BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÙI THẾ QUÂN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG LOGISTIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÙI THẾ QUÂN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG LOGISTIC Chuyên ngành: Giải tích Mã số chuyên ngành: 9460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY TP HỒ CHÍ MINH - 2017 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS TS Nguyễn Bích Huy Các kết luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án Bùi Thế Quân Mục lục Lời cam đoan Danh mục ký hiệu Mở đầu 0.1 Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm ẩn hàm 0.2 Bất phương trình biến phân dạng logistic 0.3 Phương trình logistic chứa đạo hàm số hạng Kirchhoff 0.4 Hệ phương trình logistic MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN THIẾT 1.1 Khơng gian Banach có thứ tự, bậc tơ pơ nón 1.2 Toán tử p-Laplace 11 1.3 Giá trị riêng hàm riêng 12 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC SUY RỘNG 2.1 Giới thiệu toán 2.1.1 Phương trình logistic dạng tổng quát; Đưa phương trình toán điểm bất động 2.2 Các kết 2.2.1 Trường hợp tuyến tính tuyến tính 2.2.2 Trường hợp tuyến tính BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN 3.1 Giới thiệu toán 3.2 Đưa toán toán điểm bất động 3.3 Các kết 3.3.1 Trường hợp tuyến tính 3.3.2 Trường hợp tuyến tính 14 14 15 19 20 26 30 30 31 35 35 38 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC CHỨA SỐ HẠNG 44 4.1 Giới thiệu toán 44 4.2 Đưa phương trình tốn điểm bất động 45 4.3 Các kết 47 4.3.1 4.3.2 4.3.3 HỆ 5.1 5.2 5.3 Trường hợp hàm M tổng quát 48 Trường hợp hàm M (x, t) = a(x) + b(x)tη với b không suy biến 49 Trường hợp M (x, t) = a(x) + b(x)tη với số hạng b suy biến 52 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC Đặt tốn Đưa toán toán điểm bất động Các kết 5.3.1 Trường hợp tuyến tính tuyến tính 5.3.2 Trường hợp tuyến tính 59 59 60 61 61 72 Kết luận 77 Danh mục cơng trình tác giả 79 Danh mục kí hiệu Các chữ viết tắt đpcm Điều phải chứng minh e.g Ví dụ i.e Nghĩa h.k.n Hầu khắp nơi Ký hiệu tập hợp N R Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực R+ = [0, +∞) Tập hợp số thực không âm Ω Tập mở, bị chặn có biên trơn Rn Ký hiệu không gian hàm E E Không gian Banach Đối ngẫu khơng gian Banach E K Nón dương không gian Banach Lp (Ω) Không gian hàm f đo Lp+ (Ω) |f |p khả tích Ω Tập hàm không âm Lp (Ω) L∞ (Ω) Không gian hàm đo được, thực chất bị chặn Ω f p = f ∞ Ω |f |p p Chuẩn f không gian Lp (Ω) Chuẩn L∞ (Ω) C(Ω) W 1,p (Ω) = {f : Ω → R : f, Df ∈ Lp (Ω)} Không gian hàm thuộc Lp (Ω) có đạo hàm suy rộng thuộc Lp (Ω) ∂f ∂f ∂f , , , ∂x ) ∇f = ( ∂x ∂x2 n f = Ω |∇f |p Đạo hàm suy rộng hàm f p |(x1 , x2 , , xn )| = Chuẩn f W01,p (Ω) n i=1 |xi | Chuẩn Rn C0∞ (Ω) Không gian hàm khả vi vô hạn C01 (Ω) có giá compact Ω Khơng gian hàm khả vi liên tục W01,p (Ω) Ω u(x) = ∂Ω Bao đóng C0∞ (Ω) W 1,p (Ω) i(F, D, K) với chuẩn f = Ω |∇f |p p + Ω |f |p p Bậc tơpơ tốn tử F D tương ∆p u = ứng với K Toán tử p-Laplace div(|∇u|p−2 ∇u) ·, · Tích đối ngẫu E E B(a, r) = {x ∈ E : x − a < r} Quả cầu mở tâm a bán kính r E θ Phần tử khơng không gian Banach MỞ ĐẦU Năm 1977, M.Gutin R MacCamy đưa phương trình   ut − ∆u = λa(x)uα − b(x)uβ (0, +∞) × Ω, u=0 (0, +∞) × ∂Ω,  u(0, ·) = u0 > Ω (0.0.1) Phương trình (0.0.1) mơ tả tăng trưởng lồi đơn lẻ tự nhiên Trong u(x, t) mật độ lồi, Ω khơng gian sống, tham số λ đo độ tăng trưởng thú hàm b(x) giới hạn tập trung thú Trạng thái dừng (ổn định qua thời gian) (0.0.1) nghiệm u = u(x) phương trình elliptic sau, gọi phương trình logistic −∆u = λa(x)uα − b(x)uβ Ω, u = ∂Ω (0.0.2) Vì quan trọng ứng dụng mà phương trình dạng (0.0.2) nhà Tốn học từ nhiều quốc gia quan tâm nghiên cứu ngày Với giả thiết a(x), b(x) hàm trơn, α < 1, α < β nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nghiệm cổ điển (0.0.2) nhận đầy đủ thông tin i) Sự tồn tại, nghiệm Sự tồn nhiều nghiệm tùy theo giá trị tham số λ ii) Dáng điệu tiệm cận nghiệm λ → λ → ∞ iii) Sự phân nhánh nghiệm từ nghiệm θ ∞ Để mô tả xác mơ hình thực tế mở rộng túy toán học mà sau toán tử Laplace thay toán tử p – Laplace toán tử vi phân tổng quát, tính quy hàm a(x), b(x) giảm nhẹ, tương quan α, β, khác với α < 1, α < β nghiên cứu Khi giảm nhẹ tính quy a(x), b(x) nghiệm cổ điển (0.0.2) khơng tồn người ta quan tâm đến nghiệm yếu phương trình Phần lớn kết theo hướng i), ii), iii) nêu cho nghiệm yếu Để nhận kết nhiều định lý lý thuyết phương pháp cũ không áp dụng Các nhà Toán học chứng minh kết lý thuyết đưa phương pháp chỉnh sửa thích hợp Như vậy, việc mở rộng kiện tham gia phương trình khơng cho phép mơ tả xác tượng thực tế mà thúc đẩy phát triển Tốn học lý thuyết Luận án chúng tơi khảo sát bốn lớp phương trình bất phương trình elliptic chứa số hạng phi tuyến dạng logistic sau • Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm ẩn hàm • Bất phương trình biến phân dạng logistic • Phương trình logistic chứa đạo hàm số hạng Kirchhoff • Hệ phương trình logistic sử dụng phương pháp nghiên cứu thống cho bốn tốn Đó sử dụng toán tử giải toán phụ để đưa toán xét tốn điểm bất động, sau sử dụng đánh giá nghiệm, lý luận thứ tự bậc tơ pơ nón để chứng minh tồn hai điểm bất động không tầm thường 0.1 Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm ẩn hàm Trong chương hai luận án nghiên cứu phương trình logistic suy rộng sau −∆p u = λf (x, u, ∇u) − g(x, u) Ω, u = ∂Ω, (0.1.3) u ẩn hàm không âm, không đồng không, Ω ⊂ RN (N ≥ 2) miền bị chặn với biên ∂Ω trơn, ∆p u = div(|∇u|p−2 ∇u) toán tử p- Laplace với < p < N λ tham số dương Điều kiện chúng tơi đặt lên hàm f (f ) ≤ f (x, u, v) ≤ m(x)uα + c|v|γ , α < p∗ − 1, γ < p (p∗ ) (x, u, v) ∈ Ω × R+ × RN , , m(x) ∈ Lq (Ω) với q > p∗ 1+α p∗ = pN N −p , t số mũ liên hợp với t ∈ (1, ∞) Tương tự thuật ngữ dùng cho trường hợp p = 2, chúng tơi chia tốn (0.1.3) ta suy meas(Ωn ) → Kết hợp (5.3.37), (5.3.38) tính liên tục tuyệt đối tích phân ta có (5.3.35) Do đó, từ (5.3.30) suy dãy (un ,vtnn ) p−1 bị chặn giả sử dãy hội tụ đến t0 Lấy ϕ = zn − z (5.3.30) áp dụng (5.3.34), (5.3.35) zn − z → θ Lδ (Ω), ta có lim Azn , zn − z = Do đó, zn → z W01,p (Ω) n → w W01,p (Ω) Do z + w = Bằng cách lý luận tương tự ta có wn = (unv,v n) nên (z, w) = (θ, θ) Giả sử z = θ ∗ Do zn → z, wn → w Lp nên giả sử zn → z, wn → w h.k.n Ω ∗ ∗ |zn | ≤ z0 ∈ Lp , |wn | ≤ w0 ∈ Lp Khi λf1 (x, (un , ) zn , (un , ) wn )ϕ λf1 (x, un , )ϕ = lim p−1 n→∞ n→∞ (un , ) (un , ) p−1 lim = λ p1 (x)z p−1 + e1 wp−1 ϕ, h.k.n Ω, λf1 (x, un , ) ≤ λ m1 (x)znp−1 + n1 (x)wnp−1 (un , ) p−1 ≤ λ m1 (x)z0p−1 + n1 (x)v0γ ∗ ∈ Lδ ⊂ L(p ) Điều dẫn đến λf1 (x, un , )ϕ = (un , ) p−1 lim n→∞ Ω λ p1 (x)z p−1 + e1 wp−1 ϕ, (5.3.39) Ω Từ (5.3.30), (5.3.34),(5.3.35) (5.3.39) ta có (λp1 (x)z p−1 + e1 wp−1 + t0 ϕ1 )ϕ, ∀ϕ ∈ W01,p (Ω) Az, ϕ = (5.3.40) Ω Nếu e1 wp−1 + t0 ϕ1 = ta gặp mâu thuẫn với λ > λ1 z ≥ θ, z = θ Còn e1 wp−1 + t0 ϕ1 = θ, đẳng thức (5.3.40) mâu thuẫn với Mệnh đề 1.3.1 Bước Từ Bước 1, Mệnh đề 1.1.3, 2.1.4, lặp lại lý luận Bước chứng minh Định lý 5.3.1, ta có tốn (5.1.1) có nghiệm khơng âm (u, v) Ta cịn chứng minh u = θ v = θ Giả sử nghiệm không âm (u, v) tốn (5.1.1) có u = θ Do điều kiện g(x, 0) = (H4)(b) ta suy θ = ∆p u + g(x, u) = λf1 (x, 0, v) = θ Điều mâu thuẫn suy điều phải chứng minh Ví dụ 5.3.5 Các hàm fi (x, z, t) = pi (x)z p−1 + ei tp−1 với pi ∈ L∞ (Ω), ei > 0, i = 1, thỏa mãn điều kiện Định lý 5.3.4 71 5.3.2 Trường hợp tuyến tính Trong trường hợp ta cần đặt thêm giả thiết tính quy lên hàm fi , gi , i = 1, Định lý 5.3.6 Giả sử điều kiện sau (H6) Các hàm gi : Ω × R+ → R+ , i = 1, liên tục, thỏa mãn điều kiện (g1) điều kiện sau gi (x,t) β t→∞ t Tồn số β ∈ (p − 1, p∗ − 1) cho lim = > x ∈ Ω Với ξi > 0, tồn σi > cho hàm t → σi tβ − gi (x, t) tăng [0, ξi ], i = 1, lim+ gti (x,t) = li < ∞ x ∈ Ω, hàm t → p−1 t→0 gi (x,t) up−1 tăng với h.k.n x ∈ Ω (H7) Hàm fi : Ω × R+ × R+ → R+ liên tục m1i uα + di v η < fi (x, u, v) ≤ m2i uα + ci v γ , β , p − < α < β, η > 0, i = 1, với ci , di , m1i , m2i > 0, p − < γ < p β+1 Khi đó, tồn λ cho với λ > λ tốn (5.1.1) có hai nghiệm không âm, không tầm thường Chứng minh Trong không gian C01 (Ω) × C01 (Ω) với chuẩn thơng thường (u, v) u C + v C , ta xét nón C1 = K = {(u, v) ∈ C01 (Ω) × C01 (Ω) : u(x), v(x) ≥ 0}, phần nón intK = {(u, v) ∈ C (Ω)×C (Ω) : u(x), v(x) > Ω ∂v ∂u (x) < 0, (x) < ∂Ω} ∂n ∂n Khi đó, tốn tử P ◦ N compact từ C01 (Ω) × C01 (Ω) vào Từ giả thiết (H6)(i) suy tồn số dương a1i , a2i , bi , i = 1, thỏa a1i tβ − bi ≤ gi (x, t) ≤ a2i tβ + bi , ∀(x, t) ∈ Ω × R+ , i = 1, Bước Cố định (u0 , v0 ) ∈ K \ {(θ, θ)} Ta chứng minh với R đủ lớn P [λN (u, v)] − (u, v) = t(u − u0 , v − v0 ), ∀t > 0, u, v ≥ θ, (u, v) C1 = R (5.3.41) Giả sử trái lại P (λN (un , )) − (un , ) = tn (un − u0 , − v0 ) thỏa mãn với dãy tn > 0, un , ≥ θ, (un , ) C → ∞ 72 Ta xét trường hợp sau Trường hợp 1: un → ∞, { C1 C1 } zn = P1 (λN1 (un , )) bị chặn Đặt zn = un + tn (un − u0 ) ta tn zn + u0 + tn tn + un = (5.3.42) Từ (5.3.42) suy zn C → ∞ Theo kết Lieberman [57] tính quy zn C = max |zn (x)| → ∞ từ theo kết Giorgi-Stampachia [38] ta có Ω zn → ∞ Từ (5.3.42)và định nghĩa tốn tử P1 zn p + g1 (x, zn )zn = λ Ω f1 (x, un , )zn , Ω điều dẫn đến   p zn + a11 zn β+1 β+1 m21 uαn zn + ≤ λ Ω Do { C1 } bị chặn nên { zn p Ω zn + u0 α+1 α+1 ≤C + zn C1 vnγ zn  + b1 γ(β+1) γ(β+1) β+1 β+1 zn Ω + C(ε) γ(β+1) γ(β+1) + ε zn 1+β 1+β + C, (5.3.43) } bị chặn, từ (5.3.43) ta suy α+1 α+1 ≤ C( zn + 1) ≤ C( zn α+1 β+1 + 1) Bất đẳng thức cuối dẫn đến zn β+1 → ∞ mà điều này, bất đẳng thức cuối, mâu thuẫn với α < β Trường hợp 2: { un C } bị chặn, C → ∞ Lý luận hoàn toàn tương tự Trường hợp 1, ta có điều mâu thuẫn Trường hợp 3: un C → ∞, C → ∞ Đặt zn = un + tn (un − u0 ), wn = + tn (vn − v0 ) Lý luận tương tự Trường hợp ta zn → ∞ wn → ∞ Bằng phép tính đơn giản lý luận Trường hợp dễ dàng thấy zn p + wn p +a zn + C(ε) β+1 β+1 + wn β+1 β+1 un γ(β+1) γ(β+1) + ≤ zn + u0 γ(β+1) γ(β+1) +ε α+1 α+1 + wn + v0 zn β+1 β+1 + wn α+1 α+1 β+1 β+1 + C, (5.3.44) Ta lại có un γ(β+1) γ(β+1) ≤ C un γ(β+1) p∗ ≤ C un 73 γ(β+1) ≤ C zn γ(β+1) với n đủ lớn Tương tự ta suy (zn , wn ) p + (zn , wn ) γ(β+1) γ(β+1) β+1 β+1 ≤ C wn γ(β+1) với n đủ lớn Từ từ (5.3.44) ≤C (zn , wn ) α+1 α+1 + (zn , wn ) γ(β+1) +1 ≤C (zn , wn ) α+1 β+1 + (zn , wn ) γ(β+1) +1 (5.3.45) Bất đẳng thức cuối dẫn đến (zn , wn ) β+1 → ∞ điều mâu thuẫn với α < β γ(β + 1) < p Bước Ta chứng minh với r đủ nhỏ (u, v) = P [tλN (u, v)], ∀t ∈ [0, 1], ∀u, v ≥ θ, (u, v) C1 = r Giả sử ngược lại, ta có (un , ) = P [tn λN (un , )] với dãy tn ∈ [0, 1], un , ≥ θ, (un , ) C = |un C + C → Khi đó, ta suy un → un p ≤ m un 1+α 1+α vnγ un +C (5.3.46) Ω Do dãy { C1 } bị chặn ta suy vnγ un ≤ C un 1+β 1+β Ω Mặt khác + α < + β < p∗ nên từ (5.3.46) ta có un p ≤C un 1+α + un 1+β , điều khơng thể + α > p, + β > p un → Bước Ta xét toán sau trường hợp đặc biệt toán 5.1.1   −∆p u = λuα − g1 (x, u) Ω, −∆p v = λv α − g2 (x, v) Ω,  u=v=0 ∂Ω, (5.3.47) với hàm g1 , g2 số α Từ giả thiết (H6), ta chứng minh tồn λ∗ cho với λ > λ∗ tốn (5.3.47) có nghiệm (uλ , vλ ) ∈ intK (xem [48]) α ∗ Giả sử λ > λ := λm với m0 = min{m1i , i = 1, 2} Do λm 2α > λ∗ , tồn (u0 , v0 ) ∈ intK cho α −∆p u0 = λm 2α u0 − g1 (x, u0 ), α −∆p v0 = λm 2α v0 − g2 (x, v0 ) Định nghĩa hàm ϕ : C01 (Ω)×C01 (Ω) → R sau ϕ(u, v) = sup{t ∈ R : (u, v) ≥ t(u0 , v0 )} Hàm ϕ định nghĩa liên tục lõm theo Mệnh đề 1.1.4 Chọn R > (u0 , v0 ) C để (5.3.41) thỏa đặt G = {(u, v) ∈ K, (u, v) 74 C1 < R, ϕ(u, v) > } Ta chứng minh i(P (λN ), G, K) = cách áp dụng Mệnh đề 1.1.2 Dễ thấy, cần kiểm tra ϕ(u, v) = 12 , ϕ[P [λN (u, v)]] > 21 Thật vậy, đặt (z, w) = P [λN (u, v)] −∆p z + g1 (x, z) = λf1 (x, u, v) ≥ λm11 uα ≥ λm0 uα λm0 ≥ α uα0 = −∆p u0 + g1 (x, u0 ) −∆p w + g2 (x, w) = λf2 (x, v, u) ≥ λm12 v α ≥ λm0 v α λm0 ≥ α v0α = −∆p v0 + g2 (x, v0 ) Do đó, theo mệnh đề 2.1.4 z ≥ u0 , w ≥ v0 hay ϕ(z, w) ≥ Mặt khác, Bước 1, ta có i (P ◦ (λN ), B(θ, R), K) = với R đủ lớn, i (P ◦ (λN ), B(θ, r), K) = với r đủ nhỏ Từ đó, ta có B(θ, r) ∪ G ⊂ B(θ, R), B(θ, r) ∩ G = ∅ i (P ◦ (λN ), B(θ, r), K) + i (P ◦ (λN ), G, K) = i(P o(λN ), B(θ, R), K) Vậy toán tử P ◦ (λN ) có điểm bất động G B(θ, R) \ B(θ, r) ∪ G Cuối ta chứng minh (u0 , v0 ) nghiệm khơng âm tốn (5.1.1) u0 ≡ θ v0 ≡ θ Thật vậy, từ điều kiện (H7), giả sử u0 ≡ θ θ = −∆p u0 + g1 (x, u0 ) = λf1 (x, u0 , v0 ) ≥ d1 v0η = θ Điều mâu thuẫn, ta có đpcm Định lý 5.3.7 Giả sử thêm Ω có biên thuộc lớp C , điều kiện (H7) Định lý 5.3.6 thỏa điều kiện (H6) thay điều kiện sau (H6 ) bi tβ ≤ gi (x, t) ≤ tβ , ∀(x, t) ∈ Ω × R+ với , bi > 0, i = 1, α, β Định lý 5.3.6 Khi đó, tồn λ > cho với λ > λ tốn 5.1.1 có hai nghiệm khơng âm Chứng minh Chứng minh chia làm bước Định lý 5.3.6 Dễ thấy Bước Bước thỏa Ta cần chứng minh Bước thỏa Thật vậy, ta xét toán sau −∆p u = λuα − λuβ Ω, u = ∂Ω 75 (5.3.48) Với p − < α < β , tồn Λ > cho với λ > Λ, toán 5.3.48 có nghiệm uλ ∈ W01,p (Ω), u > θ (xem e.g [71]) Áp dụng định lý tính quy hóa phi tuyến (xem e.g [64, p 311 – 312]) ta uλ ∈ C+ = {u ∈ C01 (Ω) : u ≥ θ} Hơn −∆p uλ + λuβλ = λuαλ ≥ nên áp dụng nguyên lý cực đại J L Vazquez [73], ta uλ ∈ intC+ Lấy α a0 2α λm0 λ > λ := max{ Λ2 m0 , m0 } với m0 = min{m1i , i = 1, 2}, a0 = max{ai , i = 1, 2} 2α > Λ Khi tồn u0 ∈ intC+ cho −∆p u0 = λm0 α λm0 β u − α u0 Ω 2α Ta định nghĩa hàm ϑ : C01 (Ω) × C01 (Ω) → R sau ϑ(u, v) = sup{t ∈ R : (u, v) ≥ t(u0 , u0 )} Hàm ϑ liên tục lõm Mệnh đề 1.1.4 Chọn R > (u0 , u0 ) C để (5.3.41) thỏa đặt G = {(u, v) ∈ K, (u, v) C1 < R, ϑ(u, v) > } Ta chứng minh i(P (λN ), G, K) = cách áp dụng Mệnh đề 1.1.2 Thật vây, với ϑ(u, v) = 12 , đặt (z, w) = P [λN (u, v)] −∆p z + g1 (x, z) = λf1 (x, u, v) ≥ λm11 uα ≥ λm0 uα λm0 λm0 ≥ α uα0 = −∆p u0 + α uβ0 ≥ −∆p u0 + a1 uβ0 ≥ −∆p u0 + g1 (x, u0 ) 2 −∆p w + g2 (x, w) = λf2 (x, v, u) ≥ λm12 v α ≥ λm0 v α λm0 λm0 ≥ α uα0 = −∆p u0 + α uβ0 ≥ −∆p u0 + a1 uβ0 ≥ −∆p u0 + g2 (x, u0 ) 2 Do đó, theo mệnh đề 2.1.4 z ≥ u0 , w ≥ u0 hay ϑ(u, v) ≥ Cuối , Bước 1, ta có i (P ◦ (λN ), B(θ, R), K) = với R đủ lớn, i (P ◦ (λN ), B(θ, r), K) = vói r đủ nhỏ Từ đó, ta có B(θ, r) ∪ G ⊂ B(θ, R), B(θ, r) ∩ G = ∅ i (P ◦ (λN ), B(θ, r), K) + i (P ◦ (λN ), G, K) = i(P o(λN ), B(θ, R), K) Vậy tốn tử P ◦ (λN ) có điểm bất động G B(θ, R) \ B(θ, r) ∪ G Chứng minh tương tự Định lý 5.3.6 ta có nghiệm (u, v) toán (5.1.1) thỏa u, v ≥ θ, u ≡ θ, v ≡ θ 76 Kết luận I Luận án khảo sát bốn lớp phương trình bất phương trình chứa số hạng phi tuyến dạng logistic áp dụng phương pháp thống để nghiên cứu chúng Đó xây dựng tốn tử giải toán phụ để đưa toán ban đầu tốn điểm bất động, sau sử dụng bậc tơ pơ nón, đánh giá nghiệm lý luận thứ tự để chứng minh tồn hai nghiệm không âm, khơng tầm thường tốn Các kết luận án Đối với phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm hệ phương trình logistic, kết thu – Trong trường hợp (p−1)- tuyến tính, tốn có nghiệm với λ > – Trong trường hợp (p − 1)-tuyến tính, tốn có nghiệm λ > λ0 , λ0 xác định từ giá trị riêng tốn giá trị riêng có trọng liên kết – Trong trường hợp (p − 1)- tuyến tính tốn có hai nghiệm λ đủ lớn Đối với bất phương trình logistic, luận án chứng minh – Bài toán (p − 1)- tuyến tính ln có nghiệm – Bài tốn (p − 1)- tuyến tính có nghiệm λ0 < với λ0 giá trị riêng tốn giá trị riêng có trọng liên kết Đối với phương trình logistic chứa đạo hàm số hạng Kirchhoff, luận án thu kết sau – Khi số hạng Kirchhorff có dạng tổng qt tốn (p − 1)- tuyến tính có nghiệm với λ > – Khi số hạng Kirchhoff có dạng M = a(x) + b(x)tη thì: ∗ Nếu b(x) khơng suy biến, tốn (p − 1)- tuyến tính có nghiệm với λ > λ0 ∗ Nếu b(x) suy biến tốn (p − 1) tuyến tính có nghiệm với λ ∈ (λ1 , λ2 ), khơng có nghiệm với λ > λ2 + σ Các số λ1 , λ2 , σ xác định rõ từ toán 77 II Các toán luận án nghiên cứu hướng Xét nghiệm Xét phân nhánh nghiệm từ nghiệm tầm thường nửa tầm thường (trường hợp hệ phương trình) Xét dáng điệu tiệm cận nghiệm tham số λ tiến tới ∞ 78 Danh mục cơng trình tác giả [Q1] Nguyen Bich Huy, Bui The Quan, Nguyen Huu Khanh, Existence and multi- plicity results for generalized logistic equations, Nonl Anal., 144(2016) , 77–92 [Q2] Nguyen Bich Huy, Bui The Quan, Positive solutions of logistic equations with dependence on gradient and nonhomogeneous Kirchhoff term , J Math Anal Appl 444:1(2016) 95–109 [Q3] Nguyen Bich Huy, Bui The Quan, Existence results for a class of logistic systems, J Sci HCM City Uni Edu., 14:9(2017) 5–14 79 Tài liệu tham khảo [1] J Ali, R Shivaji, Existence results for classes of Laplacian systems with signchanging weight, Appl Math Lett 20(2007) 558—562 [2] J Ali, A Shivaji, Positive solutions for a class of p- Laplacian systems with multiple parameters, J Math Anal Appl, 335(2007), 1013 –1019 [3] C O Alves and F J S A Corrêa, A sub-supersolution approach for a quasilinear Kirchhoff equation, J Math Phys 56, 051501 (2015), doi 10.1063/1.4919670 [4] C O Alves and G M Figueredo, Nonlinear perturbation of a periodic Kirchhoff equation in RN , Nonl Anal 75 (2012), 2750–2759 [5] H Amann and J López-Gómez, A priori bounds and multiple solutions for superlinear indefinite elliptic problems, J Diff Equat 146 (1998), 336 – 374 [6] D Arcoya, J Carmona, P J Martinez - Aparicio, Elliptic obstacle problems with natural growth on the gradient and singular nonlinear terms, Adv Nonl Stud 7(2007) 299–317 [7] E di Benedetto, C 1+α local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations, Nonl Anal., TMA, 1983, 7: 827—850 [8] J Blat and K J Brown Bifurcation of steady-state solutions in predator-prey and competition systems Proc Roy Soc of Edinburgh 97A(1984), 21–34 [9] L Boccardo, D Giachetti, F Murat, A generalization of a theorem of H Brezis and F Browder and applications to some unilateral problems, Pubb Lab Anal Numer., Univ Pièrre et Marie Curie, R89014, 1989 [10] L Boccardo and L Orsina, Sublinear equations in Ls , Houston J Math 20(1994), 99–114 [11] H Brezis and F Browder, Some properties of higher order Sobolev space, J Math Pures Appl 61(1982), 245–259 [12] F Brock, L Iturriaga and P Ubilla, A multiplicity result for the p-Laplacian involving a parameter, Ann H Poincáre 9(2008), 1371–1368 80 [13] F Cammaroto and L Vilasi, On a Schrăodinger-Kirchhoff type equation involving the p(x)Laplacian, Nonl Anal 81(2013), 42–53 [14] A Canãda, P Draábek and J L Gámez, Existence of positive solutions for some problems with nonlinear diffusion, Tran of the Amer Math Soc., 349(1997), 4231–4249 [15] S Carl, V K Le and D Montreanu, Nonsmooth Variational Problems and Their Inequalities, Springer, New York, 2007 [16] C.H Chen, On positive weak solutions for a class of quasilinear elliptic systems, Nonl Anal 62(2005) 751–756 [17] X Cheng, Z Zhang, Positive solutions for a class of multi-parameter elliptic systems, Nonl Anal.: Real World Applications, 14(2013), 1551 -1552 [18] E.N Dancer, On positive solutions of some pairs of differential equations, Trans Amer Math Soc., 284(1984), pp 729–743 [19] P Daniele, Evolutionary variational inequalities applied to financial equilibrium problems in an environment of risk and uncertainty, Nonl Anal 63(2005) e1645 — e1653 [20] M Delgado, J López-Gómez, A Suárez, On the symbiotic Lotka–Volterra model with diffusion and transport effects J Diff Equa., 160(2000), 175–262 [21] M Delgado and A Suarez, Nonnegative solutions for the degenerate logistic indefinite sublinear equation, Nonl Anal 52 (2003), 127–141 [22] M Delgado and A Suarez, Positive solutions for degenerate logistic indefinite superlinear problem: the slow diffusion case, Houston J Math 29(2003) 801–820 [23] J.I Díaz and J.E Saa, Existence et unicité de solutions positives pour certaines équations elliptiques quasilinéaires, C R Acad Sci Paris 305(1987), 521–524 [24] L Ding, S.W Xiao, Multiple positive solutions for a critical quasilinear elliptic system, Nonl Anal 72(2010) 2592—2607 [25] W Dong and J T Chen, Existence and multiplicity results for a degenerate elliptic equation, Acta Math Sinica 22(2006), 665–670 [26] P Drabek and J Hernandez, Existence and uniqueness of positive solutions for some quasilinear elliptic problems, Nonl Anal 44(2001), 189–204 [27] P Drabek, A Kufner and F Nicolosi, Quasilinear Elliptic Equations with Degenerations and Singularities, De Gruyter, Berlin, New York, 1997 [28] J Duel and P Hess, A criterion for the existence of solutions of nonlinear elliptic boundary value problems, Proc R Soc Edinb 74(1975), 49 – 54 81 [29] G M Figueiredo, Existence of positive solution for a Kirchhoff problem type with critical growth via truncation argument, J Math Anal Appl 401(2013), 706–713 [30] G M Figueiredo, C Morales-Rodrigo, J R Santos Junior and A Suarez, Study of a nonlinear Kirchhoff equation with non-homonogenous material, J Math Anal Appl 416(2014), 597–608 [31] L Gasinski and N S Papageorgiou, Nonlinear Analysis, Chapman and Hall, Boca Raton, 2005 [32] L Gasinski and N.S Papageorgiou, A variational approach to nonlinear logistic equations, Communications in Contemporary Mathematics, 17:3 (2015) 1450021–1–37 [33] L Gasinski and N.S Papageorgiou, On generalized logistic equations with a nonhomogeneous differential operator, Dynamical Systems, 29:2 (2014), 190—207 [34] L Gasinski and N.S Papageorgiou, Positive solutions for the generalized nonlinear logistic equations, Canadian Mathematical Bulletin, 59:1 (2016), 73–86 [35] L Gasinski and N.S Papageorgiou, Positive solutions for parametric equidiffusive p-Laplacian equations, Acta Math Scientia, Ser B Eng Edit., 34:3(2014), 610– 618 [36] Z M Guo, Coexistence states for systems of mutualist species J Math Anal Appl., 303(2005) 61–80 [37] Z M Guo, H S Yang , Structure of positive solutions for quasilinear elliptic systems - degenerate ecological model, Math Meth Appl Sci., 27(2004) 1671 –1686 [38] J D Gilbarg and N Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 1983 [39] M Girardia, M Matzeu, Positive and negative solutions ofa quasi–linear elliptic equation by a Mountain Pass method and truncature techniques, Nonl Anal 59(2004) 199 – 210 [40] M E Gutin and G C Mac Camy, On the diffusion of biological populations, Math Biosci, 33(1977), 35–49 [41] L J Hei, and J H Wu, , Existence and stability of positive solutions for an elliptic cooperative system, Acta Math Sinica, Eng Ser 21(2005) 1113 –1120 [42] J Hernandez, Positive solution for the logistic equations with unbounded weights, in: G Caristi, E Mitidieri (Eds), Reaction Diffusive System, Marcel Dekker, New York, 1998, 183–197 82 [43] Y Huang, Positive solutions of quasilinear elliptic equations, Topo Meth in Nonl Anal., 12(1998), 91–107 [44] N B Huy, N D Thanh and T D Thanh, On the structure of unbounded positive solutions to the quasilinear logistic equation, Nonl Anal 75(2012) 3682–3690 [45] N B Huy, N D Thanh and T D Thanh, Extremal solutions for a class of unilateral problems, Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen, 21(2002), 371–380 [46] T Hsu, Multiple positive solutions for a critical quasilinear elliptic system with concave-convex nonlinearities, Nonl Anal., 71(2009) 2688–2698 [47] N B Huy, Positive weak solutions for some semilinear elliptic equations, Nonl Anal 48(2002), 939–945 [48] A Iannizzotto and N S Papageorgiou, Positive solutions for generalized nonlinear logistic equations of superdiffusive type, Topol Meth Nonl Anal 38(2011), 95–113 [49] L Iturriaga, S Lorca and J Sanchez, Existence and multiplicity results for the pLaplacian with a p-gradient term, Nonlinear Differ Eq Appl NoDEA 15(2008), 729–743 [50] L Iturriaga and S Lorca, Existence and multiplicity results for degenerate elliptic equations with dependence on the gradient, Boundary Value Problems, V2007(2007) Article ID47218, 12 pages [51] S Kamin and L Veron, Flat core properties associated to the p-Laplace operator, Proc Amer Math Soc, 118(1993), 1079–1085 [52] D Kinderlehrer and G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980 [53] J Kolumbán, I Marchis, T Szász, Homogenization and reduction of dimension for nonlinear parametric variational inequalities, Nonl Anal., 71(2009) 819–828 [54] C Y Lei, F F Liao and Cl Tang, Multiple positive solutions for Kirchhoff type of problems with singularity and critical exponents, J Math Anal Appl, 421(2015), 521–538 [55] Y Li, F Li and J Shi, Existence of a positive solution to Kirchhorff type problems without compactness conditions, J Diff Equa., 253(2012), 2285–2294 [56] Z Liang, F Li and Shi, Positive solutions to Kirchhoff type equations with nonlinearity having prescriped asymptotic, Ann Inst H Poincáre Anal Nonlinear 31(2014), 155–167 83 [57] G M Lieberman, Boundary regularity solutions of degenerate elliptic equations, Nonl Anal., 12(1988), 1203–1219 [58] J Limaco, H R Clark and L A Medeiros, Vibrations of elastic string with nonhomogeneous material, J Math Anal Appl., 344(2008), 806–820 [59] Z Liu, On a class of quasilinear elliptic systems with critical growth, J Math Anal Appl., 403(2013) 558–570 [60] A Mao and S Luan, Sign-changing solutions of a class of nonlocal quasilinear elliptic boundary value problems J Math Anal Appl 383(2011), 239–243 [61] P Magrone, D Mugnai, R Servadei,Multiplicity of solutions for semilinear variational inequalities via linking and ∇-theorems, J Diff Equa., 228(2006) 191—225 [62] M Matzeu, R Servadei, Semilinear elliptic variational inequalities with dependence on the gradient via Mountain Pass techniques, Nonl Anal., 72(2010) 4347– 4359 [63] M Matzeu, R Servadei, Stability for semilinear elliptic variational inequalities depending on the gradient, Nonl Anal., 74(2011) 5161—5170 [64] N.S Papageorgiou, S.Th Kyritsti - Yallourou, Handbook of Applied Analysis, Springer, NewYork (2009) [65] R Peng, M.X Wang, W.Y Chen, Positive steady states of a prey-predator model with diffusion and non-monotone conversion rate, Acta Math Sinica, Engl Ser., 23(2007) 749–760 [66] S.H Rasouli, Z Halimi, Z Mashhadbanb, A remark on the existence of positive weak solution for a class of (p, q)− Laplacian nonlinear system with sign-changing weight, Nonl Anal., 73(2010) 385–389 [67] D Ruiz, A Suarez, Existence and uniqueness of positive solution of a logistic equation with nonlinear gradient term, Proccedings Royal Soc Edinburgh, 137A(2007), 555–566 [68] K Schmitt, V K, Le, Global Bifurcation in Variational Inequalities: Applications to Obstacle and Unilateral Problems, Springer - Verlag, 1997 [69] J Sun, Resonance problems for Kirchhorff type equations, Discrete Contin Dyn Sys 33(2013), 2139–2154 [70] S Takeuchi, Positive solutions of a degenerate elliptic equation with logistic reaction, Proc Amer Math Soc 129(2001), 433–441 [71] S Takeuchi, Multiplicity results for a degenerate elliptic equation with logistic reaction, J Diff Equat 173(2001), 138–144 84 [72] S Takeuchi, Stationary profiles of degenerate problems with inhomogeneous saturation values, Nonl Anal 63(2005), 1009–1016 [73] J.L Vázquez, A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations, Appl Math Optim 12(1984) 191–202 [74] L Wang, On a quasilinear Schrăodinger-Kirchhoff type equation with p radial potentials, Nonl Anal 83(2013), 58–68 [75] J Wang, L Tian, J Xu and F Zhang, Multiplicity and concentration of positive solutions for a Kirchhoff type problem with critical growth, J Diff Equa., 253(2012), 2314–2351 [76] G Y Yang, M X Wang, Structure of coexistence states for a class of quasilinear elliptic systems, Acta Math Sinica, Eng Ser., 23(2007) 1649–1662 [77] Z Zhang and K Perera, Sign-changing solutions of Kirchhoff type problems via invariant sets of descent flow, J Math Anal Appl, 317(2006), 456–463 85 ... sau • Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm ẩn hàm • Bất phương trình biến phân dạng logistic • Phương trình logistic chứa đạo hàm số hạng Kirchhoff • Hệ phương trình logistic sử dụng phương. .. 0.1 Phương trình logistic suy rộng chứa đạo hàm ẩn hàm 0.2 Bất phương trình biến phân dạng logistic 0.3 Phương trình logistic chứa đạo hàm số hạng Kirchhoff 0.4 Hệ phương trình logistic. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÙI THẾ QUÂN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG LOGISTIC Chuyên ngành: Giải tích Mã số chuyên ngành: 9460102