MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Những kết lý thuyết điểm bất động 1.1 Điểm bất động ánh xạ co 1.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer nguyên lý KKM 1.3 Các định lý điểm bất động ánh xạ liên tục 19 Chương Cấu trúc chuẩn tắc Sự tồn điểm bất động lớp ánh xạ không giãn 22 2.1 Một số khái niệm tính chất 22 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ không giãn với cấu trúc chuẩn tắc 26 2.3 Sự tồn điểm bất động trường hợp khơng có cấu trúc chuẩn tắc 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 LỜI NÓI ĐẦU Các định lý điểm bất động câu trả lời cho toán tổng quát sau đây: Cho C tập không gian X, T ánh xạ từ C vào X Phải đặt điều kiện C, X T để khẳng định tồn điểm x0 C cho T x0 = x0 ? Điểm x0 gọi điểm bất động ánh xạ T Những định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng với lớp ánh xạ không gian khác Trên sở báo Geometric Properties of Banach Spaces and Metric Fixed Point Theory Tomas Dominguez Benavides lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Các định lý điểm bất động không gian Banach" Với nội dung nghiên cứu luận văn viết thành hai chương: Chương Trình bày số kết lý thuyết điểm bất động không gian Banach với lớp ánh xạ co, ánh xạ liên tục Chương Đây phần trọng tâm luận văn, chúng tơi trình bày kết cấu trúc chuẩn tắc khơng gian Banach Từ đó, nghiên cứu điểm bất động lớp ánh xạ không giãn không gian Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo, PGS.TS Tạ Khắc Cư Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG NHỮNG KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO 1.1.1 Định nghĩa Cho T ánh xạ từ tập X vào Ánh xạ T gọi có điểm bất động tồn x0 ∈ X cho T x0 = x0 1.1.2 Định nghĩa Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào gọi ánh xạ co tồn số k ∈ [0, 1) cho d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với x, y ∈ X 1.1.3 Định lý (nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T ánh xạ co X Khi đó, tồn xω ∈ X mà T xω = xω Ngoài ra, với x0 ∈ X ta có T n x0 →xω n→∞ Chứng minh Lấy x0 tùy ý X đặt xn+1 = T xn với n = 0, 1, 2, Dễ dàng kiểm tra rằng: d(xn , xn+1 ) ≤ k n d(x0 , x1 ) Lấy m > n, ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 + · · · + d(xm−n , xm ) ≤ (k n + k n+1 + · · · + k m−1 )d(x0 , x1 ) ≤ k n (1 + k + · · · + k m−n−1 )d(x0 , x1 ) ≤ kn 1−k d(x0 , x1 ) Do {xn } dãy Cauchy xn →xω ∈ X Với n ta có ≤ d(xω , T xω ) ≤ d(xω , xn ) + d(xn , T xω ) ≤ d(xω , xn ) + kd(xn−1 , xω ) (1) Cho n→∞ ta d(xω , T xω ) = 0, tức T xω = xω Nếu có yω ∈ X mà T yω = yω ta có d(xω , yω ) = d(T xω , T yω ) ≤ kd(xω , yω ) Vì k < nên d(xω , y0 ) = xω = yω Vậy điểm bất động T nguyên lý chứng minh 1.1.4 Định nghĩa Ánh xạ T không gian metric (X, d) gọi (ε, δ)-co với ε > 0, tồn δ > cho: ε ≤ d(x, y) < ε + δ d(T x, T y) < ε (2) 1.1.5 Chú ý Mọi ánh xạ (ε, δ)-co thỏa mãn điều kiện: x = y d(T x, T y) < d(x, y) (3) Thật vậy, x = y đặt ε = d(x, y) > ta có ε = d(x, y) < ε + δ nên theo (2) ta phải có d(T x, T y) < ε = d(x, y) Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện (3) thường gọi co yếu 1.1.7 Định lý (Meir - Keeler) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T ánh xạ (ε, δ)-co X Khi đó, T có điểm bất động xω với x0 ∈ X , ta có T n x0 →xω n→∞ Chứng minh Lấy x0 ∈ X tùy ý, đặt xn+1 = T xn cn = d(xn , xn+1 ), n = 0, 1, 2, Có thể giả thiết cn > Vì T co yếu nên {cn } dãy dương giảm, cn →ε ≥ Nếu ε > tồn δ > để có (2) Chọn k ∈ N cho n ≥ k cn < ε + δ Theo (2) ta có cn+1 < ε điều vô lý Vậy ε = 0, tức cn →0 Ta chứng minh {xn } dãy Cauchy phản chứng Giả sử có ε > cho với k ∈ N, tồn n, m ≥ k mà d(xn , xm ) ≤ 2ε Chọn k cho i ≥ k ci < α4 Với α = min{ε, δ} Chọn m > n ≥ k d(xn , xm ) ≥ 2ε xét số d(xn , xn+1 ), d(xn , xn+2 ), , d(xn , xm ) Khoảng cách hai số liên tiếp |d(xn , xi ) − d(xn , xi+1 )| ≤ d(xi , xi+1 ) = ci < Vì d(xn , xn+1 = cn < 1, , m} cho ε + α α ≤ ε 4, α d(xn , xm ) ≥ 2ε nên tồn j ∈ {n, n + ≤ d(xn , xj ) < ε + 3α Vì ε ≤ d(xn , xj ) < ε + δ nên theo (2) ta có d(T xn , T xj ) = d(xn+1 , xj+1 ) < ε Từ ta có d(xm , xj ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xj+1 ) + d(xj+1 , xj ) ≤ α α α +ε+ =ε+ 4 Điều mâu thuẫn với d(xn , xj ) ≥ ε + α2 Vậy {xn } dãy Cauchy xn →xω ∈ X Để ý T ánh xạ co yếu, với n = 0, 1, 2, ta có d(xω , T xω ) ≤ d(xω , xn+1 ) + d(xn+1 , T xω ) = d(xω , xn+1 ) + d(T xn , T xω ) = d(xω , xn+1 ) + d(xn , xω ) Cho n→∞ ta d(xω , T xω ) = 0, tức xω = T xω 1.1.8 Chú ý Đối với lớp ánh xạ co yếu nguyên lý ánh xạ co khơng cịn Một phản ví dụ đơn giản X = [1, ∞), T x = x + x1 ; ánh xạ co yếu điểm bất động Thật vậy, x = y d(T x, T y) = x + 1 1 −y− = |y − x| − − < |y − x| x y x y Điều kiện bổ sung đơn giản tính compact X 1.1.9 Định lý Cho (X, d) không gian metric compact T ánh xạ co yếu X Khi T có điểm bất động X Chứng minh Với x ∈ X , đặt f (x) = d(x, T x) Vì T ánh xạ co yếu nên liên tục, f hàm số liên tục không gian compact X Vậy tồn x0 ∈ X cho f (x0 ) =min{f (x) : x ∈ X} Nếu f (x0 ) > x0 = T x0 nên f (T x0 ) = d(T x0 , T x0 ) < d(x0 , T x0 ) = f (x0 ), ta gặp mâu thuẫn Vậy f (x0 ) = x0 điểm bất động T Tính điểm bất động hiển nhiên T co yếu 1.1.10 Định lý (Caristi) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ hàm số ϕ : X→(−∞; +∞] nửa liên tục bị chặn Cho ánh xạ T X thỏa mãn điều kiện d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X (4) Khi đó, T có điểm bất động X Trước chứng minh định lý này, ánh xạ co T thỏa mãn điều kiện (4) Thật vậy, với x ta có d(x, T x) = d(x, T x) kd(x, T x) − 1−k 1−k Mặt khác, ta lại có d(T x, T (T x)) ≤ kd(x, T x) nên d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x) với ϕ(x) = d(x, T x) 1−k hàm liên tục Chứng minh Trước hết ta đưa vào quan hệ thứ tự X sau: x ≤ y d(x, y) ≤ ϕ(x) − ϕ(y) Dễ kiểm tra mối quan hệ thứ tự ϕ hàm tăng theo quan hệ thứ tự này, tức x ≤ y ϕ(y) ≤ ϕ(x) Ta chứng minh (X, ≤) tồn phần tử cực đại υ Lấy x1 ∈ X tùy ý đặt S(x1 ) = {y ∈ X : x1 ≤ y} = {y ∈ X : d(x1 , y) ≤ ϕ(x1 ) − ϕ(y)} = {y ∈ X : d(x1 , y) + ϕ(y) ≤ ϕ(x1 )} Vì d(x1 ) liên tục ϕ nửa liên tục nên S(x1 ) đóng Đặt a1 =inf{ϕ(y) : y ∈ S(x1 )} Khi tồn x2 ∈ S(x1 ) mà ϕ(x2 ) ≤ a1 + Lại đặt S(x2 ) = {y ∈ S(x1 ) : x2 ≤ y} Khi đó, S(x2 ) đóng S(x2 ) ⊂ S(x1 ) Đặt a2 =inf{ϕ(y) : y ∈ S(x2 )} Khi tồn x3 ∈ S(x2 ) mà ϕ(x3 ) ≤ a2 + Tiếp tục trình trên, ta nhận dãy {xn } với ba tính chất sau xn+1 ∈ S(xn ), ϕ(xn+1 ) ≤ an + n1 , với an =inf{ϕ(y) : y ∈ S(xn )}, S(xn ) đóng S(xn+1 ) ⊂ S(xn ), n = 1, 2, 3, Ta chứng minh đường kính dn tập S(xn ) tiến tới n→∞ Theo định nghĩa, S(xn ) = {y ∈ S(xn−1 : xn ≤ y} Lấy x, y tùy ý S(xn ) Vì xn ≤ x, xn ≤ y nên ta có d(xn , x) ≤ ϕ(xn ) − ϕ(x), d(xn , y) ≤ ϕ(xn ) − ϕ(y) Vậy d(x, y) ≤ 2ϕ(xn ) − [ϕ(x) + ϕ(y)] Mặt khác, theo định nghĩa an xn ta có ϕ(xn ) ≤ an−1 + , ϕ(x) ≥ an , ϕ(y) ≥ an , an ≥ an−1 n−1 Do d(x, y) ≤ aqn + n−1 − 2an = , n−1 với x, y ∈ S(xn ) Vậy dn →0 n = →∞ Vì khơng gian X đầy đủ nên theo nguyên lý Cantor ∞ S(xn ) = {v} n=1 Ta chứng minh υ phần tử cực đại (X, ≤), tức υ ≤ w v = w Thật vậy, v = w nên x1 ≤ w, w ∈ S(x1 ) Vì v ≤ w nên x2 ≤ w, mà ∞ ∈ S(x1 ) nên w ∈ S(x2 ) Cứ tiếp tục ta w ∈ S(xn ) = {υ}, n=1 tức w = v υ phần tử cực đại Cuối ta υ điểm bất động T Theo giả thiết, ta có d(v, T v) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x) Khi đó, theo định nghĩa thứ tự ta có v ≤ T v Nhưng v cực đại nên υ = T υ 1.2 NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER VÀ NGUYÊN LÝ KKM 1.2.1 Định nghĩa Cho X không gian tuyến tính, tập hợp S X gọi n-đơn hình S =co{u0 , u1 , , un } với u0 , u1 , , un ∈ X véc tơ u1 − u0 , , un − u0 độc lập tuyến tính Các điểm ui gọi đỉnh, bao lồi k + đỉnh gọi k -diện S Phép tam giác phân đơn hình S phép phân chia S thành n-đơn hình S i , i = 1, 1, , m, cho hợp chúng S hai đơn hình giao giao phải diện chung hai đơn hình Đối với phép tam giác phân S , Sperner (1928) đưa phép gán cho đỉnh đơn hình số 0, 1, , n theo quy tắc sau đây: co{ui0 , , uik } diện nhỏ S chứa v v gán số i0 , , ik (như đỉnh ui phải gán số i) Ta gọi phép gán số Sperner 1.2.2 Ví dụ Trong tam giác u0 u1 u2 , ba đỉnh gán số 0, 1, 2; đỉnh đơn hình nằm cạnh ui uj gán số i j ; đỉnh thuộc phần tam giác gán số hoặc Sau gán số, đơn hình có đỉnh gán đủ số 0, 1, , n gọi đơn hình "tốt" 1.2.3 Bổ đề (Sperner) Với phép gán số Sperner, phép tam giác phân đơn hình ln có số lẻ đơn hình tốt Chứng minh (bằng quy nạp theo số chiều) a) Với n = 1, đơn hình đoạn u0 u1 , đỉnh u0 gán số 0, đỉnh u1 gán số 1, đỉnh lại đơn hình nhận số Gọi k số đỉnh (của đơn hình con) nhận giá trị (nếu đỉnh chung tính hai lần) Ta có k số lẻ có đỉnh nhận số thuộc phần tính hai lần Gọi h số đỉnh nhận số mà đỉnh cịn lại (của đơn hình chứa đỉnh đó) nhận số Vậy h số chẵn "đỉnh cịn lại" có tính chất 10 Với y cố định, f hàm affin theo biến y (vì T liên tục), nửa liên tục Hiển nhiên f (x, x) = với x ∈ C Vậy theo bất đẳng thức Ky Fan, tồn y ∗ ∈ C cho f (x, y ∗ ) ≤ với x ∈ C tức T y ∗ − y ∗ , x − y ∗ ≤ với x ∈ C Đặc biệt, x = T y ∗ ta T y∗ − y∗ ≤ 0, từ y ∗ = T y ∗ mệnh đề chứng minh 1.3 CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIÊN TỤC Một hiệu lực bất đẳng thức Ky Fan từ suy loạt định lý điểm bất động quan trọng, kể nguyên lý Brouwer vừa thấy mục 1.3.1 Định lý (KyFan) Cho C tập lồi, compact không gian định chuẩn X, T : C→X ánh xạ liên tục Khi tồn x0 ∈ C cho T x0 − x0 = min{ T x0 − x : x ∈ C} (1) Chứng minh Với x, y ∈ C , đặt f (x, y) = T y − y − T y − x Vì chuẩn hàm lồi nên với y, f (x, y) liên tục theo y Hiển nhiên, f (x, x) = với x ∈ C Theo bất đẳng thức Ky Fan, tồn x0 ∈ C cho f (x, x0 ) ≤ với x ∈ C Từ ta T x0 − x0 = min{ T x0 − x : x ∈ C} Định lý chứng minh 19 1.3.2 Hệ (Schauder) ([4]) Mọi ánh xạ liên tục từ tập hợp lồi, compact khơng gian định chuẩn vào có điểm bất động 1.3.3 Định lý (Tikhonov) Cho C tập hợp lồi, compact không gian lồi địa phương tách (X, P ), T : C→C ánh xạ liên tục Khi T có điểm bất động Chứng minh Vì T x = x p(x − T x) = với p ∈ P nên ta cần chứng minh tập hợp {x ∈ C : p(x − T x) = 0} = ∅ p∈P Do p T liên tục, giao họ tập hợp đóng tập hợp compact C , nên cần chứng minh họ có tính chất giao hữu hạn Vậy lấy {p1 , p2 , , pn } ⊂ P , ta cần chứng minh n {x ∈ C : pi (x − Tx ) = 0} = ∅, i=1 điều tương đương với n M= x∈C: pi (x − T x) = = ∅ i=1 Với x, y ∈ C , đặt n n pi (y − T y) − f (x, y) = i=1 pi (x − T y) i=1 Với y cố định, pi T liên tục nên f (x, y) liên tục theo y Hiển nhiên f (x, x) = với x ∈ C Vậy theo bất đẳng thức Ky Fan, tồn y ∗ ∈ C cho f (x, y ∗ ) ≤ 0, với x ∈ C 20 Điều chứng tỏ n n ∗ ∗ pi (x − T y ∗ ), với x ∈ C pi (y − T y ) ≤ i=1 Đặc biệt, chọn x = T y ∗ , ta i=1 n pi (y ∗ − T y ∗ ) = 0, chứng tỏ y ∗ ∈ M , tức i=1 M = ∅ Định lý chứng minh 21 CHƯƠNG CẤU TRÚC CHUẨN TẮC SỰ TỒN TẠI CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA LỚP ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN 2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT 2.1.1 Định nghĩa A tập không gian Banach X , bao lồi n tập A, ký hiệu co(A), tập hợp tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn n αi ≥ 0, αi xi , i=1 αi = 1, xi ∈ A, n = 0, 1, 2, i=1 2.1.2 Định nghĩa Cho X không gian Banach, A tập bị chặn, B tập tùy ý X Bán kính Chebyshev A B cho r(A, B) = inf{sup{ x − y : x ∈ A} : y ∈ B} Ở ta viết r(A) thay cho r(A, co(A)) Tâm Chebyshev A B cho Z(A, B) = {y ∈ B : sup{ x − y : x ∈ A} = r(A, B)} Ở ta viết Z(A) thay cho Z(co(A) 2.1.3 Chú ý Chúng ta nói rằng, bán kính Chebyshev r(A, B) bán kính hình cầu nhỏ có tâm điểm thuộc B phủ tập A, tâm Chebyshev Z(A, B) tập hợp tất tâm hình cầu nhỏ Tuy nhiên, giá trị nhỏ định nghĩa không thiết phải đạt được, tập Z(A, B) thể rỗng Mặt khác, với ε > ta xét tập Zε (A, B) = {y ∈ B : r(A, y) ≤ r(A, B) + ε} Zε (A, B) tập khác rỗng, lồi, bị chặn đóng B thỏa mãn tính chất tương tự Do Zε (A, B) tập lồi, khác rỗng compact yếu B 22 Từ Zε (A, B) = Z(A, B) ε>0 từ giao hữu hạn suy Z(A, B) tập khác rỗng B tập lồi compact yếu 2.1.4 Định nghĩa Tập bị chặn, lồi, đóng A khơng gian Banach X gọi có đường kính diam(A) = r(A) 2.1.5 Định nghĩa Tập bị chặn, lồi, đóng A khơng gian Banach X gọi có đường kính diam(A) = r(A) Tương đương, Z(A = A Ta nói khơng gian Banach X có cấu trúc chuẩn tắc (tương ứng cấu trúc chuẩn tắc yếu) tập khác rỗng, lồi, đóng (tương ứng compact yếu) có đường kính X đơn hình 2.1.6 Định nghĩa Đường kính tiệm cận, bán kính tâm dãy {xn } khơng gian Banach X cho diama ({xn }) = lim sup{ xn − xm : n, m ≥ k}, k→∞ ({xn }, B) = inf lim sup xn − y : y ∈ B , n→∞ Za ({xn }, B) = y ∈ B : lim sup xn − y = rn ({xn }), B n→∞ B tập tùy ý X Khi B = co({xn }) ta viết ({xn }) Za ({xn }) thay cho ({xn }, co({xn })) Za ({xn }, co({xn })) 2.1.7 Định nghĩa Giả sử X khơng gian Banach có tính chất Schur, nghĩa là, tồn dãy hội tụ yếu mà không hội tụ theo chuẩn Hệ số dãy hội tụ yếu X cho 23 W CS(X) = inf diama ({xn }) : ({xn }) {xn } dãy hội tụ yếu mà không hội tụ theo chuẩn 2.1.8 Định lý Giả sử X khơng gian Banach với W CS(X) > Khi X có cấu trúc chuẩn tắc yếu Chứng minh Giả sử X khơng có cấu trúc chuẩn tắc yếu Do đó, chứa tập lồi, compact yếu, có đường kính A mà khơng đơn hình Đặt d = diam(A) > lấy ε < d số dương tùy ý Chọn x1 tùy ý thuộc A Một cách đệ quy ta xây dựng dãy {xn } cho yn − xn+1 > d − ε n2 n xi yn = i=1 n n Giả sử x điểm tùy ý bao lồi {x1 , , xn }, nghĩa là, x = αj xj j=1 n αj ≥ αj = Nếu α = max{α1 , , αn } j=1 x + yn = nα n j=1 αj − n nα =1: αj − ≥ n nα Ta có ε d − < yn − xn+1 ≤ x − xn+1 + n nα ≤ n j=1 αj − n nα xj − xn+1 1 x − xn+1 + − d nα nα Do x − xn+1 ≥ d ε − nα n 24 nα = d − εα ε ≥d− n n Vì vậy, lim d(xn+1 , co({x1 , , xn }) = d Từ A tập compact yếu dãy n→∞ {xn } thỏa mãn điều kiện trên, giả sử {xn } hội tụ yếu Đặt biệt, diama ({xn }) ≤ d Nếu X thỏa mãn tính chất Chur, {xn } hội tụ ta thu mâu thuẫn d = Mặt khác, y thuộc bao lồi {xn } y thuộc co({x1 , , xk }) với k Nếu n > k ta có y − xn ≥ d − nε Do ({xn }) ≥ d Từ diama ({xn }) ≤ d ta thu W CS(X) ≤ 2.1.9 Định nghĩa Ta nói khơng gian Banach X lồi đều, với ε ∈ (0, 2] tồn δ > cho với x, y ∈ X x − y ≥ ε, x, y ∈ B(0, 1) 1− x+y > δ 2.1.10 Định nghĩa Giả sử X không gian Banach Môđun bao lồi X , ký hiệu δX (ε) cho δX (ε) = inf − x+y : x, y ∈ B(0, 1), x − y ≥ ε 2.1.11 Định nghĩa Không gian Banach X gọi trơn tồn f ∈ X ∗ cho f = f (x) = với x = 2.1.12 Định nghĩa Không gian Banach X gọi trơn lim+ t→0 ρX (t) = t Ở ρX (t) môđun trơn cho ρX (t) = sup ( x + ty + x − ty ) − : x ≤ 1, y ≤ t 25 2.1.13 Định lý Mọi không gian Banach X t ≥ có tε (a) ρX ∗ (t) = sup 0≤ε≤2 (b) ρX (t) = sup 0≤ε≤2 tε − δX (ε) − δX ∗ (ε) 2.1.14 Chú ý Ký hiệu ρ0 (X) đặc tính tính trơn X , cho ρ0 (X) = lim+ t→0 ρX (t) , t ε0 (X) đặc tính tính lồi ε0 (X) = sup{ε ≥ : δX (ε) = 0} 2.1.15 Định lý Với không gian Banach X có ε0 (X) ε0 (X ∗ ) (a) ρ0 (X ∗ ) = (b) ρ0 (X) = Chứng minh Ta có ρ(X) = lim+ ρXt(t) = lim+ 1t sup t→0 = lim+ sup t→0 t→0 δX (ε) ε − t tε − δX (ε) ≥ ε0 (X)/2 Mặt khác, ký hiệu a = lim+ δXt(t) t→0 Với η > tồn t0 > cho với t, < t < t0 , tồn ε(t) thỏa mãn a−η < ε(t) δX (ε(t)) − t t Từ bất đẳng thức ta suy ε(t) > 2(a−η) Nếu giả sử δX (2(a−η)) > ta thu δX (ε(t)) ≥ δX (2(a − η)) cho t→0+ , ta thu mâu thuẫn a = −∞ Vì vậy, δX (2(a − η)) = η tùy ý nên suy ε0 (X) ≥ a 2.1.16 Định lý ([7]) Giả sử X không gian Banach với ρ0 (X) < 12 Khi X phản xạ 26 2.1.17 Định lý Giả sử X không gian Banach với ρ0 (X) < 21 Khi X có cấu trúc chuẩn tắc Chứng minh Vì ρ0 (X) < nên X phản xạ Ta chứng minh W CS(X) > Lấy τ số thuộc 0; 12 {xn } dãy chuẩn hóa, hội tụ yếu tới Giả sử d = limn,m;n=m xn − xm tồn ý đến dãy hàm chuẩn hóa {x∗n } mà x∗n (xn ) = Từ X ∗ phản xạ ta giả sử {x∗n } hội tụ yếu tới vectơ x∗ ∈ X ∗ Lấy η > tùy ý chọn n đủ lớn |x∗ (xn )| < η d − η < xn − xm < d + η vớim > n Ta có |(x∗m − x∗ )(xn )| < η |x∗n (xm )| < η Vì |x∗m (xn )| < η l = xn − xm ≤ ta có xn − xm xn − xm + τ xn + − τ xn −1 l l xm xm 1 x∗n + τ xn − + x∗m − − τ xn ≥ l l l l 1 η 1 ≥ +τ − + − −τ η −1 l l l l τ η ≥ + − −1 d+η d−η ρX (τ ) ≥ Từ η tùy ý, ta thu ρX (τ ) ≥ Suy d ≤ ρX (τ ) − τ d + − + với τ ∈ 0, 12 W CS(X) ≥ Từ ρ0 (X) < τ δX (τ ) − tồn τ0 ∈ 0, 12 cho W CS(X) ≥ ρX (τ0 ) τ0 δX (τ0 ) − X có cấu trúc chuẩn tắc 27 τ τ0 +1 < 21 Suy +1 >1 −1 2.2 SỰ TỒN TẠI CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VỚI CẤU TRÚC CHUẨN TẮC 2.2.1 Định nghĩa Ánh xạ T từ không gian Banach X vào gọi khơng giãn T x − T y ≤ x − y , với x, y ∈ X 2.2.2 Định lý Giả sử X không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc yếu, C tập lồi, compact yếu X T : C→C ánh xạ không gian, Khi T có điểm bất động Chứng minh Giả sử B tập hợp tất tập lồi, compact yếu C bất biến qua T Bổ đề Zorn’s đảm bảo tồn tập cực tiểu K Từ T (K) ⊂ K ta có co(T (K)) ⊂ K Do co(T (K)) tập lồi, compact yếu K với bất biến qua T Tính chất cực tiểu K suy K = co(T (K)) Từ K tập lồi, compact yếu, ta dùng ý 2.2.2 Z(K) tập khác rỗng, lồi, compact yếu Ta chứng minh Z(K) bất biến qua T Thật vậy, lấy x ∈ Z(K), nghĩa r(K, x) = r(K) Với y ∈ K ta có Ty − Tx ≤ r(K) Từ T (K) = K ⊂ B(Tx , r(K)) Suy co(T (K)) = K ⊂ B(Tx , r(K)) r(K, T (x)) ≤ r(K) suy T (x) ∈ Z(K) Từ tính cực tiểu K suy Z(K) = K diam(K) = X có cấu trúc chuẩn tắc yếu Do K đơn hình chứa điểm bất động T 28 2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP KHƠNG CĨ CẤU TRÚC CHUẨN TẮC 2.3.1 Bổ đề (Geobel - Karlovitz) Giả sử K tập lồi, compact yếu không gian Banach X T : K→K ánh xạ không gian Giả thiết K cực tiểu giả sử {xn } dãy xấp xỉ điểm bất động T K , nghĩa là, lim xn − T xn = Khi n→∞ lim y − xn = diam(K) n→∞ với y ∈ K Chứng minh Ta biết K = Z(K) suy K có tập có đường kính Chúng ta chứng minh Za ({xn }, K) = K Giả sử Za , ε({xn }, K) = y ∈ K : lim sup xn − y ≤ ({xn }, K) + ε n→∞ Dễ dàng kiểm tra Za,ε ({xn }, K) tập khác rỗng, đóng, lồi bất biến qua T Do Za,ε ({xn }, K) = K Za,ε ({xn }, K) = K Za ({xn }, K) = ε>0 Chúng ta lim sup y − xn =diam(K) với y ∈ K Thật vậy, n→∞ giả sử tồn y ∈ K mà lim sup y − xn − ε với n ∈ N ; (iv) lim sup zn − xn ≤ i − t n→∞ 2.3.3 Định nghĩa Cho X không gian Banach Chúng ta định nghĩa hệ số R(X) = sup lim inf xn + x n→∞ 30 sup lấy với x ∈ X mà x ≤ dãy hội tụ yếu B(0, 1) 2.3.4 Định lý Cho X không gian Banach với R(X) < Nếu C tập lồi, compact yếu X T : C→C ánh xạ khơng giãn T có điểm bất động Chứng minh Ta tìm tập X lồi, compact, bất biến qua T mà khơng phải đơn hình thỏa mãn điều kiện cực tiểu Chúng ta giả sử có đường kính Hơn nữa, từ nguyên lý ánh xạ co dễ dàng xây dựng dãy xấp xỉ điểm bất động {xn } K Chúng ta giả thiết {xn } hội tụ yếu, phép tịnh tiến, {xn } hội tụ yếu đến Chú ý dãy {zn } thỏa mãn (i) - (iv) Định lý 2.3.2 với t = 21 Nếu cần, ta giả sử lim zn − z tồn n→∞ Hơn nữa, lim zn − z ≤ lim lim zn − zm ≤ 12 Ta chọn n > n cho nR(X) < − n R(X) m Với n đủ lớn, ta có zn − z ≤ + n Hơn z ≤ lim inf zn − xn ≤ n→∞ Do zn zn − z + = 1 + n + n 2 z ≤ R(X) +n Do lim sup zn ≤ R(X)( 12 + n) < mâu thuẫn ∈ K n→∞ 31 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: Trình bày khái niệm chứng minh tính chất điểm bất động lớp ánh xạ co, ánh xạ liên tục khơng gian Banach Trình bày khái niệm tính chất cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Các kết thể Định lý 2.1.8 Định lý 2.1.17 Trình bày tồn điểm bất động lớp ánh xạ không giãn không gian Banach với cấu trúc chuẩn tắc khơng có cấu trúc chuẩn tắc Các kết thể Định lý 2.2.2 Định lý 2.3.4 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân, Tạ Khắc Cư (2005), Khơng gian mêtric tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Jean Dieudone (1976), Cơ sở giải tích đại, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Các định lý điểm bất động, Nxb Đại học Sư phạm [5] Lê Thị Cẩm Thủy (2010), Sự tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị điểm bất động chung ánh xạ đơn trị đa trị, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [6] A Granas and J Dugundji (2003), Fiexd Point Theory, Spinger-Verlag New York, Inc [7] Tomas Dominguez Bennavides (2002), Geometric Properties of Banach Spaces and Metric Fixed Point Theory Mathematicae Vol.17, Num.3, 331-349 33 ... ? Điểm x0 gọi điểm bất động ánh xạ T Những định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết kinh điển... điểm bất động lớp ánh xạ co, ánh xạ liên tục khơng gian Banach Trình bày khái niệm tính chất cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach Các kết thể Định lý 2.1.8 Định lý 2.1.17 Trình bày tồn điểm bất. .. LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO 1.1.1 Định nghĩa Cho T ánh xạ từ tập X vào Ánh xạ T gọi có điểm bất động tồn x0 ∈ X cho T x0 = x0 1.1.2 Định nghĩa Ánh xạ T từ không gian