B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI Lấ TH VN ANH MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH VI TON T N IU Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Khut Vn Ninh H NI - 2015 i LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS Khut Vn Ninh S giỳp v hng dn tn tỡnh ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp em rt nhiu cỏch tip cn mt mi Em xin by t lũng bit n, kớnh trng sõu sc nht i vi thy Em cng xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho em sut quỏ trỡnh hc nghiờn cu v hon thnh lun H Ni, thỏng 11 nm 2015 Hc viờn Lờ Th Võn Anh ii LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca thy PGS.TS Khut Vn Ninh Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun vn, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 11 nm 2015 Hc viờn Lờ Th Võn Anh Mc lc M u 1 Mt s kin thc chun b 1.1 Khụng gian metric, nguyờn lý ỏnh x co 1.1.1 Khụng gian metric 1.1.2 Nguyờn lý ỏnh x co 1.2 Khụng gian Banach 1.3 Khụng gian Hilbert 12 1.4 Toỏn t n iu 13 1.4.1 Mt s khỏi nim n iu 13 1.4.2 Mt s khỏi nim liờn tc 14 1.4.3 Mt s tớnh cht ca toỏn t 14 Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vi toỏn t n iu 18 2.1 Mt s nh lý v toỏn t n iu 18 2.2 nh lý tn ti v nht nghim 24 2.3 Phng phỏp Galerkin 30 iii iv 2.4 Phng phỏp lp 33 2.5 Phng phỏp chiu lp 37 2.6 Cỏc nh lý liờn quan gia toỏn t n iu v toỏn t th 39 2.6.1 Toỏn t th 39 2.6.2 Mi liờn h gia toỏn t n iu v toỏn t th 47 ng dng 55 Kt lun 74 Ti liu tham kho 75 M U Lý chn ti Lớ thuyt phng trỡnh vi toỏn t n iu ó c cỏc nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu t nhng nm sỏu mi ca th k 20 Cú th k n cỏc cụng trỡnh ca cỏc nh toỏn hc nh P.I.Kachurovski, M.M.Vainberg, M.I.Visik, M.A.Crasnoselski, F.E.Browder, G.J.Minty, J.L.Lions, R.T.Rockafellar, Phng phỏp toỏn t n iu ó c ỏp dng ph bin lớ thuyt phng trỡnh o hm riờng phi tuyn Nhng c quan tõm l s tn ti nghim ca phng trỡnh, cỏc phng phỏp gii xp x phng trỡnh v ng dng vo nhng lp phng trỡnh c th Cho n lớ thuyt phng trỡnh vi toỏn t n iu ó thu c nhng kt qu rt phong phỳ Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v phng trỡnh vi toỏn t n iu nờn tụi ó chn ti: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vi toỏn t n iu lm ti lun thc s ca mỡnh Mc ớch nghiờn cu Lun nghiờn cu mt s phng phỏp gii phng trỡnh toỏn t n iu ng dng gii mt s phng trỡnh toỏn t n iu c th Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu mt s phng phỏp gii phng trỡnh toỏn t n iu i tng v phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: Phng trỡnh vi toỏn t n iu - Phm vi nghiờn cu: Nghiờn cu s tn ti nghim ca phng trỡnh, cỏc phng phỏp gii xp x phng trỡnh ng dng gii mt s phng trỡnh toỏn t n iu c th Phng phỏp nghiờn cu - Vn dng cỏc kin thc, phng phỏp ca Gii tớch hm, Gii tớch s, Phng trỡnh vi phõn - Su tm, nghiờn cu cỏc ti liu liờn quan - Phõn tớch tng hp v h thng húa úng gúp mi ca lun H thng húa nghiờn cu p dng gii mt s phng trỡnh toỏn t n iu c th Chng Mt s kin thc chun b Trong chng ny tỏc gi trỡnh by mt s khỏi nim v nh lý Gii tớch hm nh khụng gian metric, khụng gian Banach, phộp tớnh vi phõn khụng gian Banach, khụng gian Hilbert Trong chng ny trỡnh by mt s khỏi nim n iu, mt s khỏi nim liờn tc v mt s tớnh cht ca toỏn t 1.1 Khụng gian metric, nguyờn lý ỏnh x co 1.1.1 Khụng gian metric nh ngha 1.1.1 Ta gi khụng gian metric mt hp X = cựng vi mt ỏnh x d : X ì X R tha cỏc tiờn sau õy: 1)(x, y X)d (x, y) 0, d (x, y) = x = y, (tiờn ng nht); 2)(x, y X)d (x, y) = d (y, x), (tiờn i xng); 3)(x, y, z X) d (x, y) d (x, z) + d (z, y), (tiờn tam giỏc) nh x d gi l metric trờn X, s d(x, y) gi l khong cỏch gia hai phn t x, y Cỏc phn t ca X gi l cỏc im Cỏc tiờn 1), 2), 3) gi l h tiờn metric Khụng gian metric c ký hiu l X = (X, d) nh ngha 1.1.2 Cho khụng gian metric X = (X, d) Mt bt k X0 = ca X cựng vi metric d trờn X lp thnh mt khụng gian metric Khụng gian metric X0 = (X0 , d) gi l khụng gian metric ca khụng gian metric ó cho nh ngha 1.1.3 Cho khụng gian metric X = (X, d), dóy im (xn ) X, im x0 X Dóy im (xn ) gi l hi t ti im x0 khụng gian X n , nu > 0, n0 N , n n0 , thỡ d (xn , x0 ) < , kớ hiu l lim xn = x0 hay xn x0 (n ) n im x0 cũn gi l gii hn ca dóy (xn ) khụng gian X nh ngha 1.1.4 Cho khụng gian metric X = (X, d) Dóy (xn ) X c gi l dóy Cauchy (hay dóy c bn) nu > 0, n N : d (xn , xm ) < , n, m n Nu mi dóy Cauchy khụng gian metric X u hi t thỡ X c gi l khụng gian metric y 1.1.2 Nguyờn lý ỏnh x co nh ngha 1.1.5 Cho X l khụng gian metric nh x A : X X c gi l ỏnh x co nu tn ti s , < cho d (Ax, Ay) d (x, y),x, y X nh lý 1.1.1 (Nguyờn lý Banach v ỏnh x co) Mi ỏnh x co A ỏnh x khụng gian metric y (X, d) vo chớnh nú u cú mt im bt ng nht, ngha l tn ti nht mt im x X tha Ax = x , x l gii hn ca dóy (xn ) , xn = A (xn1 ) , n = 1, 2, , x0 X tựy ý v n d (x1 , x0 ) d (xn , x ) d (xn , x ) d (xn , xn1 ) , n = 1, 2, ú l h s co ca ỏnh x co A Chng minh Ly mt im bt k x0 X v lp dóy xn = A (xn1 ), n = 1, 2, ta c: d (x2 , x1 ) = d (Ax1 , Ax0 ) d (x1 , x0 ) = d (Ax0 , x0 ) , d (x3 , x2 ) = d (Ax2 , Ax1 ) d (x2 , x1 ) d (Ax0 , x0 ) , d (xn+1 , xn ) = d (Axn , Axn1 ) d (xn , xn1 ) n d (Ax0 , x0 ) , n = 1, 2, T ú suy n, p = 1, 2, ta cú p d (xn+p , xn ) p k=1 n = n+k1 d (Axn+k , Axn+k1 ) d (Ax0 , x0 ) k=1 n n+p d (Ax0 , x0 ) d (Ax0 , x0 ) Vỡ < nờn lim d (xn+p , xn ) = 0, p N ngha l (xn ) l dóy c n bn khụng gian metric y (X, d), t ú tn ti lim xn = x X n Ta cú d (Ax , x ) d (Ax , xn ) + d (xn , x ) = d (Ax , Axn1 ) + d (xn , x ) d (xn1 , x ) + d (xn , x ) , n = 1, 2, Cho n ta c d (Ax , x ) = hay Ax = x , ngha l x l im bt ng ca ỏnh x A 62 T (u + q (x) u + v q (x) v) (u v) dx = = T [ (u v ) + q (x) (u v)] (u v) dx = = T T = q (x) (u v)2 dx (u v ) (u v) dx + 0 Do T T q (x) (u v) dx q0 (u v)2 dx = q0 u v , 0 t w=uv w =u v , ú ta cú T T T (u v ) (u v) dx = T w dx w wdx = w w|0 + 0 M u (0) = u (T ) = w (0) = w (T ) = 0, nờn ta cú T T w dx (u v ) (u v) dx = 0 Vy L (u) L (v) , u v q0 u v , ngha l L l toỏn t n iu mnh v ú L n iu Gi s {i (x)} l mt h c lp tuyn tớnh y L2 [0, T ] Ta tỡm nghim xp x ca bi toỏn di dng 63 n un (x) = (x) + ck k (x) k=1 Xột dóy khụng khp Rn (x, c1 , , cn ) = L (un ) f = n ck L (k ) f (x) = L (0 ) + k=1 Ta tỡm ck cho Rn (x, c1 , , cn ) trc giao vi i , i = 1, n iu ny tng ng vi T n ck L (k ) f (x) i (x) dx = L (0 ) + i=1 T T n (L (0 ) f (x)) i (x) dx = ck L (k ) i (x) dx + i=1 n T L (k ) i (x) dx ck = i=1 T (L (0 ) + f (x)) i (x) dx t T aik = L (k ) i (x) dx, i, k =1, n T (f (x) L (0 )) i (x) dx, i = 1, n bi = Ta cú h phng trỡnh n ak ck = bi , i = 1, n k=1 Gi s phng trỡnh ny cú nghim ck k = 1, n thỡ ú n u (x) = (x) + ck k (x) k=1 l nghim nht ca bi toỏn 64 Vớ d 3.5 p dng phng phỏp bỡnh phng ti thiu ó trỡnh by vớ d 3.4 ta xột bi toỏn sau u + 3u = 3x4 3x3 12x2 + 6x u (0) = u (1) = Bit nghim chớnh xỏc ca bi toỏn l u = x4 x3 t L (u) = u + 3u, d dng kim tra c L l toỏn t n iu Ta gii bi toỏn bng phng phỏp bỡnh phng ti thiu Chn h c s {0 (x) , (x) , (x)} vi (x) = 0, (x) = x x2 , (x) = x2 x3 Khi ú ta cú L (0 ) = 0, L (1 ) = 3x2 3x + 2, L (2 ) = 3x3 + 3x2 + 6x p dng cụng thc tớnh aik = i (x)L (k ) dx, i, k = 1, ta cú a11 = (x) L (1 ) dx x x2 = 3x2 3x + dx = 0, 4333333333, a12 = (x) L (2 ) dx x x2 = 3x3 + 3x2 + 6x dx = 0, 2166666667, 65 a21 = (x) L (1 ) dx x2 x3 = 3x2 3x + dx = 0, 2166666667, a22 = (x) L (2 ) dx x2 x3 = 3x3 + 3x2 + 6x dx = 0, 1619047619 (f (x) L (0 )) i (x) dx, i = 1, ta cú p dng cụng thc tớnh bi = (f (x) L (0 )) (x) dx b1 = x2 x3 = 3x3 + 3x2 + 6x dx = 0, 1285714286, (f (x) L (0 )) (x) dx b2 = 3x4 3x3 12x2 + 6x = x2 x3 dx =0, 1178571429 Nh vy ta cú h phng trỡnh 0, 4333333333c1 + 0, 2166666667c2 = 0, 1285714286 0, 2166666667c + 0, 1619047619c = 0, 1178571429 c1 = 0, 2032967039 c = 1, 000000001 66 Vy nghim ca bi toỏn ó cho l u (x) = (x) + ck k (x) = k=1 = 0, 2032967039 x x2 1, 000000001 x2 x3 th biu din nghim chớnh xỏc ng mu , nghim gn ỳng ng mu xanh Hỡnh 3.1 Nhỡn vo th ta nhn thy trờn on [0, 1] ng mu biu din nghim chớnh xỏc gn nh trựng khp vi ng mu xanh biu din nghim gn ỳng Vớ d 3.6 Bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn phi tuyn cp hai u + q (x) u3 = f (x) u (o) = u (T ) = q (x) q > 0, x [0, T ] 67 t L (u) = u (x) + q (x) u3 L (v) = v (x) + q (x) v , ú ta cú T L (u) L (v) , u v = (L (u) L (v)) (u v) dx = T u + q (x) u3 + v q (x) v (u v) dx = = T (u v ) + q (x) u3 v = (u v) dx = T = T q (x) u3 v (u v) dx (u v ) (u v) dx + 0 Do T T q (x) u3 v (u v) dx = q (x) (u v)2 u2 + uv + v dx 0 T q0 (u v)2 u2 + uv + v dx 0, u, v, suy T L (u) L (v) , u v (u v ) (u v) dx t w = u v w = u v , ú ta cú T T T (u v ) (u v) dx = T 0 M u (0) = u (T ) = w (0) = w (T ) = 0, nờn ta cú T T w dx (u v ) (u v) dx = w dx w wdx = w w|0 + Vy L (u) L (v) , u v 0, 68 ngha l L l toỏn t n iu Bõy gi ta gii bi toỏn ny bng s kt hp gia phng phỏp sai phõn v phng phỏp Newton- Raphson Chia on [0, T ] thnh n phn bng bi cỏc im chia xi = hi, i = 0, n, h = Tn Kớ hiu u (xi ) = ui , q (xi ) = qi , f (xi ) = fi Thay gn ỳng thnh phn vi phõn u bi t sai phõn u i ui+1 2ui +ui1 h2 bi toỏn tr thnh ui+1 2u2i +ui1 + qi u3 i = fi , i = 1, n h u =u =0 n ui1 + 2ui + h2 qi u3 ui+1 h2 fi = 0, i = 1, n i u =u =0 n õy phng trỡnh ny l h phng trỡnh phi tuyn dng F1 (u1 , u2 , ., un ) = F2 (u1 , u2 , ., un ) = F (u , u , ., u ) = n n F (u) = Ta gii h phng trỡnh phi tuyn ny bng phng phỏp NewtonRaphson tỡm cỏc ui l cỏc giỏ tr gn ỳng ca nghim ca bi toỏn ó cho ti cỏc im x0 , x1 , ., xn Kớ hiu u = (u1 , u2 , ., un )T ; F (u) = (F1 (u) , F2 (u) , ., Fn (u))T ; (p) (p) u(p) = u1 , u2 , ., u(p) n T Gi s u = (u1 , u2 , ., un )T l nghim chớnh xỏc ú ta cú th vit 69 u = u(p) + (p) Xột ma trn Jacobian ca h cỏc hm Fi (u) , i = 1, n c gi thit l cỏc hm kh vi liờn tc i vi cỏc bin u1 , u2 , ., un , F1 (u) F1 (u) F1 (u) un u2 u1 F2 (u) F2 (u) F2 (u) u1 un u2 J (u) = Fn (u) Fn (u) Fn (u) un u1 u2 Gi s det J (u) = ú tn ti J (u) v (p) = J u(p) F u(p) , ú J u(p) l ma trn nghch o ca ma trn Jacobian J u(p) Cỏc xp x liờn tip c tỡm theo cụng thc u(p+1) = u(p) J u(p) F u(p) , p = 0, 1, 2, Vi u(0) cho trc thỡ cụng thc ny c gi l thut toỏn NewtonRaphson Vớ d 3.7 p dng vớ d 3.6 vo gii bi toỏn sau: u + x2 + u3 = x8 3x7 + 4x6 4x5 + 3x4 x3 u (0) = u (1) = Bit nghim chớnh xỏc ca bi toỏn l u = x2 x t L (u) = u + x2 + u3 , d dng chng minh c L (u) l toỏn t n iu Ta gii bi toỏn bng phng phỏp sai phõn Chia on [0, 1] thnh phn bi cỏc im chia xi = hi, i = 1, 5, h = 0, 2, ú ta 70 cú x0 = 0; x1 = 0, 2; x2 = 0, 4; x3 = 0, 6; x4 = 0, 8; x5 = t u (xi ) = ui , i = 0, q (xi ) = x2i + = qi , i = 0, f (xi ) = x8i 3x7i + 4x6i 4x5i + 3x4i x3i = fi , i = 0, Thay gn ỳng u i ui+1 2ui +ui1 h2 vo bi toỏn ta c h phng trỡnh ui+1 2u2i +ui1 + qi u3 i = fi , i = 1, h u =u =0 ui1 + 2ui + h2 qi u3 ui+1 h2 fi = 0, i = 1, i u =u =0 2u1 + 0, 0416u31 u2 + 0.0801703936 = u1 + 2u2 + 0, 0464u3 u3 + 0.0806414336 = u + 0.0807520256 = u + 2u + 0, 0544u u + 2u + 0, 0656u3 + 0.0802686976 = 4 Ta gii h phng trỡnh phi tuyn ny bng phng phỏp NewtonRaphson Lp trỡnh maple gii h phng trỡnh ny vi sai s = 106 : with(LinearAlgebra) : with(M T M ) : with(linalg) : f := x + 0.416e x3 y + 0.801703936e 1; g := x + y + 0.464e y z + 0.806414336e 1; h := y + z + 0.544e z t + 0.807520256e 1; k := z + t + 0.656e t3 + 0.802686976e 1; A := jacobian(F, [x, y, z, t]); 71 a := array(0 3); a[0] := [.15, .25, .25, .15]; C := inverse(A); E := multiply(C, F ); = 104 ; f or i f rom to n := i i; G := eval(E, [x = a[i][1], y = a[i][2], z = a[i][3], t = a[i][4]]); a[i + 1] := evalm(a[i] (eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2], z = a[i][3], t = a[i][4]]))); S[i] := norm(a[i + 1] a[i], 4); if S[i] < then print(a[i + 1]); fi : od : array([seq([n(i + 1), evalm(a[i + 1]), S[i]], i = 2)]); x + 0.0416x3 y + 0.0801703936 x + y + 0.0464 y z + 0.801703936 y + z + 0.0544 z t + 0.0807520256 z + t + 0.0656 t3 + 0.0802686976 [0.15, 0.25, 0.25, 0.15] 1000000 0.1600000000 0.2400000000 0.2400000000 0.1600000000 72 Bc lp Nghim xp x 0.1600056962 0.2400094947 0.2400099423 0.1600064656 0.1600000000 0.2400000000 0.2400000000 0.1600000000 0.1600000000 0.2400000000 0.2400000000 0.1600000000 Sai s 0.05152850437 0.00001199456405 Bng 3.1 p dng a thc ni suy Lagrange tỡm hm u(x) vi cỏc mc c cho theo bng: i xi 0,2 0,4 0,6 0,8 u(2) (x) -0,16 -0,24 -0,24 -0,16 Bng 3.2 ta thu c kt qu sau: 73 x (x 0, 4) (x 0, 6) (x 0, 8) (x 1) (0, 2) (0, 0, 4) (0, 0, 6) (0, 0, 8) (0, 1) x (x 0, 2) (x 0, 6) (x 0, 8) (x 1) 0, 24 (0, 4) (0, 0, 2) (0, 0, 6) (0, 0, 8) (0, 1) x (x 0, 4) (x 0, 2) (x 0, 8) (x 1) 0, 24 (0, 6) (0, 0, 4) (0, 0, 2) (0, 0, 8) (0, 1) x (x 0, 4) (x 0, 2) (x 0, 6) (x 1) 0, 16 (0, 8) (0, 0, 4) (0, 0, 2) (0, 0, 6) (0, 1) u(x) = 0, 16 Khai trin biu thc trờn ta c kt qu u(x) = 0, 99999999x2 0, 999999999x th biu din nghim chớnh xỏc ng mu , nghim gn ỳng ng mu xanh Hỡnh 3.2 Nhỡn vo th ta nhn thy trờn ng mu biu din nghim chớnh xỏc gn nh trựng khp vi ng mu xanh biu din nghim gn ỳng 74 KT LUN Lun c trỡnh by ba chng Chng trỡnh by kin thc chun b bao gm mt s khỏi nim v nh lý Gii tớch hm, trỡnh by mt s khỏi nim n iu, mt s khỏi nim liờn tc v mt s tớnh cht ca toỏn t Chng trỡnh by mt s nh lý quan trng ca lớ thuyt toỏn t n iu ú bao gm nh lý Browder Minty v tn ti nghim ca phng trỡnh, v phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi toỏn t n iu v v mi liờn h gia toỏn t n iu v toỏn t th Chng trỡnh by ng dng nh lớ Browder Minty Trong chng ny xột trng hp c bit ca nh lý Browder Minty cho toỏn t n iu t R vo R v so sỏnh kt qu thu c vi nh lý gii tớch c in v xột ng dng nh lý Browder Minty vo gii bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn thng cp hai Da vo nh lý Browder Minty khng nh s tn ti v nht nghim ca bi toỏn Sau ú tỡm nghim gii tớch ca bi toỏn tuyn tớnh bng phng phỏp Galerkin v tỡm nghim ca bi toỏn phi tuyn bng phng phỏp sai phõn Do thi gian v nng lc cú hn cho nờn lun khụng trỏnh nhng sai sút Em mong c cỏc thy cụ gúp ý lun c hon thin hn Em xin trõn trng cm n! 75 Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Phm K Anh (2005), Gii tớch s, NXB i hc quc gia H Ni [2] Nguyn Minh Chng, Ya.D.Mamedov, Khut Vn Ninh (1992), Gii xp x phng trỡnh toỏn t, NXB Khoa hc v k thut H Ni [3] Phm Huy in (2002),Tớnh toỏn, Lp trỡnh v ging dy toỏn hc trờn maple, NXB Khoa hc v K thut H Ni [4] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut H Ni [5] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc quc gia H Ni [B] Ti liu ting Anh v Ting Nga [6] ồởốớồộớỷồ ợùồũợớỷồ úõớồớố ố ợùồũợớỷồ ọốụụồồớửốởỹớỷồ úõớồớố ợủờõ ố ếõủờốộ ồr ừốủ [7] James M Ortega and Werner C Rheinboldt (1970), Iterative solution of nonlinear equations of several variables, Academic Press, New York and London 76 [8] Kung Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer-Verlag-Berlin Heidelberg [9] ộớỏồó ốửốợớớỷộ ỡồũợọ ố ỡồũợọ ỡợớợũợớớỷừ ợùồũợợõ úờ ợủờõ [...]... là toán tử đối ngẫu J của không gian V 18 Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn điệu Trong chương này tác giả trình bày một số định lý về toán tử đơn điệu, định lý Browder – Minty về sự tồn tại nghiệm của phương trình Trong chương này trình bày phương pháp Galerkin, phương pháp lặp và phương pháp chiếu lặp giải xấp xỉ phương trình với toán tử đơn điệu, mối liên hệ giữa toán tử. .. Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì đơn điệu đều với ρ (s) = ms2 - Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì d -đơn điệu với α (s) = ms - Nếu toán tử A đơn điệu đều thì đơn điệu nghiêm ngặt - Nếu toán tử A là d -đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì A là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt 1.4.2 Một số khái niệm liên tục Định nghĩa 1.4.2 Cho X là không gian định chuẩn thực, X ∗ là không gian liên hợp của X, toán tử A:... ∈ X 15 Nhận xét 1.4.2 - Nếu A là toán tử đơn điệu đều thì A là toán tử bức với hàm số γ được xác định: γ(s) = (s − 1)ρ(1) − Aθ - Nếu A là toán tử d -đơn điệu với hàm α và lim α(t) = +∞ thì A là t→+∞ toán tử bức với hàm γ(t) = α(t) − α(0) - Nếu J : X → X ∗ là toán tử đối ngẫu thì J là toán tử d -đơn điệu với α (t) = t, suy ra J là toán tử bức Định nghĩa 1.4.4 (Toán tử có tính chất (S)) Cho X là không... không gian véc tơ thực Rk cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert 1.4 Toán tử đơn điệu 1.4.1 Một số khái niệm đơn điệu Định nghĩa 1.4.1 Cho X là không gian định chuẩn thực, X ∗ là không gian liên hợp của X, toán tử A: X → X ∗ - Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu nếu Au − Av, u − v ≥ 0, ∀u, v ∈ X - Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt (hay đơn điệu thực sự) nếu Au − Av,... toán tử đơn điệu và toán tử thế 2.1 Một số định lý về toán tử đơn điệu Bổ đề 2.1.1 a) Toán tử A ∈ (X → X ∗ ) là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi mọi u, v ∈ X cố định hàm số biến số thực t → ϕu,v (t) = A (u + tv) , v là một hàm đơn điệu tăng trên [0, 1] b) Giả sử toán tử A ∈ (X → X ∗ ) khả vi Gâteaux và mọi u, v ∈ X cố định hàm t → A (u + tv) v, v liên tục trên [0, 1] Với những điều kiện đó A đơn điệu khi... đương của phương trình (2.13) và phương trình (2.14) Toán tử An là toán tử radian liên tục, đơn điệu nghiêm ngặt và là toán tử bức Trên cở sở của định lý 2.2.2 thì un cũng là nghiệm của phương trình (2.12) Trong quá trình chứng minh định lý 2.2.1 ta đã áp dụng phương pháp Galerkin và đã chỉ ra rằng một dãy con hội tụ yếu (unk ) của dãy compac yếu (un ) thì hội tụ yếu đến nghiệm của phương trình (2.12)... toán tử An Điều đó được sử dụng trong mục sau khi ta giải phương trình (2.14) bằng phương pháp lặp 31 Định lý 2.3.1 Giả sử A ∈ (X → X ∗ ) là toán tử radian liên tục, đơn điệu nghiêm ngặt và là toán tử bức Khi đó ∀n tồn tại duy nhất một nghiệm của phương trình Galerkin un và un u trong X Nghiệm u đó là nghiệm duy nhất của phương trình Au = f Chứng minh Sự tồn tại nghiệm duy nhất un của phương trình. .. cho với ∀n ≥ n0 thì u − un ≤ 1 2M , khi đó ∀n ≥ n0 thì Aun ∗ ≤ 2M Điều này mẫu thuẫn với giả thiết A không bị chặn địa phương Vậy nếu toán tử A đơn điệu thì bị chặn địa phương (Bổ đề được chứng minh) Hệ quả 2.1.1 Nếu A : X → X ∗ là toán tử tuyến tính, đơn điệu thì A liên tục Hệ quả 2.1.2 Giả sử A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu và K ⊂ X sao cho u ≤ M1 và Au, u ≤ M2 , ∀u ∈ K Khi đó tồn tại hằng số M... hn với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên X Ta kí hiệu In ∈ (Xn → X) là toán tử nhúng Xn vào X và In∗ ∈ (X ∗ → Xn∗ ) là toán tử liên hợp của toán tử In Phương trình Galerkin (2.13) trong đó In un = un có thể viết như là phương trình toán tử trong Xn dưới dạng Aun = fn , An = In∗ AIn ∈ (Xn → Xn∗ ) , fn = In∗ f ∈ Xn∗ (2.14) Do In un = un nên theo bổ đề 2.1.5 các tính chất của toán tử A được bảo lưu trên toán. .. bị chặn địa phương Định nghĩa 1.4.7 Toán tử A có dạng A = L∗ A0 L được gọi là toán tử mở rộng năng lượng của toán tử E (với tập xác định tự nhiên là M (E)), với tập xác định là D (E) và với miền giá trị là R (E) Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: a) A0 là toán tử đêmi liên tục của một không gian Banach Y nào đó vào không gian liên hợp của nó là Y ∗ ; b) L là toán tử tuyến tính từ một không gian