MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU §1 Kiến thức chuẩn bị §2 Các tính chất đơn giản không gian Ccs (X, Y ) §3 Một số tính chất không gian Ccs (X, Y ) liên quan đến phủ 16 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết phủ, đặc biệt phủ đếm theo điểm không gian mêtric tổng quát nhà toán học D K Burke, G Gruenhege, E Michael, Y Tanaka, quan tâm từ năm 1970 Trong năm gần đây, vấn đề nói nghiên cứu sâu không gian tôpô đặc biệt nhà toán học Shou lin, Pengfei Yan, Y Tanaka Sự tồn phủ đếm theo điểm, đặc trưng loại phủ không gian đặc biệt vấn đề nhiều người quan tâm Mục đích luận văn nghiên cứu tồn lưới đếm theo điểm tính chất không gian Ccs (X, Y ) (Ccs (X, Y ) tập tất ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y với tôpô dãy hội tụ-mở) Ngoài ra, luận văn nghiên cứu mối quan hệ không gian Ccs (X, Y ) với không gian khác Với mục đích trên, luận văn trình bày theo mục sau §1 Kiến thức chuẩn bị §2 Các tính chất không gian Ccs (X, Y ) §3 Một số tính chất không gian Ccs (X, Y ) liên quan đến phủ Trong §1, giới thiệu lại số khái niệm kiến thức để phục vụ cho việc nghiên cứu mục Trong §2, trước tiên giới thiệu không gian ánh xạ liên tục C(X, Y ) với tôpô dãy hội tụ-mở Tiếp theo đó, trình bày tính chất không gian Ccs (X, Y ) tương tự không C(X, Y ) với tôpô compact-mở Đưa chứng minh Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4, 2.6 Hệ 2.7; Định lý 2.8 Trong §3, chứng minh chi tiết số tính chất liên quan đến phủ không gian Ccs (X, Y ) đưa tài liệu tham khảo [4]; Bổ đề 3.1, 3.4 Định lý 3.2, 3.6, 3.12, 3.17 Đưa chứng minh số kết điều kiện đủ để không gian Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian tồn loại lưới Ccs (X, Y ) Mệnh đề 3.5, Mệnh đề 3.8, Mệnh đề 3.10; Hệ 3.14, Mệnh đề 3.15 Nhân đây, xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, đặc biệt thầy cô giáo tổ Giải tích bạn học viên Cao học 13 - Toán giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả §1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này, ta trình bày số khái niệm kiến thức cần dùng luận văn 1.1 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng τ họ tập X Họ τ gọi tôpô X X thỏa mãn điều kiện sau (1) ∅ X thuộc τ ; (2) Hợp số tuỳ ý giao số hữu hạn phần tử τ thuộc τ Tập X với tôpô τ gọi không gian tôpô nói gọn không gian, ký hiệu (X, τ ) Tập E X gọi Gδ -tập, E giao số đếm tập mở X 1.2 Định nghĩa Giả sử B họ tập mở không gian tôpô X B gọi sở tôpô X với x ∈ X lân cận U x tồn V ∈ B cho x ∈ V ⊂ U 1.3 Định nghĩa Họ ϑ tập không gian tôpô (X, τ ) gọi tiền sở tôpô τ X = ∪{V : V ∈ ϑ} họ tất giao hữu hạn phần tử ϑ lập thành sở tôpô τ 1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi compact phủ mở X có phủ hữu hạn Tập A không gian tôpô X gọi compact không gian A X không gian compact, tức A không gian compact với tôpô cảm sinh 1.5 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T1 -không gian với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X tồn lân cận U x cho y = U 1.6 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T2 -không gian với cặp điểm phân biệt x, y = X tồn lân cận U x, lân cận V y cho U ∩ V = ∅ 1.7 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi quy với điểm x ∈ X tập đóng F X không chứa x tồn hai tập mở U V cho x ∈ U, F ⊂ V U ∩ V = ∅ Một cách tương đương, X quy với lân cận U x ∈ X tồn lân cận đóng V x cho x ∈ V ⊂ U 1.8 Định nghĩa Họ P tập không gian tôpô X gọi phủ A ⊆ X A ⊂ ∪{P : P ∈ P} Ta viết ∪ P thay cho ∪{P : P ∈ P} Nếu P = {P : P mở X} P gọi phủ mở x Nếu P = {P : P compact X} P gọi phủ compact X 1.9 Định nghĩa Giả sử P phủ không gian X (1) P gọi k-lưới K-compact U mở X cho K ⊂ U tồn họ hữu hạn F P thỏa mãn K ⊂ ∪ F ⊂ U (2) P gọi lưới x ∈ / X U mở X mà x ∈ U tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U (3) P gọi cs-lưới không gian tôpô X dãy {xn } hội tụ tới x X U lân cận điểm x tồn P ∈ P m ∈ N cho {x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U (4) P gọi cs∗ -lưới không gian tôpô X với dãy {xn } hội tụ tới điểm x X lân cận U x tồn P ∈ P cho có dãy {xni : i ∈ N } {xn } mà {x} ∪ {xni : i ∈ N } ⊂ P ⊂ U (5) P gọi wcs∗ -lưới với dãy {xn } hội tụ tới x X lân cận U x tồn P ∈ P cho có dãy {xni : i ∈ N } {xn } mà {xni : i ∈ N } ⊂ P ⊂ U 1.10 Định nghĩa Giả sử P họ tập không gian X Họ P gọi đếm theo điểm điểm X thuộc không đếm phần tử P Họ P gọi hữu hạn địa phương x ∈ X tồn lân cận U x mà U giao với số hữu hạn phần tử P Họ P = {Pα : α ∈ Λ} gọi có tính chất HCP ∪{Bα : α ∈ Λ } = ∪{Bα : α ∈ Λ }, với Λ ⊂ Λ Bα ⊂ Pα với α ∈ Λ Họ P gọi có tính chất W HCP {x(P ) ∈ P : P ∈ P} họ có tính chất HCP ∞ Pn , Pn Họ P gọi σ-hữu hạn địa phương P = n=1 hữu hạn địa phương 1.11 Định nghĩa T1 -không gian, quy X gọi ℵ-không gian X có k-lưới σ-hữu hạn địa phương 1.12 Định nghĩa T1 -không gian, quy X gọi ℵ0 -không gian X có k-lưới đếm 1.13 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi σ-không gian X có lưới σ-hữu hạn địa phương 1.14 Định nghĩa Tập Y không gian X gọi rời rạc tập Y tập đóng Y Không gian X gọi ℵ1 -compact tập rời rạc, đóng đếm hữu hạn 1.15 Định nghĩa Không gian quy X với cs-lưới σ-hữu hạn địa phương cs-σ-không gian 1.16 Định nghĩa Phủ B không gian tôpô X gọi mịn hay làm mịn phủ U phần tử B chứa phần tử phủ U 1.17 Định nghĩa Không gian quy X gọi paracompact phủ mở X có mịn hữu hạn địa phương mở 1.18 Định nghĩa Ánh xạ f : X−→Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y gọi ánh xạ phủ compact với tập compact C Y tồn tập compact K X cho f (K) = C 1.19 Định lý ([4]) Nếu X không gian tôpô điều kiện sau tương đương (i) X ℵ0 -không gian; (ii) X không gian quy với cs-lưới đếm 1.20 Định lý ([2]) Nếu X không gian quy, điều kiện sau tương đương a) Không gian X paracompact; b) Mỗi phủ mở X có mịn hữu hạn địa phương; c) Mỗi phủ mở X có mịn σ-hữu hạn địa phương 1.21 Bổ đề Không gian tôpô X ℵ0 -không gian X có cs-lưới đếm 1.22 Định nghĩa Cho không gian X P phủ gồm tập X Khi X gọi k-không gian X xác định phủ gồm tất tập compact X 1.23 Bổ đề Nếu không gian tôpô X k-không gian mà điểm Gδ -tập X không gian dãy §2 CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN CỦA KHÔNG GIAN Ccs(X, Y ) Trong mục này, trình bày số ký hiệu, khái niệm tính chất không gian ánh xạ liên tục Ccs (X, Y ) Giả sử X, Y hai không gian tôpô Ký hiệu C(X, Y ) tập tất ánh xạ liên tục từ X vào Y Giả sử {xn } dãy hội tụ tới x X Ta ký hiệu Z = {x; x1 , x2 , } Khi ta gọi Z dãy hội tụ X ký hiệu Zn = {x; xn , xn+1 , } Với dãy hội tụ Z X tập mở U Y , ta ký hiệu (Z, U ) = {f ∈ C(X, Y ) : f (Z) ⊂ U } 2.1 Mệnh đề Họ tất tập (Z, U ), Z dãy hội tụ X U tập mở Y tiền sở tôpô C(X, Y ) Tôpô nói Mệnh đề 2.1 ký hiệu τcs , không gian C(X, Y ) với tôpô τcs ký hiệu Ccs (X, Y ) Ta gọi tôpô τcs tôpô dãy hội tụ - mở Sau nói thêm tôpô Ccs (X, Y ) hiểu tôpô dãy hội tụ-mở Họ tất giao hữu hạn tập hợp dạng (Z, U ) Z, U xác định lập thành sở tôpô dãy hội tụ - mở Một phần tử n tuỳ ý sở có dạng (Zi , Ui ), Zi dãy hội tụ i=1 X, Ui tập mở Y Sau đây, ta chứng minh số tính chất đơn giản không gian Ccs (X, Y ) 2.2 Mệnh đề Nếu Y T1 -không gian Ccs (X, Y ) T1 -không gian Chứng minh Giả sử f, g ∈ Ccs (X, Y ) cho f = g Khi đó, tồn x ∈ X cho f (x) = g(x) Vì Y T1 -không gian nên tồn lân cận mở U f (x) cho g(x) ∈ / U Đặt Z = {x; x, } (Z, U ) lân cận f (Z, U ) thuộc tiền sở tôpô τcs Ccs (X, Y ) Do g(x) ∈ / U nên g ∈ / (Z, U ) Vậy Ccs (X, Y ) T1 -không gian 2.3 Mệnh đề Nếu Y T2 - không gian Ccs (X, Y ) T2 -không gian Chứng minh Giả sử f ∈ Ccs (X, Y ) cho f = g Khi đó, tồn x ∈ X cho f (x) = g(x) Vì Y T2 -không gian nên tồn lân cận mở U, V f (x) g(x) cho U ∩ V = ∅ Giả sử Z = {x; x, x, } dãy hội tụ X Khi (Z, U ) lân cận f (Z, V ) lân cận g Ccs (X, Y ) thỏa mãn (Z, U ) ∩ (Z, V ) = ∅ Thật vậy, với h ∈ (Z, U ), ta có h(Z) ⊂ U Khi h(Z) (1) V (vì U ∩ V = ∅) Do h ∈ / (Z, V ) Từ suy Ccs (X, Y ) T2 -không gian 2.4 Mệnh đề Nếu Y không gian quy Ccs (X, Y ) không gian quy 10 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh P cs-lưới Ccs (X, Y ) Thật vậy, giả sử {fn } dãy hội tụ tới f0 Ccs (X, Y ) (Z, U ) lân cận mở f0 , với (Z, U ) thuộc tiền sở tôpô τcs Ccs (X, Y ) Khi theo Bổ đề 3.4 ta có {fn } dãy hội tụ tới f0 C(X, Y ) Vì τcs ⊂ τ nên (Z, U ) thuộc tiền sở tôpô τ C(X, Y ) Do (Z, U ) lân cận mở f0 C(X, Y ) Từ giả thiết, P cs-lưới C(X, Y ) suy tồn n ∈ N p ∈ P cho {f0 } ∪ {fm : m ≥ n} ⊂ P ⊂ (Z, U ) Vậy P cs-lưới Ccs (X, Y ) Tiếp theo ta chứng minh P cs∗ -lưới Ccs (X, Y ) Thật vậy, giả sử {fn } dãy hội tụ tới f0 C(X, Y ) (Z, U ) lân cận mở f0 , với (Z, U ) thuộc tiền sở tôpô τcs Ccs (X, Y ) Khi đó, theo Bổ đề 3.4 ta có {fn } dãy hội tụ tới f0 C(X, Y ) Vì τcs ⊂ τ nên (Z, U ) thuộc tiền sở tôpô τ C(X, Y ) Do đó, (Z, U ) lân cận f0 C(X, Y ) Mặt khác, P cs∗ -lưới C(X, Y ) nên tồn Pi ∈ P dãy {fni : i ∈ N } {fn } thỏa mãn {fni : i ∈ N } ∪ {f0 } ⊂ Pi ⊂ (Z, U ) Từ suy P cs∗ -lưới Cc s(X, Y ) Tương tự ta chứng minh P wcs∗ -lưới Ccs (X, Y ) 23 3.6 Định lý ([4]) Nếu X ℵ0 -không gian Y cs-σ-không gian, Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian Chứng minh Từ Định lý 3.2 C(X, Y ) có cs-lưới σ-hữu hạn địa ∞ Pn , Pn hữu hạn địa phương Như vậy, muốn phương P = n=1 chứng minh Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian ta chứng minh P cs-lưới σ-hữu hạn địa phương Ccs (X, Y ) Thật vậy, trước tiên ta chứng minh P cs-lưới Ccs (X, Y ) Vì X ℵ0 -không gian nên suy tập compact X compact dãy Do đó, theo Mệnh đề 3.4 ta có P cs-lưới Ccs (X, Y ) Từ chứng minh Định lý 3.2 suy tính σ-hữu hạn địa phương P Vậy Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian 3.7 Bổ đề ([7], Bổ đề 3.7.4) Nếu P cs∗ -lưới đếm X P k-lưới 3.8 Mệnh đề Giả sử X cs-σ-không gian ℵ1 -compact Y cs-σ-không gian Khi Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian Để chứng minh Mệnh đề ta cần Bổ đề sau 3.9 Bổ đề Mọi họ tập hữu hạn địa phương không gian có tính chất HCP Chứng minh Giả sử P họ tập hữu hạn địa phương không 24 gian tôpô X P0 họ P Khi P0 có tính chất hữu hạn địa phương Với P ∈ P0 lấy Ap ⊂ P đặt A = {Ap : P ∈ P0 } Vì P0 hữu hạn địa phương nên A hữu hạn địa phương Ta chứng minh ∪A = ∪{A : A ∈ A} Giả sử x ∈ ∪A Vì A hữu hạn địa phương nên tồn lân cận mở U x cho tập Ax = {A ∈ A : A ∩ U = ∅} hữu hạn Ta có U ∩ ∪ (A \ Ax ) = ∅ Vì U mở nên U ∩ ∪ (A \ Ax ) = ∅ Mặt khác x ∈ ∪ A = ∪ (A \ Ax ) ∪ ∪ Ax nên từ (1) suy x ∈ ∪ Ax = ∪ {A : A ∈ Ax } ⊂ ∪ {A : A ∈ A} Do ∪ A ⊂ ∪ {A : A ∈ A} ⊂ ∪ A, 25 (1) nghĩa ∪ A = ∪ {A : A ∈ A} Vậy P có tính chất HCP Chứng minh Mệnh đề 3.8 Đầu tiên ta chứng minh X có cs-lưới đếm Giả sử P = ∪∞ n=1 Pn cs-lưới σ-hữu hạn địa phương X, Pn ⊂ Pn+1 , n = 1, 2, Theo Bổ đề 3.9, Pn có tính chất HCP Với n = 1, 2, , đặt Xn = {x ∈ X : x thuộc đếm phần tử Pn } Trước tiên ta chứng minh với n = 1, 2, , Xn tập đếm được, rời rạc, đóng Thật vậy, giả sử E tập vô hạn Xn Khi đó, với y ∈ E thuộc đếm phần tử Pn nên tồn Py ∈ Pn cho y ∈ Py y, z ∈ E mà y = z Py = Pz Từ Pn có tính chất HCP suy E = ∪{y : y ∈ E} tập đóng Do Xn tập rời rạc, đóng Vì X ℵ1 -compact nên Xn đếm Tiếp theo ta chứng minh {P \ Xn : P ∈ Pn } đếm Giả sử {P \ Xn : P ∈ Pn } đếm Lúc tồn tập số không đếm Λ cho {Pα \ Xn : α ∈ Λ} họ {P \ Xn : P ∈ Pn } Với α ∈ Λ lấy xα ∈ Pα \ Xn Vì Pn có tính chất HCP nên {xα : α ∈ Λ} tập đóng, rời rạc Vì X ℵ1 -compact nên {xα : α ∈ Λ} tập đếm Từ {Pα \ Xn : α ∈ Λ} đếm xα ∈ Pα \ Xn với α ∈ Λ suy tồn β ∈ Λ cho 26 xβ thuộc đếm Pα \ Xn Điều mâu thuẫn với xβ ∈ / Xn Bây giờ, ta đặt Gn = {P \ Xn : P ∈ Pn } ∪ {{xn } : x ∈ Xn } G = ∪{Gn : n = 1, 2, } Rõ ràng G đếm Ta chứng minh G cs-lưới X Giả sử {xm } dãy X, xm −→x U lân cận mở x Nếu tồn n ∈ N cho x ∈ Xn từ tính rời rạc Xn suy tồn n0 ∈ N cho xm = x với m ≥ n0 Như {xm : m ≥ n0 } ∪ {x} ⊂ U, {x} ∈ G (1) Vì xm −→x P cs-lưới nên tồn m0 ∈ N P ∈ Pn cho {xm : m ≥ m0 } ∪ {x} ⊂ P ⊂ U Do Xn tập đóng x ∈ / Xn nên tồn m1 ∈ N cho xm ∈ / Xn với m ≥ m1 Vì {xm : m ≥ max(m0 , m1 )} ∪ {x} ⊂ P \ Xn ⊂ U Từ P \ Xn ∈ Gn suy G cs-lưới Vì G đếm nên theo Bổ đề 3.7, X có k-lưới đếm Như X ℵ0 -không gian Từ theo Định lý 3.6 Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian 27 3.10 Mệnh đề Giả sử X ℵ1 -compact cs∗ -lưới σ-W HCP Y cs-σ-không gian Khi Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian Chứng minh Trước tiên ta chứng minh X có cs∗ -lưới đếm Giả sử ∞ P = Pn , Pn họ W HCP Pn ⊂ Pn+1 với n Với n=1 n = 1, 2, , đặt Xn = {x ∈ X : Pn không đếm theo điểm x} Đầu tiên ta chứng minh rằng, với n = 1, 2, , {P \ Xn : P ∈ Pn } đếm Giả sử {P \Xn : P ∈ Pn } đếm Lúc đó, tồn tập số đếm Λ cho {Pα \ Xn : α ∈ Λ} họ {P \ Xn : P ∈ Pn } Với α ∈ Λ, lấy xα ∈ Pα \ Xn Vì Pn W HCP nên tập {xα : α ∈ Λ} đóng, rời rạc X Theo giả thiết, X ℵ1 -compact nên tập {xα : α ∈ Λ} đếm Từ {Pα \ Xn : α ∈ Λ} tập đếm suy tồn β ∈ Λ cho xβ thuộc đếm Pα \ Xn Điều mâu thuẫn với xβ ∈ / Xn Tiếp theo, ta chứng minh rằng, với n, tập Xn đếm được, đóng rời rạc Giả sử Y tập vô hạn Xn Vì y ∈ Y thuộc đếm phần tử Pn nên y ∈ Y tồn Py ∈ Pn cho y, z ∈ Y mà y = z Py = Pz Từ tính W HCP Pn suy Y = ∪{{y} : y ∈ Y } tập đóng Do Xn tập đóng, rời rạc (hiển nhiên tập hữu hạn Xn đóng) Vì X ℵ1 -compact nên Xn tập đếm 28 Bây giờ, với n = 1, 2, , đặt Gn = {P \ Xn : P ∈ Pn } ∪ {{x} : x ∈ Xn } G = ∪{Gn : n = 1, 2, } Rõ ràng, Gn đếm G đếm Ta chứng minh G cs∗ -lưới Giả sử S dãy X hội tụ tới x ∈ X U lân cận x Nếu tồn n cho x ∈ Xn từ tính rời rạc Xn suy từ lúc số hạng S x Do tồn dãy S S cho S ∪ {x} ⊂ {x} ⊂ U, (1) {x} ∈ Gn ⊂ G Giả sử x ∈ / Xn với n Khi đó, P cs∗ -lưới nên tồn dãy S S P ∈ P cho S ∪ {x} ⊂ P ⊂ U Vì P ∈ P nên tồn n ∈ N cho P ∈ Pn Từ x ∈ / Xn Xn tập đóng suy S từ lúc trở không nằm Xn Do tồn dãy S S cho S ∪ {x} ⊂ P \ Xn ⊂ U, P \ Xn ∈ Gn ⊂ G 29 (2) Từ (1) (2) suy G cs∗ -lưới đếm X Theo Bổ đề 3.7, G k-lưới đếm X Vậy X ℵ0 -không gian Từ đó, theo Định lý 3.6 Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian Mệnh đề chứng minh 3.11 Định nghĩa ([4]) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Ta ký hiệu k(X) k-không gian X với tôpô xác định phủ gồm tất tập τ -compact X, nghĩa tập U X mở (hoặc đóng) theo tôpô giao U với tập τ -compact K mở (hoặc đóng) K Như k(X) k-không gian 3.12 Định lý ([4]) Nếu X không gian khả li mà tập compact compact dãy, Y không gian mà điểm Gδ -tập C(X, Y ) Ccs (X, Y ) có tập compact Chứng minh Vì C(X, Y ) k(C(X, Y )) có tập compact Tương tự Ccs (X, Y ) k(Ccs (X, Y )) có tập compact Mặt khác, từ Định lý 2.8 kết hợp với giả thiết cho ta suy điểm Ccs (X, Y ) C(X, Y ) Gδ -tập Do đó, điểm k(C(X, Y )) hay k(Ccs (X, Y )) Gδ -tập Do đó, theo Bổ đề 1.23 k(C(X, Y )) k(Ccs (X, Y )) hai không gian dãy Mặt khác, hai không gian có dãy hội tụ Từ suy k(C(X, Y )) k(Ccs (X, Y )) đồng phôi qua ánh xạ đồng Vì vậy, 30 chúng có tập compact Do C(X, Y ) Ccs (X, Y ) có tập compact 3.13 Bổ đề Nếu không gian X có lưới σ-HCP điểm X Gδ -tập ∞ Chứng minh Giả sử P lưới σ-HCP X Khi P = Pn , n=1 Pn HCP Vì hợp hai họ HCP họ HCP nên giả thiết Pn ⊂ Pn+1 với n ∈ N ∗ Với x ∈ X xác định Pn (x) = {P ∈ Pn : x ∈ / P} An = ∪ Pn (x), n = 1, 2, Khi từ tính chất HCP Pn suy An = ∪ {P : P ∈ Pn (x)} Đặt Un (x) = X \ An , n = 1, 2, Vì An đóng nên Un (x) lân cận mở x Ta {x} = Un (x) n∈N ∗ hay An = X \ {x} N ∈N ∗ 31 Thật vậy, với y ∈ X \ {x}, từ tính T1 quy X suy tồn lân cận V y cho y ∈ V ⊂ V ⊂ X \ {x} Mặt khác, P lưới nên tồn P ∈ P cho y ∈ P ⊂ V y ∈ P ⊂ V ⊂ X \ {x} P ∈ Pn (x) với n Suy y∈P ⊂ An n∈N ∗ ta có X \ {x} ⊂ An n∈N ∗ Mặt khác, x ∈ / An hay An ⊂ X \ {x}, n = 1, 2, , nên An ⊂ X \ {x} n∈N ∗ Do An = X \ {x} n∈N ∗ hay Un (x) = {x} n∈N ∗ Vậy {x} Gδ -tập 3.14 Hệ Nếu X không gian khả li tập compact compact dãy Y không gian với lưới σ-HCP C(X, Y ) Ccs (X, Y ) có tập compact 32 Chứng minh Vì Y không gian với lưới σ-HCP nên theo Bổ đề 3.13 điểm Y δ-tập Do đó, theo Định lý 3.12 ta suy C(X, Y ) Ccs (X, Y ) có tập compact 3.15 Mệnh đề Giả sử X không gian khả li với tập compact compact dãy Y không gian mà điểm Gδ -tập Khi P k-lưới C(X, Y ) P k-lưới Ccs (X, Y ) Chứng minh Giả sử K tập compact Ccs (X, Y ), U tập mở Ccs (X, Y ) mà K ⊂ U Khi đó, giả thiết theo Định lý 3.12 ta có C(X, Y ) Ccs (X, Y ) có tập compact Do K tập compact C(X, Y ) Mặt khác, τcs ⊂ τ nên U mở Ccs (X, Y ) mở C(X, Y ) Hơn nữa, P k-lưới C(X, Y ) nên tồn P1 , P2 , , Pn ∈ P cho n K⊂ Pi ⊂ U i=1 Do P k-lưới Ccs (X, Y ) 3.16 Bổ đề ([4]) Giả sử X không gian quy với lưới σ-hữu ∞ hạn địa phương T = Tn Giả sử với n có họ hữu hạn địa phương n=1 lân cận Vn X cho Vn cắt số hữu hạn phần tử T ∈ Tn Khi X không gian paracompact 3.17 Định lý ([4]) Giả sử X ℵ0 -không gian Y cs-σ-không 33 gian paracompact Khi đó, Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian paracompact Chứng minh Giả sử P = {Pi } k-lưới đếm X giả sử ∞ R= Ri cs-lưới σ-hữu hạn địa phương X i=1 Với i = 1, 2, , j = 1, đặt [Pi , Rj ] = {(Pi , R) | R ∈ Rj } ∞ [P, R] = [Pi , Rj ] i,j=1 Theo Định lý 3.6, suy không gian Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian, với [P, R] xác định cs-lưới σ-hữu hạn địa phương (điều suy từ phần cuối chứng minh Định lý 3.2) Bây ta chứng minh Ccs (X, Y ) không gian paracompact Với f ∈ Ccs (X, Y ), chọn x ∈ Pi giả sử Vij (f ) với i = 1, 2, ; j = 1, , lân cận mở f (x) Với j = 1, 2, , đặt L = {R ∈ Rj : R-hữu hạn} Khi đó, ta có Vij (f ) ∩ L = ∅ Từ đó, ta có {Vij (f )|f ∈ Ccs (X, Y )} 34 phủ mở Y Từ giả thiết Y không gian paracompact suy tồn mịn mở hữu hạn địa phương Wij = {Wij (f )|f ∈ Ccs (X, Y )} thỏa mãn Wij (f ) ⊂ Wij (f ) ⊂ Vij (f ) với f ∈ Ccs (X, Y ) Vì (x, (Wij (f ))) giao với nhiều hữu hạn tập (Pi , R) ∈ [Pi , Rj ] Do đó, từ (x, Wij (f )) ⊂ (x, (Wij (f ))) suy (x, Wij (f )) giao với nhiều hữu hạn tập (Pi , R) ∈ [Pi , Rj ] Khi đó, theo Bổ đề 3.16 suy Ccs (X, Y ) không gian paracompact Vậy Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian paracompact 35 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày lại khái niệm kiến thức không gian Ccs (X, Y ) với tôpô dãy hội tụ-mở Chứng minh chi tiết số tính chất liên quan đến phủ không gian Ccs (X, Y ) đưa tài liệu tham khảo [4] chưa có chứng minh chứng minh vắn tắt Bổ đề 3.1, 3.4; Định lý 3.2, 3.6, 3.12, 3.17 Đưa chứng minh số kết không gian Ccs (X, Y ) tương tự không gian C(X, Y ) với tôpô compact-mở Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4; Định lý 2.8 Dựa vào tài liệu tham khảo đưa chứng minh số kết điều kiện đủ để không gian Ccs (X, Y ) cs-σ-không gian tồn loại lưới không gian Ccs (X, Y ) Mệnh đề 3.5, Mệnh đề 3.8, Mệnh đề 3.10 Hệ 3.14, Mệnh đề 3.15 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Thiều Hoa (2006), Luận văn tốt nghiệp cao học, Đại học Vinh [2] J.K.Keli (1973), Tôpô đại cương (Bản dịch Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tường), Nxb ĐH & THCN, Hà Nội [3] J.A.Guthrie (1971), A Characterization of ℵ0 -spaces, Gen Topology Appl, 105 - 110 [4] J.A.Guthrie (1973), Mapping spaces and cs-networks, Pacific Journll of Mathematics, Vol 47, No 2, 465 - 471 [5] P.O’Meara (1971), On paracompactness in function spaces with the compact - opentopology, proc Amer Math Soc, 29, 183 - 189 [6] E.A.Michael (1966), ℵ0 -spaces, J.Math.Mecl, 15, 983 - 1002 [7] M.Sakai, On spaces with astar - countable k-networks, Houstonj, Math, 23(1), 45 - 56 [8] Yoshio Tanaka (2001), Theory of k-networks II, Q & A in Genenal Topology, Vol 19, 27 - 46 37 [...]... lấy theo thứ tự 1, 2, nhưng các chỉ số của Rj được lấy theo dãy 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, Đặt fi = fn(i) và chọn xi ∈ Pi sao cho fi (xi ) ∈ / Rj Khi đó, ta có {fi } là dãy con của F và do đó nó phải hội tụ tới f0 Mặt khác, tập P (x) là một cơ sở đếm được, giảm của x trong S Do đó {xi } hội tụ tới x Từ sự hội tụ trong tôpô mở- compact kéo theo sự hội tụ liên tục của dãy, {fi (xi )} hội tụ. .. ràng với bất kỳ một dãy hội tụ ở trong tôpô compact -mở thì cũng hội tụ trong tôpô thô hơn, mà τcs ⊂ τ nên một dãy τ -hội tụ thì τcs -hội tụ Bây giờ ta sẽ chứng minh mọi dãy hội tụ trong Ccs (X, Y ) thì cũng hội tụ trong C(X, Y ) Giả sử {fn } là một dãy hội tụ tới f0 trong Ccs (X, Y ) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng mỗi tập mở thuộc tiền cơ sở của tôpô τ trong C(X, Y ) chứa f0 thì chứa tất cả trừ ra một số các. .. đếm được của X Vậy X là ℵ0 -không gian Từ đó, theo Định lý 3.6 thì Ccs (X, Y ) là cs-σ -không gian Mệnh đề đã được chứng minh 3.11 Định nghĩa ([4]) Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô Ta ký hiệu k(X) là k -không gian X với tôpô được xác định bởi phủ gồm tất cả các tập τ -compact của X, nghĩa là mỗi tập con U của X là mở (hoặc đóng) theo tôpô này khi và chỉ khi giao của U với mọi tập τ -compact K là mở. .. các tập (Pi , R) ∈ [Pi , Rj ] Khi đó, theo Bổ đề 3.16 suy ra Ccs (X, Y ) là không gian paracompact Vậy Ccs (X, Y ) là cs-σ -không gian paracompact 35 KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được các kết quả sau: 1 Trình bày lại các khái niệm và kiến thức cơ bản của không gian Ccs (X, Y ) với tôpô dãy hội tụ- mở 2 Chứng minh chi tiết một số tính chất liên quan đến các phủ của không gian Ccs (X, Y ) đã đưa ra trong tài... } và f là Gδ -tập U Vì thế U∈ U U∈ U Vậy Định lý được chứng minh 15 §3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN Ccs (X, Y ) LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHỦ Trong mục này, các không gian nói tới được giả thiết là T1 và chính quy 3.1 Bổ đề ([4]) Giả sử P là họ các tập con của không gian X mà P khép kín đối với phép giao hữu hạn Khi đó, nếu mọi dãy hội tụ Z trong X, Z ⊂ S sao cho với S là phần tử thuộc tiền cơ sở của tôpô. .. qua một ánh xạ phủ compact Do đó theo Bổ đề 1 của [5] thì C(S, Y ) đồng phôi với một không gian con của C(S, Y ) Từ đó mỗi không gian con của cs-σ -không gian cũng là một cs-σ -không gian Giả sử P = {Pi } là đếm được các tập mở thuộc cơ sở của S và nó khép ∞ kín đối với phép lấy giao hữu hạn và giả sử R = Rj là một cs-lưới σ-hữu j=1 hạn địa phương của Y Đặt ∞ [Pi , Rj ] = {(Pi , R) : R ∈ Rj } và [P,... là T1 -không gian (tương ứng, T2 -không gian, chính quy) nếu Y là T1 -không gian (tương ứng, T2 -không gian, chính quy) 2.8 Định lý Nếu X là không gian khả li và Y là không gian mà mỗi điểm của nó đều là Gδ -tập thì mọi điểm của Ccs (X, Y ) cũng là Gδ -tập Chứng minh Giả sử E là tập con đếm được trù mật trong X và f ∈ Ccs (X, Y ) Khi đó, với mọi x ∈ E, vì f (x) là Gδ -tập nên tồn tại các tập mở 14 U1... như các Bổ đề 3.1, 3.4; các Định lý 3.2, 3.6, 3.12, 3.17 3 Đưa ra và chứng minh một số kết quả về không gian Ccs (X, Y ) tương tự như của không gian C(X, Y ) với tôpô compact -mở như các Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4; Định lý 2.8 Dựa vào tài liệu tham khảo chúng tôi đưa ra và chứng minh một số kết quả mới về điều kiện đủ để không gian Ccs (X, Y ) là cs-σ -không gian và sự tồn tại các loại lưới trong không gian. .. quả Nếu X là không gian khả li và mọi tập compact của nó là compact dãy còn Y là không gian với lưới σ-HCP thì C(X, Y ) và Ccs (X, Y ) có các tập compact như nhau 32 Chứng minh Vì Y là không gian với lưới σ-HCP nên theo Bổ đề 3.13 thì mọi điểm của Y là δ-tập Do đó, theo Định lý 3.12 ta suy ra C(X, Y ) và Ccs (X, Y ) có các tập compact như nhau 3.15 Mệnh đề Giả sử X là không gian khả li với mọi tập compact... Ccs (X, Y ) và C(X, Y ) là Gδ -tập Do đó, mỗi điểm trong k(C(X, Y )) hay k(Ccs (X, Y )) là Gδ -tập Do đó, theo Bổ đề 1.23 thì k(C(X, Y )) và k(Ccs (X, Y )) là hai không gian dãy Mặt khác, hai không gian này cùng có cùng các dãy hội tụ Từ đó suy ra k(C(X, Y )) và k(Ccs (X, Y )) là đồng phôi qua ánh xạ đồng nhất Vì vậy, 30 chúng có cùng các tập compact Do đó C(X, Y ) và Ccs (X, Y ) có cùng các tập compact ... văn nghiên cứu tồn lưới đếm theo điểm tính chất không gian Ccs (X, Y ) (Ccs (X, Y ) tập tất ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y với tôpô dãy hội tụ- mở) Ngoài ra, luận văn... X không gian tập compact compact dãy Khi C(X, Y ) Ccs (X, Y ) có dãy hội tụ 21 Chứng minh Rõ ràng với dãy hội tụ tôpô compact -mở hội tụ tôpô thô hơn, mà τcs ⊂ τ nên dãy τ -hội tụ τcs -hội tụ. .. thành sở tôpô τ 1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi compact phủ mở X có phủ hữu hạn Tập A không gian tôpô X gọi compact không gian A X không gian compact, tức A không gian compact với tôpô cảm