác trên các tập có độ đo bằng 0 trong không gian Rⁿ, do đó việc nói về hạn chế của chúng trên Γ là vô nghĩa Để khắc phục điều này, chúng ta cần một khái niệm mới, đó là khái niệm vết của một hàm trên Γ, nhằm thay thế cho khái niệm hạn chế truyền thống không còn áp dụng được Để hoàn thiện, chúng ta cần định nghĩa các không gian biên và bắt đầu với định nghĩa tích phân trên Γ thông qua phân hoạch đơn vị của Γ.
B (r) ⊂ R n Ta nói, một họ các hàm α (r) ∈ C 0 ∞ (R n ), r = 1, , p, là một phân hoạch đơn vị (a partition of unity) nếu α (r) : R n → [0,1] có giá compact supp α (r) b B (r) thỏa mãn p
X r=1 α (r) (x) = 1 với mọi x ∈ U Γ, trong đó U Γ là một lân cận mở n chiều thích hợp của Γ Nếu Γ ∈ C k,κ và k+κ ≥1, vectơ tiếp tuyến được xác định hầu khắp nơi cho x ∈ Γ∩B (r), coi như là phần tử bề mặt ds x Từ đó, với hàm f xác định trên Γ, ta định nghĩa tích phân.
Bây giờ ta đặt L 2 (Γ) là bổ sung đầy đủ của C 0 (Γ) đối với chuẩn kuk L 2 (Γ) :
Như chúng ta đã biết, L 2 (Γ) là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
Trong một miền Lipschitz mạnh Ω, tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính γ 0 : H s (Ω)→ L 2 (Γ) sao cho với mọi hàm u ∈ C 0 (Ω), ta có γ 0 u = u| Γ Đối với hàm u ∈ H 1 (Ω), γ 0 u được gọi là vết của u trên Γ, và ánh xạ γ 0 được xem như toán tử vết (bậc 0) Để xác định tất cả các phần tử trong L 2 (Γ) là vết của các phần tử trong H 1 (Ω), cần giới thiệu không gian vết H s (Γ), trong đó với s = 0, ta đơn giản đặt H 0 (Γ) = L 2 (Γ).
Cách hiệu quả nhất để định nghĩa không gian vết trên Γ là thông qua việc mở rộng các hàm đã được xác định trên Γ tới không gian Sobolev trên Ω Đối với s > 0, chúng tôi giới thiệu một không gian tuyến tính mới.
Khi đó không gian vết H s (Γ) được định nghĩa là bổ sung đầy đủ của C (s) (Γ) đối với chuẩn kuk H s (Γ) := inf γ 0 u=u e keuk
H s+ 1 2 (Ω) (1.20) Bất đẳng thức kγ 0 uke H s (Γ) ≤ kuke
H s+ 1 2 (Ω) với mọi ue∈ H s+ 1 2 (Ω) (1.21) và s > 0 bất kỳ.
Khi s < 0, không gian H s (Γ) được định nghĩa là đối ngẫu của H −s (Γ) thông qua tích vô hướng trong L 2 (Γ) Điều này có nghĩa là H s (Γ) là bổ sung đầy đủ của L 2 (Γ) theo chuẩn kuk, với định nghĩa H s (Γ) := sup kϕk H −s (Γ) =1.
Phương pháp chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh và ví dụ
Toán tử R(f, α) được định nghĩa là một toán tử chỉnh hóa cho phương trình A(x) = f0, trong đó A là toán tử từ không gian mêtric E vào không gian mêtric F và f0 thuộc F Để R(f, α) được xác định, cần có hai số dương δ1 và α1, với α nằm trong khoảng (0, α1) và f thuộc F, thỏa mãn điều kiện dF(f, f0) ≤ δ, trong đó δ nằm trong khoảng (0, δ1) Hơn nữa, tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho với mọi ε > 0, có một δ(ε) ≤ δ1 cho mọi f thuộc F.
Trong định nghĩa này, nếu α được chọn độc lập với f, thì phương pháp được gọi là chọn tiên nghiệm Ngược lại, nếu α phụ thuộc vào f và δ, thì đây được gọi là chọn hậu nghiệm.
Chúng tôi trình bày phương pháp chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh bằng cách đề xuất chỉnh hóa thưa có ràng buộc cho bài toán ngược tuyến tính trên một tập lồi đóng Bài toán cực tiểu trong chỉnh hóa thưa có ràng buộc được chứng minh là đặt chỉnh và hội tụ tới một nghiệm của bài toán ngược tuyến tính trên tập lồi đóng Những kết quả này mở rộng chỉnh hóa Tikhonov có ràng buộc đã được nghiên cứu bởi Andreas Neubauer Chúng tôi đã viết những kết quả này thành bài báo khoa học và gửi tới một tạp chí khoa học trong nước.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai không gian Hilbert thực X và Y, cùng với một toán tử tuyến tính bị chặn T từ X đến Y Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn giữa hai không gian này được ký hiệu là L(X, Y) Đồng thời, tích vô hướng và chuẩn trong không gian X và Y được ký hiệu lần lượt là h., i và k.k.
Mục đích của chúng tôi là tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử
T u = y và x ∈ C, (1.23) với y ∈ Y và C là một tập lồi đóng khác rỗng trong X Hơn nữa, thay vì dữ kiện chính xác y, ta chỉ biết dữ kiện bị nhiễu y δ với ky−y δ k 6 δ (1.24)
Chúng ta biết rằng trong trường hợp không có ràng buộc, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện nếu T là một toán tử đặt không chỉnh Một câu hỏi quan trọng là liệu các ràng buộc lồi có giúp ổn định bài toán hay chúng là cần thiết để chỉnh hóa bài toán Một kết quả nổi tiếng của Tikhonov chỉ ra rằng hạn chế của một toán tử T đơn ánh (không nhất thiết phải tuyến tính) trên tập
Tập hợp C có toán tử ngược liên tục khi C là tập compact Ngoài ra, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện y nếu T là compact, đơn ánh và tồn tại một dãy trong C hội tụ yếu nhưng không hội tụ mạnh tới u 0,C Do đó, bài toán ràng buộc được đề cập là không chỉnh Việc áp dụng chỉnh hóa J− Tikhonov trong trường hợp có ràng buộc giúp giải quyết bài toán cực tiểu minu∈C.
Trong bài toán tối ưu hóa, hàm phạt J(u) được xác định dựa trên thông tin tiên nghiệm, với điều kiện α > 0 Khi J(u) = kuk^2, vấn đề này đã được nghiên cứu trong các tài liệu như [14, 22] Nếu chọn C = X và áp dụng phiếm hàm buộc tính thưa J, chúng ta có thể tham khảo thêm trong các bài báo [9, 10, 11, 12, 7].
Với{ϕ k }là một cở sở trực chuẩn của không gian Hilbert X thì với mỗiu ∈ X ta có biểu diễn u +∞
P k=1 u k ϕ k Khi đó u được gọi là thưa nếu chỉ có hữu hạn u k 6= 0.
Giả sử bài toán (1.23) là không chỉnh và có nghiệm với khai triển thưa trong cơ sở trực chuẩn {ϕ k } Dựa trên các giả thiết này, bài toán (1.23)-(1.24) được chỉnh hóa bằng cách giải bài toán cực tiểu minu∈C.
Phương pháp chỉnh hóa thưa, được mô tả trong các công thức (1.25) và (1.26), là một kỹ thuật quan trọng trong việc giải bài toán cực tiểu Nghiệm của bài toán này được chứng minh là thưa khi p = 1.
Chúng tôi chứng minh rằng bài toán (1.25) có ít nhất một nghiệm cho mọi α > 0 và các nghiệm này hội tụ tới nghiệm bình phương tối thiểu C −J của (1.23) khi α → 0, nếu Q C y ∈ T(C) Hơn nữa, nghiệm của bài toán (1.25) phụ thuộc liên tục vào dữ kiện y, cho thấy tính đặt chỉnh của bài toán Đặc biệt, với J(u) = kuk 2, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của (1.25), cũng như sự hội tụ của các nghiệm tới nghiệm bình phương tối thiểu C −J khi α → 0 và sự ổn định của các nghiệm với α > 0 cố định đã được chứng minh trong tài liệu [22] Chúng tôi sẽ chứng minh tính đặt chỉnh của bài toán (1.25) với phiếm hàm thuộc tính thưa J xác định bởi (1.26).
Một số tính chất của hàm J xác định bởi (1.26) được liệt kê trong Bổ đề sau (xem [9]).
1.3.2 Bổ đề ([9]) Hàm J : X → (−∞,+∞] (s > 0) thỏa mãn
6 Nếu u n * u và lim n→∞J(u n ) = J(u) thì lim n→∞u n = u.
Bây giờ chúng tôi giới thiệu khái niệm "nghiệm bình phương tối thiểu C −J" như sau:
1.3.3 Định nghĩa u 0,C được gọi là “nghiệm bình phương tối thiểu C −J” của (1.23) nếu nó là một nghiệm của minJ(u) đối với u ∈ argmin u∈C kT u−yk 2
Nghiệm bình phương tối thiểu C −J là cực tiểu của phiếm hàm J trong tập hợp các cực tiểu Mệnh đề dưới đây chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm củau 0,C.
1.3.4 Mệnh đề Cho Q C là phép chiếu metric (the metric projector) của Y lên T(C) Khi đó nghiệm bình phương tối thiểu C −J tồn tại nếu và chỉ nếu
Q C ∈ T(C) Hơn nữa, nếu T là đơn ánh hoặc J là lồi ngặt thì nghiệm đó là duy nhất.
Giả sử rằng uˆ là một cực tiểu của hàm kT u − yk 2 trên tập hợp C Do C là một tập đóng và lồi, và kT u − yk 2 là một hàm lồi và khả vi Fréchet, theo định lý Kuhn-Tucker, điều này tương đương với việc uˆ thuộc C và hTuˆ−y, u−Tuiˆ > 0 cho mọi u thuộc T(C).
Vì T(C) là đóng và lồi và g(u) := ku−yk 2 là hàm lồi chặt, khả vi Fréchet với
∇g(u) = 2(u−y) và lim kuk→∞g(u) = ∞, Q C được xác định là phần tử duy nhất trong T(C), mà bất đẳng thức hQ C y −y, u−Q C yi > 0,∀u ∈ T(C) (1.28) đúng Từ (1.27) và (1.28) ta có ˆ u ∈ C cực tiểu kT u−yk 2 trên C ⇔ uˆ ∈ C ∧Tuˆ= Q C y (1.29)
Lấy K := {ˆu ∈ C : ˆu cực tiểu kT u−yk 2 trên C} Khi đó (1.29) kéo theo rằng
K tập hợp K không rỗng nếu và chỉ nếu Q C y thuộc T(C) Hàm lồi kT u −yk 2 xác định trên tập lồi đóng C, cho thấy K là một tập lồi và đóng Do đó, nếu K không rỗng, hàm lồi J sẽ có ít nhất một cực tiểu trên K.
Nếu J là lồi chặt, thì J có một cực tiểu duy nhất trên K Ngược lại, nếu T là đơn ánh, K chỉ chứa một phần tử, và phần tử này cũng chính là cực tiểu duy nhất của J trên K.
Sự tồn tại và các tính chất đặc trưng của u α,C được đưa ra trong các bổ đề sau
Bổ đề 1.3.5 khẳng định rằng, với T ∈ L(X, Y), y ∈ Y, α > 0, C (tập lồi đóng) và J thỏa mãn Bổ đề 1.3.2, bài toán (1.25) sẽ có ít nhất một nghiệm Đặc biệt, nếu T là đơn ánh hoặc J là lồi ngặt, thì nghiệm của (1.25) sẽ là duy nhất.
Chứng minh Từ giả thiết của T, α, J và F, ta có thể lấy u n là một dãy cực tiểu của F, nghĩa là, một dãy các phần tử của C sao cho
Một số kết quả về bài toán xác định nguồn cho phương trình
Poisson với điều kiện biên Dirichlet
Các kết quả được trình bày trong phần này được trích từ tài liệu tham khảo[8]
Lấy Ω là một miền bị chặn trong R d với biên Γ Xét phương trình Poissson
−∆u = g trong Ω (2.1) với điều kiện biên Dirichlet γ 0 u := u |Γ = f (2.2) trong đó f và g là các hàm tương ứng thuộc H 1 2 (Γ) và L 2 (Ω) Bài toán (2.1) và (2.2) có nghiệm duy nhất trong lớp không gian hàm
H 1 (∆,Ω) ={u ∈ H 1 (Ω); ∆u ∈ L 2 (Ω)} với vết chuẩn tắc (the normal trace) γ 1 u := ∂u
∂n trên Γ xác định trên H − 1 2 (Γ) và là một ánh xạ liên tục Ta định nghĩa toán tử.
Bài toán nêu trên là bài toán trực tiếp Bài toán ngược là như sau
Bài toán ngược (IP) Cho dữ kiện đầu vào f ∈ H 1 2 (Γ)và quan sát tương ứng (corresponding observation) ϕ ∈ H − 1 2 (Γ), chúng ta có thể xác định duy nhất nguồn g sao cho
C(u) =ϕ trên Γ (2.3) với u là nghiệm của (2.1) và (2.2)?
Mặc dù nhiều nhà toán học đã nghiên cứu bài toán xác định nguồn từ đo đạc trên biên cho các phương trình parabolic và hyperbolic, nhưng bài toán này đối với phương trình elliptic vẫn chưa được khai thác đầy đủ.
Trước hết, chúng tôi trình bày một số tính chất của bài toán ngược Bài toán ngược (IP) nói trên có các tính chất sau đây:
Tính chất 1: Bài toán ngược (IP) là bài toán tuyến tính.
Thật vậy, với f ∈ H 1 2 (Γ), chúng ta định nghĩa hàm ω1 = ω1(f)
−∆ω 1 = 0 trong Ω (2.4) γ 0 ω 1 = f (2.5) và đặtN(f) = γ 1 ω 1 , N được biết là ánh xạ Steklov-Poincare cho phương trình Laplacian trong Ω và là phép đẳng cấu giữa H 1 2 (Γ)/R và
Mặt khác, với g ∈ L 2 (Ω), ta xét bài toán
Phương trình toán tử được xác định bởi Λ(g) = γ₁ω² cho thấy rằng Λ là một ánh xạ bị chặn từ L²(Ω) vào H¹/₂(Γ) Với các ký hiệu đã nêu, bài toán ngược (IP) có thể được diễn đạt lại dưới dạng Λ(g) = ϕ - N(f).
Do đó, để giải bài toán chúng ta phải mô tả các đặc trưng của ảnh và hạt nhân của toán tử Λ.
Tính chất 2: Chúng ta bắt đầu bằng việc xác định toán tử liên hơp của toán tử Λ Lấy ψ ∈ H 1 2 (Γ) và xác định φ = T ψ là một nghiệm trong H 1 (Ω) của bài toán
Khi đó, sử dụng công thức Green ta có
Do đó Λ ∗ = T (2.12) và T có thể mở rộng thành một ánh xạ đẳng cấu từ H − 1 2 (Γ) vào
Từ những phân tích ở trên, ta có định lý sau
2.1.1 Định lí ([8]) Với bất kỳ cặp (f, ϕ) thỏa mãn ϕ− N(f) ∈ H 1 2 (Γ), (2.14) bài toán ngược (IP) có nghiệm duy nhất g 0 ∈ H(Ω) Tất cả các nghiệm khác có dạng g = g 0 +g 1 với g 1 ∈ H(Ω) ⊥
Điều kiện (2.14) cho (f, ϕ) được thỏa mãn tự nhiên khi ϕ là vết chuẩn tắc γ 1 u, với u là nghiệm của (2.1) và (2.2) Việc xác định nguồn điều hòa g 0 từ dữ kiện đo ϕ 0 là ổn định, với ánh xạ ϕ 0 ∈ H 1 2 (Γ) dẫn đến g 0 ∈ H(Ω) (2.15) được xác định trong Định lý 2.1.1 là ánh xạ liên tục.
H(Ω) ⊥ = ∆(H 0 2 (Ω)) (2.16) Điều này có nghĩa là g 1 ∈ H(Ω) ⊥ nếu và chỉ nếu g 1 = ∆p với p ∈ H 2 (Ω) thỏa mãn γ0p = γ1p = 0.
Trong không gian Hilbert H(Ω) có cơ sở trực chuẩn, chúng ta có khả năng tính toán nghiệm có chuẩn cực tiểu 0 cho bài toán ngược (IP) một cách thông thường.
∂n ds trên H(Ω) (2.17) thì bằng các tính toán đơn giản ta có
Theo định lý Riesz, phép chiếu trực giao g0 của g trên không gian H(Ω) được xác định một cách duy nhất Chúng ta có thể dễ dàng tính toán phép chiếu này thông qua công thức g 0 +∞.
Hàm R được gọi là hàm lỗ hổng tương hỗ và được sử dụng để xác định một vết nứt phẳng từ việc đo đạc trên biên trong không gian H(Ω) Trong đó, (Rv n)v n là một cơ sở trực chuẩn của H(Ω), giúp tối ưu hóa quá trình phân tích và phát hiện vết nứt.
Chúng tôi sẽ trình bày trường hợp nguồn có dạng tích của hai hàm, trong đó một hàm đã được biết Cụ thể, hàm g được biểu diễn dưới dạng g(x) = b(x₀)h(x₀₀) với x = (x₀, x₀₀) trong một miền hình trụ.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa hai yếu tố b và h của nguồn g, với b là cơ sở và h là phần chiều cao khi n = 1 Chúng tôi trình bày một phương pháp hiện để xác định b khi h đã biết Đầu tiên, giả sử hàm ϕ được xác định trên toàn bộ biên ∂Ω, và sau đó sẽ xem xét trường hợp hàm ϕ chỉ được xác định trên một phần của biên trong phần tiếp theo.
Ta xét hàm lỗ hổng tương hỗ R đã sử dụng trong phần 2 và mối quan hệ
Nếu v(x) = φ(x 0 )ψ(x 00 ) và g được xác định bởi (2.18) thì hg, vi L 2 (Ω) = hb, φi L 2 (Ω 0 )hh, ψi L 2 (Ω 00 ).
Mặt khác, rõ ràng rằng nếu một hàm điều hòa v bằng φ(x 0 )ψ(x 00 ) thì tồn tại hằng số λ sao cho
∆ 00 ψ = λψ trong Ω 00 (2.20) với ∆ 0 (tương ứng ∆ 00 ) là toán tử Laplacian trong R n 0 (tương ứng R n 00 ).
Chúng ta áp dụng các nhận xét trên để tính toán b Lấy (φ n ) là một cơ sở trực chuẩn của không gian L 2 (Ω 0 ) ứng với bài toán giá trị riêng (trong R n 0 )
∂ n −αφ n = 0 trên ∂Ω 0 (2.22) trong đó α là hằng số dương nào đó.
Trong thực tế, điều kiện biên có thể khác với (2.22), miễn là các hàm riêng tạo thành một cơ sở trực chuẩn cho không gian L²(Ω₀) Các giá trị riêng (λₙ) đều dương và giới hạn khi x tiến tới vô cùng là lim (λₙ) = +∞.
Khi đó, nếu ψn là nghiệm bất kỳ của bài toán
Vì vậy, b được xác định hoàn toàn bởi các hệ số Fourier của nó theo cơ sở (φ n ) nếu các hằng số hh, ψ n i L 2 (Ω 00 ) khác 0.
Một ví dụ về tình huống này được trình bày trong mệnh đề dưới đây.
2.1.3 Mệnh đề ([8]) Nếu g là một nguồn tích như trong (2.18) với h dương thì g hoàn toàn được xác định bởi dữ kiện ϕ.
Để chứng minh, chúng ta chỉ cần lựa chọn ψ n sao cho hh, ψ n i L 2 (Ω 00 ) khác 0 với mọi n Công việc này khá đơn giản nhờ vào tính hiệu lực của nguyên lý cực đại đối với các toán tử −∆ 00 +λ n Cụ thể, nếu chọn χ n = (ψ n ) |∂Ω 00 > 0 thì sẽ dẫn đến ψ n > 0 trong Ω 00.
Khi n = 0 và n−1, khoảng Ω 00 được xác định là (a, b), với λ n khác 0 (n > 0 nếu điều kiện biên trong (2.22) là điều kiện Neumann) Hàm ψn có thể được biểu diễn dưới dạng ψn(x 00 ) = an ch(pλnx 00 ) + bn sh(pλnx 00 ) (2.27), trong đó an và bn là các hằng số thực tùy ý Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh rằng ψ n ≥ 0 khi ψ n (a) ≥ 0 và ψ n (b) ≥ 0, nhưng một cách đơn giản hơn là chọn an = 1 và bn = 0.
Trường hợp 2: Hàm ϕ xác định trên một phần của biên
Trong phần này, Ta giả thiết rằng dữ kiện ϕ = ∂y
Đường biên ∂n được đo trên một tập con mở Γ 0 của ∂Ω, và ký hiệu Γ 1 là bổ sung đầy đủ của Γ 0 trong ∂Ω Do đó, bài toán g ∈ H(Ω) không có dạng ϕ = γ1(u), với u là nghiệm của bài toán (2.1) và (2.2), mà chỉ có dạng ϕ0 := (γ1(u)) |Γ 0.
Biết rằng hàm g thuộc không gian H(Ω) được xác định từ thông tin về Rv với mọi hàm v trong H(Ω) Tuy nhiên, dữ liệu quan sát chỉ trên một phần của biên cho phép tính toán Rv với các hàm v thuộc không gian HΓ 1 (Ω), trong đó HΓ 1 (Ω) bao gồm các hàm v trong H(Ω) có giá trị bằng 0 trên biên Γ1.
Tập này là tập con của H(Ω), do đó, chỉ với dữ liệu đo đạc trên một phần biên, chúng ta không thể xác định nguồn trong H(Ω) Tuy nhiên, trong trường hợp nguồn tích được xem xét, nếu nguồn xác định theo (2.18) và h đã biết, ta có thể tính toán b mà không cần biết Rv, với v ∈ H(Ω), chỉ cần biết Rθ n, trong đó (θ n) là một dãy các hàm điều hòa tách biến thích hợp.
∂Ω 00 ϕ 0 (x 0 , x 00 )ψ(x 00 )ds(x 00 ) dx 0 nên ta chọn điều kiện Dirichlet cho φ n để đạt được kết quả sau.
2.1.4 Mệnh đề ([8]) Giả sử rằng Γ 0 = Ω 0 ×∂Ω 00 thì với các điều kiện trong Mệnh đề 2.1.3, dữ kiện ϕ 0 xác định hoàn toàn nguồn g.
Để xác định b của một nguồn tích trong hình trụ, chỉ cần đo lưu lượng tại các điểm giới hạn của hình trụ.
Bây giờ, ta xem xét việc xác định một nguồn có dạng g = h(r)b(θ) trong một hình cầu từ đo đạc trên biên với lưu lượng ϕ = γ 1 u trong đó
Phương pháp số để xác định nguồn điểm cho phương trình Pois-
Poisson hai chiều với điều kiện biên Dirichlet
Các kết quả được trình bày trong phần này được trích từ tài liệu tham khảo [20]
Cho Ω là một miền bị chặn trong R 2 và Γ := ∂Ω là biên của Ω Xét phương trình Poisson
−∆u = f trong Ω (2.45) với điều kiện biên Dirichlet u |Γ = g trên ∂Ω (2.46)
Nếu hàm f thuộc L²(Ω) và g thuộc H¹²(Γ), bài toán xác định theo (2.45)-(2.46) sẽ có nghiệm duy nhất u thuộc H¹(Ω) Mục tiêu của phần này là xác định nguồn điểm chưa biết f trong phương trình (2.45) dựa trên dữ liệu đo đạc tại biên trong (2.46): g 7→ f.
Bài toán xác định nguồn có nhiều ứng dụng trong thực tế như xác định vết nứt [3, 5], xác định nguồn nhiệt [6], lý thuyết điện từ [21],
Một nguồn f trong (2.45) không thể xác định chỉ với các đo đạc trên biên; nó cần thông tin bổ sung để được xác định Ví dụ, nếu nguồn có dạng tích của hai hàm và một trong số đó đã được biết, hoặc nếu nguồn được xác định trong một hình trụ với vùng đáy đã biết, thì có thể xác định nguồn chưa biết f từ dữ kiện trên biên g Thêm vào đó, khi cả u và f đều trơn, một số phương pháp chỉnh hóa có thể được áp dụng để giải quyết bài toán này.
Ta định nghĩa các hàm hình trụ (cylindrical functions) Φ với bán kính ρ > 0 bởi Φ(r;ρ) : 1 (0 ≤ r < ρ)
Chúng ta ký hiệu các vị trí chính xác của N nguồn điểm phân biệt bởi {ξ j } N j=1 ⊂ Ω và giả sử rằng hàm nguồn chưa biết f ∈ L 2 (Ω) là tổ hợp tuyến tính của các hàm Φ trong (2.47) Hơn nữa, điều kiện quan trọng đặt ra là tất cả các nguồn điểm phải nằm bên trong miền Ω, tức là suppf := {x ∈ Ω;f(x) 6= 0} ⊂ Ω.
Do đó, hàm nguồn có thể biểu diễn dưới dạng f(x) N
X j=1 f j Φ(|x−ξ j |;ρ j ), ξ j ∈ Ω\Γ, x ∈ Ω∪Γ (2.49) trong đó |.| là ký hiệu khoảng cách thông thường trong R 2
Tiếp theo, chúng tôi trình bày phương pháp luận cho dữ kiện biên chính xác. Đầu tiên, chúng ta chú ý rằng bài toán nguồn đơn sau đây
−∆v = Φ(|.−ξ|;ρ) trong Ω, (2.50) có một nghiệm thuộc H 1 xác định bởi v
2ρ 2 log (|.−ξ|) (1−Φ(|.−ξ|;ρ)) +C(.), trong đó C(.) là một hàm điều hòa bất kỳ trong R 2 (xem [24]).
Nghiệm của mô hình nguồn nhiều điểm là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm của nguồn đơn với các bán kính cơ sở khác nhau Điều này được thể hiện qua công thức (2.51), cho thấy nghiệm có dạng u_N.
X j=1 f j C j (.), trong đó độ mạnh nguồn (source strength) của nguồn điểm thứ j được xác định theo công thức s j = f j ρ 2 j với j = 1,ã ã ã , N.
Sử dụng công thức (2.47), ta có u| Γ N
, (2.53) ở đây c j = Cj ρ 2 j , j = 1,ã ã ã , N là cỏc hàm điều hũa tựy ý.
Do nghiệm trên biên Γ trong (2.53) chỉ phụ thuộc vào s j và ξ j, nên việc xác định riêng biệt fj và ρj là không khả thi Điều này có nghĩa là, mặc dù chúng ta có thể đo đạc dữ liệu biên, nhưng không thể phân biệt hình dạng của hai hình trụ nếu thể tích của chúng là giống nhau.
Lưu ý rằng log|r| triệt tiêu hoàn toàn khi r = 1 Chúng ta xem xét trường hợp đặc biệt khi Ω là hình tròn đơn vị Nếu hệ số hằng số C j (.) trong (2.52) bằng 0, chúng ta không thể xác định nguồn chưa biết nếu nó nằm tại tâm của hình tròn Trong trường hợp này, cần áp đặt một vài điều kiện bổ sung, chẳng hạn như thông lượng tổng thể là hằng số.
Ω f dΩ =constant, (2.54) thì ta có thể xác định được nguồn chưa biết.
Trong phần này, ta sẽ xét trường hợp đặc biệt khi miền được xét là hình tròn đơn vị và thông lượng tổng thể bằng 0, tức là
Các hàm hằng cj ≡ λ ∈ R với mọi j = 1, 2, , N được áp dụng trong công thức (2.53) Khi có một thông lượng toàn thể khác 0, ta có thể đặt λ = 0 để tính toán tất cả các s j, ngoại trừ s j tại tâm của hình tròn Để tính toán s j tại tâm, ta sử dụng thông tin về thông lượng tổng thể Tình huống phức tạp này chỉ xuất hiện khi Ω là hình tròn đơn vị.
Giả sử rằng tập hợp các vị trí của các điểm nguồn trong (2.49) χe N := nξe j : 0 < ξe j −ξ j
Trong công thức (2.56), ε ξ được hiểu là sai số đo đạc vị trí nguồn, đại diện cho sai số lớn nhất trong số tất cả các sai số đo đạc của N vị trí nguồn điểm, với j = 1, 2, , N.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày phương pháp áp dụng cho trường hợp dữ liệu biên tự do không bị nhiễu Ký hiệu Ball(o,r) đại diện cho một hình cầu có tâm tại điểm o và bán kính r.
Theo giả thiết, tập B phải chứa tất cả các vị trí chính xác χ N := {ξ j } N j=1 ⊂ B (2.58) Được thúc đẩy bởi phương pháp nghiệm cơ bản [4], ta chọn một dãy tâm thử nghiệm,
Y p := {y k , k = 1,2,ã ã ã , P} ⊂ B, (2.59) với P ≥ N, và xấp xỉ nghiệm hạn chế trên biên (2.53) bởi u| Γ ≈ub: P
Trong đó, λ ∈ R là một hằng số và σk là độ mạnh nguồn (the source strength) liên kết với y k ∈ Y p
Mục đích của chúng ta là xác định s j từ vị trí B(ξe j , ξ ) và tập dữ kiện biên
G M là tập hợp các điểm x i thuộc Γ với i = 1 đến M, trong đó M lớn hơn hoặc bằng P Đầu tiên, chúng ta xem xét trường hợp dữ liệu biên trong (2.61) là chính xác M điểm rời nhau được sắp xếp theo thứ tự trong (2.60) và phân bố đều trên Γ hoặc một phần của Γ, dẫn đến u(xb i) = -1.
X k=1 σ k (log (|x i −y k |) +λ) = g(x i ), x i ∈ G M (2.62) ở đây x i ∈ G M và y k ∈ Y P Hệ M ×P của (2.62) có thể viết dưới dạng ma trận
, (2.64) với g = [g(x1),ã ã ã , g(xM)] T và σ = [se 1,ã ã ã ,se k] T
Trong tính toán số, hệ (2.63) sẽ được giải bằng cách sử dụng phân tích giá trị kỳ dị (the singular value decomposition) (SVD):
Trong công thức A = ∪ΣV ∗, σ được xác định bởi σ = VΣ † U ∗ g, với U và V là các ma trận trực giao, và Σ là ma trận đường chéo chứa các giá trị kỳ dị Ma trận nghịch đảo ổn định hóa của Σ, ký hiệu là Σ †, được tính theo công thức h Σ † i ii.
Phương pháp phân tích giá trị kỳ dị chặt cụt (TSVD) được sử dụng để xác định các giá trị kỳ dị trong ma trận, với điều kiện rằng bất kỳ giá trị nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một ngưỡng τ do người dùng xác định sẽ bị loại bỏ Khi i = 1, các giá trị P và τ sẽ được thiết lập, giúp tối ưu hóa quá trình phân tích.
Sau khi tính toán tất cả các σ k theo công thức (2.62), chúng ta chuyển nghiệm trong mỗi hình cầu thành một điểm nguồn Độ mạnh của nguồn thứ j liên kết với hình cầu B j được xác định bởi bsj := X.
Khi đó bs j tương ứng với vị trí ξb j := 1 bsj
Trong quá trình tính toán với từng điểm nguồn, chúng ta khởi đầu bằng việc xác định vị trí ước lượng đầu vào ξe Phương pháp được đề xuất không chỉ cung cấp một ước lượng về độ mạnh của nguồn theo công thức (2.66), mà còn đưa ra một ước lượng mới cho vị trí điểm nguồn dựa trên công thức (2.67) Sau đó, chúng ta sử dụng ξblà đầu vào mới ξe và tiếp tục quá trình tính toán cho đến khi đạt được một ước lượng chính xác hơn.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày phương pháp luận cho dữ kiện biên có nhiễu, nhấn mạnh rằng các bài toán không chỉnh thường nhạy cảm với sai số trong dữ liệu đầu vào Trong thực tế, dữ kiện biên chính xác hiếm khi có được, vì vậy việc nghiên cứu xác định nguồn với dữ kiện nhiễu là rất quan trọng Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đề xuất một cơ chế nhằm loại bỏ các phép thử không hiệu quả, từ đó đạt được xấp xỉ chấp nhận được cho độ mạnh và vị trí của các nguồn chưa biết.
Giải thuật 1 Giải thuật xác định nguồn