BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THANH TÂM NỬA NHÓM η - ĐƠN VÀ NỬA NHÓM η ∗ - ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THANH TÂM NỬA NHÓM η - ĐƠN VÀ NỬA NHÓM η ∗ - ĐƠN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Nửa nhóm - đơn Nửa nhóm - đơn hoàn toàn 1.1 Iđêan quan hệ Grin nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm - đơn 1.3 Nửa nhóm - đơn hoàn toàn 13 Nửa nhóm E - ngược Nửa nhóm E ∗ - ngược 18 2.1 Các khái niệm tính chất 18 2.2 Mở rộng iđêan nửa nhóm E ngược nửa nhóm E ∗ ngược 22 Nửa nhóm η - đơn Nửa nhóm η ∗ - đơn 26 3.1 Nửa nhóm η - đơn 26 3.2 Nửa nhóm η ∗ - đơn 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Lý thuyết nửa nhóm xem bắt đầu xuất năm 1928 Xukêvich mô tả cấu trúc iđêan tối tiểu nửa nhóm hữu hạn tùy ý mà ông gọi hạt nhân nửa nhóm Hơn nữa, người ta chứng minh hạt nhân nửa nhóm S tồn S phải nửa nhóm đơn (nghĩa nửa nhóm iđêan thực hai phía) Các nửa nhóm đơn nghiên cứu cách có hệ thống thu nhiều kết sâu sắc công trình Rixơ (1940) Grin (1951) Chúng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu vào năm cuối kỷ trước đầu kỷ cách đưa vào lớp nửa nhóm đơn theo nghĩa rộng tương tự Dựa công trình η - simple semigroups without zero and η ∗ - simple semigroups with a least non - zero idempotent Roman S Gigon đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2013 (Xem [3]) tìm hiểu nửa nhóm η - đơn nửa nhóm η ∗ - đơn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương Nửa nhóm - đơn Nửa nhóm - đơn hoàn toàn Trong chương này, sau nhắc lại khái niệm iđêan quan hệ Grin nửa nhóm, hệ thống lại kết liên quan đến nửa nhóm - đơn nửa nhóm - đơn hoàn toàn Chương Nửa nhóm E - ngược Nửa nhóm E ∗ - ngược Trong chương này, trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm E - ngược nửa nhóm E ∗ - ngược, với mở rộng iđêan chúng Chương Nửa nhóm η - đơn Nửa nhóm η ∗ - đơn Đây nội dung luận văn Trong chương này, trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm η - đơn nửa nhóm η ∗ - đơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Sư Phạm Toán học bạn học viên lớp Cao học 21 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số quan tâm giúp đỡ hướng dẫn tận tình tác giả để hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Kính mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng 09 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG NỬA NHÓM - ĐƠN NỬA NHÓM - ĐƠN HOÀN TOÀN 1.1 Iđêan quan hệ Grin nửa nhóm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử I tập khác rỗng nửa nhóm S (i) I gọi iđêan trái (phải) S SI ⊆ I (tương ứng IS ⊆ I ); (ii) I gọi iđêan S I vừa iđêan trái vừa iđêan phải Từ định nghĩa trực tiếp suy 1.1.2 Hệ Giả sử I tập khác rỗng nửa nhóm S (i) I gọi iđêan trái (phải) S với a ∈ I , với x ∈ S có xa ∈ I (tương ứng, ax ∈ I ); (ii) Nếu I iđêan trái (phải) S I nửa nhóm S ; (iii) Nếu I J iđêan trái (phải) S I ∩ J = ∅ I ∩ J iđêan trái (phải) S 1.1.3 Định nghĩa (i) Giả sử I iđêan S Ta định nghĩa quan hệ ρI S ρI = I × I ∪ iS , nghĩa xρI y x, y ∈ I x = y Khi ρI tương đẳng S gọi tương đẳng Rixơ S liên kết với I (ii) Nửa nhóm thương S/ρI ký hiệu S/I , gọi thương Rixơ I Rõ ràng S/I có phần tử I phần tử khác {x} với x ∈ S, x ∈ / I Để đơn giản ký hiệu ta đồng phần tử {x} = xρI ∈ S/I với phần tử x ∈ S, x ∈ / I Tích phần tử S/I sau: x.y = xy với x, y ∈ / I Ix = xI = I với x ∈ S Do I phần tử không nửa nhóm S 1.1.4 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm đơn (đơn trái, đơn phải) S không chứa iđêan thực hai phía (iđêan trái, iđêan phải) Từ định nghĩa trực tiếp suy 1.1.5 Hệ (i) Nửa nhóm S nhóm S vừa nửa nhóm đơn trái vừa nửa nhóm đơn phải; (ii) Nửa nhóm S nửa nhóm đơn SxS = S với x ∈ S 1.1.6 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, R, J sau S : aLb S a = S b; aRb aS = bS ; aJb S aS = S bS ; S a, aS , S aS tương ứng iđêan trái, phải iđêan S sinh a Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: aLb có s, s ∈ S cho a = sb, b = s a; aRb có r, r ∈ S cho a = br, b = ar ; L, R, J quan hệ tương đương S thỏa mãn L ⊆ J, R ⊆ J L ◦ R = R ◦ L Từ D = L ◦ R (= R ◦ L) quan hệ tương đương nhỏ chứa L R Theo lý thuyết tập hợp, H := L ∩ R quan hệ tương đương lớn chứa L R Các quan hệ L, R, J, D, H gọi quan hệ Grin nửa nhóm S Với a ∈ S , L - lớp, R - lớp, J - lớp, D - lớp H - lớp chứa a ký hiệu tương ứng La , Ra , Ja , Da Ha 1.1.7 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa nhóm D - đơn song đơn S gồm D - lớp Từ định nghĩa trực tiếp suy 1.1.8 Hệ (i) S nửa nhóm đơn (đơn trái, đơn phải) S gồm J - lớp (L - lớp, R - lớp); (ii) Nếu S nửa nhóm song đơn S nửa nhóm đơn; (iii) Mỗi nhóm đơn phải (trái) nửa nhóm song đơn 1.1.9 Định nghĩa Một iđêan M hai phía (trái, phải) nửa nhóm S gọi iđêan tối tiểu S M không thực chứa iđêan hai phía (trái, phải) S Giả sử M iđêan tối tiểu S I iđêan tùy ý S Thế M I ⊆ M ∩ I nên M I = ∅ (vì M = ∅ I = ∅) Ta lại có M ∩ I ⊆ M M ∩ I iđêan S nên từ tính tối tiểu M suy M ⊆ I Như nửa nhóm S có iđêan tối tiểu iđêan Không phải nửa nhóm có iđêan tối tiểu Chẳng hạn nửa nhóm cộng số nguyên dương N∗ Các iđêan N∗ có dạng n + N∗ , n + N∗ = {n + k : k ∈ N∗ } Hơn m + N∗ ⊆ n + N∗ m ≥ n Do N∗ iđêan tối tiểu Mọi nửa nhóm S hữu hạn có iđêan tối tiểu, iđêan có số phần tử (iđêan tồn thân S iđêan S S có hữu hạn phần tử) 1.1.10 Định nghĩa Giả sử nửa nhóm S có iđêan tối tiểu (duy nhất) iđêan gọi hạt nhân S ký hiệu K Từ định nghĩa trực tiếp suy K chứa iđêan hai phía S K giao tất iđêan hai phía Nếu S nửa nhóm hữu hạn S có hạt nhân 1.2 Nửa nhóm - đơn 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm với phần tử Một iđêan hai phía (trái, phải) M nửa nhóm S gọi iđêan hai phía (trái, phải) - tối tiểu S hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) M = {0}; (ii) {0} iđêan hai phía (trái, phải) S chứa thực M Nếu M iđêan hai phía (trái, phải) - tối tiểu S M iđêan kiểu với M chứa M , M = M M = (Nếu M = 0, nghĩa xy = với x, y ∈ M , M gọi nửa nhóm với phép nhân không hay nửa nhóm nul ) Rõ ràng giao hai iđêan - tối tiểu nửa nhóm S 1.2.2 Định nghĩa Nửa nhóm S với phần tử gọi nửa nhóm đơn (0 - đơn trái, - đơn phải) hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) S = {0}; (ii) {0} iđêan hai phía (trái, phải) thực S 1.2.3 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm với phần tử 0, {0} iđêan hai phía thực S Thế S nửa nhóm - đơn, S nửa nhóm với phép nhân không Chứng minh Rõ ràng S = S S = Trong trường hợp thứ S nửa nhóm - đơn = S = S Trong trường hợp thứ hai a phần tử khác không S {0, a} iđêan khác không S nên {0, a} = S 10 Định lý sau chứng tỏ nửa nhóm - đơn phải thu từ nửa nhóm đơn phải cách ghép thêm phần tử không Mặt khác nửa nhóm - đơn ghép thêm phần tử khác biệt sâu sắc 1.2.4 Định lí Nếu S nửa nhóm - đơn phải (trái) S \ nửa nhóm đơn phải (trái) S Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ S \ nửa nhóm S , nghĩa S không chứa ước thực Giả thiết trái lại a, b ∈ S, a = 0, b = ab = Tập hợp tất x ∈ S mà ax = iđêan phải S chứa tập {0, b} = trùng với S Nhưng {0, a} iđêan khác không S , {0, a} = S Thế S = mâu thuẫn với S nửa nhóm - đơn phải Giả sử S nửa nhóm không chứa phần tử không S = S ∪ nửa thu từ S cách ghép thêm phần tử không Khi ánh xạ A → A ∪ {0} ánh xạ - từ tập tất iđêan hai phía (trái, phải) S lên tập tất iđêan hai phía khác không S Ánh xạ bảo toàn quan hệ bao hàm, đặc biệt A iđêan tối tiểu S A ∪ {0} iđêan tối tiểu S Do định lý iđêan tối tiểu kéo theo hệ hiển nhiên iđêan tối tiểu nửa nhóm không chứa phần tử không Tương tự, định lý nửa nhóm - đơn kéo theo hệ nửa nhóm đơn 1.2.5 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm với phần tử cho S = Thế S nửa nhóm - đơn SaS = S a = thuộc S Chứng minh Trước hết ta ý điều kiện tương đương điều kiện: với a, b ∈ S, a = 0, phương trình xay = b giải S x y 21 Rõ ràng (iii) kéo theo (iv), (iv) đúng, eb = a ∈ RS∗ , e ∈ ES∗ kéo theo b ∈ RS Rõ ràng (v) kéo theo (vi); (vi) đúng, ea = e2 b = eb = a ∈ RS∗ , e ∈ ES∗ kéo theo b ∈ RS Hơn nữa, (vii) kéo theo (viii), (viii) đúng, bf = eb = a ∈ RS∗ , f ∈ ES∗ kéo theo b ∈ RS Cuối cùng, (iv) ea = bf , e, f ∈ ES∗ kéo theo aσb, b ∈ aσ ⊆ RS 2.1.6 Định nghĩa Nửa nhóm S với (phần tử không) gọi nửa nhóm E ∗ - ngược với a ∈ S ∗ , WS∗ (a) = WS (a) \ tập hợp khác rỗng, WS∗ (a) = {x ∈ S| xax = x} tập hợp tất nghịch đảo yếu a 2.1.7 Mệnh đề Một nửa nhóm S (với phần tử không) nửa nhóm E ∗ ngược iđêan (khác không) S chứa lũy đẳng (khác không) S Chứng minh Giả thiết iđêan khác không S chứa lũy đẳng khác không S, a ∈ S ∗ Thế S aS chứa lũy đẳng khác không S , nghĩa xay = e với x, y ∈ S (thực tế, giả thiết x, y ∈ S), e ∈ ES∗ Từ exaye = e = (xay)ex = ex Như = exay = e, mâu thuẫn Suy yex ∈ WS∗ (a) nên S nửa nhóm E ∗ - ngược Khẳng định ngược lại rõ ràng 2.1.8 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm E ∗ - ngược Thế với e ∈ ES∗ , eSe nửa nhóm E ∗ - ngược Chứng minh Trước hết ta nhận thấy e ∈ eSe eSe = Giả sử a ∈ (eSe)∗ a ∈ WS∗ (a) Thế x = xax = x(eae)x Từ exe = (exe)a(exe) Hơn nữa, exe = xe = [(xe)a(ex)]e = (xea)(exe) = 0, ∗ (xe)a(ex) = 0, mâu thuẫn Như exe ∈ WeSe (a) nên eSe nửa nhóm E ∗ - ngược 22 2.2 Mở rộng iđêan nửa nhóm E ngược nửa nhóm E ∗ - ngược 2.2.1 Định nghĩa (i) Nửa nhóm S gọi mở rộng iđêan nửa nhóm T nửa nhóm Q T iđêan S thương Rixơ S \ T đẳng cấu với Q Nếu T = S , S mở rộng iđêan T = S nửa nhóm phần tử Q = {0} (ii) Nếu tồn đồng cấu ϕ : S → T từ S lên T cho thu hẹp ϕ/T đẳng cấu đồng S gọi mở rộng co rút T (iii) Tổng quát, T nửa nhóm S ϕ : S → T đồng cấu cho ϕ/T ánh xạ đồng ϕ gọi co rút S lên T 2.2.2 Mệnh đề Giả sử S mở rộng iđêan nửa nhóm T Thế S nửa nhóm E - ngược T nửa nhóm E - ngược Chứng minh Giả sử S nửa nhóm E - ngược t ∈ T ⊆ S Thế theo Bổ đề 2.1.2, tồn y ∈ S cho y = yty Vì T iđêan S nên y = yty ∈ T Như ty ∈ ET nên T nửa nhóm E ngược Đảo lại, giả sử T nửa nhóm E - ngược a ∈ S Thế at ∈ T t ∈ T (vì T iđêan S ) Từ tồn x ∈ T cho atx ∈ ET Như ay ∈ ES với y = tx nên S nửa nhóm E - ngược 2.2.3 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm với phần tử K tập khác rỗng S Khi tập AS (K) = {a ∈ S : (∀r ∈ K)ar = = 0} gọi linh hóa tử K S 23 2.2.4 Mệnh đề Giả sử S mở rộng iđêan nửa nhóm T Nếu S nửa nhóm - ngược T nửa nhóm - ngược Nếu T nửa nhóm - ngược AS (T ) = {0} S nửa nhóm - ngược Chứng minh Trước hết, giả thiết S nửa nhóm - ngược t ∈ T ∗ Theo Bổ đề 2.1.2, tồn x ∈ S ∗ cho x = xtx Vì T iđêan S nên x = xtx ∈ T ∗ tx ∈ ET∗ (vì trái lại, x = x.tx = : mâu thuẫn) Đảo lại, giả sử a ∈ S ∗ Vì AS (T ) = {0} nên a ∈ AS (T ) tồn t ∈ T cho at = ta = Trong trường hợp at = 0, ta nhận at ∈ T ∗ Do tồn u ∈ T cho at.u ∈ ET∗ , T nửa nhóm - ngược Từ ay ∈ ES∗ với y = tu ∈ S Trong trường hợp ta = lập luận tương tự cách sử dụng Bổ đề 2.1.2 2.2.5 Chú ý Điều kiện AS (T ) = {0} phát biểu thứ hai Mệnh đề 2.2.4 luôn cần thiết để S nửa nhóm - ngược Chẳng hạn, xét nửa dàn S = {0, e, f }, e f không so sánh được; S nửa nhóm - ngược T = {0, e} iđêan S , f ∈ AS (T ) với f = Chú ý ví dụ này, ES ∩ AS (T ) = {0}; giao 0, điều kiện AS (T ) = {0} lại cần thiết kết sau chứng tỏ điều 2.2.6 Định lí Giả sử S mở rộng iđêan nửa nhóm T cho ES ∩ AS (T ) = {0} Thế S nửa nhóm - ngược T nửa nhóm - ngược AS (T ) = {0} Chứng minh Điều kiện đủ suy từ Mệnh đề 2.2.4 Ta chứng minh điều kiện cần Theo Mệnh đề 2.2.4, T nửa nhóm - ngược Còn phải chứng minh AS (T ) = {0} Giả sử a ∈ S ∗ Thế theo Bổ đề 2.1.2 tồn x ∈ S cho x = xax Đặt e = ax, e ∈ ES∗ Vì ES ∩ AS (T ) = {0} nên e ∈ / AS (T ) tồn t ∈ T cho et = te = Nếu et = tax = 24 taxa = (ngược lại, tat = t.axax = 0, mâu thuẫn) Từ t a = với t = tax ∈ T , a ∈ / AS (T ) Định lý 2.2.6 nói lũy đẳng e = nửa nhóm ngược S thuộc AS (T ) phần tử a ∈ S ∗ thuộc AS (T ) Nói riêng ta có 2.2.7 Hệ Giả sử S mở rộng iđêan nửa nhóm T nửa nhóm với phần tử không Q Thế S nửa nhóm - ngược T nửa nhóm - ngược AS (T ) = {0} Chứng minh Chúng ta chứng tỏ ES ∩ AS (T ) = {0} (Thế phát biểu theo Định lý 2.2.6) Vì Q nửa nhóm với phần tử nên Q∗ không chứa lũy đẳng Như S \ T không chứa lũy đẳng ES = ET Do đó, / AS (T ) Như e ∈ ES∗ = ET∗ , et = với t = a ∈ T ∗ e ∈ ES∗ ∩ AS (T ) = {0} Kết chứng tỏ mở rộng iđêan - ngược S nửa nhóm T nửa nhóm chứa phần tử không, Q không cần thiết nửa nhóm - ngược 2.2.8 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi lạm phát (inflation) nửa nhóm T T ⊆ S S = St , tập hợp St đôi rời nhau, t∈T St ∩ T = {t} t ∈ T ab = tu a ∈ St , b ∈ Su Khi S mở rộng co rút T nửa nhóm với phần tử không Q Như trường hợp riêng Hệ 2.2.7 , ta có: 2.2.9 Hệ Giẩ sử S nửa nhóm lạm phát nửa nhóm T Thế S - ngược T nửa nhóm - ngược S0 = {0} Chứng minh Điều kiện cần Theo Mệnh đề 2.2.4, T nửa nhóm - ngược Giả thiết tồn a ∈ S0∗ Thế tồn x ∈ S cho ax ∈ ES∗ Nhưng ax = 0t = 0: mâu thuẫn 25 Điều kiện đủ Giả sử a ∈ S ∗ Thế a ∈ / S0 a ∈ St với t = Như tồn u ∈ T cho au = tu ∈ ES∗ Do S nửa nhóm ngược 26 CHƯƠNG NỬA NHÓM η - ĐƠN NỬA NHÓM η ∗ - ĐƠN 3.1 Nửa nhóm η - đơn 3.1.1 Định nghĩa (i) Nửa nhóm S gọi nửa dàn a2 = a, ab = ba với a, b ∈ S (ii) Tương đẳng ρ nửa nhóm S gọi tương đẳng nửa dàn nửa nhóm thương S/ρ nửa dàn Giả sử S nửa nhóm Ký hiệu C(s) tập hợp tương đẳng S Thế C(s) với quan hệ bao hàm (ρ ≤ δ ρ ⊆ δ theo quan hệ lý thuyết tập hợp) tập thứ tự phận Với quan hệ thứ tự này, tương đẳng nửa dàn nhỏ nửa nhóm luôn tồn ký hiệu η 3.1.2 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi nửa nhóm η - đơn η = S × S , η tương đẳng nửa dàn nhỏ S Từ Định nghĩa 3.1.2 Định lý đẳng cấu thứ hai trực tiếp suy 3.1.3 Mệnh đề Ảnh đồng cấu nửa nhóm η - đơn nửa nhóm η - đơn Ta nhắc lại iđêan P nửa nhóm S gọi iđêan nguyên tố từ ab ∈ P (a, b ∈ S ) kéo theo aP b ∈ P Theo Hệ 3.9 ([6]), nửa nhóm S nửa nhóm η - đơn S không chứa iđêan nguyên tố thực 27 3.1.4 Mệnh đề Giả sử S = S nửa nhóm η - đơn với lũy đẳng nhỏ Thế S nửa nhóm E - ngược Hơn nữa, S mở rộng nhóm nửa nhóm η - đơn Chứng minh Giả sử e phần tử bé ES Thế iđêan S phải chứa e Thật vậy, giả sử ngược lại tồn iđêan A S mà e ∈ / A Giả sử B hợp tất iđêan S có tính chất không chứa e A Thế B iđêan lớn S không chứa e Xét thương Rixơ S/B Chú ý hình dung S/B nửa nhóm với phần tử không B Bây xét iđêan khác không tùy ý S/B Thế theo cách xây dựng B , {e} không thuộc C Từ giao tất iđêan khác không S/B chứa {e} Nói riêng, S/B nửa nhóm E ∗ - ngược (xem Mệnh đề 2.1.7) Hơn nữa, B iđêan nguyên tố S Thật vậy, giả sử a, b ∈ / B cho ab ∈ B Thế f g ∈ B với e, f ∈ ES \ B (vì S/B nửa nhóm E ∗ - ngược) Từ e = ef g ∈ B mâu thuẫn Suy S có tương đẳng nửa dàn thực theo ý trên, mâu thuẫn với giả thiết Định lý Do iđêan S phải chứa e Bởi S có hạt nhân (và ta ký hiệu G) S nửa nhóm E - ngược (theo Mệnh đề 2.1.7) Từ với a ∈ S tồn x ∈ S cho ax, xa ∈ ES Do e = (ax)e = a(xe) ∈ aS Lập luận tương tự, e ∈ Sa Từ S chứa iđêan trái tối tiểu L iđêan phải tối tiểu R S Hơn nữa, a ∈ S , La iđêan tối tiểu S (xem [1], Bổ đề 2.3.2) Từ La = L nên L iđêan S L = L2 Lập luận tương tự ta có R iđêan S nên L = R = G = eS = Se (vì Se ⊆ L, eS ⊆ R e ∈ L, R) Suy G = eSe Thật vậy, rõ ràng eSe ⊂ SeS = G Hơn G = GG = eSSe ⊂ eSe Theo Bổ đề 2.1.8, G vị nhóm E - ngược (với đơn vị e) Ngoài ra, f ∈ EeSe , f e = ef = f , nghĩa f ≤ e Như f = e Do G nhóm iđêan G nên S mở rộng iđêan nhóm G nửa nhóm η - đơn S/η theo Mệnh đề 2.1.3 28 3.1.5 Bổ đề Giả sử S = S nửa nhóm η - đơn với lũy đẳng nhỏ e Thế ea = ae a ∈ S Chứng minh Giả sử a ∈ S Thế ea, ae ∈ eSe = eS = Se, eSe nhóm (Xem phép chứng minh Mệnh đề 3.1.4) Từ e.ae = ae, ea.e = ea Như ea = ae 3.1.6 Định nghĩa Tương đẳng ρ nửa nhóm S gọi tương đẳng nhóm S/ρ nhóm 3.1.7 Hệ Giả sử S = S nửa nhóm η - đơn với lũy đẳng bé e Thế ánh xạ s → se từ S lên eS đồng cấu giữ nguyên phần tử eS bất động Hơn nữa, tương đẳng δ cảm sinh đồng cấu này, nghĩa δ = {(a, b) ∈ S × S : ea = eb}, tương đẳng nhỏ S Chứng minh Phần đầu Hệ theo Mệnh đề 3.1.4 Bổ đề 3.1.5 Hơn nữa, ρ tương đẳng nhóm S , (s, es) ∈ ρ s ∈ S Từ δ ⊆ ρ 3.1.8 Chú ý Nếu nửa nhóm S = S với lũy đẳng bé nửa nhóm η - đơn, ρeS ∩ δ = 1S S tích trực tiếp nửa nhóm η - đơn (E - ngược) S/eS (với phần tử không) nhóm eS Hơn nữa, mệnh đề đảo Mệnh đề 3.1.4 3.1.9 Định lí Một nửa nhóm S với phần tử không nửa nhóm η - đơn có tương đẳng nhỏ S mở rộng iđêan (E - ngược) nhóm nửa nhóm η - đơn Chứng minh Phần trực Mệnh đề 3.1.4 Đảo lại, giả sử G iđêan nửa nhóm S G nhóm với đơn vị e, a ∈ S Thế ea ∈ G Đặt g = ea Khi g −1 ea = e ∈ Sa Tương tự, e ∈ aS nên e lũy đẳng nhỏ ES Hơn nữa, ρ 29 tương đẳng nửa dàn S , (theo chứng minh Định lý [7]), ρ ∩ (G × G) = G × G Suy ρG ⊂ ρ, ρG tương đẳng Rixơ S liên kết với G Từ có toàn cấu từ S/ρ lên S/ρ Thực ra, đồng cấu cảm sinh S/ρG tương đẳng nửa dàn Vì S/ρG nửa nhóm η đơn, nên S/ρ nửa nhóm tầm thường (có phần tử) Do ρ = S × S nên S nửa nhóm η - đơn 3.1.10 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nhóm phải (trái) S × S = R (tương ứng, S × S = L) 3.1.11 Hệ Nếu S nhóm phải (trái) S nửa nhóm η - đơn Chứng minh Giả sử S nhóm phải Thế S × S = R ⊆ J ⊆ η 3.1.12 Định lí Một nửa nhóm S không chứa phần tử không nửa nhóm η - đơn có lũy đẳng e cho ef = e (f e = e) với f ∈ ES S mở rộng iđêan (E - ngược) nhóm trái (phải) nửa nhóm η - đơn Chứng minh (⇒) Giả sử ef = e f ∈ ES Thế tương tự chứng minh Mệnh đề 3.1.4, e thuộc iđêan S Từ S có hạt nhân mà ta ký hiệu K Nói riêng, S nửa nhóm E - ngược Suy e ∈ Sa a ∈ S Như S chứa iđêan tối tiểu L L = La a ∈ S (do L = L2 ) Từ K = Se nửa nhóm đơn trái (theo Định lý 2.35 [1]) K nhóm trái (theo Định lý đối ngẫu Định lý 1.27 [1]) Suy S mở rộng iđêan nhóm trái K nửa nhóm η - đơn S/K (⇐) Giả sử K nhóm trái iđêan S , e ∈ EK a ∈ S Thế ea ∈ K Đặt ea = k Khi ek −1 ea = ek −1 k = e ∈ Sa, k −1 nghịch đảo k K (Vì SK nửa nhóm zero trái) Từ f ∈ ES , e = sf với s ∈ S Như ef = e Chúng 30 ta thấy ef = e e ∈ EK , f ∈ ES Do đó, ρ tương đẳng nửa dàn S , ρ ∩ (K × K) = K × K (theo ý 3.1.8) ρ = S × S (theo chứng minh Định lý 3.1.9) Bởi S nửa nhóm η - đơn 3.1.13 Hệ Giả sử S nửa nhóm đơn Nếu S có lũy đẳng e cho ef = e (f e = e) với f ∈ ES , S nhóm trái (phải) Chứng minh Thật vậy, trường hợp vậy, J = S × S Do J ⊆ η , nên S nửa nhóm η - đơn Từ S chứa nhóm trái (phải) K với K iđêan S Bởi S = K Ta nhắc lại nửa nhóm S gọi băng phần tử S phần tử lũy đẳng Tương đẳng ρ nửa nhóm S gọi tương đẳng băng S/ρ băng Nếu S nửa nhóm đơn hoàn toàn (xem 1.3) quan hệ Grin H tương đẳng băng S (xem Bổ đề 1.2.4 [4]) Hơn nữa, nhóm trái (phải) S nửa nhóm đơn hoàn toàn ES nửa nhóm phần tử không bên trái (phải) Từ suy S nhóm trái (phải) S/H nửa nhóm phần tử không bên trái (phải) 3.1.14 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi phi tương đẳng (congruencefree) S có hai tương đẳng (là thương đẳng đồng nhât 1S tương đẳng phổ dụng ωS = S × S ) 3.1.15 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm phi tương đẳng phần tử không Nếu S có lũy đẳng e cho ef = e (f e = e) f ∈ ES , S nhóm đơn Chứng minh Giả sử ef = e f ∈ ES Vì S nửa nhóm phi tương đẳng, η tương đẳng đồng tương đẳng phổ dụng S Tronh trường hợp thứ nhất, S nửa dàn, e phần 31 tử không S , mâu thuẫn với giả thiết Mệnh đề Suy η tương đẳng phổ dụng ωS = S × S nên S nửa nhóm η - đơn Theo Định lý 3.1.12, S chứa iđêan K cho K nhóm trái Từ S nhóm trái Theo ý kết luận H = 1S H = S × S Trong trường hợp H = 1S , S nửa nhóm phần tử không bên trái Vì |S| > nên phân hoạch {{e}, S \ {e}} S cảm sinh tương đẳng thực S , mâu thuẫn Như H = S × S , ES = {e}, H tương đẳng tách lũy đẳng S Suy S nhóm đơn 3.2 Nửa nhóm η ∗ - đơn Bây ta xét nửa nhóm S với phần tử không cho ES∗ chứa phần tử nhỏ (là e) Chú ý f g = tất f, g ∈ ES∗ thực ra, e ∈ ES∗ có tính chất ef = e (f e = e) f ∈ ES∗ , gh = g, h ∈ ES∗ 3.2.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S với phần tử không bổ sung có tương đẳng nửa dàn thực gọi nửa nhóm η ∗ - đơn S có nhiều hai tương đẳng dàn, là: S × S tương đẳng cảm sinh phân hoạch {{0}, S ∗ } Rõ ràng, phân hoạch {{0}, S ∗ } nửa nhóm S với phần tử không cảm sinh tương đẳng nửa dàn S nửa nhóm với phần tử không bổ sung 3.2.2 Định nghĩa Nửa nhóm S với phần tử gọi - nhóm S ∗ nhóm 3.2.3 Định lí Một nửa nhóm S với phần tử không nửa nhóm η ∗ - đơn có lũy đẳng khác không nhỏ S - nửa nhóm E ∗ ngược với phần tử không bổ sung (và S ∗ nửa nhóm E - ngược 32 với lũy đẳng nhỏ nhất) S mở rộng iđêan - nhóm nửa nhóm η - đơn Chứng minh (⇒) Giả sử e lũy đẳng khác không nhỏ S Chúng ta chứng tỏ iđêan khác không S chứa e (xem chứng minh Mệnh đề 3.1.4 ý trên) Nói riêng, S nửa nhóm E ∗ - ngược (Mệnh đề 2.1.7) Từ đó, a ∈ S ∗ tồn x ∈ S cho xa lũy đẳng khác không S Như e ∈ Sa Tương tự có e ∈ aS Nếu a, b ∈ S ∗ e = xa, e = by với x, y ∈ S Từ e = x(ab)y nên ab ∈ S ∗ Suy S ước không thực Bởi S ∗ nửa nhóm E - ngược với lũy đẳng nhỏ e S ∗ mở rộng iđêan nửa nhóm G nửa nhóm η - đơn (theo Định lý 3.1.9) Suy S mở rộng iđêan - nhóm G nửa nhóm η - đơn Thực tế, S/G0 có ước không thực (vì ngược lại G0 iđêan nguyên tố khác không S ) Khẳng định ngược lại suy trực tiếp từ Định lý 3.1.9 3.2.4 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi phạm trù (categorial semigroup) abc = (a, b, c ∈ S) kéo theo ab = 0, bc = 3.2.5 Định lí Giả sử S nửa nhóm phạm trù (với phần tử không) Thế S ∗ nửa nhóm η ∗ - đơn có lũy đẳng nhỏ e cho ef = e (f e = e) f ∈ ES∗ S nửa nhóm E ∗ - ngược với phần tử không bổ sung (và S nửa nhóm E - ngược với lũy đẳng nhỏ nhất) S mở rộng iđêan nhóm trái (phải) với phần tử không bổ sung nửa nhóm η - đơn Chứng minh (⇒) Giả sử ef = e f ∈ ES∗ Tương tự ta chứng tỏ e thuộc iđêan khác không S Từ S có iđêan - tối tiếu K Nói riêng, S nửa nhóm E ∗ - ngược Suy e ∈ Sa với e ∈ S ∗ Bởi S chứa iđêan trái - tối tiểu L (và L = Le nên 33 L = L2 ) Do K = Se nửa nhóm - đơn trái (theo Định lý 2.35 [1]), K ∗ nửa nhóm đơn trái (theo Định lý 2.27 [1]) Như K ∗ nhóm trái (theo đối ngẫu Định lý 1.27 [1]) Hơn nữa, giả thiết ea = a ∈ S giả sử b ∈ S ∗ Thế e = sb với s ∈ S Từ sba = Như ba = (vì S nửa nhóm phạm trù), nên {0, a} iđêan trái S Suy {0, a} = K a = Do ea = với a ∈ S ∗ Thế ab = với a, b ∈ S ∗ Thật vậy, ab = với a, b ∈ S ∗ đó, ab = 0, mâu thuẫn với lập luận Chúng ta kết luận S ∗ nửa nhóm E - ngược, S ∗ mở rộng iđêan nhóm trái K ∗ nửa nhóm η - đơn S/K (Định lý 3.1.12) Từ S mở rộng iđêan nhóm trái K với phần tử không bổ sung nửa nhóm η - đơn S/K , K iđêan nguyên tố S Khẳng định ngược lại suy từ phép chứng minh Định lý 3.1.12 34 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nửa nhóm η - đơn nửa nhóm η ∗ - đơn dựa vào báo Roman S Gigon Do luận văn này, trình bày vấn đề sau đây: Hệ thống hóa kiến thức liên quan đến iđêan quan hệ Grin nửa nhóm, nửa nhóm - đơn nửa nhóm - đơn hoàn toàn Khái niệm tính chất nửa nhóm E - ngược, E ∗ - ngược ngược (Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.6) Khái niệm tính chất nửa nhóm η - đơn nửa nhóm η ∗ - đơn (Định lý 3.1.9, Định lý 3.1.12, Định lý 3.2.3, Định lý 3.2.5) 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphơt G B Preston (1970), Lý thuyết nửa nhóm (tập 1), dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008),Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] R S Gigon (2013), η - simple semigroups without zero and η ∗ - simple semigroups with a least non - zero idempotent, Semigroup Forum, 86, 108-113 [4] J M Howie (1984), An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press, London [5] H Mitsch, M Petrich (2000), Basic properties on E-inversive semigroups, Commun Algebra, 28, 5169-5182 [6] M Petrich (1964), The maximal semilatice decomposition of a semigroup, Math Z, 55, 68-82 [7] T Tamura (1982), Semilattice indecomposable semigroups with a unique idempotent, Semigroup Forum, 24, 77-82 [...]... v n là n a nhóm η - đ n và n a nhóm η ∗ - đ n dựa vào một bài báo của Roman S Gigon Do đó trong lu n v n này, chúng tôi đã trình bày các v n đề sau đây: 1 Hệ thống hóa các ki n thức li n quan đ n iđêan và quan hệ Grin trong n a nhóm, n a nhóm 0 - đ n và n a nhóm 0 - đ n ho n to n 2 Khái niệm và các tính chất của n a nhóm E - ngược, E ∗ - ngược và 0 ngược (Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.6) 3 Khái niệm và các... lũy đẳng nguy n thủy n u f = 0 và n u từ e ≤ f kéo theo e = 0 hoặc e = f 1.3.1 Định nghĩa N a nhóm S được gọi là n a nhóm đ n (0 - đ n) ho n to n nếu S là một n a nhóm đ n (0 - đ n) chứa lũy đẳng nguy n thủy Từ định nghĩa suy ra rằng mọi n a nhóm đ n (0 - đ n) hữu h n là n a nhóm đ n (0 - đ n) ho n to n Thật vậy, vì S hữu h n n n S chứa lũy đẳng, do đó E = ∅ H n n a, E = 0 vì n u trái lại mỗi ph n tử... ràng, ph n hoạch {{0}, S ∗ } của một n a nhóm S với ph n tử không cảm sinh một tương đẳng n a d n nếu và chỉ n u S là một n a nhóm với ph n tử không được bổ sung 3.2.2 Định nghĩa N a nhóm S với ph n tử 0 được gọi là 0 - nhóm n u S ∗ là một nhóm 3.2.3 Định lí Một n a nhóm S với ph n tử không là n a nhóm η ∗ - đ n và có một lũy đẳng khác không nhỏ nhất n u và chỉ n u S - là n a nhóm E ∗ ngược với ph n. .. con của một n a nhóm η - đ n (E - ngược) S/eS (với ph n tử không) và nhóm eS H n n a, mệnh đề đảo của Mệnh đề 3.1.4 cũng đúng 3.1.9 Định lí Một n a nhóm S với không có ph n tử không là n a nhóm η - đ n và có một tương đẳng nhỏ nhất n u và chỉ n u S là một mở rộng iđêan (E - ngược) của một nhóm bởi một n a nhóm η - đ n Chứng minh Ph n trực tiếp theo Mệnh đề 3.1.4 Đảo lại, giả sử G là một iđêan của n a... ρ tr n nửa nhóm S được gọi là tương đẳng băng n u S/ρ là một băng N u S là một n a nhóm đ n ho n to n (xem 1.3) thì quan hệ Grin H là một tương đẳng băng tr n S (xem Bổ đề 1.2.4 trong [4]) H n n a, mỗi nhóm trái (phải) S là n a nhóm đ n ho n to n và ES là một n a nhóm các ph n tử không b n trái (phải) Từ đó suy ra n u S là một nhóm trái (phải) thì S/H là một n a nhóm các ph n tử không b n trái (phải)... n a nhóm η - đ n nếu η = S × S , trong đó η là tương đẳng n a d n nhỏ nhất tr n S Từ Định nghĩa 3.1.2 và Định lý đẳng cấu thứ hai trực tiếp suy ra 3.1.3 Mệnh đề Ảnh đồng cấu của một n a nhóm η - đ n là một n a nhóm η - đ n Ta nhắc lại rằng một iđêan P của n a nhóm S được gọi là iđêan nguy n tố n u từ ab ∈ P (a, b ∈ S ) kéo theo aP hoặc b ∈ P Theo Hệ quả 3.9 ([6]), một n a nhóm S là n a nhóm η - đ n. .. cảm sinh S/ρG một tương đẳng n a d n Vì S/ρG là một n a nhóm η đ n, n n S/ρ là n a nhóm tầm thường (có một ph n tử) Do đó ρ = S × S n n S là n a nhóm η - đ n 3.1.10 Định nghĩa N a nhóm S được gọi là một nhóm phải (trái) n u S × S = R (tương ứng, S × S = L) 3.1.11 Hệ quả N u S là một nhóm phải (trái) thì S là n a nhóm η - đ n Chứng minh Giả sử S là một nhóm phải Thế thì S × S = R ⊆ J ⊆ η 3.1.12 Định lí... tr n Chúng ta kết lu n được rằng S ∗ là một n a nhóm E - ngược, n u S ∗ là một mở rộng iđêan của nhóm trái K ∗ bởi n a nhóm η - đ n S/K (Định lý 3.1.12) Từ đó S là một mở rộng iđêan của nhóm trái K với ph n tử không được bổ sung bởi n a nhóm η - đ n S/K , vì K không phải là iđêan nguy n tố của S Khẳng định ngược lại suy ra từ phép chứng minh Định lý 3.1.12 34 KẾT LU N Nội dung chính của lu n v n là... 0, mâu thu n Như vậy exe ∈ WeSe (a) n n eSe là n a nhóm E ∗ - ngược 22 2.2 Mở rộng iđêan đối với các n a nhóm E ngược và n a nhóm E ∗ - ngược 2.2.1 Định nghĩa (i) N a nhóm S được gọi là mở rộng iđêan của n a nhóm T bởi n a nhóm Q n u T là một iđêan của S và thương Rixơ S \ T đẳng cấu với Q N u T = S , S là mở rộng iđêan của T = S bởi n a nhóm một ph n tử Q = {0} (ii) N u t n tại một đồng cấu ϕ : S... là n a nhóm η ∗ - đ n và có lũy đẳng nhỏ nhất là e sao cho ef = e (f e = e) đối với mỗi f ∈ ES∗ n u và chỉ n u S là n a nhóm E ∗ - ngược với ph n tử không được bổ sung (và do đó S là một n a nhóm E - ngược với lũy đẳng nhỏ nhất) và S là một mở rộng iđêan của nhóm trái (phải) với ph n tử không bổ sung bởi một n a nhóm η - đ n Chứng minh (⇒) Giả sử ef = e đối với mỗi f ∈ ES∗ Tương tự như tr n ta chứng ... chương n y, sau nhắc lại khái niệm iđêan quan hệ Grin n a nhóm, hệ thống lại kết li n quan đ n nửa nhóm - đ n nửa nhóm - đ n ho n to n Chương N a nhóm E - ngược N a nhóm E ∗ - ngược Trong chương... chương n y, trình bày khái niệm tính chất n a nhóm E - ngược n a nhóm E ∗ - ngược, với mở rộng iđêan chúng Chương N a nhóm η - đ n Nửa nhóm η ∗ - đ n Đây n i dung lu n v n Trong chương n y, trình... ([6]), n a nhóm S n a nhóm η - đ n S không chứa iđêan nguy n tố thực 27 3.1.4 Mệnh đề Giả sử S = S n a nhóm η - đ n với lũy đẳng nhỏ Thế S n a nhóm E - ngược H n n a, S mở rộng nhóm n a nhóm η - đơn