2.2.1 Định nghĩa. (i) Nửa nhómS được gọi làmở rộng iđêan của nửa nhóm T bởi nửa nhóm Q nếu T là một iđêan của S và thương Rixơ S\T đẳng cấu với Q.
Nếu T = S, S là mở rộng iđêan của T = S bởi nửa nhóm một phần tử Q= {0}.
(ii) Nếu tồn tại một đồng cấu ϕ : S → T từ S lên T sao cho các thu hẹp ϕ/T là đẳng cấu đồng nhất thì S được gọi là mở rộng co rút của T.
(iii) Tổng quát, nếu T là một nửa nhóm con của S và ϕ : S → T là một đồng cấu sao cho ϕ/T là ánh xạ đồng nhất thì ϕ được gọi là cái co rút của S lên T.
2.2.2 Mệnh đề. Giả sử S là một mở rộng iđêan của nửa nhóm T. Thế thì S là nửa nhóm E - ngược nếu và chỉ nếu T là nửa nhóm E - ngược.
Chứng minh. Giả sử S là nửa nhóm E - ngược và t ∈ T ⊆ S. Thế thì theo Bổ đề 2.1.2, tồn tại y ∈ S sao cho y = yty. Vì T là một iđêan của S nên y = yty ∈ T. Như vậy ty ∈ ET nên T là nửa nhóm E ngược.
Đảo lại, giả sử T là nửa nhóm E - ngược và a ∈ S. Thế thì at ∈ T đối với t∈ T (vì T là một iđêan của S). Từ đó tồn tại x ∈ T sao cho atx ∈ ET. Như vậy ay ∈ ES với y = tx nên S là nửa nhóm E - ngược.
2.2.3 Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử 0 và K là một tập con khác rỗng của S. Khi đó tập con
AS(K) = {a ∈ S : (∀r ∈ K)ar = ra = 0}
được gọi là linh hóa tử của K trong S.
2.2.4 Mệnh đề. Giả sử S là một mở rộng iđêan của nửa nhóm T. Nếu S là nửa nhóm 0 - ngược thì T cũng là nửa nhóm 0 - ngược. Nếu T là nửa nhóm 0 - ngược và AS(T) = {0} thì S là nửa nhóm 0 - ngược.
Chứng minh. Trước hết, giả thiết rằng S là nửa nhóm 0 - ngược và t ∈ T∗. Theo Bổ đề 2.1.2, tồn tại x ∈ S∗ sao cho x = xtx. Vì T là một iđêan của S nên x = xtx ∈ T∗ và do đó tx ∈ ET∗ (vì nếu trái lại, x = x.tx = 0 : mâu thuẫn).
Đảo lại, giả sử a ∈ S∗. Vì AS(T) = {0} nên a ∈ AS(T) và do đó tồn tại t ∈ T sao cho at 6= 0 hoặc ta 6= 0. Trong trường hợp at 6= 0, ta nhận được at∈ T∗. Do đó tồn tại u ∈ T sao choat.u ∈ ET∗, vì T là nửa nhóm0 - ngược.
Từ đó ay ∈ ES∗ với y = tu ∈ S. Trong trường hợp ta 6= 0 được lập luận tương tự bằng cách sử dụng Bổ đề 2.1.2.
2.2.5 Chú ý. Điều kiện AS(T) = {0} trong phát biểu thứ hai của Mệnh đề 2.2.4 không phải luôn luôn cần thiết để S là nửa nhóm 0 - ngược. Chẳng hạn, xét nửa dàn S = {0, e, f}, e và f không so sánh được; thế thì S là nửa nhóm 0 - ngược và T = {0, e} là một iđêan của S, nhưng f ∈ AS(T) với f 6= 0. Chú ý rằng trong ví dụ này, ES ∩ AS(T) 6= {0}; nếu giao này bằng 0, điều kiện AS(T) = {0} lại cần thiết như kết quả sau đây chứng tỏ điều đó.
2.2.6 Định lí. Giả sử S là một mở rộng iđêan của nửa nhóm T sao cho ES ∩ AS(T) = {0}. Thế thì S là nửa nhóm 0 - ngược nếu và chỉ nếu T là nửa nhóm 0 - ngược và AS(T) ={0}.
Chứng minh. Điều kiện đủ suy ra từ Mệnh đề 2.2.4. Ta chứng minh điều kiện cần. Theo Mệnh đề 2.2.4, T là nửa nhóm 0 - ngược. Còn phải chứng minh AS(T) = {0}. Giả sử a ∈ S∗. Thế thì theo Bổ đề 2.1.2 tồn tại x ∈ S sao cho x = xax. Đặt e = ax, thế thì e ∈ ES∗. Vì ES ∩ AS(T) = {0} nên e /∈ AS(T) và tồn tại t ∈ T sao cho et 6= 0 hoặc te 6= 0. Nếu et 6= 0 thế thì tax 6= 0 và
do đó taxa6= 0 (ngược lại, tat = t.axax = 0, mâu thuẫn). Từ đó t00a 6= 0 với t00 = tax ∈ T, do đó a /∈ AS(T).
Định lý 2.2.6 nói rằng nếu không có lũy đẳng e 6= 0 nào của nửa nhóm 0 - ngược S thuộc AS(T) thì không có phần tử a ∈ S∗ thuộc AS(T). Nói riêng ta có.
2.2.7 Hệ quả. Giả sử S là mở rộng iđêan của nửa nhóm T bởi một nửa nhóm với phần tử không Q. Thế thì S là một nửa nhóm 0 - ngược nếu và chỉ nếu T là nửa nhóm 0 - ngược và AS(T) ={0}.
Chứng minh. Chúng ta chứng tỏ rằng ES ∩ AS(T) = {0} (Thế thì phát biểu theo đúng Định lý 2.2.6). Vì Q là một nửa nhóm với phần tử 0nên Q∗ không chứa lũy đẳng. Như vậy S \T không chứa lũy đẳng và ES = ET. Do đó, nếu e ∈ ES∗ = ET∗, thế thì et 6= 0 với t = a ∈ T∗ và e /∈ AS(T). Như vậy ES∗ ∩ AS(T) ={0}.
Kết quả trên cũng chứng tỏ rằng đối với một mở rộng iđêan 0 - ngược S của nửa nhóm T bởi nửa nhóm chứa phần tử không, Q không cần thiết là nửa nhóm 0 - ngược.
2.2.8 Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là lạm phát (inflation) của nửa nhóm T nếu T ⊆ S và S = SSt
t∈T
, trong đó các tập hợp St đôi một rời nhau, St ∩T = {t} đối với mỗi t ∈ T và ab = tu nếu a ∈ St, b ∈ Su.
Khi đó S là mở rộng co rút của T bởi nửa nhóm với phần tử không Q. Như vậy trường hợp riêng của Hệ quả 2.2.7 , ta có:
2.2.9 Hệ quả. Giẩ sử S là một nửa nhóm lạm phát của nửa nhóm T. Thế thì S là 0 - ngược nếu và chỉ nếu T là nửa nhóm 0 - ngược và S0 = {0}. Chứng minh. Điều kiện cần. Theo Mệnh đề 2.2.4, T là nửa nhóm 0 - ngược.
Giả thiết rằng tồn tại a ∈ S0∗ Thế thì tồn tại x ∈ S sao cho ax ∈ ES∗. Nhưng khi đó ax = 0t= 0: mâu thuẫn.
Điều kiện đủ. Giả sử a ∈ S∗. Thế thì a /∈ S0 và a ∈ St với t 6= 0 nào đó.
Như vậy tồn tại u ∈ T sao cho au = tu ∈ ES∗. Do đó S là nửa nhóm 0 - ngược.
CHƯƠNG 3
NỬA NHÓM η - ĐƠN. NỬA NHÓM η∗ - ĐƠN
3.1 Nửa nhóm η - đơn
3.1.1 Định nghĩa. (i) Nửa nhóm S được gọi là một nửa dàn nếu a2 = a, ab = ba với mọi a, b ∈ S.
(ii) Tương đẳng ρ trên nửa nhóm S được gọi là tương đẳng nửa dàn nếu nửa nhóm thương S/ρ là một nửa dàn.
Giả sử S là một nửa nhóm. Ký hiệu C(s) là tập hợp các tương đẳng trên S. Thế thì C(s) cùng với quan hệ bao hàm (ρ≤ δ nếu và chỉ nếu ρ ⊆δ theo quan hệ lý thuyết tập hợp) là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Với quan hệ thứ tự này, tương đẳng nửa dàn nhỏ nhất trên một nửa nhóm luôn luôn tồn tại và được ký hiệu bởi η.
3.1.2 Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm η - đơn nếu η = S ×S, trong đó η là tương đẳng nửa dàn nhỏ nhất trên S.
Từ Định nghĩa 3.1.2 và Định lý đẳng cấu thứ hai trực tiếp suy ra.
3.1.3 Mệnh đề. Ảnh đồng cấu của một nửa nhóm η - đơn là một nửa nhóm η - đơn.
Ta nhắc lại rằng một iđêan P của nửa nhóm S được gọi là iđêan nguyên tố nếu từ ab ∈ P (a, b ∈ S) kéo theo aP hoặc b ∈ P.
Theo Hệ quả 3.9 ([6]), một nửa nhóm S là nửa nhóm η - đơn nếu và chỉ nếu S không chứa iđêan nguyên tố thực sự.
3.1.4 Mệnh đề. Giả sử S 6= S0 là một nửa nhóm η - đơn với một lũy đẳng nhỏ nhất. Thế thì S là một nửa nhóm E - ngược. Hơn nữa, S là mở rộng của một nhóm bởi một nửa nhóm η - đơn.
Chứng minh. Giả sử e là phần tử bé nhất của ES. Thế thì mỗi iđêan của S phải chứa e. Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại iđêan A của S mà e /∈ A. Giả sử B là hợp của tất cả các iđêan của S và có tính chất không chứa e như A. Thế thì B là iđêan lớn nhất của S không chứa e. Xét thương Rixơ S/B. Chú ý rằng có thể hình dung S/B là một nửa nhóm với phần tử không là B. Bây giờ hãy xét một iđêan khác không tùy ý của S/B. Thế thì theo cách xây dựng của B, {e} không thuộc C. Từ đó giao của tất cả các iđêan khác không của S/B chứa {e}. Nói riêng, S/B là một nửa nhóm E∗ - ngược (xem Mệnh đề 2.1.7). Hơn nữa, B là một iđêan nguyên tố của S. Thật vậy, giả sử a, b /∈ B sao cho ab ∈ B. Thế thì f g ∈ B với e, f ∈ ES \B nào đó (vì S/B là nửa nhóm E∗ - ngược). Từ đó e = ef g ∈ B mâu thuẫn. Suy ra S có một tương đẳng nửa dàn thực sự theo chú ý trên, mâu thuẫn với giả thiết Định lý.
Do đó mỗi iđêan của S phải chứa e. Bởi vậy S có hạt nhân (và ta ký hiệu là G) và S là nửa nhóm E - ngược (theo Mệnh đề 2.1.7). Từ đó với mỗi a ∈ S tồn tại x ∈ S sao cho ax, xa∈ ES. Do đó e = (ax)e= a(xe) ∈ aS. Lập luận tương tự, e ∈ Sa. Từ đó S chứa iđêan trái tối tiểu L và iđêan phải tối tiểu R của S. Hơn nữa, đối với mỗi a ∈ S, La là iđêan tối tiểu của S (xem [1], Bổ đề 2.3.2). Từ đó La = L nên L là iđêan của S và L = L2. Lập luận tương tự ta có R là iđêan của S nên L = R = G = eS = Se (vì Se ⊆ L, eS ⊆ R do e ∈ L, R). Suy ra G = eSe. Thật vậy, rõ ràng eSe ⊂ SeS = G. Hơn nữa G = GG = eSSe ⊂ eSe. Theo Bổ đề 2.1.8, G là một vị nhóm E - ngược (với đơn vị là e). Ngoài ra, nếu f ∈ EeSe, thế thì f e = ef = f, nghĩa là f ≤ e. Như vậy f = e. Do đó G là một nhóm và là một iđêan của G nên S là một mở rộng iđêan của nhóm G bởi nửa nhóm η - đơn S/η theo Mệnh đề 2.1.3
3.1.5 Bổ đề. Giả sử S 6= S0 là một nửa nhóm η - đơn với lũy đẳng nhỏ nhất e. Thế thì ea = ae đối với mọi a ∈ S.
Chứng minh. Giả sử a ∈ S. Thế thì ea, ae ∈ eSe = eS = Se, trong đó eSelà một nhóm. (Xem phép chứng minh Mệnh đề 3.1.4). Từ đó e.ae = ae, ea.e = ea. Như vậy ea = ae.
3.1.6 Định nghĩa. Tương đẳng ρ trên nửa nhóm S được gọi là tương đẳng nhóm nếu S/ρ là một nhóm.
3.1.7 Hệ quả. Giả sử S 6= S0 là một nửa nhóm η - đơn với lũy đẳng bé nhất là e. Thế thì ánh xạ s →se từ S lên eS là đồng cấu giữ nguyên các phần tử của eS bất động. Hơn nữa, tương đẳng δ cảm sinh bởi đồng cấu này, nghĩa là δ = {(a, b) ∈ S ×S : ea = eb}, là tương đẳng nhỏ nhất trên S.
Chứng minh. Phần đầu của Hệ quả theo Mệnh đề 3.1.4 và Bổ đề 3.1.5. Hơn nữa, nếu ρ là một tương đẳng nhóm trên S, thế thì (s, es) ∈ ρ đối với s ∈ S. Từ đó δ ⊆ ρ.
3.1.8 Chú ý. Nếu nửa nhóm S 6= S0 với một lũy đẳng bé nhất là một nửa nhóm η - đơn, thế thì ρeS ∩δ = 1S và do đó S là tích trực tiếp con của một nửa nhóm η - đơn (E - ngược) S/eS (với phần tử không) và nhóm eS.
Hơn nữa, mệnh đề đảo của Mệnh đề 3.1.4 cũng đúng.
3.1.9 Định lí. Một nửa nhóm S với không có phần tử không là nửa nhóm η - đơn và có một tương đẳng nhỏ nhất nếu và chỉ nếu S là một mở rộng iđêan (E - ngược) của một nhóm bởi một nửa nhóm η - đơn.
Chứng minh. Phần trực tiếp theo Mệnh đề 3.1.4
Đảo lại, giả sử G là một iđêan của nửa nhóm S và G là một nhóm với đơn vị là e, a ∈ S. Thế thì ea ∈ G. Đặt g = ea. Khi đó g−1ea = e ∈ Sa. Tương tự, e ∈ aS nên e là lũy đẳng nhỏ nhất củaES. Hơn nữa, nếu ρ là một
tương đẳng trên nửa dàn S, thế thì (theo chứng minh Định lý 5 trong [7]), ρ∩(G×G) = G×G. Suy ra ρG ⊂ ρ, trong đó ρG là tương đẳng Rixơ của S liên kết với G. Từ đó có một toàn cấu từ S/ρ lên S/ρ. Thực ra, đồng cấu này cảm sinh S/ρG một tương đẳng nửa dàn. Vì S/ρG là một nửa nhóm η - đơn, nên S/ρ là nửa nhóm tầm thường (có một phần tử). Do đó ρ = S ×S nên S là nửa nhóm η - đơn.
3.1.10 Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một nhóm phải (trái) nếu S ×S = R (tương ứng, S ×S = L).
3.1.11 Hệ quả. Nếu S là một nhóm phải (trái) thì S là nửa nhóm η - đơn.
Chứng minh. Giả sử S là một nhóm phải. Thế thì S ×S = R ⊆J ⊆ η. 3.1.12 Định lí. Một nửa nhóm S không chứa phần tử không là nửa nhóm η - đơn có một lũy đẳng e sao cho ef = e (f e = e) với mọi f ∈ ES nếu và chỉ nếu S là một mở rộng iđêan (E - ngược) của một nhóm trái (phải) bởi một nửa nhóm η - đơn.
Chứng minh. (⇒) Giả sử ef = e đối với mỗi f ∈ ES. Thế thì tương tự như trong chứng minh Mệnh đề 3.1.4, e thuộc một iđêan của S. Từ đó S có hạt nhân mà ta ký hiệu làK. Nói riêng,S là nửa nhóm E - ngược. Suy ra e∈ Sa đối với mỗi a ∈ S. Như vậy S chứa iđêan tối tiểu L là L = La đối với mỗi a ∈ S (do đó L = L2). Từ đó K = Se là nửa nhóm đơn trái (theo Định lý 2.35 [1]) và vì vậy K là một nhóm trái (theo Định lý đối ngẫu của Định lý 1.27 [1]). Suy ra S là mở rộng iđêan của nhóm trái K bởi nửa nhóm η - đơn S/K.
(⇐) Giả sử K là một nhóm trái và là một iđêan của S, e∈ EK và a ∈ S. Thế thì ea ∈ K. Đặt ea = k. Khi đó ek−1ea = ek−1k = e ∈ Sa, trong đó k−1 là nghịch đảo nào đó của k trong K (Vì SK là một nửa nhóm zero trái).
Từ đó nếu f ∈ ES, thế thì e= sf với s∈ S nào đó. Như vậy ef = e. Chúng
ta đã thấy rằng ef = e đối với mọi e ∈ EK, f ∈ ES. Do đó, nếu ρ là một tương đẳng nửa dàn trênS, thế thìρ∩(K×K) = K×K (theo chú ý 3.1.8) và do đó ρ = S ×S (theo chứng minh Định lý 3.1.9). Bởi vậy S là một nửa nhóm η - đơn.
3.1.13 Hệ quả. Giả sử S là một nửa nhóm đơn. Nếu S có một lũy đẳng e sao cho ef = e (f e = e) với mỗi f ∈ ES, thế thì S là một nhóm trái (phải).
Chứng minh. Thật vậy, trong trường hợp như vậy, J= S×S. Do đó J⊆ η, nên S là nửa nhóm η - đơn. Từ đó S chứa một nhóm trái (phải) K với K là iđêan của S. Bởi vậy S = K.
Ta nhắc lại rằng nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S đều là phần tử lũy đẳng. Tương đẳng ρtrên nửa nhóm S được gọi là tương đẳng băng nếuS/ρ là một băng. NếuS là một nửa nhóm đơn hoàn toàn (xem 1.3) thì quan hệ Grin H là một tương đẳng băng trên S (xem Bổ đề 1.2.4 trong [4]). Hơn nữa, mỗi nhóm trái (phải) S là nửa nhóm đơn hoàn toàn và ES là một nửa nhóm các phần tử không bên trái (phải). Từ đó suy ra nếu S là một nhóm trái (phải) thì S/H là một nửa nhóm các phần tử không bên trái (phải).
3.1.14 Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là phi tương đẳng (congruence- free) nếu S chỉ có đúng hai tương đẳng (là thương đẳng đồng nhât 1S và tương đẳng phổ dụng ωS = S ×S).
3.1.15 Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm phi tương đẳng không có phần tử không. Nếu S có một lũy đẳng e sao cho ef = e (f e = e) đối với mỗi f ∈ ES, thế thì S là một nhóm đơn.
Chứng minh. Giả sử ef = e đối với f ∈ ES. Vì S là nửa nhóm phi tương đẳng, thế thì hoặcη là tương đẳng đồng nhất hoặc tương đẳng phổ dụng trên S. Tronh trường hợp thứ nhất, S là một nửa dàn, nhưng khi đó e sẽ là phần
tử không của S, mâu thuẫn với giả thiết của Mệnh đề. Suy ra η là tương đẳng phổ dụng ωS = S×S nên S là nửa nhóm η - đơn. Theo Định lý 3.1.12, S chứa một iđêan K sao cho K là một nhóm trái. Từ đó S là một nhóm trái.
Theo chú ý trên chúng ta kết luận được rằng hoặc H = 1S hoặc H = S×S. Trong trường hợp H = 1S, S là nửa nhóm các phần tử không bên trái. Vì
|S| > 1 nên phân hoạch {{e}, S\ {e}}của S cảm sinh một tương đẳng thực sự trên S, mâu thuẫn. Như vậy H = S ×S, do đó ES = {e}, vì H là tương đẳng tách lũy đẳng của S. Suy ra S là một nhóm đơn.