BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG NỬA NHÓM CHÍNH TẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ MINH PHƯƠNG NỬA NHÓM CHÍNH TẮC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Các quan hệ Grin nửa nhóm 1.1 Các quan hệ Grin 1.2 D- lớp quy 11 1.3 Nhóm Suytxenbecje H-lớp 14 Nửa nhóm tắc 2.1 Băng nửa nhóm Băng nhóm 18 18 2.2 Quan hệ thứ tự nửa nhóm quy nửa nhóm ngược 21 2.3 Nửa nhóm tắc 28 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Các quan hệ Grin đưa đến nhiều khái niệm kỹ thuật nghiên cứu nửa nhóm Nói riêng quan hệ Grin J nửa nhóm S cho aJb a b sinh iđêan tương đương S Do ta khảo sát tập thương S/J Năm 1980, R E Hartwig K S Nambooripad độc lập với xây dựng quan hệ thứ tự phận nửa nhóm quy (xem [5] [8] ) Dựa kết đó, M S Putcha đưa khái niệm nửa nhóm tắc Đó nửa nhóm S thoả mãn điều kiện J tương đẳng S nửa nhóm thương S/J thoả mãn số tính chất đặc trưng Luận văn dựa công trình Canonical semigroups Mohan S Putcha tạp chí Semigroup Forum năm 2011 (xem [9])để tìm hiểu cấu trúc nửa nhóm tắc Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương Quan hệ Grin nửa nhóm Trong chương này, hệ thống kiến thức liên quan đến quan hệ Grin, D - lớp quy nhóm Suytxenbecje H - lớp nửa nhóm Chương Nửa nhóm tắc Trong chương này, trước hết trình bày thứ tự tập, băng nửa dàn, băng nhóm Sau trình bày thứ tự HartwigNambooripad nửa nhóm quy nửa nhóm ngược Phần cuối luận văn trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm tắc Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo Khoa Sư phạm Toán học bạn học viên cao học 21 chuyên nghành Đại số Lý thuyết số quan tâm giúp đỡ hướng dẫn tận tình tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Kính mong quý thầy cô bạn đọc góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng 06 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG CÁC QUAN HỆ GRIN TRÊN NỬA NHÓM 1.1 Các quan hệ Grin 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, R, T sau S: aLb ⇔ S a = S b aRb ⇔ aS = bS aJb ⇔ S aS = S bS S a, aS , S aS tương ứng iđêan trái, iđêan phải iđêan S sinh a Thế L, R quan hệ tương đương S thỏa mãn R ◦ L nên D := L ◦ R(= R ◦ L) quan hệ tương đương S quan hệ tương đương bé S chứa L R Theo lý thuyết tập hợp H := L ∩ R(= R ∩ L) quan hệ tương đương S quan hệ tương đương lớn S chứa L R Các quan hệ L, R, J, D H xác định gọi quan hệ Grin nửa nhóm S Với a ∈ S L- lớp, R- lớp, J - lớp, D− lớp H - lớp chứa a ký hiệu La , Ra , Ja , Da Ha Hơn La ∩ Ra = Ha 1.1.2 Chú ý Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: aLb ⇔ ∃s, s ∈ S : a = sb, b = s a aRb ⇔ ∃r, r ∈ S : a = br, b = ar aJb ⇔ ∃s, s , r, r ∈ S : a = sbs , b = rar Hơn L ⊆ D, R ⊆ D nên H ⊆ D, D ⊆ J 1.1.3 Bổ đề Đối với nửa nhóm S tùy ý, ta có xDy ⇔ Lx ∩ Ry = ∅ ⇔ Ly ∩ Rx = ∅ Hơn Dy = Ly = y∈Dx Ry y∈Dx Chứng minh Theo định nghĩa D, xDy ⇔ ∃z ∈ S : xLz z Ry ⇔ ∃s ∈ S : xRs sRy Từ suy khẳng định thứ bổ đề Khẳng định thứ hai bổ đề suy từ L ⊆ D R ⊆ D 1.1.4 Bổ đề (Bổ đề Grin) Giả sử S nửa nhóm, xLy giả sử s, s ∈ S cho sx = y, s y = x Thế i) ρs : Rx −→ Ry (a −→ sa) ρs : Ry −→ Rx (b −→ s b) song ánh; ii) ρs = ρs ánh xạ ngược ρs hạn chế Rx ; iii) ρs cố định L- lớp, nghĩa z Dρ(z) với z ∈ Rx ; iv) ρs bảo toàn H- lớp, nghĩa u, v ∈ Rx : uHv ⇔ ρs (u)Hρs (v) Chứng minh Trước hết ta chứng minh ρs ánh xạ Rx vào Ry Thật vậy, giả sử z ∈ Rx nghĩa zS = xS Thế szS = sxS = yS Do ρs (z) = sz ∈ Ry Lập luận tương tự, có ρs ánh xạ từ Ry Rx Nếu z ∈ Rx zRx nên có phần tử u, u ∈ S cho z = xu, x = zu Thế s sz = s sxu = s xu = s yu = xu = z, s sz = z, ∀z ∈ Rx (∗) Từ ρs ρs (z) = ρs (sz) = s sz = z nên ρs ρs ánh xạ đồng Rx Tương tự, ρs , ρs ánh xạ đồng Ry Từ (i) (ii) Để chứng minh (iii), giả sử z ∈ Rx Thế z ρs (z) = sz lớp theo (∗) Để chứng minh (iv), ý uHv uLv uRv , uHv ⇔ ρs (u)Lρs (v) ρs (u)Rρs (v) ⇔ ρs (u)Hρs (v) (iii) R tương đằng trái ( ρs (u) = su, ρs (v) = sv ) Mặt khác, ρs (u)Hρs (v), nghĩa suHsv uHv , (∗), u = s su v = s sv (và R tương đẳng trái ρs giữ nguyên L- lớp) Nói riêng ρs ánh xạ H- lớp Hz (z ∈ Rx ) song ánh vào H- lớp Hs ρs (x) Dạng đối ngẫu Bổ đề 1.1.4 chứng minh tương tự Ở λr : S −→ S xác định λr (a) = ar, ∀a ∈ S 1.1.5 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm, y Rz giả sử r, r ∈ S cho yr = z, zr = y Thế i) λr : Ly −→ Lz λr : Lz −→ Ly song ánh, ii) λr = λ−1 r ánh xạ ngược λr hạn chế Ly ; iii) λr bảo toàn R- lớp, nghĩa wRr (w) với w ∈ Ly 1.1.6 Định lí Giả sử a c phần tử D- tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S Khi tồn phần tử b ∈ S cho aRb bLc, as = b, bs = a, tb = c, t c = b s, s , t, t thuộc S Các ánh xạ x → txs (x ∈ Ha ) z → t zs (z ∈ Hc ) ngược ánh xạ - lớp Ha Hc sang lẫn Đặc biệt hai H- lớp nằm Dlớp có lực lượng Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.4 1.1.5, ánh xạ , ϕ : y → ty(y ∈ Rb ) ϕ : z → t z(z ∈ Rc ) ngược bảo toàn L- lớp ánh xạ một- từ Rb lên Rc ngược lại Giả sử σ σ ánh xạ Bổ đề Grin, thu hẹp Ha Hb tương ứng (vì theo Bổ đề Grin, ánh xạ σ σ bảo tồn R lớp nên thu hẹp chúng ánh xạ - từ Ha Hb ngược lại) Tương tự, giả sử ϕ ϕ thu hẹp Hb lên Hc tương ứng Khi σϕ σ ϕ ánh xạ một- ngược từ Ha Hb ngược lại Nhưng chúng trùng với ánh xạ nêu Định lí 1.1.6 1.1.7 Định lí Tích LR L - lớp L R- lớp R nửa nhóm S chứa hoàn toàn D - lớp S Chứng minh Định lí tương đương với khẳng định a, a , b, b phần tử thuộc S mà aLa bRb abDa b Vì L tương đẳng phải nêu aLa kéo theo abLa b Vì R tương đẳng trái nên bRb kéo theo a bDa b Từ abRa b D = L ◦ R 1.1.8 Bổ đề (i) Giả sử e ∈ E(s) lũy đẳng Nếu xLe xe = x Nếu xRe ex = x (ii) Mỗi H - lớp chứa không lũy đẳng Chứng minh i) Nếu xLe x = se với s ∈ S Do x = se = se2 = se.e = xe Chứng minh khẳng định lại tương tự Kết sau định lí định vị Miler Cliphơt 1.1.9 Định lí Giả sử x, y phần tử nửa nhóm S Thế xy ∈ Rx ∩ Ly Ry ∩ Lx chứa lũy đẳng Chứng minh Trước hết ta giả sử xy ∈ Rx ∩ Ly Vì y Lxy nên ta chọn s = x Định lí 1.1.6 ρx : Ry → Rxy song ánh Vì xy Rx nên Rxy = Rx , ρx : Ry → Rx song ánh Ánh xa ρx bảo tồn L - lớp ρx ánh xạ Ry ∩ Ly vào Rx ∩ Lx = Hx Do tồn z ∈ Ry ∩ Lx cho ρx (z) = x, nghĩa zx = x Vì z Lx nên tồn u ∈ S cho z = ux Khi xux = xz = x zz = uxux = ux = z nên z ∈ E(S) Đảo lại, tồn lũy đẳng e ∈ Rx ∩ Ly theo Bổ đề 1.1.8, ey = y xe = x Từ eRy nhận xeRxy xRxy Từ eLy có ey Lxy nên y Lxy Từ xy ∈ Rx ∩ Ly Cuối cùng, Ry ∩ Lx chứa lũy đẳng lũy đẳng Ry ∩ Lx H - lớp ( Bổ đề 1.1.8(ii) ) 10 1.1.10 Bổ đề Giả sử e, f ∈ E(S) Thế với x ∈ Re ∩ Lf tồn y ∈ Rf ∩ Le cho xy = e yx = f Chứng minh Giả sử x ∈ Re ∩ Lf theo Bổ đề 1.1.8, x = ex = xf Hơn tồn u, v ∈ S cho e = xu, f = vx Thế y := f u phần tử cần tìm Thật vậy, trước hết có f = vx = vex = vxu = f ux = yx, e = xu = xf u = xy (*) Từ y ∈ Rf y = f u, y ∈ Le nên theo (*) y = f u = vxu = ve Do y ∈ Rf ∩ Le 1.1.11 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm G nửa nhóm S Thế G gọi nhóm S thân G nhóm (với phép toán S cảm sinh G) 1.1.12 Định lí Giả sử H H - lớp nửa nhóm S Thế điều kiện sau tương đương: (i) H chứa lũy đẳng; ii) Tồn x, y ∈ H cho xy ∈ H ; iii) H nửa nhóm S Chứng minh i) ⇒ ii) hiển nhiên, chọn x = e = y với lũy đẳng e ∈ H ii) ⇒ iii) Giả sử có ii) Thế suy i) theo Định lí 1.1.9, Rx ∩ Ly = H = Ry Lx Do H chứa lũy đẳng e, theo khẳng định ngược lại Định lí 1.1.9, H nửa nhóm S Hơn H vị nhóm với đơn vị e theo Bổ đề 1.1.8 Áp dụng Bổ đề 1.1.10, suy H nhóm (iii) ⇒ (i) Vì phần tử đơn vị nhóm H lũy đẳng S 25 2.2.9 Mệnh đề ([2] Bổ đề 2.1) Giả sử ≤ quan hệ thứ tự HartwigNambooripad nửa nhóm quy S , x, y ∈ S y tiền nghịch đảo y Thế x ≤ y x ∈ E(S(y )) với x = y ◦ y = y ◦ x (S(y )) 2.2.10 Định nghĩa Giả sử S vị nhóm G nhóm phần tử khả nghịch G Khi đó, (i) S gọi U - quy (unit regular) phần tử S có tiền nghịch đảo G S gọi U − quy ( uniquely unit regular) phần tử S có tiền nghịch đảo G (iii) Nửa nhóm S gọi RP- trội (RP-domintated) phần tử x ∈ S , tồn phần tử gx ∈ RP (S) cho x ≤ gx Nửa nhóm S gọi RP- trội (uniquelg RP- dominated) phần tử x ∈ S có phần tử gx cho x ≤ gx Từ định nghĩa trực tiếp suy nửa nhóm đơn hoàn toàn S nửa nhóm RP − trội nhất, S = RP (S) quan hệ thứ tự HartwingNambooripad quy quan hệ Hơn vị nhóm quy RP − trội ( RP trội nhất) Nếu U - quy ( tương ứng U - quy nhất) 2.2.11 Mệnh đề Giả sử T vị nhóm quy G nhóm phần tử khả nghịch T Thế x ∈ T g ∈ G ta có: x ≤ g ⇔ g −1 ∈ P re(x) Chứng minh Giả sử x ∈ T, g ∈ G g −1 nghịch đảo g G Thế theo Mệnh đề 2.2.9 x ≤ y ⇔ x = xg −1 x = xg −1 g = gg −1 x Từ x ≤ g ⇔ x = xg −1 x ⇔ g −1 ∈ P er(x) 2.2.12 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm orthodox S 26 nửa nhóm quy tập hợp lũy đẳng E S nửa nhóm S Từ định nghĩa suy nửa nhóm ngược nửa nhóm orthodox Với phần tử a nửa nhóm S Ký hiệu V (a) = {b ∈ S : aba = a, bab = a} tập hợp tất phần tử ngược a S Nếu S nửa nhóm orthodox V (a)V (b) ⊆ V (ab) Tương tự: 2.2.13 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm orthodox a, b ∈ S Thế P re(a)P re(b) ⊆ P re(ab) Chứng minh Giả sử a ∈ P re(a), b ∈ P re(b) Thế a = aa a.b = bb b Do ab(a b )ab = aa a.bb a a.bb b = aa abb b = aa a.bb b = ab Do a b ∈ P re(ab) nên P re(a)P re(b) ⊆ P re(ab) 2.2.14 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm quy với RP (S) = ∅ Chúng ta nói thứ Hartwing-Nambooripad S RP - hòa hợp (RPcompliant) điều kiện sau thỏa mãn: (∀x, y ∈ S)(∀g, h ∈ Rp(S))x ≤ g, y ≤ h ⇒ xy ≤ gh 2.2.15 Chú ý Chú ý thứ tự nửa nhóm đơn hoàn toàn RP − hòa hợp, RP (S) = S thứ tự S quan hệ Hơn nữa, T vị nhóm quy với nhóm phần tử khả nghịch G điều kiện RP - hòa hợp thứ tự T trở thành (∀x, y ∈ T )(∀g, h ∈ G)x ≤ g, y ≤ h ⇒ xy ≤ gh 2.2.16 Định lí Giả sử T vị nhóm quy Thế thứ tự T RP - hòa hợp T nửa nhóm orthodox 27 Chứng minh Giả sử T có nhóm phần tử khả nghịch G với đơn vị Giả thiết thứ tự T RP - hòa hợp e, f ∈ E(T ) Thế e ≤ 1, f ≤ Như ef ≤ nên ef ∈ E(T ) Do T nửa nhóm orthodox Đảo lại, giả thiết T nửa nhóm orthodox x, y ∈ T, g, h ∈ G cho x ≤ g, y ≤ h Thế theo Mệnh đề 2.1.9 g −1 ∈ P re(x), h−1 ∈ P re(y) Do (gh)−1 = h−1 g −1 ∈ P re(gh) theo Mệnh đề 2.2.13 Từ xy ≤ gh thứ tự S RP - hòa hợp 2.2.17 Ký hiệu Giả sử S nửa nhóm Đối với cặp phần tử x, y ∈ S , ký hiệu Ux,y = {u ∈ S : xuy = xy} 2.2.18 Mệnh đề Giả sử w ∈ S x, z ∈ yS (x, y ∈ S) Thế U(x,y) ⊆ U(w,z) Chứng minh Ta có w = sx, z = yt với s, t ∈ S Giả sử u ∈ Ux,y xuy = xy nên wut = (sx)u(yt) = s(xuy)t = sxyt = wt Do u ∈ Uw,t Từ Mệnh đề 2.2.18 trực tiếp suy 2.2.19 Hệ Nếu xLw, zRy S , Ux,y = Uw,z 2.2.20 Chú ý Giả sử S nửa nhóm e lũy đẳng S Khi eSe gọi vị nhóm địa phương S Nhóm phần tử khả nghịch eSe kí hiệu Ge (e ∈ E) nhóm tối đại S Ge∗ H- lớp chứa e S Định lý 2.2.22 đưa số kết liên quan đến nhóm Ge∗ với e ∈ RP (S) Trước hết , xin nhắc lại số kết [6] 2.2.21 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm a ∈ RP (S) Khi đó, 28 (i) Nếu b ∈ S cho a ∈ bS ∩ Sb b ∈ RP (S); (ii) Nếu a ∈ RP (S) Ha ∈ RP (S), Ha H- lớp chứa a S 2.2.22 Định lí Giả sử S nửa nhóm quy, e lũy đẳng RP (S) Ge nhóm phần tử khả nghịch eSe Thế Ge = e(RP (S))e Chứng minh Giả sử x ∈ Ge Thế x H- lớp tương đương với e S , x ∈ RP (S) theo Bổ đề 2.2.21 Như x = exe ∈ e(RP (S))e Đảo lại, giả sử x ∈ e(RP (S))e Thế x ∈ RP (S) RP (S) đóng phép nhân Do đó, x ∈ eSe x bảo toàn tính quy e, nên tồn z ∈ S cho e = exzxe, nghĩa e = xzx Cũng x = xe = ex nên xHe S x ∈ Ge 2.2.23 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm với phần tử không (i) S gọi nửa nhóm - đơn S có hai iđêan {0} S ; (ii) Lũy đẳng f ∈ E(S) gọi lũy đẳng nguyên thủy f = e f kéo theo e = e = f ; (iii) S gọi nửa nhóm - đơn hoàn toàn S nửa nhóm - đơn chứa lũy đẳng nguyên thủy 2.3 Nửa nhóm tắc 2.3.1 Khái niệm ký hiệu Giả sử S nửa nhóm Khi S gọi nửa nhóm quy hoàn toàn S hợp nhóm Trên tập lũy đẳng E = E(S) = {e ∈ S : e2 = e} S có cấu trúc tập song thứ tự e ≤ r f f e = e, e ≤ l f ef = e, ≤=≤ r ∩ ≤l 29 Các tập song thứ tự nửa nhóm quy xét tiết trước Chúng ta giả thiết lũy đẳng phần tử S nằm nhóm Từ J = D nửa nhóm - đơn nửa nhóm 0- đơn hoàn toàn.(Chẳng hạn, nhóm nhân ma trận vuông cấp n trường K thỏa mãn điều kiện đó) Hơn nữa, giả thiết S có phần tử nửa nhóm quy Do J J - lớp S , E(J) = J ∩ E(S) = ∅, E(J) = {a ∈ J : a2 = a} tập hợp tất lũy đẳng thuộc J Chúng ta xây dựng dạng (E(J), R, L) J S/J tập thứ tự J1 ≤ J2 J1 ⊆ SJ2 S Trong trường hợp này, dễ thấy e2 ∈ E(J2 ) , tồn e1 ∈ E(J1 ) cho e1 ≤ e2 Dù , e1 ∈ E(J1 ) không tồn e2 ∈ E(J2 ) cho e1 ≤ e2 Giả sử S/J ∗ = S/J − {0} Đối với J ∈ S/J ∗ , giả sử nửa nhóm địa phương J = J ∪ {0} với phép toán ◦ cho bởi, a, b ∈ J a◦b= ab ab ∈ J ab ∈ /J Thế J gọi ngược J nửa nhóm ngược 2.3.2 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm tắc điều kiện sau thỏa mãn: (C1 ) S/J ∗ có phần tử cực tiểu J0 ; (C2 ) Đối với J1 , J2 ∈ S/J ∗ với J1 ≤ J2 e1 ∈ E(J1 ) tồn phần tử e2 ∈ E(J2 ) cho e1 ≤ e2 ; (C3 ) Đối với J ∈ S/J ∗ , J ⊆ J ∪ {0} 2.3.3 Ví dụ Giả sử M vị nhóm G nhóm phần tử khả nghịch M : G = {u ∈ M : (∃v ∈ M )(uv = vu = 1M )} 30 1M đơn vị M Với J ∈ M/J ∗ , J M (J) = G ∪ J nhóm tắc 2.3.4 Chú ý Một nhóm phận B gọi nhóm Bran điều kiện sau thỏa mãn (B1 ) Nếu ab = c(a, b, c ∈ B) ba phần tử a, b, c xác định hai phần tử lại (B2 ) Giả sử a, b, c ∈ B (i) Nếu ab bc xác định (ab)c a(bc) xác định (ab)c = a(bc); (ii) Nếu ab (ab)c xác định bc (ab)c xác định a(bc) = (ab)c; (iii) Nếu bc a(bc) xác định ab (ab)c xác định (ab)c = a(bc); (B3 ) Mỗi phần tử a ∈ B tương ứng với cách với phần tử e, f, a ∈ B cho ea = af = a aa = f (các phần tử gọi tương ứng đơn vị trái, phải nghịch đảo a) (B4 ) Nếu e2 = e, f = f (e, f ∈ B) tồn a ∈ B cho ea = af = a Giả sử S/J = {J > J0 > 0}, J= 0 0 , , 0 0 , , 0 0 , , 1 0 , 1 0 0 0 1 , Thế J 0 , 0 0 , 0 nhóm Brant nửa nhóm S J0 mà J0 = nửa nhóm phần tử không bên phải (nghĩa xy = y, , ∀x, y ∈ J0 ) 31 2.3.5 Định lí Giả sử S nửa nhóm thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) Định nghĩa 2.3.2 Thế S nửa nhóm tắc J ∈ S/J ∗ , e0 ∈ E(J0 ), e, e ∈ E(J) thì: (i) e0 ≤ r e e0 ≤ r e kéo theo eRe ; (ii) e0 ≤ l e e0 ≤ l e kéo theo eLe Chứng minh Trước hết giả thiết S nửa nhóm tắc Giả sử e0 ≤ r e e0 ≤ r e Thế e ee0 = e e0 = e0 Do ee = Theo (C3 ) e , e ∈ J Từ e ∈ E(J) đó, eRe Le Giả sử e1 = e0 e ∈ E(J0 ) Thế e1 ≤ e Ta lại có e e1 = e e0 e = e ee0 e = ee0 e = e0 e = e1 e1 e = e0 e e = e0 e = e1 Do e1 ≤ e Theo (C3 ), e = e Như eRe Từ (i) Tương tự (ii) Giả thiết ngược lại , (i) (ii) đúng, giả sử J ∈ S/J ∗ , e, f ∈ E(J), cho ef = Giả sử ef ∈ J1 ∈ S/J ∗ Thế e1 Ref Lf1 e1 , f1 ∈ E(J1 ) Do ee1 = e1 , f1 f = f1 Giả sử e1 = e1 e, f1 = f f1 ∈ E(J1 ) Thế e1 ≤ e, f1 ≤ f e1 f1 = e1 ef f1 = ef ∈ J1 Do h1 ∈ E(J1 ) e Lh1 Rf1 Khi e1 ≥ e0 e0 ∈ E(J0 ) Thế e0 h1 = e0 e1 h1 = e0 e1 = e0 Do h0 = h1 e0 ∈ E(J0 ), h0 Le0 , h0 ≤ h1 Thế f1 h0 = f1 h1 h0 = h1 h0 = h0 Do f0 = h0 f1 ∈ E(J0) , h0 Rf0 , f0 ≤ f1 Do e0 Lh0 Rf0 , e0 ≤ e1 ≤ e, f0 ≤ f1 ≤ f Do (C2 ), h0 ≤ h1 h ∈ E(J) Thế e0 h = e0 h0 h = e0 h0 = e0 Do e0 ≤ l h, e0 ≤ e Theo (ii) , eLh Ta lại có hf0 = hh0 f0 = h0 f0 = f0 Vì f0 ≤ r h, f0 ≤ f Theo (i), f Rh Từ eLhRf Do ef ∈ J Như J ⊆ J ∪ {0} Vì (C3 ) thỏa mãn S nửa nhóm tắc 2.3.6 Ký hiệu Giả sử J ∈ S/J ∗ , e ∈ E(J), e0 ∈ E(J0 ) cho eJ ≥ e0 32 Ký hiệu ∧ = ∧(e0 ) = {eJ ∈ S : J ∈ S/J ∗ } ∪ {0} Thế ∧ biểu diễn đường hoành lũy đẳng J - lớp S ( J - lớp chứa lũy đẳng) 2.3.7 Định lí Giả sử S nửa nhóm tắc Thế (i) ∧ nửa dàn nhân; (ii) ∧ ∼ = S/J ; (iii) Nếu J1 , J2 ∈ S/J ∗ , J1 , J2 ⊆ (J1 ∪ J2 ) ∪ {0} Chứng minh (i) (ii) Giả sử J , J1 , J2 ∈ S/J ∗ , J ≤ J1 , J ≤ J2 Thế eJ ≤ f f ∈ E(J1 ) Do e0 ≤ f f = eJ1 Từ eJ ≤ eJ1 Tương tự eJ ≤ eJ Giả sử J kí hiệu J - lớp chứa eJ1 eJ2 Thế eJ ≤ eJ1 , eJ ≤ eJ2 Vì eJ (eJ1 eJ2 ) = eJ = (eJ1 eJ2 )eJ Do eJ1 eJ2 = eJ Từ eJ ≤ eJ nên J ≤ J Bởi J = J1 ∧ J2 tương tự, có eJ = eJ2 eJ1 (ii) Giả sử J1 ∧ J2 = J, e1 ∈ E(J1 ), e2 ∈ E(J2 ) Giả sử e1 e2 ∈ E(J ), J ∈ S/J ∗ Thế f1 Re1 e2 Lf2 f1 , f2 ∈ E(J ) Do e1 f1 = f1 , f2 e2 = f2 Giả sử f1 = f1 e1 , f2 = f2 e2 ∈ E(J ) Thế f1 ≤ e1 , f2 ≤ e2 f1 f2 = f1 e1 f2 e2 = e1 e2 ∈ J Từ tồn h ∈ E(J ) cho f1 Lh Rf2 Vì J ≥ J , thấy (C2 ) tồn f1 , h , f ∈ E(J) cho f1 ≥ f1 , h ≥ h , f2 ≥ f2 Theo Định lí 2.2.5, f1 Lh RRf2 Vì f1 , f2 ∈ J Do (c2 nên f1 ≤ e1 f2 ≤ e2 Vì f1 f2 = f1 e1 e2 f2 Vì e1 , e2 ∈ J J ≥ J nên ta thấy J = J Do e1 e2 ∈ J 2.3.8 Định nghĩa Tập ∧ = ∧(e0 ) gọi nửa dàn cắt ngang S 2.3.9 Chú ý Nửa nhóm S thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) S/J không thiết nửa dàn Năm 1973, T E.Hall xây dựng nửa nhóm ngược hữu hạn S với phần tử thỏa mãn (C3 ) cho S/J tập săp thứ tự phận hữu hạn 33 tùy ý với phần tử 2.3.10 Chú ý Nếu ta thay điều kiện (C2 ) điều kiện yếu (C2 ): Nếu e0 ∈ E(J0 ) J ∈ S/J ∗ , tồn lũy đẳng e ∈ E(J) cho e0 ≤ e Thế ∧ nửa dàn ∧ không đẳng cấu với S/J Ví dụ S/J = {J1 > J > J0 > 0}, J1 = {α}, J = {e, a, b, f }, J0 = {e0 , a0 , b0 , f0 } với  0 α=0 0  0 b=1  0 a0 =  0 0 0 0 0 0 0 0 0   0  , e =   1 0 0 0 0 0   0  , a =   0   0 0 0 ,f =  0   0 0 0  , b0 =  0 0 0 0   0 0  , e0 =  0   0 0 0  , f0 =  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  1 , 0 0 0 0  0 ,  0  0 0 0 Thế ∧(e0 ) = {α, e, e0 , 0} không đẳng cấu với S/J , ∧(f0 ) = {α, f, f0 , 0} đẳng cấu với S/J 2.3.11 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm tắc (i) Đối với J ∈ S/J ∗ , e ∈ E(J), ký hiệu A(e) = {e0 ∈ E(J0 ) : e0 ≤ e} Đối với X, Y ⊆ E(J0 ), định nghĩa (ii) XR∗ Y eRf e ∈ X, f ∈ Y đó; XL∗ Y eLf e ∈ X, f ∈ Y Rõ ràng R∗ , L∗ quan hệ tương đương nên tập hợp lũy thừa E(J0 ) 34 2.3.12 Định lí Giả sử S nửa nhóm tắc, J, J ∈ S/J ∗ , e ∈ E(J), f ∈ E(J ) Thế (i) e ≤ r f J ≤ J A(e)R∗ A(f ) Trong trường hợp này, e0 ∈ A(e), f0 ∈ A(f ), e0 Rf0 , ef ∈ E(J) xác định e0 ≤ ef e0 = e0 f (ii) e ≤ l f J ≤ J A(e)L∗ A(f ) Trong trường hợp này, e0 ∈ A(e), f0 ∈ A(f ), e0 Lf0 , f e ∈ E(J) xác định e0 ≤ ef e0 = f e0 Chứng minh Chúng ta cần chứng minh (i), phần (ii) suy từ lập luận đối ngẫu Phần đầu (i) suy từ Định lý 2.3.5 Để chứng minh phần thứ hai, giả thiết e0 ∈ A(e), f0 ∈ A(f ) cho e0 Rf0 Giả sử e0 = e0 f ∈ E(J0 ) Thế e0 ef = e0 f ef = e0 ef = e0 f = e0 ef e0 = ef e0 f = ef ee0 f = ee0 f = e0 f = e0 Do e0 ≤ ef 2.3.13 Hệ Giả sử S nửa nhóm với dàn cắt ngang ∧ = ∧(e0 ) Thế Se0 = {a ∈ S : ae0 = e0 = e0 a} dàn nhóm Chứng minh Giả sử a ∈ Se0 Thế a ∈ J J ∈ S/J ∗ Vì a2 ∈ Se0 , a2 = nên a2 ∈ J Do aHf f ∈ E(J) Thế f e0 = f ae0 = ae0 = e0 e0 f = e0 af = e0 a = e0 Từ e0 ≤ f f = eJ Đối với J ∈ S/J ∗ , GJ = {x ∈ Se0 : xHeJ } nhóm Se0 dàn nửa nhóm GJ , J ∈ S/J ∗ 2.3.14 Chú ý Trong số dàn cắt ngang lũy đẳng cách chọn lũy đẳng e0 , nói chung Se0 dàn nhóm Chẳng hạn xét nửa nhóm S/J = {G > J > 0}, G= 0 , 0 −1 , 35 J tập tất ma trận vuông cấp hai có hạng Thế G nửa nhóm tắc Nếu e0 = 0 , G nửa nhóm 0 phần tử khả nghịch Se0 , e0 = Se0 có nhóm phẩn tử khả nghịch tầm thường Trong nửa nhóm tắc S , J - lớp khác không cực tiểu J0 đóng vai trò quan trọng xác định cấu trúc S 2.3.15 Hệ Giả sử S nửa nhóm tắc Thế (i) J0 ngược S nửa nhóm ngược; (ii) J0 nửa nhóm ngược S nửa nhóm quy hoàn toàn; (iii) J0 nửa nhóm ngược S dàn nhóm Chứng minh (i) Giả thiết J0 ngược Giả sử J ∈ S/J ∗ e, f ∈ E(J), eRf Giả sử e0 ∈ E(J0 cho e0 ≤ e Thế e0 = e0 f ∈ E(J0 ), e0 ≤ f eRe0 Từ e0 = e0 e0 ≤ f Do (C2 ), e = f Tương tự eLf kéo theo e = f Từ J ngược S nửa nhóm ngược (ii) Giả thiết J02 ⊆ J0 Giả sử J ∈ S/J ∗ , e, f ∈ E(J) Thế e0 ≤ e, f0 ≤ f e0 , f0 ∈ E(J) Vì e0 f0 ∈ J0 nên tồn h0 ∈ E(J0 ) cho e0 Lh0 Rf0 Thế h0 ≤ h h ∈ E(J) Theo Định lí 2.3.5 eLhRf Từ ef ∈ J J ⊆ J nên S nửa nhóm quy hoàn toàn (iii) Suy từ (i) (ii) 2.3.16 Ví dụ Ta nhắc lại nửa nhóm S gọi băng phần tử S lũy đẳng , nghĩa E(S) = S Thế nửa nhóm S = {J > J0 > 0} băng nửa nhóm tắc, J= 0 0 0 , 1 0 0 , 36 J0 = 0 0 0 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 37 KẾT LUẬN Qua luận văn, trình bày vấn đề sau: • Hệ thống kiến thức liên quan đến quan hệ Grin, D- lớp quy nhóm Suytxenbicje H- lớp nửa nhóm • Hệ thống kiến thức liên quan đến thứ tự tập, băng nửa dàn, nửa dàn nhóm • Khái niệm tính chất quan hệ thứ tự nửa nhóm ngược nửa nhóm quy ( Định lí 2.2.6, Định lí 2.2.16, Định lí 2.2.22) • Khái niệm tính chất nửa nhóm tắc ( Định lí 2.3.5, Định lí 2.3.7, Định lí 2.3.12) 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphơt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh [3] Bùi Thị Minh Hằng (2012), Thứ tự Hartwig-Nambrooipad nửa nhóm quy ứng dụng, Luận văn thạc sỹ, Trường đại học Vinh Tiếng Anh [4] T S Blyth, J B Hickey (1984) RP- dominated regular semigruop, Proc R Soc Edib A 99, 185-191 [5] R E Hartwing (1980), How to partially order regular element, Math Lpn 25, 1-13 [6] J B Hickey(1983), Semigroup under a sandwic operetion Proc Edinb Math, Vol, No 2, pp 193-182, Soc 26, 371-383 [7] J B Hickey(2010), A class of regular semigroup with regular-preserving element, Semigroup Forum, 81, 146-161 [8] K S Nambooripad (1980), The natural partial order on a regular semigrop, Prooc Edinb Math Soc 23, 249-260 9-22 39 [9] M S Putcha (2011) Canonical semigroups, Semigroup Fourum, Published online: 22 April 2011 [...]... trong một nửa nhóm S thì ta nói rằng a bảo toàn tính chính quy của x nếu x chính quy trong (S, a) Bây giờ giả sử S là một nửa nhóm với ít nhất một phần tử chính quy Nếu a ∈ S bảo toàn tính chính quy của mỗi phần tử thuộc Reg(S) thì ta nói rằng a bảo toàn chính quy trong S Tập hợp tất cả các phần tử bảo toàn chính quy trong S được kí hiệu bởi Rp(S) Nếu S là một vị nhóm thì Rp(S) trùng với nhóm con các... phải là một dàn các nhóm Chẳng hạn xét nửa nhóm S/J = {G > J > 0}, trong đó G= 1 0 0 1 , 1 0 0 −1 , 35 và J là tập tất cả các ma trận vuông cấp hai có hạng bằng 1 Thế thì G 1 0 không phải là nửa nhóm chính tắc Nếu e0 = 0 0 , thế thì G là nửa nhóm 0 0 các phần tử khả nghịch của Se0 , trong khi đó nếu e0 = 0 1 thì Se0 có nhóm các phẩn tử khả nghịch là tầm thường Trong nửa nhóm chính tắc S , J - lớp khác... ⇔ g −1 ∈ P er(x) 2.2.12 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm orthodox nếu S là 26 nửa nhóm chính quy và tập hợp các lũy đẳng E của S là một nửa nhóm con của S Từ định nghĩa suy ra nửa nhóm ngược là nửa nhóm orthodox Với mỗi phần tử a của nửa nhóm S Ký hiệu V (a) = {b ∈ S : aba = a, bab = a} là tập hợp tất cả các phần tử ngược của a trong S Nếu S là nửa nhóm orthodox thì V (a)V (b) ⊆ V (ab)... nửa nhóm với phần tử không (i) S được gọi là nửa nhóm 0 - đơn nếu S chỉ có hai iđêan là {0} và S ; (ii) Lũy đẳng f ∈ E(S) được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu f = 0 và nếu e f kéo theo e = 0 hoặc e = f ; (iii) S được gọi là nửa nhóm 0 - đơn hoàn toàn nếu S là nửa nhóm 0 - đơn chứa lũy đẳng nguyên thủy 2.3 Nửa nhóm chính tắc 2.3.1 Khái niệm và ký hiệu Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó S được gọi là nửa nhóm. .. Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S (i) Thế thì a được gọi là phần tử chính quy nếu tồn tại x ∈ S sao cho axa = a (ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính quy 2.2.4 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S (i) Phần tử x ∈ S được gọi là phần tử ngược của a nếu axa = a, xax = x (ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược nếu mọi phần tử của... tiểu J0 đóng vai trò quan trọng xác định cấu trúc của S 2.3.15 Hệ quả Giả sử S là một nửa nhóm chính tắc Thế thì (i) J0 ngược nếu và chỉ nếu S là nửa nhóm ngược; (ii) J0 là một nửa nhóm ngược nếu và chỉ nếu S là một nửa nhóm chính quy hoàn toàn; (iii) J0 là một nửa nhóm ngược nếu và chỉ nếu S là một dàn các nhóm Chứng minh (i) Giả thiết rằng J0 ngược Giả sử J ∈ S/J ∗ và e, f ∈ E(J), eRf Giả sử e0... trên nửa nhóm đơn hoàn toàn là RP − hòa hợp, RP (S) = S và thứ tự trên S là quan hệ bằng nhau Hơn nữa, nếu T là một vị nhóm chính quy với nhóm con các phần tử khả nghịch G thì điều kiện đối với RP - hòa hợp của thứ tự trên T trở thành (∀x, y ∈ T )(∀g, h ∈ G)x ≤ g, y ≤ h ⇒ xy ≤ gh 2.2.16 Định lí Giả sử T là một vị nhóm chính quy Thế thì thứ tự trên T là RP - hòa hợp nếu và chỉ nếu T là nửa nhóm orthodox... băng I của nửa nhóm Sα Ánh xạ ϕ : S −→ I xác định bởi ϕ(a) = α nếu α ∈ S là một toàn cấu và các nửa nhóm Sα là các lớp tương đẳng hạt nhân Kerϕ Đảo lại, nếu ϕ là một toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I thì ảnh ngược Sα = ϕ−1 (α) của mỗi phần tử α ∈ I là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn I của các nửa nhóm Sα , α ∈ I 2.2 Quan hệ thứ tự trên nửa nhóm chính quy và nửa nhóm ngược 2.2.1... nửa nhóm RP − trội duy nhất, vì S = RP (S) và quan hệ thứ tự HartwingNambooripad quy về quan hệ bằng nhau Hơn nữa một vị nhóm chính quy là RP − trội ( RP trội duy nhất) Nếu và chỉ nếu nó là U - chính quy ( tương ứng U - chính quy duy nhất) 2.2.11 Mệnh đề Giả sử T là một vị nhóm chính quy và G là nhóm con các phần tử khả nghịch trong T Thế thì đối với x ∈ T và g ∈ G ta có: x ≤ g ⇔ g −1 ∈ P re(x) Chứng...11 1.2 D- lớp chính quy 1.2.1 Định nghĩa (i) Phần tử a ∈ S được gọi là phần tử chính quy nếu có x ∈ S sao cho axa = a (ii) D-lớp D của nửa nhóm S được gọi là D - lớp chính quy nếu mỗi phần tử thuộc D đều là phần tử chính quy trong S Định lí sau đây chứng tỏ rằng nếu D là D - lớp không chính quy thì trong D không có phần tử nào là phần tử chính quy cả, khi đó ta nói D không chính quy 1.2.2 Định ... quy nhóm Suytxenbecje H - lớp nửa nhóm Chương Nửa nhóm tắc Trong chương này, trước hết trình bày thứ tự tập, băng nửa dàn, băng nhóm Sau trình bày thứ tự HartwigNambooripad nửa nhóm quy nửa nhóm. .. 2.2.12 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm orthodox S 26 nửa nhóm quy tập hợp lũy đẳng E S nửa nhóm S Từ định nghĩa suy nửa nhóm ngược nửa nhóm orthodox Với phần tử a nửa nhóm S Ký hiệu V (a)... cấu trúc S 2.3.15 Hệ Giả sử S nửa nhóm tắc Thế (i) J0 ngược S nửa nhóm ngược; (ii) J0 nửa nhóm ngược S nửa nhóm quy hoàn toàn; (iii) J0 nửa nhóm ngược S dàn nhóm Chứng minh (i) Giả thiết J0 ngược