MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Tập γ-nửa mở không gian tôpô 1.1 Các khái niệm 1.2 Tập γ-nửa mở không gian tôpô Không gian γ-nửa quy tập γ-nửa compact không gian tôp 2.1 Không gian γ-nửa quy 13 2.2 Tập γ-nửa compact không gian tôpô 17 2.3 Tích tập γ-nửa mở β-nửa mở 20 Các tiên đề tách yếu không gian tôpô 3.1 Một số đặc trưng tiên đề tách yếu 24 24 3.2 γ-nửa T không gian 33 Kết luận Tài liệu tham khảo 38 40 LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây, lý thuyết phép toán tập hợp thu hút nhiều quan tâm nhà toán học giới S Kasahara [9], H Ogata [17], G S S Krishnan [10], H Maki [15], "Cho (X, τ ) không gian tôpô Một phép toán γ tôpô τ ánh xạ γ: τ / P(X) thoả mãn U ⊆ γ(U ), với U ∈ τ " Khái niệm phép toán khái quát hoá phép toán đồng nhất, phép toán bao đóng quen biết tôpô đại cương Dựa khái niệm này, tác giả xây dựng loại tập hợp mới, gọi tập γ-mở, tập γ-nửa mở, từ nghiên cứu tính chất loại tập hợp này, đặc biệt tính chất tôpô chúng Cũng dựa khái niệm này, người ta đưa tiên đề tách loại ánh xạ mới, nghiên cứu tính chất chúng tìm mối quan hệ với khái niệm quen thuộc tôpô đại cương Đây hướng nghiên cứu mới, mang tính thời phát triển Nhật Bản, Đan Mạch, Ấn Độ, Các kết chúng giúp có nhìn sâu rộng tôpô đại cương Dưới hướng dẫn thầy giáo, PGS.TS Trần Văn Ân giúp đỡ nhiệt tình việc thẩm định kết cung cấp báo Dr Haruo Maki, Dr Maximilian Ganster Dr Saeid Jafari, mạnh dạn tiếp cận với hướng nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu sâu số tính chất loại tập hợp nói trên, đưa số điều kiện tương đương loại không gian Bên cạnh đó, luận văn đưa khái niệm không gian γ-nửa quy, tập γ-nửa compact nghiên cứu tính chất tôpô chúng Ngoài ra, giới thiệu khái niệm phép toán liên kết đồng thời nghiên cứu số tính chất tập ρ-mở, ρ-nửa mở không gian tôpô tích đưa điều kiện để đồ thị ánh xạ (γ, β)-nửa liên tục tập ρ-nửa đóng Trong phần cuối luận văn, đưa loại tập hợp mới, gọi γs -tập, γs -tập suy rộng tập λ-γ-nửa đóng Từ đưa đặc trưng số lớp không gian đặc biệt Với mục đích trên, luận văn chia làm chương Chương Tập γ-nửa mở không gian tôpô Trong chương này, giới thiệu số khái niệm tập γ-mở, γ-nửa mở tính chất chúng giới thiệu [9], [17] [10] Bên cạnh đó, đưa thêm số tính chất khác nhằm chuẩn bị cho chương Chương Không gian γ-nửa quy tập γ-nửa compact Ở đây, đưa khái niệm không gian γ-nửa quy, tập γ-nửa compact nghiên cứu số tính chất chúng mối quan hệ chúng với không gian biết Bên cạnh đó, giới thiệu khái niệm phép toán liên kết nghiên cứu tính ρ-nửa mở tập hợp không gian tích Từ đó, tìm điều kiện để đồ thị ánh xạ (γ, β)-nửa liên tục tập ρ-nửa đóng không gian tích Chương Các tiên đề tách yếu không gian tôpô Trọng tâm chương đưa khái niệm γs -tập, γs -tập suy rộng tập λ-γ-nửa đóng, từ đưa đặc trưng không gian γ-nửa T0 , γ-nửa T , γ-nửa T1 Đặc biệt, luận văn đưa loại không gian mới, gọi γ-nửa T nghiên cứu số đặc trưng lớp không gian Trong suốt luận văn, ta giả thiết (X, τ ), (Y, σ), hay viết đơn giản X, Y, không gian tôpô, clA intA bao đóng phần tập A X, X \ A phần bù tập hợp A, γ, β, ρ, phép toán Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo, PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, thầy giáo, cô giáo khoa giúp đỡ tác giả suốt trình công tác học tập trường Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Vinh giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bạn học viên Cao học khoá 12, đặc biệt Cao học 12 Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn ngày hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2006 Tác giả CHƯƠNG TẬP γ-NỬA MỞ TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1 Các khái niệm Trong phần này, trình bày khái niệm đưa [9], [17], [10] phép toán, tập γ-mở, γ-bao đóng, không gian γ-chính quy, tính chất chúng 1.1.1 Định nghĩa ([9]) Cho (X, τ ) không gian tôpô Một phép toán / (operation) τ ánh xạ γ : τ P(X) thoả mãn U ⊂ γ(U ), với U ∈ τ Ta ký hiệu U γ thay cho γ(U ) 1.1.2 Ví dụ (i) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, ánh / xạ γ : τ P(X) xác định γ(A) = A, γ(A) = clA γ(A) = intclA, với A ∈ τ phép toán tôpô τ (ii) Giả sử X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}} Khi đó, ánh xạ γ: τ / P(X) cho công thức γ(A) = A clA c ∈ /A c ∈ A xác định phép toán tôpô τ 1.1.3 Định nghĩa ([17]) Tập A không gian tôpô X gọi tập γ-mở (γ-open), với x ∈ A, tồn tập mở U chứa x cho U γ ⊂ A Tập hợp tất tập γ-mở không gian tôpô (X, τ ) ký hiệu τγ 1.1.4 Nhận xét ([17]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô γ phép toán τ Khi (i) τγ ⊆ τ (ii) Nếu {Aα : α ∈ Λ} họ tập γ-mở không gian tôpô (X, τ ) Aα tập γ-mở α∈Λ (iii) Giao hai tập γ-mở chưa tập γ-mở 1.1.5 Định nghĩa ([17]) Cho (X, τ ) không gian tôpô A ⊂ X Điểm x ∈ X gọi nằm γ-bao đóng (γ-closure) tập A, U γ ∩ A = ∅, với tập mở U chứa x Ta ký hiệu clγ (A) γ-bao đóng tập A 1.1.6 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, clγ (A) tập đóng X Chứng minh Ta chứng minh clγ (A) = cl(clγ (A)) Thật vậy, ta có clγ (A) ⊆ cl(clγ (A)) Ngược lại, lấy x ∈ cl(clγ (A)) gọi U lân cận mở x Khi đó, U ∩ clγ (A) = ∅ Do đó, tồn điểm y ∈ U cho y ∈ clγ (A) Theo Định nghĩa 1.1.5 ta suy U γ ∩ A = ∅ Điều chứng tỏ x ∈ clγ (A), tức cl(clγ (A)) ⊆ clγ (A) Vậy, clγ (A) tập đóng X 1.1.7 Định nghĩa ([9]) Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian γ-chính quy (γ-regular), với x ∈ X với lân cận mở V x, tồn lân cận mở U x cho U γ ⊆ V 1.1.8 Định lý Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, mệnh đề sau tương đương (i) τ = τγ ; (ii) (X, τ ) không gian γ-chính quy; (iii) Với x ∈ X với tập mở U chứa x, tồn tập γ-mở W cho x ∈ W W ⊆ U Chứng minh (i)⇒(ii) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.1.7 (ii)⇒(iii) Lấy x ∈ X gọi U tập mở chứa x Khi đó, theo (ii), tồn tập mở W cho x ∈ W W γ ⊆ U Vậy U tập γ-mở ta có U ⊆ U (iii)⇒(i) Từ Định nghĩa 1.1.3 ta thấy tập γ-mở tập mở Ngược lại, giả sử U tập mở Khi đó, với x ∈ U từ (iii) tồn tập γ-mở Vx cho Vx ⊆ U Từ U = Vx Nhận xét 1.1.4 ta suy U x∈U tập γ-mở Vậy τ = τγ 1.1.9 Định nghĩa ([10]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô A ⊆ X Ta định nghĩa tập τγ −int(A) = ∪{U : U ⊆ A, U ∈ τγ } 1.1.10 Mệnh đề ([10]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) γ-mở τγ −int(A) = A 1.1.11 Định nghĩa ([17]) Cho A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta định nghĩa tập τγ −cl(A) = ∩{F : A ⊂ F, X \ F ∈ τγ } 1.1.12 Mệnh đề ([17]) Với x ∈ X, x ∈ τγ − cl(A) V ∩ A = ∅, với tập γ-mở V chứa x 1.1.13 Nhận xét ([17]) Nếu A tập không gian tôpô (X, τ ) A ⊆ cl(A) ⊆ clγ (A) ⊆ τγ −cl(A) 1.1.14 Định nghĩa Cho (X, τ ) không gian tôpô γ : τ / P(X) phép toán τ Khi (i) Phép toán γ gọi mở (open)[17], với lân cận mở U x, tồn tập γ-mở S cho x ∈ S S ⊆ U γ (ii) Phép toán γ gọi đơn điệu (monotonic), với tập mở U , V X mà U ⊆ V U γ ⊆ V γ (iii) Phép toán γ gọi quy (regular) [9], với x ∈ X với cặp tập mở U, V chứa x, tồn tập mở W chứa x cho W γ ⊆ U γ ∩ V γ (iv) Phép toán γ gọi cộng tính (subadditive), với họ tập mở {Uα : α ∈ Λ} γ Uαγ ⊆ Uα α∈Λ α∈Λ 1.1.15 Nhận xét (i) Nếu γ phép toán đơn điệu γ quy (ii) Tính quy tính mở phép toán γ độc lập với [10] 1.1.16 Mệnh đề ([17]) Cho γ phép toán quy tôpô τ Khi đó, τγ tôpô X clγ (A ∪ B) = clγ (A) ∪ clγ (B) 1.1.17 Mệnh đề ([17]) Cho (X, τ ) không gian tôpô, A ⊆ X γ phép toán mở τ Khi đó, clγ (A) = τγ −cl(A) clγ (clγ (A)) = clγ (A) 1.1.18 Mệnh đề Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, γ phép toán cộng tính tôpô τ Aγ = A, với tập γ-mở A X Chứng minh Giả sử γ phép toán cộng tính A tập γ-mở X Khi đó, với x ∈ A, tồn tập mở Ux chứa x cho Uxγ ⊆ A Từ ta có Uxγ ⊆ A, Ux ⊆ A= x∈A x∈A suy γ A⊆ Aγ = Ux x∈A Uxγ ⊆ A ⊆ x∈A Vậy, Aγ = A 1.1.19 Định lý ([17]) Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A γ-mở; (ii) clγ (X \ A) = X \ A; (iii) τγ −cl(X \ A) = X \ A 1.2 Tập γ-nửa mở không gian tôpô 1.2.1 Định nghĩa ([10]) Cho (X, τ ) không gian tôpô Tập A X gọi tập γ-nửa mở (γ-semi open), tồn tập γ-mở U cho U ⊆ A ⊆ clγ (U ) Ta ký hiệu τγ −SO(X) tập tất tập γ-nửa mở X 1.2.2 Nhận xét (i) τγ ⊂ τγ −SO(X) (ii) Các khái niệm tập mở, tập γ-mở tập γ-nửa mở khác (iii) Nếu {Aα : α ∈ Λ} họ tập γ-nửa mở X Aα tập γ-nửa mở α∈Λ (iv) Giao hai tập γ-nửa mở chưa tập γ-nửa mở Thật (i) suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.2.1 (ii) chứng minh nhờ ví dụ sau: Ví dụ Lấy X = {a, b, c}, τ = {∅, {a}, {a, b}, X} Khi đó, (X, τ ) không gian tôpô Phép toán γ : τ → P(X) xác định γ(A) = A b∈ / A, γ(A) = cl(A) b ∈ A Dễ dàng kiểm tra {a, c} γ-nửa mở, không tập mở Ví dụ Giả sử X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}} Phép toán γ : τ → P(X) cho γ(A) = A với A ∈ τ Khi đó, ta thấy {a, b} γ-nửa mở, tập γ-mở Ví dụ Lấy X = {a, b, c} tôpô X τ = P(X) Xác định phép toán γ : τ → P(X) cho γ({a}) = {a} γ(A) = A ∪ {c} A = {a} Khi đó, {b} tập mở, không γ-mở γ-nửa mở (iii) Giả sử {Aα : α ∈ Λ} họ tập γ-nửa mở X Khi đó, với α ∈ Λ, tồn tập γ-mở Uα cho Uα ⊆ Aα ⊆ clγ (Uα ) Từ ta có Uα ⊆ α∈Λ Aα ⊆ α∈Λ clγ (Uα ) ⊆ clγ α∈Λ Uα α∈Λ (∗) Uα tập γ-mở, từ (∗) suy Theo Nhận xét 1.1.4, ta có α∈Λ Aα α∈Λ tập γ-nửa mở (iv) Lấy X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {c}, {a, b}, {a, c}} xét phép toán / γ: τ P(X) xác định sau γ(A) = A A ∪ {c} A = {a} A = {a} Khi đó, A = {a, b} B = {b, c} tập γ-nửa mở A ∩ B = {b} tập γ-nửa mở 1.2.3 Mệnh đề ([10]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) γ-nửa mở A ⊆ clγ (τγ −int(A)) 1.2.4 Định nghĩa ([13]) Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi tập nửa mở (semi open), tồn tập mở U cho U ⊆ A ⊆ cl(U ) Tập tất tập nửa mở ký hiệu SO(X) 1.2.5 Nhận xét Hai khái niệm tập γ-nửa mở tập nửa mở độc lập với Trong Nhận xét 1.2.2(iv), tập {b, c} γ-nửa mở tập nửa mở Nhưng X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}} phép toán γ: τ / P(X) cho γ(A) = A cl(A) b ∈ A b ∈ /A {a} tập nửa mở không tập γ-nửa mở Vì thế, câu hỏi tự nhiên đặt với điều kiện hai loại tập hợp trùng nhau? Mệnh đề sau trả lời cho câu hỏi 1.2.6 Mệnh đề Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, (X, τ ) không gian γ-chính quy τγ −SO(X) = SO(X) Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian γ-chính quy Khi đó, từ Định lý 1.1.8, ta có SO(X) ⊆ τγ −SO(X) Ngược lại, lấy A ∈ τγ −SO(X) Khi đó, tồn tập γ-mở U cho U ⊆ A ⊆ clγ (U ) 10 Aα ⊆ γs ( Hiển nhiên α∈Λ Aα ) Mặt khác, từ Mệnh đề 3.1.4, ta có α∈Λ Aα ) ⊆ γs ( α∈Λ γs Aα α∈Λ Vì với α ∈ Λ, Aα γs -tập nên γs Aα = Aα Do đó, ta nhận Aα = γs ( α∈Λ Aα ) α∈Λ Aα γs -tập Trường hợp γ s -tập chứng minh tương tự suy α∈Λ 3.1.9 Bổ đề Tập A không gian tôpô (X, τ ) γ s -tập X \ A γs -tập Chứng minh Giả sử A γ s -tập Khi đó, γ s A = A Từ Định nghĩa 3.1.1 ta có γs (X \ A) = X \ γ s (A) Vì ta có γs (X \ A) = X \ γ s (A) = X \ A Vậy, X \ A γs -tập Tương tự ta chứng minh chiều ngược lại Sau đây, dựa vào khái niệm γs -tập γ s -tập, mô tả đặc trưng không gian γ-nửa T1 3.1.10 Định lý Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) γ-nửa T1 ; (ii) Mỗi x ∈ X, tập điểm {x} γs -tập; (iii) Với x ∈ X, tập điểm {x} tập γ-nửa đóng; (iv) Với x ∈ X, tập điểm {x} γ s -tập; (v) Mọi tập không gian (X, τ ) γs -tập; (vi) Mọi tập không gian (X, τ ) γ s -tập Chứng minh Trước hết ta chứng minh (i)⇔(ii)⇔(iii) Giả sử có (i) Lấy x ∈ X Khi đó, với y ∈ X mà x = y, X γ-nửa T1 nên tồn tập γ-nửa mở U chứa x cho y ∈ / U Do đó, y ∈ / γs {x} Điều chứng tỏ γs {x} ⊆ {x} Vậy, {x} = γs {x} nên {x} γs -tập, tức (i)⇒(ii) 27 (ii)⇒(iii) Lấy x ∈ X Khi đó, với y ∈ X \ {x}, theo (ii) ta có γs {y} = {y} Từ đó, tồn tập γ-nửa mở Uy chứa y cho x ∈ / Uy Vì X \ {x} = Uy nên từ Nhận xét 1.2.2 ta có X \ {x} tập γ-nửa y∈X\{x} mở Suy {x} tập γ-nửa đóng (iii)⇒(i) Giả sử x, y hai điểm khác X Khi đó, từ (iii), X \ {x} X \ {y} tập γ-nửa mở chứa y, x tương ứng y∈ / X \ {y}, x ∈ / X \ {x} Tiếp theo ta chứng minh (ii)⇔(iv) Giả sử có (ii) Lấy x ∈ X Khi đó, với y ∈ X \ {x}, theo (ii) tập điểm {y} γs -tập Theo Mệnh đề 3.1.8(iii) ta có X \ {x} = {y} γs -tập Áp dụng Bổ đề y∈X\{x} 3.1.9, {x} γ s -tập Vậy, (ii)⇒(iv) Lập luận tương tự, ta có (iv)⇒(ii) Nhờ Bổ đề 3.1.9 ta lại có (v)⇔(vi) rõ ràng ta có (v)⇒(ii) Để kết thúc chứng minh, ta (ii)⇒(v) Giả sử A tập X Khi theo (ii), với x ∈ A, {x} γs -tập Vì A = {x} x∈A nên theo Mệnh đề 3.1.8 ta suy A γs -tập, nghĩa (ii)⇒(v) 3.1.11 Định nghĩa Tập A ⊂ X gọi γs -tập suy rộng (generalized γs -set) viết g.γs -tập, với tập γ-nửa đóng F ⊃ A γs A ⊆ F 3.1.12 Mệnh đề Cho (X, τ ) không gian tôpô A ⊆ X Khi đó, (i) Nếu A γs -tập A g.γs -tập; (ii) Nếu {Aα : α ∈ Λ} họ g.γs -tập Aα g.γs -tập α∈Λ Chứng minh (i) Giả sử A γs -tập F tập γ-nửa đóng chứa A Khi đó, từ γs A = A ⊆ F , suy A g.γs -tập (ii) Giả sử {Aα : α ∈ Λ} họ g.γs -tập X F tập γ-nửa Aα ⊆ F Khi đó, với α ∈ Λ ta có Aα ⊆ F Do Aα đóng mà α∈Λ g.γs -tập nên γs Aα ⊆ F , với α ∈ Λ Từ đó, γs Aα ⊆ F α∈Λ γs Aα = γs ( Mặt khác, từ Mệnh đề 3.1.4, ta lại có α∈Λ γs ( α∈Λ Aα ) ⊆ F Vậy, Aα g.γs -tập α∈Λ 28 α∈Λ Aα ) nên 3.1.13 Mệnh đề Cho (X, τ ) không gian tôpô A, B tập X Khi đó, (i) Với x ∈ X, {x} tập γ-nửa mở X \ {x} tập g.γs -tập; (ii) Nếu A ⊆ B ⊆ γs A A tập g.γs -tập B g.γs -tập Chứng minh (i) Lấy x ∈ X giả sử {x} tập γ-nửa mở Khi đó, X \ {x} tập γ-nửa đóng Do đó, X tập γ-nửa đóng chứa X \ {x} nên từ Định nghĩa 3.1.11, X \ {x} g.γs -tập (ii) Vì A ⊆ B ⊆ γs A nên theo Mệnh đề 3.1.3 ta có γs A ⊆ γs B ⊆ γs (γs A) = γs A nghĩa γs A = γs B Bây lấy F tập γ-nửa đóng chứa B Khi đó, A ⊆ B A g.γs -tập nên ta có γs B = γs A ⊆ F Vậy, B g.γs -tập 3.1.14 Mệnh đề Cho (X, τ ) không gian tôpô A ⊆ X Khi đó, γs {x} ∩ A = ∅, với x ∈ γs A A g.γs -tập Chứng minh Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) F tập γ-nửa đóng chứa A Ta chứng minh γs A ⊆ F Thật vậy, lấy x ∈ γs A Khi đó, theo giả thiết γs {x} ∩ A = ∅ Vì A ⊆ F nên γs {x} ∩ F = ∅ Nếu x ∈ / F x ∈ X \ F Do X \ F tập γ-nửa mở X chứa x nên ta có γs {x} ⊆ X \ F Điều mâu thuẫn dẫn đến x ∈ F Vậy, A tập g.γs -tập Bây giờ, sử dụng khái niệm g.γs -tập γs -tập, đưa đặc trưng γ-nửa T 3.1.15 Định lý Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi mệnh đề sau tương đương (i) (X, τ ) γ-nửa T ; (ii) Mỗi g.γs -tập γs -tập 29 Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử (X, τ ) γ-nửa T A g.γs -tập X Ta chứng minh γs A = A Thật vậy, ta có A ⊆ γs A Bây giờ, lấy x ∈ / A Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.13, {x} tập γ-nửa mở γ-nửa đóng Nếu {x} γ-nửa mở X \ {x} γ-nửa đóng Do x ∈ / A nên ta có A ⊆ X \ {x} Mà A g.γs -tập nên γs A ⊆ X \ {x}, nghĩa x ∈ / γs A Nếu {x} γ-nửa đóng X \ {x} tập γ-nửa mở chứa A Từ Định nghĩa 3.1.1, γs A ⊆ X \ {x}, tức x ∈ / γs A Vậy A = γs A, nói cách khác, A γs -tập (ii)⇒(i) Lấy x ∈ X Nếu {x} không γ-nửa mở, theo Mệnh đề 3.1.13, X \ {x} g.γs -tập Do theo (ii), X \ {x} γs -tập Từ Định nghĩa 3.1.1, suy X \ {x} γ-nửa mở, nghĩa {x} γ-nửa đóng Theo Mệnh đề 1.2.13, (X, τ ) γ-nửa T 3.1.16 Mệnh đề Nếu A tập g.γs -tập không gian tôpô (X, τ ), γs A \ A không chứa tập γ-nửa mở khác rỗng Chứng minh Giả sử A tập g.γs -tập tồn tập γ-nửa mở U = ∅ mà U ⊆ γs A \ A Khi đó, U ∩ A = ∅, A ⊆ X \ U Vì X \ U tập γ-nửa đóng A g.γs -tập nên γs A ⊆ X \ U , suy γs A ∩ U = ∅ Điều mâu thuẫn với U ⊂ γs (A) \ A Vậy, γs A \ A không chứa tập γ-nửa mở khác rỗng 3.1.17 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi λ-γ-nửa đóng, A = L ∩ F , L γs -tập F tập γ-nửa đóng 3.1.18 Mệnh đề Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) A tập λ-γ-nửa đóng; (ii) A = L ∩ τγ −scl(A), với L γs -tập; (iii) A = γs A ∩ τγ −scl(A) Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử A λ-γ-nửa đóng Khi đó, từ Định nghĩa 3.1.17, tồn γs -tập L tập γ-nửa đóng F cho A = L ∩ F 30 Vì A ⊆ F F γ-nửa đóng nên τγ −scl(A) ⊆ F Do A ⊆ L ∩ τγ −scl(A) ⊆ L ∩ F = A Vậy, A = L ∩ τγ −scl(A) (ii)⇒(iii) Giả sử tồn γs -tập L cho A = L ∩ τγ −scl(A) Khi đó, A ⊆ L γs L = L nên ta có A ⊆ γs A ∩ τγ −scl(A) ⊆ γs L ∩ τγ −scl(A) = L ∩ τγ −scl(A) = A Do đó, A = γs A ∩ τγ −scl(A) (iii)⇒(i) Giả sử A = γs A ∩ τγ −scl(A) Do γs A γs -tập τγ −scl(A) tập γ-nửa đóng nên từ Định nghĩa 3.1.17 suy A λ-γ-nửa đóng 3.1.19 Nhận xét (i) Mỗi γs -tập tập γ-nửa đóng tập λ-γ-nửa đóng (ii) Giao tuỳ ý tập λ-γ-nửa đóng tập λ-γ-nửa đóng (iii) Hợp hai tập λ-γ-nửa đóng chưa tập λ-γ-nửa đóng Ví dụ Lấy X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}}, phép toán γ τ xác định γ(A) = A clA b ∈ A b ∈ / A Ta có τγ −SO(X) = {∅, X, {b}, {a, b}, {a, c}} Khi đó, A = {b} B = {c} hai tập λ-γ-nửa đóng A ∪ B = {b, c} tập λ-γ-nửa đóng Bây giờ, sử dụng tập λ-γ-nửa đóng, mô tả đặc trưng không gian γ-nửa T0 γ-nửa T 3.1.20 Định lý Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, (X, τ ) γ-nửa T0 x ∈ X, tập điểm {x} λ-γ-nửa đóng Chứng minh Điều kiện cần Lấy x ∈ X Khi đó, với y ∈ X mà y = x, X γ-nửa T0 nên theo Định nghĩa 1.2.14, tồn tập Uy chứa x cho y ∈ / Uy với Uy tập γ-nửa đóng γ-nửa mở Ta xét trường hợp sau: 31 • Nếu tập Uy γ-nửa mở Khi đó, gọi L giao tất tập Uy Theo Mệnh đề 3.1.8(ii) (iii), ta có L γs -tập Ta chứng minh L = {x} Vì x ∈ Uy với y = x nên ta có {x} ⊂ L Ngược lại, lấy y ∈ / {x} Khi đó, y = x nên tồn tập Uy chứa x không chứa y Do đó, y ∈ / L Vậy, L = {x} Theo Nhận xét 3.1.19(i), {x} tập λ-γ-nửa đóng • Nếu tập Uy γ-nửa đóng Gọi F giao tất tập Uy Khi đó, F tập γ-nửa đóng chứa x Hơn nữa, y = x từ giả thiết, tồn tập γ-nửa đóng Uy chứa x không chứa y Vậy, F = {x} Theo Nhận xét 3.1.19(i), {x} tập λ-γ-nửa đóng • Trong trường hợp lại, ta gọi L giao tất tập Uy mà Uy γ-nửa mở gọi F giao tất tập Uy mà Uy tập γ-nửa đóng Khi đó, L γs -tập, F tập γ-nửa đóng {x} = L ∩ F Vậy {x} λ-γ-nửa đóng Điều kiện đủ Lấy x, y hai điểm phân biệt X Khi đó, tồn γs -tập L tập γ-nửa đóng F cho {x} = L ∩ F (∗) Vì y = x nên y ∈ / F y ∈ / L Nếu y ∈ / F X \ F tập γ-nửa mở chứa y mà không chứa x Nếu y ∈ / L tồn tập γ-nửa mở U chứa x mà y ∈ / U Vậy, X γ-nửa T0 3.1.21 Định lý Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, mệnh đề sau tương đương (i) (X, τ ) γ-nửa T ; (ii) Mỗi tập X λ-γ-nửa đóng Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử X không gian γ-nửa T Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.13, với x ∈ X tập điểm {x} γ-nửa mở γ-nửa đóng Gọi A tập X Đặt A1 = {x ∈ X \ A : {x} tập γ-nửa mở} A2 = X \ (A ∪ A1 ) 32 Bây giờ, ta xét tập X \ {x} L = F = x∈A1 X \ {x} x∈A2 Khi đó, F tập γ-nửa đóng L γs -tập Ta chứng minh A = F ∩ L Thật vậy, lấy x ∈ A x ∈ / X \ A1 ∪ A2 đó, x ∈ F x ∈ L Ngược lại, lấy x ∈ / A Nếu x ∈ F x ∈ / A1 nên x ∈ A2 suy x ∈ / L Nếu x ∈ L x ∈ / A2 nên x ∈ A1 suy x ∈ / F , nghĩa x ∈ / F ∩ L Vậy, A = F ∩ L, A λ-γ-nửa đóng (ii)⇒(i) Giả sử tập X λ-γ-nửa đóng Với x ∈ X, giả sử {x} tập γ-nửa đóng Khi A = X \ {x} tập γ-nửa mở X Do đó, γs A = X Mặt khác, A tập λ-γ-nửa đóng nên từ Mệnh đề 3.1.18, ta có A = γs A ∩ τγ −scl(A) Từ γs A = X ta suy A = τγ −scl(A) Theo Mệnh đề 1.2.8, A = X \ {x} tập γ-nửa đóng Do đó, {x} tập γ-nửa mở Áp dụng Mệnh đề 1.2.13, X γ-nửa T 3.2 γ-nửa T không gian Trong [4], tác giả F G Arenas, J Donchev, M Ganster đưa khái niệm T -không gian Trong này, đưa khái niệm γ-nửa T cách sử dụng khái niệm tập γ-nửa mở đưa đặc trưng lớp không gian 3.2.1 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi γ-nửa T (γ-semi T ), 4 với tập hữu hạn F X phần tử y ∈ / F , tồn tập Uy chứa F cho y ∈ / Uy Uy tập γ-nửa đóng γ-nửa mở 3.2.2 Định lý Cho (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, điều kiện sau tương đương (i) (X, τ ) γ-nửa T ; (ii) Mỗi tập hữu hạn X λ-γ-nửa đóng 33 Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử F tập hữu hạn X Khi đó, với y ∈ / F , X γ-nửa T nên từ Định nghĩa 3.2.1, tồn tập Ay cho F ⊆ Ay , y ∈ / Ay với Ay tập γ-nửa mở γ-nửa đóng • Nếu tập Ay γ-nửa mở Khi đó, gọi L giao tất tập Ay Theo Mệnh đề 3.1.8(ii) (iii), ta có L γs -tập Ta chứng minh L = F Vì F ⊆ Ay với y ∈ / F nên ta có F ⊆ L Ngược lại, lấy y ∈ / F Khi đó, tồn tập Ay chứa F không chứa y Do đó, y ∈ / L Vậy, L = F Theo Nhận xét 3.1.19(i), F tập λ-γ-nửa đóng • Nếu tập Ay γ-nửa đóng Gọi K giao tất tập Ay Khi đó, K tập γ-nửa đóng chứa F Hơn nữa, y ∈ / F từ giả thiết, tồn tập γ-nửa đóng Ay chứa F không chứa y Vậy, K = F Theo Nhận xét 3.1.19(i), F tập λ-γ-nửa đóng • Trong trường hợp lại, ta gọi L giao tất tập Ay mà Ay γ-nửa mở gọi K giao tất tập Ay mà Ay tập γ-nửa đóng Khi đó, L γs -tập, K tập γ-nửa đóng F = L ∩ K Vậy F λ-γ-nửa đóng (ii)⇒(i) Lấy F tập hữu hạn y ∈ / F Khi đó, từ giả thiết, F λ-γ-nửa đóng Do đó, tồn tập γ-nửa đóng K tập γs -tập L cho F = L ∩ K Vì y ∈ / F nên y ∈ / K y ∈ / L Nếu y ∈ / K Định nghĩa 3.2.1 thỏa mãn Nếu y ∈ / L, tồn tập γ-nửa mở U chứa F mà y ∈ / U Vậy, (X, τ ) γ-nửa T 3.2.3 Nhận xét (i) Từ Định lý 3.1.21 Định lý 3.2.2 ta suy γ-nửa T γ-nửa T (i) Từ Định lý 3.1.20 Định lý 3.2.2 ta suy γ-nửa T γ-nửa T0 Định lý 3.2.2 cho đặc trưng để kiểm tra không gian γ-nửa T Tuy nhiên, trường hợp γ phép toán làm cho τγ −SO(X) trở thành tôpô X, ta thay điều kiện Định nghĩa 3.2.1 tập F Để làm điều đó, trước hết ta đưa khái niệm sau: 34 3.2.4 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, τ ) gọi γ-nửa hữu hạn địa phương, với x ∈ X, tồn tập γ-nửa mở Ux chứa x cho tập A ∩ Ux nhiều hữu hạn phần tử 3.2.5 Định lý Cho (X, τ ) không gian tôpô, γ phép toán τ cho τγ −SO(X) tôpô X Khi đó, (X, τ ) γ-nửa T với tập γ-nửa hữu hạn địa phương F X với y ∈ / F , tồn tập A ⊆ X chứa F , y ∈ / A A tập γ-nửa mở γ-nửa đóng Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) không gian γ-nửa T , F tập γ-nửa hữu hạn địa phương y ∈ / F Nếu F tập hữu hạn Định lý thoả mãn Ta xét trường hợp F tập vô hạn Nếu tồn tập γ-nửa mở U y mà U ∩ F = ∅ A = X \ U tập γ-nửa đóng thoả mãn yêu cầu Định lý Nếu với tập γ-nửa mở U y mà U ∩ F = ∅ Khi đó, từ Mệnh đề 1.2.9, ta có y ∈ τγ −scl(F ) Mặt khác, lại F tập γ-nửa hữu hạn địa phương nên theo Định nghĩa 3.2.4, tồn tập γ-nửa mở U y cho U ∩ F có hữu hạn phần tử Giả sử U ∩ F = {x1 , x2 , , xn } Ta chứng minh y ∈ τγ −scl({xi }), với phần tử xi Thật vậy, giả sử ngược lại, y ∈ / τγ −scl({xi }), với i = 1, 2, , n Khi đó, với i, tồn tập γ-nửa mở Ui chứa y cho Ui ∩ {xi } = ∅, tức xi ∈ / Ui Đặt n V = Ui i=1 Vì τγ − SO(X) tôpô X nên V tập γ-nửa mở chứa y Hơn xi ∈ / V , với i = 1, 2, , n Xét tập W = V ∩U Khi đó, W tập γ-nửa mở chứa y Nếu W ∩ F = ∅ Khi đó, tồn z ∈ W ∩ F Vì W = V ∩ U nên z ∈ V z ∈ U Do z ∈ U ∩ F suy z = xi , với xi thuộc U ∩ F Điều dẫn đến xi ∈ V Mâu thuẫn chứng tỏ W ∩ F = ∅ Nhưng y ∈ τγ −scl(F ) nên mâu thuẫn Vậy, y ∈ τγ −scl({xi }), với phần tử xi 35 Bây lấy x ∈ F \ {x1 , x2 , , xn } Khi đó, tập V = {x, x1 , x2 , , xn } hữu hạn không chứa y Vì X γ-nửa T nên tồn tập Ax ⊆ X, chứa V , y∈ / Ax , Ax tập γ-nửa đóng γ-nửa mở Nhưng theo chứng minh trên, ta thấy y ∈ τγ −scl{xi } ⊆ τγ −scl(Ax ) nên Ax tập γ-nửa đóng, tức Ax tập γ-nửa mở, với x ∈ F \ {x1 , x2 , , xn } Bây ta đặt A = ∪{Ax : x ∈ F \ {x1 , x2 , , xn }} Khi đó, từ Nhận xét 1.2.2, A tập γ-nửa mở, F ⊆ A y ∈ / A Điều kiện đủ Giả sử A tập hữu hạn kỳ X x ∈ / A Vì tập hữu hạn γ-nửa hữu hạn địa phương nên theo giả thiết điều kiện đủ ta có (X, τ ) γ-nửa T 3.2.6 Nhận xét (i) Các ví dụ sau chứng tỏ chiều ngược lại Nhận xét 3.2.3 không trường hợp tổng quát Ví dụ Lấy X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}} Xét phép toán γ : τ / P(X) xác định γ(A) = A clA b ∈ A b ∈ / A Khi đó, ta có τγ − SO(X) = {∅, X, {b}, {a, b}, {a, c}} Ta (X, τ ) γ-nửa T0 không γ-nửa T Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra (X, τ ) γ-nửa T0 Bây giờ, xét tập F = {b, c} a ∈ / F Khi đó, không tồn tập γ-nửa mở γ-nửa đóng U để F ⊂ U a ∈ / U Vậy, (X, τ ) không γ-nửa T Ví dụ Lấy X = N, τ = {∅, U : X \ U hữu hạn} Phép toán γ xác định γ(U ) = U ∪{0} Khi đó, ta có τγ = {∅, U : ∈ U, X \ U hữu hạn} Lấy U ∈ τγ , U = ∅ Ta chứng minh Clγ (U ) = X Thật vậy, ta có Clγ (U ) ⊂ X Ngược lại, lấy x ∈ X giả sử V tập mở chứa x Khi đó, ta có ∈ V γ ∈ U nên V γ ∩ U = ∅, nghĩa x ∈ Clγ (U ) Từ đó, ta suy τγ −SO(X) = τγ 36 Bây ta chứng minh (X, τ ) γ-nửa T không γ-nửa T Vì {0} tập γ-nửa mở tập γ-nửa đóng nên (X, τ ) γ-nửa T Cuối cùng, gọi F tập hữu hạn x ∈ / F Nếu ∈ / F F tập γ-nửa đóng chứa F không chứa x Nếu ∈ F Khi đó, x ∈ / F nên x = Do đó, X \ {x} tập γ-nửa mở chứa F mà không chứa x Vậy, (X, τ ) γ-nửa T (ii) Dựa vào kết thu chương kết có [10],[4] ta có sơ đồ sau TO o TO o / /   o γ-T O / / / / o γ-T O /  γ-nửa T2 o / / / T1 O o / /  γ-T O / / / / q8 T0 q q q qq qq qqqqqqq q q q q/ qqqqqqq x q / γ-T0 MM / fMMMMMM MMMMMM /MMMMMMM MM & / / o / γ-nửa T o / γ-nửa / /  γ-nửa T1 o / / o  γ-nửa T / T1 A → B nghĩa A thoả mãn B, A thoả mãn B 37 o / T0 B nghĩa A không KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo, PGS TS Trần Văn Ân, đạt kết sau đây: Hệ thống số khái niệm tính chất tập γ-mở, γ-nửa mở, γ-bao đóng, không gian γ-chính quy, loại phép toán đặc biệt đề cập tài liệu tham khảo [9], [17] [10] Bên cạnh đó, đưa thêm số tính chất khác thể Định lý 1.1.8, Mệnh đề 1.1.18, Mệnh đề 1.2.6 Đưa khái niệm không gian γ-nửa quy điều kiện tương đương không gian γ-nửa quy thể Định lý 2.1.1 Nêu lên mối quan hệ không gian γ-chính quy [17] không gian γ-nửa quy Định lý 2.1.4 Ngoài nghiên cứu số tính chất không gian γ-nửa quy thể Bổ đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6 Nhận xét 2.1.7 Đưa khái niệm tập γ-nửa compact không gian tôpô nghiên cứu số tính chất không gian γ-nửa quy, thể Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.7, Mệnh đề 2.2.8, Hệ 2.2.9, Hệ 2.2.10 Đưa khái niệm phép toán liên kết bước đầu nghiên cứu tính chất tập ρ-nửa mở không gian tích Đó Mệnh đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.3, Hệ 2.3.4, Mệnh đề 2.3.5, Mệnh đề 2.3.6, Mệnh đề 2.3.7, Mệnh đề 2.3.8 Đồng thời, luận văn nghiên cứu tính ρ-nửa đóng đồ thị ánh xạ (γ, β)-nửa liên tục thể Định lý 2.3.9 38 Xây dựng khái niệm γs -tập, γ s -tập, g.γs -tập, λ-γ-nửa đóng nghiên cứu số tính chất chúng thể Mệnh đề 3.1.3, Mệnh đề 3.1.4, Mệnh đề 3.1.8, Mệnh đề 3.1.18 Ngoài ra, đưa đặc trưng không gian γ-nửa T1 , γ-nửa T , γ-nửa T0 , Định lý 3.1.10, Định lý 3.1.20, Định lý 3.1.21 Đưa khái niệm không gian γ-nửa T , từ đưa đặc trưng lớp không gian thể Định lý 3.2.2 Định lý 3.2.5 Một phần kết luận văn công bố Tạp chí khoa học Trường Đại học Vinh số 2A năm 2006 [1], số kết khác luận văn có báo [2], [3] 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T V An, D X Cuong, γ-semi regular spaces and γ-semi compact sets, Journal of Science, Vinh Uni, Vol 35 (2A) (2006), 5-15 [2] T V An, D X Cuong, More on separation axioms, Preprint [3] T V An, D X Cuong, H Maki On operation-preopen sets in topological spaces, Preprint [4] F Arenas, J Donchev, M Ganster, On λ-sets and the dual of generalized continuity, Q&A in Gen Topology, 15 (1) (1997), 3-13 [5] M Caldas, J Donchev, G.∧s -sets and G.∨s -sets, Mem Fac Sci Kochi Univ.(Math.) 21 (2000), 21-30 [6] M Caldas, M Ganster, S Jafari, G Navalagi, On maps and generalized ∧α -sets, Demonstratio Math 38 (2005), 729-738 [7] J Donchev, H Maki, On sg-closed sets and semi-λ-closed sets, Q&A in General Topology, 15 (1997), 259-266 [8] W Dunham, T -spaces, Kyungpook Math J., 17 (1977), 161-169 [9] S Kasahara, Operation-compact spaces, Math Japonica, 24 (1979), 97 - 105 [10] G S S Krishnan, A new class of semi open sets in topological spaces, preprint, Atlas Topology (2003), http://at.yorku.ca/p/a/a/o/40.htm [11] G S S Krishnan and K Balachandran, On g ∗∗ -homeomorphism in a topological space, preprint, Atlas Topology (2003), http://at.yorku.ca/p/a/a/o/31.htm [12] N Levine, Generalized closed sets in topology, Rend Circ Math Palermo, 19 (2) (1970), 89-96 [13] N Levine, Semi open sets and semi-continuity in topological spaces, Amer Math Monthly, 70 (1963), 36 - 41 40 [14] H Maki, Generalized ∧-sets and the associated closure operator, The Special Issue in Commemoration of Prof K Ikeda’s Retirement., Oct 1986, 139-146 [15] H Maki, T Noiri Bioperations and some separation axioms, Scientiae Mathematicae Japonicae, 53 (1) (2001), 9-24 [16] T Noiri, E Hatir, ∧sp -sets and some weak separation axioms, Acta Math Hungar, 103 (3) (2004), 225-232 [17] H Ogata, Operation on topological spaces and associated topology, Math Japonica, 36 (1) (1991), 175 - 184 [18] H Ogata, H Maki, Bioperations on topological spaces, Math Japonica, 38 (5) (1993), 881-985 [19] E Rosas, C Carpintero, J Sanabria, γ-(α, β)-semi open sets and some new generalized separation axioms, preprint, 2005 [20] J Umehara, H Maki, T Noiri, Bioperations on topological spaces and some separation axioms, Mem Fac Sci, Kochi Uni, Ser A Math 13 (1992), 45-59 41 [...]... tập γ -nửa mở ta hoàn thành chứng minh Bổ đề 2.1.6 Mệnh đề Cho γ là phép toán chính quy trên τ , f : (X, τ ) / (Y, σ) là ánh xạ (γ, β) -nửa liên tục và (γ, β)-mở từ không gian γ -nửa chính quy X lên không gian tôpô Y Khi đó, Y là không gian β -nửa chính quy Chứng minh Giả sử A, B là hai tập β -nửa mở bất kỳ trong không gian tôpô (Y, σ) và y ∈ A ∩ B Vì f là ánh xạ (γ, β) -nửa liên tục nên f −1 (A) và f −1... tính γ -nửa chính quy của X, với mỗi y ∈ V , theo Bổ đề 2.1.5, tồn tại tập γ -nửa mở V (y) sao cho y ∈ V (y) ⊆ V Do đó, V = V (y) Theo Nhận xét 1.2.2, ta có U, V là các tập γ -nửa mở y V và từ cách x y dựng các tập U, V ta có A ⊆ U , B ⊆ V và U ∩ V = ∅ / 2.2.8 Mệnh đề Nếu f : (X, τ ) (Y, σ) là ánh xạ (γ, β) -nửa liên tục từ không gian γ -nửa compact X lên không gian tôpô Y thì Y là không gian β -nửa compact... ) không phải là không gian γ -nửa chính quy Thật v y, l y b ∈ X và {a, b} là tập γ -nửa mở chứa b Khi đó, rõ ràng không tồn tại tập γ-mở U chứa b nào thoả mãn U ⊂ {a, b} Tuy nhiên, Định lý sau đ y sẽ mô tả mối quan hệ giữa hai loại không gian n y 2.1.4 Định lý Cho (X, τ ) là không gian tôpô và γ là phép toán trên tôpô τ Khi đó, (i) Nếu X là không gian γ -nửa chính quy thì X là không gian γ -chính quy. .. quả 2.3.4, U × Y và V × Y lần lượt là các tập ρ -nửa mở trong X × Y chứa (x, y) và (z, t) Hơn nữa, ta có (U × Y ) ∩ (V × Y ) = ∅ V y, X × Y là ρ -nửa T2 không gian Trường hợp i = 0 và i = 1 được chứng minh tương tự 2.3.7 Mệnh đề Cho ρ là phép toán đơn điệu liên kết với các phép toán γ và β Khi đó, nếu X × Y là không gian ρ -nửa compact thì X là không gian γ -nửa compact và Y là không gian β -nửa compact Chứng... , Uyn } n n sao cho A ⊆ Uyi Đặt V = i=1 Vxyi Khi đó, x ∈ V Từ γ là phép toán i=1 chính quy và X là không gian γ -nửa chính quy nên theo Bổ đề 2.1.5, tồn tại tập γ -nửa mở W chứa x sao cho W ⊆ V Do đó ta có W ∩ A ⊆ V ∩ A = ∅ Áp dụng Mệnh đề 1.2.9, x ∈ / τγ −scl(A) Điều mâu thuẫn n y dẫn đến A là tập γ -nửa đóng 2.2.7 Mệnh đề Cho γ là phép toán chính quy, X là không gian γ -nửa chính quy và γ -nửa T2... β) -nửa mở; (ii) f là (γ, β) -nửa đóng; (iii) f là (γ, β) -nửa đồng phôi 12 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN γ-NỬA CHÍNH QUY VÀ TẬP γ-NỬA COMPACT TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 2.1 Không gian γ -nửa chính quy 2.1.1 Định lý Cho (X, τ ) là không gian tôpô Ta xét các mệnh đề sau (i) Với mỗi x ∈ X và với mỗi cặp các tập γ -nửa mở U, V chứa x, tồn tại tập γ-mở W , sao cho x ∈ W và W ⊆ U ∩ V ; (ii) Với mỗi x ∈ X và với mỗi tập γ -nửa. .. khi và chỉ khi τ = τγ −SO(X) (i) Nếu X là không gian γ -chính quy thì X là không gian γ -nửa chính quy khi và chỉ khi τ = τγ −SO(X) 14 Chứng minh (i) Giả sử X là không gian γ -nửa chính quy Khi đó, từ Nhận xét 1.2.2 và Định lý 2.1.1 ta có τγ = τγ − SO(X) Nếu X là không gian γ -chính quy thì từ Định lý 1.1.8, ta có τ = τγ V y, τ = τγ −SO(X) Ngược lại, giả sử τ = τγ −SO(X) Khi đó, vì mỗi tập mở là tập γ -nửa. .. đó, vì mỗi tập mở là tập γ -nửa mở và X là không gian γ -nửa chính quy nên mỗi tập mở là tập γ-mở Vì v y τ = τγ Theo Định lý 1.1.8, X là không gian γ -chính quy (ii) Chứng minh hoàn toàn tương tự (i) 2.1.5 Bổ đề Cho γ là phép toán chính quy, (X, τ ) là không gian γ -nửa chính quy, {Ai : i = 1, 2, , n} là họ các tập γ -nửa mở trong X và n x∈ n Ai Khi đó, tồn tại tập γ -nửa mở A sao cho x ∈ A ⊆ i=1 Ai ... ta suy ra f −1 (V ) × U ∩ G(f ) = ∅ Do đó, (x, y) ∈ / (τ × σ)ρ −scl(G(f )) V y (τ × σ)ρ −scl(G(f )) = G(f ), suy ra G(f ) là tập ρ -nửa đóng trong X × Y 23 CHƯƠNG 3 CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH Y U TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 3.1 Một số đặc trưng của các tiên đề tách y u Trong phần n y, chúng tôi sẽ đưa ra một số đặc trưng của các lớp không gian γ -nửa T1 , γ -nửa T 1 và γ -nửa T0 Để làm điều đó, trước hết chúng tôi 2... ) / (Y, σ) là ánh xạ (γ, β) -nửa liên tục và A là tập γ -nửa compact trong X, thì f (A) là tập β -nửa compact trong Y 2.2.10 Hệ quả Cho (X, τ ) là không gian γ -nửa compact, β là phép toán chính quy trên σ, (Y, σ) là không gian β -nửa chính quy và β -nửa T2 Khi đó, nếu ánh xạ f : (X, τ ) / (Y, σ) là (γ, β) -nửa liên tục và song ánh, thì f là ánh xạ (γ, β) -nửa đồng phôi Chứng minh Giả sử A là tập γ -nửa đóng ... Mệnh đề 1.1.18, Mệnh đề 1.2.6 Đưa khái niệm không gian γ -nửa quy điều kiện tương đương không gian γ -nửa quy thể Định lý 2.1.1 Nêu lên mối quan hệ không gian γ -chính quy [17] không gian γ -nửa quy. .. minh Bổ đề 2.1.6 Mệnh đề Cho γ phép toán quy τ , f : (X, τ ) / (Y, σ) ánh xạ (γ, β) -nửa liên tục (γ, β)-mở từ không gian γ -nửa quy X lên không gian tôpô Y Khi đó, Y không gian β -nửa quy Chứng... loại không gian 2.1.4 Định lý Cho (X, τ ) không gian tôpô γ phép toán tôpô τ Khi đó, (i) Nếu X không gian γ -nửa quy X không gian γ -chính quy τ = τγ −SO(X) (i) Nếu X không gian γ -chính quy X không