Trong bài này, giả thiết rằng (X, τ), (Y, σ) là các không gian tôpô, (X ×Y, τ ×σ) là không gian tôpô tích, γ: τ // P(X), β: σ // P(Y) và ρ: τ ×σ // P(X ×Y) lần lượt là các phép toán trên tôpô τ, σ và tôpô tích τ ×σ.
2.3.1 Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian tôpô. Khi đó, phép toán ρ: τ × σ // P(X ×Y) trên tôpô tích τ ×σ được gọi là liên kết với các phép toán γ và β (associated with operations γ and β), nếu với mỗi tập mở U của X, V của Y thì
(U ×V)ρ = Uγ ×Vβ.
2.3.2 Mệnh đề. Cho ρ là phép toán đơn điệu liên kết với các phép toán γ, β, A, B lần lượt là các tập con của không gian tôpô X và Y. Khi đó,
clρ(A×B) =clγ(A)×clβ(B).
Chứng minh. Lấy bất kỳ (x, y) ∈ clρ(A×B) và giả sử W1, W2 lần lượt là các tập mở trong X và Y sao cho x ∈ W1, y ∈ W2. Khi đó, W1 × W2 là tập mở trong X ×Y chứa điểm (x, y). Do đó, từ Định nghĩa 1.1.5 ta có (W1 ×W2)ρ ∩(A×B) 6= ∅. Vì ρ liên kết với γ và β nên
(W1γ ×W2β)∩(A×B) 6= ∅.
Từ đó ta có W1γ ∩A 6= ∅ và W2β ∩B 6= ∅, suy ra (x, y) ∈ clγ(A)×clβ(B).
Do đó
clρ(A×B) ⊆ clγ(A)×clβ(B). (∗) Ngược lại, lấy (x, y) ∈ clγ(A) × clβ(B) và gọi U là tập mở bất kỳ trong X ×Y chứa (x, y). Khi đó, tồn tại các tập mở W1 trong X và W2 trong Y sao cho x ∈ W1, y ∈ W2 và W1×W2 ⊆ U. Vì x ∈ clγ(A) và y ∈ clβ(B) nên ta có W1γ ∩ A 6= ∅ và W2β ∩ B 6= ∅. Do đó W1γ ×W2β ∩ (A×B) 6= ∅. Vì ρ liên kết với γ và β nên ta có
(W1 ×W2)ρ ∩(A×B) 6= ∅.
Từ tính đơn điệu của ρ, ta có
Uρ ∩ (A×B) ⊇ (W1 ×W2)ρ ∩(A×B) 6= ∅.
Do đó, (x, y) ∈ clρ(A×B). Như vậy
clγ(A)×clβ(B) ⊆ clρ(A×B). (∗∗) Từ (∗) và (∗∗) suy ra
clρ(A×B) =clγ(A)×clβ(B).
2.3.3 Mệnh đề. Giả sử ρ là phép toán liên kết với các phép toán γ và β. Khi đó, nếu A, B lần lượt là các tập γ-mở và β-mở trong X và Y thì A×B là tập ρ-mở trong X ×Y.
Chứng minh. Với mỗi (x, y) ∈ A×B thì x ∈ A và y ∈ B. Vì A, B lần lượt là các tập γ-mở và β-mở trong X và Y nên tồn tại các tập mở U trong X, V trong Y sao cho x ∈ U, y ∈ V, Uγ ⊆ A, Vβ ⊆B. Khi đó, U ×V là tập mở trong X ×Y chứa (x, y). Do đó, từ tính liên kết của ρ với γ và β ta có
(U ×V)ρ = Uγ ×Vβ ⊆ A×B.
Vậy, A×B là tập ρ-mở trong X ×Y.
2.3.4 Hệ quả. Nếu ρ là phép toán đơn điệu liên kết với các phép toán γ, β, A, B lần lượt là các tập γ-nửa mở và β-nửa mở trong X và Y thì A×B là tập ρ-nửa mở trong X ×Y.
Chứng minh. Giả sử A và B lần lượt là các tập γ-nửa mở và β-nửa mở trong X và Y. Khi đó, tồn tại các tập γ-mở U trong X và β-mở V trong Y sao cho
U ⊆ A ⊆clγ(U) và V ⊆B ⊆ clβ(V).
Theo Mệnh đề 2.3.3 ta có U ×V là tập ρ-mở. Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.3.2 ta có
U ×V ⊆ A×B ⊆ clγ(U)×clβ(V) = clρ(U ×V).
Vậy, A×B là tập ρ-nửa mở trong X ×Y.
2.3.5 Mệnh đề. Nếu ρ là phép toán đơn điệu liên kết với các phép toán γ và β thì phép chiếu p: X ×Y // X xác định bởi p(x, y) = x, với mọi (x, y) ∈ X ×Y là ánh xạ (ρ, γ)-nửa liên tục.
Chứng minh. Lấy bất kỳ (x, y) ∈ X ×Y và giả sử U là tập γ-nửa mở bất kỳ chứa p(x, y). Khi đó, theo Hệ quả 2.3.4, ta có U ×Y là tập ρ-nửa mở trong X×Y chứa (x, y) và p(U×Y) ⊆ U. Vậy, p là (ρ, γ)-nửa liên tục.
2.3.6 Mệnh đề. Cho ρ là phép toán đơn điệu liên kết với các phép toán γ và β. Khi đó, nếu X là γ-nửa Ti và Y là β-nửa Ti thì X ×Y là ρ-nửa Ti, với i = 0,1,2.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho trường hợp i = 2. Giả sử X là γ-nửa T2, Y là β-nửa T2 và (x, y), (z, t) là hai điểm phân biệt bất kỳ trongX×Y. Khi đó, không mất tính tổng quát, giả sử x 6= z. Vì X là γ-nửa T2 nên tồn tại các tập γ-nửa mở U, V trong X lần lượt chứa x, z sao cho U ∩V = ∅.
Theo Hệ quả 2.3.4, U ×Y và V ×Y lần lượt là các tập ρ-nửa mở trong X ×Y chứa (x, y) và (z, t). Hơn nữa, ta có (U ×Y) ∩(V ×Y) = ∅. Vậy, X×Y là ρ-nửa T2 không gian. Trường hợp i = 0 và i = 1 được chứng minh tương tự.
2.3.7 Mệnh đề. Cho ρ là phép toán đơn điệu liên kết với các phép toán γ và β. Khi đó, nếu X ×Y là không gian ρ-nửa compact thì X là không gian γ-nửa compact và Y là không gian β-nửa compact.
Chứng minh. Giả sử X ×Y là không gian ρ-nửa compact, {Aα : α ∈ Λ}
và {Bδ : δ ∈ Γ} lần lượt là các phủ γ-nửa mở và β-nửa mở của X và Y. Khi đó, nhờ Hệ quả 2.3.4, họ A = {Aα ×Bδ : α ∈ Λ, δ ∈ Γ} là một phủ ρ-nửa mở của không gian ρ-nửa compact X ×Y. Do đó, tồn tại phủ con hữu hạn {Ai×Bj : i = 1,2, . . . , n;j = 1,2, . . . , m} của A phủ X ×Y. Từ đó, họ {Ai : i = 1,2, . . . , n} và {Bj : j = 1,2, . . . , m} lần lượt là các phủ con hữu hạn của X và Y. Vậy, X là không gian γ-nửa compact và Y là không gian β-nửa compact.
2.3.8 Mệnh đề. Cho ρ là phép toán đơn điệu liên kết với các phép toán γ và γ, f: (X, τ) // (Y, σ) là ánh xạ (γ, β)-nửa liên tục và Y là β-nửa T2. Khi đó, tập hợp A = {(x, y) ∈ X × X : f(x) = f(y)} là tập ρ-nửa đóng trong X ×X.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng (τ × τ)ρ−scl(A) = A. Ta luôn có A ⊆ (τ × τ)ρ−scl(A). Bây giờ, lấy (x, y) ∈/ A. Khi đó, f(x) 6= f(y). Vì Y là β-nửa T2 nên tồn tại các tập β-nửa mở U chứa f(x) và V chứa f(y) sao cho U ∩V = ∅. Từ tính (γ, β)-nửa liên tục của f, f−1(U) và f−1(V) lần lượt là các tập γ-nửa mở chứa x, y trong X. Vì ρ là phép toán đơn điệu liên kết với phép toán γ và γ nên theo Hệ quả 2.3.4, f−1(U)× f−1(V) là tập ρ-nửa mở chứa (x, y) trong X ×X và
[f−1(U)×f−1(V)]∩A = ∅.
Do đó,(x, y) ∈/ (τ×τ)ρ−scl(A). Điều này chứng tỏ rằng(τ×τ)ρ−scl(A) =A.
Nói cách khác, A là tập ρ-nửa đóng trong X ×X.
2.3.9 Định lý. Nếu ρ là phép toán đơn điệu liên kết với các phép toán γ và β và f: (X, τ) // (Y, σ) là ánh xạ (γ, β)-nửa liên tục từ không gian tôpô (X, τ) vào không gian β-nửa T2 (Y, σ), thì đồ thị
G(f) = {(x, f(x)) ∈ X ×Y : x ∈ X} của f là tập ρ-nửa đóng trong X ×Y.
Chứng minh. Hiển nhiên rằng G(f) ⊆ (τ × σ)ρ−scl(G(f)). Bây giờ, lấy (x, y) ∈/ G(f). Khi đó, y 6= f(x). Vì Y là β-nửa T2 nên tồn tại các tập β-nửa mở U chứa y, V chứa f(x) sao cho U∩V = ∅. Do V là tập β-nửa mở chứa f(x) và f là ánh xạ (γ, β)-nửa liên tục nên f−1(V) là tập γ-nửa mở chứa x trong X. Từ tính liên kết của ρ và Hệ quả 2.3.4, suy ra f−1(V)×U là tập ρ-nửa mở trong X ×Y chứa (x, y). Hơn nữa, từ U ∩V = ∅ ta suy ra
f−1(V)×U
∩G(f) =∅.
Do đó, (x, y) ∈/ (τ ×σ)ρ−scl(G(f)). Vậy (τ ×σ)ρ−scl(G(f)) = G(f), suy ra G(f) là tập ρ-nửa đóng trong X ×Y.
CHƯƠNG 3
CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH YẾU TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ
3.1 Một số đặc trưng của các tiên đề tách yếu
Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra một số đặc trưng của các lớp không gian γ-nửa T1, γ-nửa T1
2 và γ-nửa T0. Để làm điều đó, trước hết chúng tôi đưa ra một số khái niệm về γs-tập, γs-tập, g.γs-tập và λ-γ-nửa đóng.
3.1.1 Định nghĩa. Cho (X, τ) là không gian tôpô, A là một tập con trong X. Ta định nghĩa các tập
γsA = ∩{G : A ⊆ G, G là tập γ-nửa mở}, γsA = ∪{F : F ⊆ A, F là tập γ-nửa đóng}.
3.1.2 Ví dụ. Lấy X = {a, b, c}, τ = {∅, X,{a},{b},{a, b},{a, c}}. Xét phép toán γ : τ // P(X) xác định bởi
γ(A) =
A nếu b ∈ A clA nếu b /∈ A.
Khi đó, τγ−SO(X) = {∅, X,{b},{a, b},{a, c}}. Từ đó γs{a, b} = {a, b}, γs{b, c} = X, γs{a, c} = {a, c}, γs{a, b} = {b}.
3.1.3 Mệnh đề. Cho A, B là các tập con của không gian tôpô X. Khi đó, (i) A ⊆ γsA;
(ii) Nếu A ⊆B thì γsA ⊆ γsB;
(iii) γs(γsA) =γsA;
(iv) Nếu A là tập γ-nửa mở thì A = γsA.
Chứng minh. (i), (ii), (iv) suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 3.1.1. Ta sẽ chứng minh (iii). Theo (i) ta luôn có
γsA ⊆γs(γsA).
Bây giờ, lấy x /∈ γsA. Khi đó, tồn tại tập γ-nửa mở G sao cho A ⊆ G và x /∈ G. Từ đó suy raγsA⊆ G. Do đó,x /∈ γs(γsA). Vậy,γs(γsA) = γsA.
3.1.4 Mệnh đề. Giả sử {Aα : α ∈ Λ} là họ các tập con tuỳ ý trong không gian tôpô (X, τ). Khi đó,
(i) γs( T
α∈Λ
Aα) ⊆ T
α∈Λ
γsAα; (ii) γs( S
α∈Λ
Aα) = S
α∈Λ
γsAα.
Chứng minh. (i) Với mỗi α ∈ Λ, ta có T
α∈Λ
Aα ⊆ Aα nên từ Mệnh đề 3.1.3, ta có γs( T
α∈Λ
Aα) ⊆γsAα. Do đó γs( T
α∈Λ
Aα) ⊆ T
α∈Λ
γsAα.
(ii) Với mỗi α ∈ Λ ta có Aα ⊂ S
α∈Λ
Aα. Nhờ Mệnh đề 3.1.3(ii) ta có γsAα ⊆ γs( S
α∈Λ
Aα). Suy ra
S
α∈Λ
γsAα ⊆ γs( S
α∈Λ
Aα). (1)
Ngược lại, nếu x /∈ S
α∈Λ
γsAα thì với mỗi α ∈ Λ, tồn tại tập γ-nửa mở Gα sao cho Aα ⊆ Gα và x /∈ Gα. Đặt
G = S
α∈Λ
Gα.
Khi đó, từ Nhận xét 1.2.2, G là tập γ-nửa mở, x /∈ G và S
α∈Λ
Aα ⊆ S
α∈Λ
Gα = G.
Do đó, x /∈ γs( S
α∈Λ
Aα). Kết hợp với (1) suy ra γs( S
α∈Λ
Aα) = S
α∈Λ
γsAα.
3.1.5 Nhận xét. Trong trường hợp tổng quát, bao hàm thức ngược lại trong Mệnh đề 3.1.4(i) không được thỏa mãn. Thật vậy, lấy X = {a, b, c}, τ = {∅, X,{a},{a, b}} và phép toán γ: τ // P(X) xác định bởi
γ(A) =
A nếu b /∈ A clA nếu b ∈ A
Khi đó, ta có τγ−SO(X) = {∅, X,{a},{a, b},{a, c}}. Ta chọn A = {b, c}
và B = {a}. Khi đó, dễ dàng kiểm tra rằng γs(A∩B) 6= γsA∩ γsB.
Với những lập luận hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh được Mệnh đề sau:
3.1.6 Mệnh đề. Nếu A, B, Aα, với α ∈ Λ là các tập con trong X thì (i) γs(A) ⊆ A;
(ii) Nếu A ⊆B thì γsA ⊆ γsB;
(iii) γs(γsA) = γsA;
(iv) Nếu A là tập γ-nửa đóng thì A= γsA;
(v) γs( T
α∈Λ
Aα) = T
α∈Λ
γsAα; (vi) S
α∈Λ
γsAα ⊆ γs( S
α∈Λ
Aα).
3.1.7 Định nghĩa. Cho A là tập con trong không gian tôpô (X, τ). Khi đó (i) Tập con A được gọi là γs-tập (γs-set), nếu γsA = A;
(ii) Tập con A được gọi là γs-tập (γs-set), nếu γsA = A.
3.1.8 Mệnh đề. Cho (X, τ) là không gian tôpô, A⊆ X. Khi đó, (i) γsA (γsA) là γs-tập (γs-tập);
(ii) Nếu A là tập γ-nửa mở (γ-nửa đóng) thì A là γs-tập (γs-tập);
(iii) Nếu {Aα : α ∈ Λ} là họ các γs-tập (γs-tập) trong X, thì S
α∈Λ
Aα và T
α∈Λ
Aα là các γs-tập (γs-tập).
Chứng minh. (i) và (ii) được suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.1.3 và từ Mệnh đề 3.1.4 ta suy ra S
α∈Λ
Aα là γs-tập. Bây giờ ta chứng minh T
α∈Λ
Aα là γs-tập.
Hiển nhiên T
α∈Λ
Aα ⊆ γs( T
α∈Λ
Aα). Mặt khác, từ Mệnh đề 3.1.4, ta có γs( T
α∈Λ
Aα) ⊆ T
α∈Λ
γsAα.
Vì với mỗi α ∈ Λ, Aα là γs-tập nên γsAα = Aα. Do đó, ta nhận được T
α∈Λ
Aα = γs( T
α∈Λ
Aα).
suy ra T
α∈Λ
Aα là γs-tập. Trường hợp γs-tập được chứng minh tương tự.
3.1.9 Bổ đề. Tập con A trong không gian tôpô (X, τ) là γs-tập khi và chỉ khi X \A là γs-tập.
Chứng minh. Giả sử A là γs-tập. Khi đó, γsA = A. Từ Định nghĩa 3.1.1 ta có γs(X \A) = X \γs(A). Vì thế ta có
γs(X \A) = X \γs(A) =X \A.
Vậy, X \A là γs-tập. Tương tự ta chứng minh được chiều ngược lại.
Sau đây, dựa vào các khái niệm về γs-tập và γs-tập, chúng ta sẽ mô tả một đặc trưng của không gian γ-nửa T1.
3.1.10 Định lý. Cho (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng định sau đây tương đương
(i) (X, τ) là γ-nửa T1;
(ii) Mỗi x ∈ X, tập một điểm {x} là γs-tập;
(iii) Với mỗi x ∈ X, tập một điểm {x} là tập γ-nửa đóng;
(iv) Với mỗi x ∈ X, tập một điểm {x} là γs-tập;
(v) Mọi tập con của không gian (X, τ) là γs-tập;
(vi) Mọi tập con của không gian (X, τ) là γs-tập.
Chứng minh. 1. Trước hết ta sẽ chứng minh (i)⇔(ii)⇔(iii). Giả sử có (i).
Lấy bất kỳ x ∈ X. Khi đó, với mỗi y ∈ X mà x 6= y, vì X là γ-nửa T1 nên tồn tại tập γ-nửa mở U chứa x sao cho y /∈ U. Do đó, y /∈ γs{x}. Điều này chứng tỏ γs{x} ⊆ {x}. Vậy, {x} = γs{x} nên {x} γs-tập, tức là (i)⇒(ii).
(ii)⇒(iii) Lấy bất kỳ x ∈ X. Khi đó, với mỗi y ∈ X \ {x}, theo (ii) ta có γs{y} = {y}. Từ đó, tồn tại tập γ-nửa mở Uy chứa y sao cho x /∈ Uy. Vì X \ {x}= S
y∈X\{x}
Uy nên từ Nhận xét 1.2.2 ta có X \ {x} là tập γ-nửa mở. Suy ra {x} là tập γ-nửa đóng.
(iii)⇒(i) Giả sử x, y là hai điểm khác nhau trong X. Khi đó, từ (iii), X \ {x} và X \ {y} lần lượt là các tập γ-nửa mở chứa y, x tương ứng và y /∈ X \ {y}, x /∈ X \ {x}.
2. Tiếp theo ta chứng minh (ii)⇔(iv). Giả sử có (ii). Lấy bất kỳ x ∈ X. Khi đó, với mỗi y ∈ X \ {x}, theo (ii) tập một điểm {y} là γs-tập. Theo Mệnh đề 3.1.8(iii) ta có X \ {x} = S
y∈X\{x}
{y} là γs-tập. Áp dụng Bổ đề 3.1.9, {x} là γs-tập. Vậy, (ii)⇒(iv). Lập luận tương tự, ta có (iv)⇒(ii).
3. Nhờ Bổ đề 3.1.9 ta lại có (v)⇔(vi) và rõ ràng ta luôn có (v)⇒(ii).
Để kết thúc chứng minh, ta sẽ chỉ ra rằng (ii)⇒(v). Giả sử Alà tập con bất kỳ của X. Khi đó theo (ii), với mỗi x ∈ A, {x} là γs-tập. Vì A = S
x∈A
{x}
nên theo Mệnh đề 3.1.8 ta suy ra A là γs-tập, nghĩa là (ii)⇒(v).
3.1.11 Định nghĩa. Tập A ⊂ X được gọi là γs-tập suy rộng (generalized γs-set) và viết là g.γs-tập, nếu với mọi tậpγ-nửa đóngF ⊃AthìγsA ⊆ F. 3.1.12 Mệnh đề. Cho (X, τ) là không gian tôpô và A ⊆ X. Khi đó,
(i) Nếu A là γs-tập thì A là g.γs-tập;
(ii) Nếu {Aα : α ∈ Λ} là họ các g.γs-tập thì S
α∈Λ
Aα cũng là g.γs-tập.
Chứng minh. (i) Giả sử A là γs-tập và F là tập γ-nửa đóng bất kỳ chứa A.
Khi đó, từ γsA = A ⊆ F, suy ra A là g.γs-tập.
(ii) Giả sử {Aα : α ∈ Λ} là họ các g.γs-tập trong X và F là tập γ-nửa đóng bất kỳ mà S
α∈Λ
Aα ⊆ F. Khi đó, với mỗi α ∈ Λ ta có Aα ⊆ F. Do Aα là g.γs-tập nên γsAα ⊆F, với mọi α ∈ Λ. Từ đó, S
α∈Λ
γsAα ⊆ F. Mặt khác, từ Mệnh đề 3.1.4, ta lại có S
α∈Λ
γsAα = γs( S
α∈Λ
Aα) nên γs( S
α∈Λ
Aα) ⊆ F. Vậy, S
α∈Λ
Aα là g.γs-tập.
3.1.13 Mệnh đề. Cho (X, τ) là không gian tôpô và A, B là các tập con của X. Khi đó,
(i) Với mỗi x ∈ X, {x} là tập γ-nửa mở hoặc X \ {x} là tập g.γs-tập;
(ii) Nếu A ⊆B ⊆γsA và A là tập g.γs-tập thì B là g.γs-tập.
Chứng minh. (i) Lấy bất kỳ x ∈ X và giả sử rằng {x} không phải là tập γ-nửa mở. Khi đó, X \ {x} không phải là tập γ-nửa đóng. Do đó, X là tập γ-nửa đóng duy nhất chứa X \ {x} nên từ Định nghĩa 3.1.11, X \ {x} là g.γs-tập.
(ii) Vì A ⊆B ⊆ γsA nên theo Mệnh đề 3.1.3 ta có γsA⊆ γsB ⊆ γs(γsA) =γsA
nghĩa là γsA = γsB. Bây giờ lấy F là tập γ-nửa đóng chứa B. Khi đó, do A ⊆B và A là g.γs-tập nên ta có γsB = γsA ⊆F. Vậy, B là g.γs-tập.
3.1.14 Mệnh đề. Cho (X, τ) là không gian tôpô và A ⊆ X. Khi đó, nếu γs{x} ∩A6= ∅, với mọi x ∈ γsA thì A là g.γs-tập.
Chứng minh. Giả sử A là tập con trong không gian tôpô (X, τ) và F là tập γ-nửa đóng bất kỳ chứa A. Ta sẽ chứng minh rằng γsA ⊆ F. Thật vậy, lấy x ∈ γsA. Khi đó, theo giả thiết γs{x} ∩ A 6= ∅. Vì A ⊆ F nên γs{x} ∩F 6= ∅. Nếu x /∈ F thì x ∈ X \F. Do X \F là tập γ-nửa mở trong X chứa x nên ta có γs{x} ⊆ X \F. Điều mâu thuẫn này dẫn đến x ∈ F.
Vậy, A là tập g.γs-tập.
Bây giờ, sử dụng khái niệm g.γs-tập và γs-tập, chúng tôi đưa ra một đặc trưng của γ-nửa T1
2.
3.1.15 Định lý. Cho (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó các mệnh đề sau tương đương
(i) (X, τ) là γ-nửa T1
2; (ii) Mỗi g.γs-tập là γs-tập.
Chứng minh. (i)⇒(ii) Giả sử (X, τ) là γ-nửa T1
2 và A là g.γs-tập trong X. Ta sẽ chứng minh rằng γsA = A. Thật vậy, ta luôn có A ⊆ γsA. Bây giờ, lấy x /∈ A. Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.13, {x} là tậpγ-nửa mở hoặc là γ-nửa đóng.
Nếu {x} là γ-nửa mở thì X \ {x} là γ-nửa đóng. Do x /∈ A nên ta có A ⊆X \ {x}. Mà A là g.γs-tập nên γsA⊆ X \ {x}, nghĩa là x /∈ γsA.
Nếu {x} là γ-nửa đóng thì X \ {x} là tập γ-nửa mở chứa A. Từ Định nghĩa 3.1.1, γsA⊆ X \ {x}, tức là x /∈ γsA.
Vậy A = γsA, nói cách khác, A là γs-tập.
(ii)⇒(i) Lấy x ∈ X bất kỳ. Nếu {x} không là γ-nửa mở, theo Mệnh đề 3.1.13, X \ {x} là g.γs-tập. Do đó theo (ii), X \ {x} là γs-tập. Từ Định nghĩa 3.1.1, suy ra X \ {x} là γ-nửa mở, nghĩa là {x} là γ-nửa đóng. Theo Mệnh đề 1.2.13, (X, τ) là γ-nửa T1
2.
3.1.16 Mệnh đề. Nếu A là tập g.γs-tập trong không gian tôpô (X, τ), thì γsA\A không chứa một tập γ-nửa mở khác rỗng nào.
Chứng minh. Giả sử A là tập g.γs-tập và tồn tại tập γ-nửa mở U 6= ∅ mà U ⊆ γsA\A. Khi đó, U ∩A = ∅, do đó A ⊆ X \U. Vì X \U là tập γ-nửa đóng và A là g.γs-tập nên γsA ⊆X \U, suy ra γsA∩U = ∅. Điều này mâu thuẫn với U ⊂ γs(A)\A. Vậy, γsA\A không chứa một tập γ-nửa mở khác rỗng nào.
3.1.17 Định nghĩa. Tập con A của không gian tôpô (X, τ) được gọi là λ-γ-nửa đóng, nếuA = L∩F, trong đó L là γs-tập và F là tập γ-nửa đóng.
3.1.18 Mệnh đề. Cho (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
(i) A là tập λ-γ-nửa đóng;
(ii) A = L∩τγ−scl(A), với L là γs-tập;
(iii) A = γsA∩τγ−scl(A).
Chứng minh. (i)⇒(ii) Giả sử A là λ-γ-nửa đóng. Khi đó, từ Định nghĩa 3.1.17, tồn tại γs-tập L và tập con γ-nửa đóng F sao cho A = L ∩ F.
Vì A ⊆ F và F là γ-nửa đóng nên τγ−scl(A) ⊆F. Do đó A⊆ L∩τγ−scl(A) ⊆L∩ F = A.
Vậy, A = L∩τγ−scl(A).
(ii)⇒(iii) Giả sử tồn tại γs-tập L sao cho A= L∩τγ−scl(A). Khi đó, vì A ⊆L và γsL = L nên ta có
A⊆ γsA∩τγ−scl(A) ⊆ γsL∩τγ−scl(A) = L∩τγ−scl(A) = A.
Do đó, A= γsA∩τγ−scl(A).
(iii)⇒(i) Giả sử A = γsA∩τγ−scl(A). Do γsA là γs-tập và τγ−scl(A) là tập γ-nửa đóng nên từ Định nghĩa 3.1.17 suy ra A là λ-γ-nửa đóng.
3.1.19 Nhận xét. (i) Mỗiγs-tập hoặc tập γ-nửa đóng là tậpλ-γ-nửa đóng.
(ii) Giao tuỳ ý các tập λ-γ-nửa đóng là tập λ-γ-nửa đóng.
(iii) Hợp của hai tập λ-γ-nửa đóng chưa hẳn là tập λ-γ-nửa đóng.
Ví dụ. Lấy X = {a, b, c}, τ = {∅, X,{a},{b},{a, b},{a, c}}, phép toán γ trên τ xác định bởi
γ(A) =
A nếu b ∈ A clA nếu b /∈ A.
Ta có τγ−SO(X) = {∅, X,{b},{a, b},{a, c}}. Khi đó, A = {b} và B = {c}
là hai tập λ-γ-nửa đóng nhưng A∪ B = {b, c} không phải là tập λ-γ-nửa đóng.
Bây giờ, sử dụng tập λ-γ-nửa đóng, chúng ta sẽ mô tả đặc trưng của các không gian γ-nửa T0 và γ-nửa T1
2.
3.1.20 Định lý. Cho (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, (X, τ) là γ-nửa T0 khi và chỉ khi mỗi x ∈ X, tập một điểm {x} là λ-γ-nửa đóng.
Chứng minh. Điều kiện cần. Lấy bất kỳ x ∈ X. Khi đó, với mỗi y ∈ X mà y 6= x, vì X là γ-nửa T0 nên theo Định nghĩa 1.2.14, tồn tại tập Uy chứa x sao cho y /∈ Uy với Uy là tập γ-nửa đóng hoặc γ-nửa mở. Ta xét các trường hợp sau:
• Nếu mọi tập Uy đều là γ-nửa mở. Khi đó, gọi L là giao tất cả các tập Uy đó. Theo Mệnh đề 3.1.8(ii) và (iii), ta có L là γs-tập. Ta sẽ chứng minh L = {x}. Vì x ∈ Uy với mọi y 6= x nên ta có {x} ⊂ L. Ngược lại, lấy y /∈ {x}. Khi đó, vì y 6= x nên tồn tại tập Uy chứa x nhưng không chứa y. Do đó, y /∈ L. Vậy, L = {x}. Theo Nhận xét 3.1.19(i), {x} là tập λ-γ-nửa đóng
• Nếu mọi tập Uy đều là γ-nửa đóng. Gọi F là giao tất cả các tập Uy đó. Khi đó, F là tập γ-nửa đóng chứa x. Hơn nữa, nếu y 6= x thì từ giả thiết, tồn tại tập γ-nửa đóng Uy chứa x không chứa y. Vậy, F = {x}. Theo Nhận xét 3.1.19(i), {x} là tập λ-γ-nửa đóng.
• Trong trường hợp còn lại, ta gọi L là giao của tất cả các tập Uy mà Uy là γ-nửa mở và gọi F là giao của tất cả các tập Uy mà Uy là tập γ-nửa đóng. Khi đó, L là γs-tập, F là tập γ-nửa đóng và {x} = L ∩F. Vậy {x}
là λ-γ-nửa đóng.
Điều kiện đủ. Lấy x, y là hai điểm phân biệt bất kỳ trong X. Khi đó, tồn tại γs-tập L và tập γ-nửa đóng F sao cho
{x} = L ∩F (∗)
Vì y 6= x nên y /∈ F hoặc y /∈ L. Nếu y /∈ F thì X \ F là tập γ-nửa mở chứa y mà không chứa x. Nếu y /∈ L thì tồn tại tập γ-nửa mở U chứa x mà y /∈ U. Vậy, X là γ-nửa T0.
3.1.21 Định lý. Cho (X, τ) là không gian tôpô. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương
(i) (X, τ) là γ-nửa T1
2;
(ii) Mỗi tập con của X là λ-γ-nửa đóng.
Chứng minh. (i)⇒(ii) Giả sử X là không gianγ-nửaT1
2. Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.13, với mỗi x ∈ X tập một điểm {x} là γ-nửa mở hoặc γ-nửa đóng.
Gọi A là tập con bất kỳ trong X. Đặt
A1 = {x ∈ X \A : {x} là tập γ-nửa mở} và A2 = X \(A∪A1).
Bây giờ, ta xét các tập F = T
x∈A1
X \ {x} và L = T
x∈A2
X \ {x}.
Khi đó, F là tập γ-nửa đóng và L là γs-tập. Ta chứng minh A = F ∩ L.
Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ A thì x /∈ X \A1 ∪A2. do đó, x ∈ F và x ∈ L.
Ngược lại, lấy x /∈ A. Nếu x ∈ F thì x /∈ A1 nên x ∈ A2 suy ra x /∈ L.
Nếu x ∈ L thì x /∈ A2 nên x ∈ A1 suy ra x /∈ F, nghĩa là x /∈ F ∩L. Vậy, A = F ∩L, do đó A là λ-γ-nửa đóng.
(ii)⇒(i) Giả sử mỗi tập con của X là λ-γ-nửa đóng. Với x ∈ X, giả sử {x} không phải là tập γ-nửa đóng. Khi đó A = X \ {x} không phải là tập γ-nửa mở trong X. Do đó, γsA = X. Mặt khác, A là tập λ-γ-nửa đóng nên từ Mệnh đề 3.1.18, ta có A = γsA∩τγ−scl(A). Từ γsA = X ta suy ra A = τγ−scl(A). Theo Mệnh đề 1.2.8, A = X \ {x} là tập γ-nửa đóng. Do đó, {x} là tập γ-nửa mở. Áp dụng Mệnh đề 1.2.13, X là γ-nửa T1
2.