BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN ……o0o…… KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Bộ môn Đại Số Lý Thuyết Số Đề Tài TÍNH HỮU HẠN CỦA MODULE NHÂN Giáo viên hướng dẫn: T.S Trần Huyên Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Phương Thanh TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2012 Lời Cảm Ơn Để hoàn thành luận văn này, em nhận giúp đỡ nhiều thầy cô giáo, gia đình bạn bè Em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Tiến sỹ Trần Huyên, người thầy tận tình hướng dẫn truyền đạt cho em kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt trình thực luận văn Em xin chân thành gởi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền thụ kiến thức cho em trình học tập trường Cuối cùng, em xin gởi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, người động viên, khuyến khích giúp đỡ em suốt trình hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 2012 Đỗ Thị Phương Thanh Mục Lục Lời Cảm Ơn Bảng Ký Hiệu Lời Nói Đầu Chương 1: Kiến Thức Chuẩn Bị §1: Vành giao hoán có đơn vị module 1.Vành giao hoán có đơn vị 2.Module 10 §2 : Module nhân 16 Định nghĩa ví dụ : 16 Module con, module thương module nhân: 17 Các điều kiện tương đương: 18 Các tính chất liên quan đến ideal tối đại, module tối đại : 20 Tổng trực tiếp module nhân 23 Chương 2: Tính Hữu Hạn Của Module Nhân §1 Module nguyên tố module nhân 25 Một số kết ideal nguyên tố vành giao hoán có đơn vị : 25 Module nguyên tố module nhân : 26 §2 Module nguyên tố tối tiểu module nhân 33 §3.Module nhân hữu hạn sinh 37 §4 Tính hữu hạn module nhân 43 Kết Luận 51 Tài Liệu Tham Khảo 52 Bảng Ký Hiệu Kí hiệu Ý nghĩa Spec ( R ) Tập hợp tất ideal nguyên tố R Spec ( M ) Tập hợp tất module nguyên tố M Var ( I ) Tập hợp tất ideal nguyên tố R chứa I Min ( I ) Tập hợp tất ideal nguyên tố tố tối tiểu I Var ( N ) Tập hợp tất module nguyên tố M chứa N Max ( R ) Tập hợp tất ideal tối đại R J ( R) Căn Jacobson R Max ( M ) Tập hợp tất module tối đại M Rad ( M ) Giao tất module tối đại M IR I ideal R  Tập thực ⊆ Tập nhỏ ann ( M ) Linh tử hóa module M ann ( m ) Linh tử hóa phần tử m ■ Kết thúc chứng minh Lời Nói Đầu Trong báo multiplication module ,J.Algebra 71(1981), A.Barnard đưa định nghĩa module nhân vành giao hoán có đơn vị Từ đó, khái niệm module nhân thu hút nhiều ý nhà toán học Nhiều kết module nhân đời Các kết module nhân cho thấy module nhân có nhiều tính chất giống với vành giao hoán có đơn vị, chẳng hạn: module thực module nhân nằm module tối đại đó, định lí Cohen chứng minh trường hợp module nhân,… Luận văn nhằm mục đích trình bày cách hệ thống module nhân, tìm hiểu module nguyên tố module nhân, module nguyên tố tối tiểu module nhân module nhân hữu hạn sinh từ nghiên cứu tính hữu hạn module nhân Từ có mối quan hệ tính hữu hạn vành R tính hữu hạn R − module nhân Nội dung luận văn gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm tiết: vành giao hoán có đơn vị module nhân Chương cung cấp kiến thức vành giao hoán có đơn vị module nhân Chương Tính hữu hạn module nhân Chương phần luận văn Chương chia làm tiết Tiết 1: Module nguyên tố module nhân Trình bày định nghĩa module nguyên tố từ mở rộng ideal nguyên tố, tính chất quan trọng module nguyên tố module nhân Tiết 2: Module nguyên tố tối tiểu module nhân Trình bày định nghĩa module nguyên tố tối tiểu module nhân, tính chất quan trọng module nguyên tố tối tiểu module nhân Tiết 3: Module nhân hữu hạn sinh Trình bày điều kiện tương đương module nhân hữu hạn sinh, tính chất quan trọng module nhân hữu hạn sinh Tiết 4: Tính hữu hạn module nhân Trình bày số định lí quan trọng tính hữu hạn module nhân Từ xét mối quan hệ tính hữu hạn vành R R − module nhân Luận văn xét đến vành giao hoán có đơn vị Cho nên nói đến vành mà không nói thêm ta hiểu vành giao hoán có đơn vị Tuy thân em cố gắng nhiều, hạn chế khả lẫn thời gian nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Em xin cảm ơn TP.Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Đỗ Thị Phương Thanh Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kiến thức vành giao hoán có đơn vị ,module module nhân để sử dụng cho chương sau từ thấy tính chất tương tự vành giao hoán có đơn vị module nhân Để trình bày chương này, tác giả luận văn tham khảo [1],[2],[3],[12],[13] §1: Vành giao hoán có đơn vị module Vành giao hoán có đơn vị: Với định nghĩa vành giao hoán có đơn vị biết, ta xét số định nghĩa mệnh đề mà ta dùng chương sau Một khái niệm coi cốt lõi vành giao hoán có đơn vị ideal Ta xét định nghĩa ideal tính chất, mệnh đề có liên quan đến ideal Định nghĩa 1.1.1: Ideal vành R tập I ⊂ R thỏa: i) ii ) I ≠∅ ∀x, y ∈ I x+ y∈I iii ) ∀x ∈ I , ∀a ∈ R ax ∈ I Mệnh đề 1.1.2: Cho hai ideal I , J vành R Khi đó: Tập I + J = { x + y / x ∈ I , y ∈ J } ideal R Tập = IJ {∑ huu han } xi y j / xi ∈ I , y j ∈ J ideal R Tập ( I : J ) = { x ∈ R / ∀y ∈ J xy ∈ I } Tập rad ( I ) = { x ∈ R / ∃n ∈  \ {0} ideal R x n ∈ I } ideal R Mệnh đề 1.1.3 Cho I , J , ( Iα )α∈A ideal vành R , đó: I ⊂ (I : J ) (I : J ) J ⊂ I     Iα : I  =  ( Iα : I )  α∈A  α∈A Định nghĩa 1.1.4: Một ideal P vành R gọi ideal nguyên tố P ≠ R ∀a, b ∈ R ab ∈ P ⇒ a ∈ P hay b ∈ P Một ideal Q vành R gọi ideal tối đại Q ≠ R có hai ideal R chứa Q Q R Tập hợp tất ideal nguyên tố vành R ký hiệu Spec ( R ) Tập hợp tất ideal tối đại vành R ký hiệu Max ( R ) Mệnh đề 1.1.5: Cho ideal I vành R Khi đó: I ideal nguyên tố ⇔ R I miền nguyên I ideal tối đại ⇔ R I trường Định lí 1.1.6: Cho I1 , , I n ideal R, P ideal nguyên tố R phát biểu sau tương đương: i) I j ⊆ P với j0 thỏa ≤ j0 ≤ n n ii) I j ⊆P j =1 n iii) ∏I j =1 j ⊆P Mệnh đề 1.1.7 Mỗi ideal thực chứa ideal tối đại Khi nhắc đến ideal tối đại, ideal nguyên tố ta xét tập hợp đặc biệt chứa chúng Định nghĩa 1.1.8 Vành có ideal tối đại gọi vành địa phương Mệnh đề 1.1.9 Cho vành R ideal thực M R Nếu ∀x ∈ R \ M x khả nghịch R R vành địa phương M ideal tối đại R Nếu M ideal tối đại R ∀x ∈ M + x khả nghịch R R vành địa phương Định nghĩa 1.1.10 Ideal giao tất ideal tối đại vành R gọi Jacobson vành R Ký hiệu J ( R ) Mệnh đề 1.1.11 x ∈ J ( R ) ⇔ ∀y ∈ R − xy khả nghịch R Định nghĩa 1.1.12: Cho I ideal vành R Đặt: Var ( I ) = {P ∈ Spec( R) / I ⊆ P} đó: rad ( I ) = =  P P∈Var ( I )  P P∈Spec ( R ) P⊇I Hệ 1.1.13: Căn lũy linh rad (0) vành R thỏa: rad (0) =  P∈Spec ( R ) P Trong ideal nguyên tố có lớp ideal đặc biệt ideal nguyên tố tối tiểu Một số tính chất cần ideal nguyên tố tối tiểu với ideal nguyên tố Mệnh đề 1.1.14: Cho I Ideal thực vành R Khi tập hợp: Var ( I ) = {P ∈ Spec( R) / I ⊆ P} có phần tử tối tiểu theo quan hệ bao hàm Một phần tử tối tiểu gọi ideal nguyên tố tối tiểu I hay ideal nguyên tố tối tiểu I Trong trường hợp R không tầm thường, ideal nguyên tố tối tiểu ideal vành R gọi ideal nguyên tố tối tiểu R Mệnh đề 1.1.15: cho P,I ideal vành R, P ideal nguyên tố I ∈ P Khi tập hợp: Θ = {P ' ∈ Spec( R) / P ⊇ P ' ⊇ I } có phần tử tối tiểu theo quan hệ bao hàm Từ suy tồn ideal nguyên tố tối tiểu P '' I thỏa P '' ⊆ P Hệ 1.1.16: Cho I ideal vành R đặt Min(I) tập hợp tất ideal nguyên tố tối tiểu I đó: rad ( I ) =  P P∈Min ( I ) Ta chuyển sang định nghĩa ideal nhân Định nghĩa 1.1.17: Ideal A R gọi ideal nhân với ideal B ⊆ A tồn ideal C R cho B = AC Một bổ đề sử dụng nhiều chứng minh chương sau bổ đề Zorn Bổ đề Zorn: Nếu dây chuyền tập thứ tự khác rỗng ∑ có cận ∑ ∑ có chứa phần tử tối đại Module Với định nghĩa module biết, ideal M vành R R − module với phép nhân phép nhân Như lớp module con, module thương module có tính chất gì, ta xét mệnh đề sau: Định nghĩa 1.1.18 Cho R-module M tập N ⊂ M N gọi module M : i) N ≠ ∅ ii) ∀x, y ∈ N x − y ∈ N iii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ N ax ∈ N Định nghĩa 1.1.19 Thương ( N : P ) hai module N P R -module M tập phần tử r ∈ R cho rP ⊂ N , ideal R , hay ( N : P ) = {r ∈ R / rx ∈ N ∀x ∈ P} n Nếu B = R R = ∑ ( Rmk : = M ) suy M n n ( Rm : M )M ∑ Rm ∑= k = k 1= k k =1 k M hữu hạn sinh Nếu B ≠ R , gọi Q ideal tối đại R chứa B theo giả thiết ta có M ∑ ∑ ( Rm : M ) = i∈I i i∈I Rmi ⊆ QM ≠ M , suy Rmi ⊆ QM với i ∈ I , mâu thuẫn với điều giả sử Vì B = R Vậy M hữu hạn sinh ■ Định lý 2.3.3 Cho M R - module nhân Khi phát biểu sau tương đương: (1) M module hữu hạn sinh; (2) R= B + ann ( M ) với ideal B R thỏa M = BM ; (3) Nếu B C ideal R thỏa BM ⊆ CM ann ( M ) ⊆ B ∩ C , B ⊆ C ; (4) Với module N M tồn ideal B R thỏa N = BM ann ( M ) ⊆ B (5) M ≠ AM với ideal thực A chứa ann(M) R (6) M ≠ QM với ideal tối đại Q chứa ann(M) R Chứng minh (1) ⇒ ( ) theo bổ đề 2.3.2 mục (1) ( ) ⇒ ( 3) Lấy b ∈ B Đặt A =∈ {r R | rb ∈ C} Vì ann ( M ) ⊆ B ∩ C nên suy ann ( M ) ⊆ A Giả sử A ≠ R , gọi Q ideal tối đại R thỏa A ⊆ Q , suy ann ( M ) ⊆ Q Nếu QM = M theo giả thiết R= Q + ann ( M ) nên R = Q , vô lý với tính tối đại Q Vì QM ≠ M Do M module nhân nên theo định lý 1.3.17 tồn m ∈ M q ∈ Q thỏa (1 − q ) M ⊆ Rm Suy Cm (1 − q ) bm ∈ (1 − q ) BM ⊆ (1 − q ) CM ⊆ CRm = nên có c ∈ C cho (1 − q ) b − c ∈ ann ( m ) Ta có (1 − q ) b − c  (1 − q ) M ⊆ (1 − q ) b − c  Rm = hay (1 − q ) b − c  (1 − q ) ∈ ann ( M ) ⊆ C Suy (1 − q ) b ∈ C từ ta có (1 − q ) ∈ A ⊆ Q mà Q tối đại nên (1 − q ) ∈ Q 2 ∈ Q , mâu thuẫn Suy A = R Vậy B ⊆ C ( 3) ⇒ ( ) : Giả sử B C ideal R thỏa = N BM = , N CM ann ( M ) ⊆ B, ann ( M ) ⊆ C Theo (3) ta có B ⊆ C C ⊆ B hay B = C Vậy (4) chứng minh ( ) ⇒ ( 5) : Giả sử tồn ideal thực A chứa ann( M ) R cho M = AM Hiển nhiên ta có M = RM Theo (4) ta có A = R (mâu thuẫn) Vậy M ≠ AM với ideal thực A chứa ann(M) R (5) ⇒ (6) : Hiển nhiên (6) ⇒ (1) : Theo bổ đề 2.3.2 ■ Hệ 2.3.4: Cho M R − module nhân trung thành miền nguyên R Khi M hữu hạn sinh Chứng minh: Giả sử tồn A ideal thực R thỏa M = AM Lấy ≠ m ∈ M Vì M module nhân nên = Rm AM ( Rm : M= ) M ( Rm : M ) = A ( Rm : M= = Am ) M ARm Suy ra: Do tồn a ∈ A thỏa (1 − a ) m = R (1 − a ) m = (1 − a )( Rm : M ) M =− (1 a ) Rm = Do R miền nguyên ( Rm : M ) ≠ Vì M trung thành nên (1 − a )( Rm : M ) = Dẫn đến ∈ A hay A = R (mâu thuẫn) Vậy M ≠ AM với ideal nên (1 − a ) = ) thực A R ann( M= {0} ⊆ A nên theo định lí 2.3.3 M module hữu hạn sinh ■ Quay lại vành giao hoán có đơn vị, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3.5: Trong vành R , tích hai ideal hữu hạn sinh ideal hữu hạn sinh Chứng minh: Gọi I , J ideal hữu hạn sinh vành R Giả sử: n I = ∑ Rai với ∈ I , i ∈1, n i =1 k J = ∑ Rb j với bi ∈ J , j ∈1, k j =1 n k Ta chứng minh IJ = ∑∑ Rai b j với ∈ I , i ∈1, n , bi ∈ J , j ∈1, k =i =j Dễ thấy n k n k ∑∑ Raib j ⊆ IJ Ta chứng minh IJ ⊆ ∑∑ Raib j Lấy xy ∈ IJ với =i =j =i =j k   n  k r b t a có: xy x= x ∈ I , y ∈ J Khi ta= ∑ j j  ∑ i i   ∑ rj b j  = =j =i  =j  n n k ∑∑ r t a b =i =j j i i j với k ti , rj ∈ R suy xy ∈ ∑∑ Rai b j =i =j n k Vậy IJ = ∑∑ Rai b j nên IJ hữu hạn sinh ■ =i =j Ta thấy tích hai module module nhân xây dựng thông qua ideal đại diện Vậy tích hai module hữu hạn sinh module nhân có hữu hạn sinh Ta xét mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3.6: Cho M R − module nhân Khi đó, tích hai module hữu hạn sinh M module hữu hạn sinh Chứng minh: Gọi N , K hai module hữu hạn sinh M Khi tồn ideal A, B R cho = N AM = , K BM Ta có : NK = ABM n k i =1 j =1 Cho AM = ∑ Rai mi BM = ∑ Rb j m j ' với mi , m j ' ∈ M ∈ A, b j ∈ B với i ∈1, n , j ∈1, k Ta chứng minh: = ABM n k = ∑∑ Ra i b j mi =i =j Dễ thấy n n k m ' ,i ∑∑ Ra b= =i =j k ∑∑ Ra b m =i =j i j i i j j = n , j 1, , k 1, , ⊆ ABM Mỗi phần tử ABM tổng hữu hạn phần tử có dạng abm , với m ∈ M , a ∈ A, b ∈ B Nhưng ta lại có  k  = abm a  ∑ c j b j m j '  , c j ∈ R  j =1  Suy  n  c b ∑ j j  ∑ d i mi , d i ∈ R =j = i1  c j b j ( am j ') ∑= k = abm =j n k k n k Do abm ∈ ∑∑ Rai b j mi Suy ABM ⊆ ∑∑ Rai b j mi Vậy =i =j n =i =j k ABM = ∑∑ Rai b j mi =i =j n k Hoàn toàn tương tự ta chứng minh ABM = ∑∑ Rai b j m j ' Vậy ABM hữu =i =j hạn sinh hay NK hữu hạn sinh ■ Nhận xét 2.3.7 Tổng quát lên, ta có tích n module hữu hạn sinh module nhân module hữu hạn sinh §4 Tính hữu hạn module nhân Tiết nghiên cứu tính hữu hạn module nhân xét lớp module đặc biệt module nguyên tố module nguyên tố tối tiểu Từ ta lập mối quan hệ tính hữu hạn module nhân vành giao hoán có đơn vị Trong vành giao hoán có đơn vị, định lí Cohen phát biểu sau: “Vành R Noether ideal nguyên tố P ∈ Spec( R) hữu hạn sinh.” Tuy nhiên, module nguyên tố R − module M hữu hạn sinh M không thiết module Noether Ta xét ví dụ sau để chứng tỏ điều Ví dụ: Xét trường số hữu tỉ   − module Do  không hữu hạn sinh  suy  không  − module Noether Hơn  có module nguyên tố Thật vậy, gọi N module nguyên tố  đặt P = ( N :  ) Khi P ideal nguyên tố  P ⊆ N Vì N ≠  nên ta phải có P = Ta chứng minh N = Giả sử N ≠ Khi đó, tồn số nguyên dương a b cho ab −1 ∈ N Vì = ( N :  ) nên b −1 ∈ N Do 1∈ N kéo theo  ⊆ N Vì N ≠  nên tồn số nguyên khác α β cho αβ −1 ∉ N Tuy nhiên βαβ −1= α ∈ N Điều mâu thuẫn β ≠ Do đó,  chứa module nguyên tố, module Tuy nhiên M R − module nhân mệnh đề Ta có định lí Cohen module nhân sau: Định lí 2.4.1 :Cho M R − module nhân M module Noether module nguyên tố M hữu hạn sinh Chứng minh : Ta cần chứng minh ( ⇐ ) Ta giả sử M ≠ Gọi K module tối đại M Khi tồn m ∈ M \ K thỏa M= K + Rm Vì module tối đại module nguyên tố nên theo giả thiết K hữu hạn sinh Vì M hữu hạn sinh Giả sử M không module Noether Đặt : ∑ ={ N | N module không hữu hạn sinh M } Khi đó, M không module Noether nên ∑ ≠ ∅ M ∉ ∑ Với thứ tự bao hàm, ta dễ dàng kiểm tra ∑ thỏa bổ đề Zorn nên ∑ có phần tử tối đại Gọi N phần tử tối đại ∑ suy N ≠ M Vì M R − module nhân nên N = ( N : M ) M Đặt I = N : M Ta chứng minh I ideal nguyên tố Lấy ab ∈ I , giả sử a ∉ I b ∉ I Khi aM ⊂/ N bM ⊂/ N Suy ( N + aM ) ∉ ∑ dẫn tới N + aM hữu hạn sinh n nên ta có N + aM = ∑ Rxi xi= ti + asi với ti ∈ N0 , si ∈ M Tương tự ta i =1 có N + bM hữu hạn sinh Đặt L =∈ {m M | am ∈ N } Dễ thấy L module M Vì ab ∈ I = ( N : M ) nên N  N + bM ⊆ L Vì L hữu hạn sinh, nghĩa k L = ∑ Ry j , yi ∈ L Ta chứng minh N sinh {t1 , t2 , , tn , ay1 , , ayk } j =1 n Cho x ∈ N ⊆ ∑ Rxi Khi tồn r1 , r2 , , rn ∈ R cho i =1 x= n ∑ ri ( ti + asi ) = =i n n n ∑ rti i +a∑ ri si =i =i n x − ∑ rti i ∈ N , kéo theo Suy a ∑ ri si = =i =i n ∑ r s ∈ L Mặt khác, L sinh i =1 i i { y1 , y2 , , yk } nên tồn v1 , v2 , , vk ∈ R cho n k ∑ ri si = ∑ v j y j Vậy ta có : =i =j = x n k ∑ rti i + ∑ v j ay j =i =j Hay N sinh {t1 , t2 , , tn , ay1 , , ayk } (mâu thuẫn) Suy I ideal nguyên tố R Ta có ann( M ) =( : M ) ⊆ ( N : M ) =I Như ta có : N module thực R − module nhân M N = IM , I ideal nguyên tố R thỏa ann( M ) ⊆ I nên theo định lí 2.1.5 N module nguyên tố M suy N hữu hạn sinh (mâu thuẫn) Vậy M module Noether ■ Nếu M module Noether M module hữu hạn sinh Từ định lí Cohen cho ta kết “Nếu module nguyên tố M hữu hạn sinh M module hữu hạn sinh’’ Ta có module nguyên tố tối tiểu M module nguyên tố M tối tiểu tập hợp module nguyên tố M Vậy module nguyên tố tối tiểu M hữu hạn sinh M có phải module hữu hạn sinh ? Ta xét mệnh đề sau : Định lý 2.4.2 Cho M R − module nhân Nếu M chứa hữu hạn module nguyên tố tối tiểu M hữu hạn sinh Để chứng minh định lý trước tiên ta cần chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.4.3 Cho M R − module nhân trung thành Khi với ideal nguyên tố P R M / PM ( R / P ) − module hữu hạn sinh Chứng minh :  Trường hợp M = PM : Hiển nhiên có điều phải chứng minh  Trường hợp M ≠ PM : Do M R − module nhân nên M / PM ( R / P ) − module nhân Hơn với r ∈ R / P ta có : r ( M / PM ) = ⇔ ( rM + PM ) / PM = ⇔ rM ⊆ PM ⇔ r ∈ ( PM : M ) = P (theo bổ đề 2.1.7) ⇔r = Vậy suy M / PM ( R / P ) − module nhân trung thành mà R / P miền nguyên (do P ideal nguyên tố) Theo hệ 2.3.4 ta có M / PM ( R / P ) − module hữu hạn sinh ■ Bổ đề 2.4.4 Cho M R − module nhân, N module M Nếu M= N + rad ( M ) M = N Trước chứng minh bổ đề ta có nhận xét : Nếu sử dụng kí hiệu Max ( R ) để tập hợp tất ideal tối đại R , Max ( M ) để tập hợp tất module tối đại R − module nhân trung thành M = J ( R) =  Q, rad ( M ) Q∈Max ( R )  N ∈Max ( M )   ta có = J ( R ) M  = QM  Q∈Max ( R )    N Hơn theo định lí 1.2.16 hệ 1.2.18, ( QM ) = =  N rad ( M ) Q∈Max ( R ) N ∈Max ( M ) Chứng minh bổ đề : Ta chứng minh M / N = M = Do M R − module nhân nên M R − module nhân trung thành với ( ) R = R / ann ( M ) Theo nhận xét trên, rad ( M ) = J R M Do M= N + rad ( M ) , nên M = M /= N ( N + rad ( M ) ) / N   = N +  K  / N   K ∈Max ( M )      ⊆   ( N + K )  / N =  (( N + K ) / N ) K ∈Max ( M )  K∈NM⊆axK( M )  N ⊆K   = =  ( K / N ) rad ( M / N ) K ∈Max ( M ) ( ) ( ) Do = M M = / N rad ( M= / N ) rad= M J R M Lấy phần tử x ∈ M Do M R − module nhân nên M R − module nhân Do tồn ideal E R cho Rx = EM Khi : ( ) ( ) ( ) suy tồn a ∈ J ( R ) cho x = ax , kéo theo (1 − a ) x = Do a ∈ J ( R ) nên − a = Rx EM = EJ R = M J R EM = J R x khả nghịch R , suy x = Do M = hay M = N ■ Trước chứng minh định lí ta có mệnh đề sau: Mệnh đề:Cho M R − module, R = R ann ( M ) hạn sinh M R − module hữu hạn sinh Ta có M R − module hữu Chứng minh : Gọi { x1 , x2 , , xn } hệ sinh R − module M Lấy m ∈ M Khi tồn ri ∈ R, ∀i ∈1, n cho : m = r1 x1 + r2 x2 + + rn xn = r1 x1 + r2 x2 + + rn xn (vì R= R ann ( M ) nên theo 1.1.19 ri x= ri x, ∀i ∈1, n ) Vậy M R − module hữu hạn sinh ■ Chứng minh đinh lý : Ta xem M R − module với R = R / ann ( M ) Khi M R − module trung thành Theo mệnh đề M R − module hữu hạn sinh M R − module hữu hạn sinh không tính tổng quát, ta giả sử M R − module trung thành Gọi { N1 , , N n } tập hợp tất module nguyên tố tối tiểu M Theo hệ 2.2.6, ứng với i ∈1, n tồn ideal nguyên tố tối tiểu Pi R thỏa = N i PM ≠ M Từ suy rằng, P ideal nguyên tố i tối tiểu R P ≠ Pi (1 ≤ i ≤ n ) M = PM Nếu S giao tất ideal nguyên tố tối tiểu R trừ Pi (1 ≤ i ≤ n ) = S  P1   Pn theo định lý 2.1.16, M = SM Với ≤ i ≤ n , M / PM R / Pi − module hữu hạn sinh theo bổ i đề 2.4.3 Khi : M= ( R / P1 ) x11 + + ( R / P1 ) x1k ⇒ M= Rx11 + + Rx1k1 + PM với x11 , , x1k1 ∈ M ( k1 ∈  ) Hoàn toàn tương tự ta có : M= Rx21 + + Rx2 k2 + P2 M với x21 , , x2 k2 ∈ M ( k2 ∈  ) Do : ( M= Rx11 + + Rx1k1 + P1 Rx21 + + Rx2 k2 + P2 M = Rx11 + + Rx1k1 + P1 x21 + + P1 x2 k2 + PP 2M ⊆ Rx11 + + Rx1k1 + Rx21 + + Rx2 k2 + PP 2M ) Kéo theo M= Rx11 + + Rx1k1 + Rx21 + + Rx2 k2 + PP M Tiếp tục trình ta M= Rm1 + + Rml + P1 Pn M với l ∈ , mi ∈ M ,1 ≤ i ≤ l Vì M = SM nên M= Rm1 + + Rml + ( P1 Pn S ) M Hơn P1 Pn S ⊆ ( P1 ∩ ∩ Pn ∩ S ) = ⊆ J ( R ) suy ( P1 Pn S ) M ⊆ rad ( M ) kéo theo ( P1 Pn S ) M = rad ( M ) Theo bổ đề 2.4.4 ta có M= Rm1 + + Rml Vậy M hữu hạn sinh ■ Định lí cho ta điều kiện để M hữu hạn sinh, nhiên để chứng minh M chứa hữu hạn module nguyên tố tối tiểu Ta xét định lí sau: Định lí 2.4.5.Cho M R − module nhân N module thực M Nếu module nguyên tố tối tiểu N hữu hạn sinh M có hữu hạn module nguyên tố tối tiểu N Chứng minh : { A1 An M | n ∈ , Ai  R, Ai M = Đặt S module nguyên tố tối tiểu } N , i ∈1, n Nếu N chứa phần tử S , chẳng hạn A1 An M nghĩa A1 An M ⊆ N Với K module nguyên tố tối tiểu N Ta có N ⊆ K nên A1 An M ⊆ K Theo hệ 2.1.14, ta có ∃i ∈1, n : Ai M ⊆ K mà Ai M module nguyên tố tối tiểu N nên Ai M = K Từ suy { A1M , , An M } tập hợp tất cá module nguyên tố tối tiểu N tức N có hữu hạn module nguyên tố tối tiểu( thỏa kết luận định lí) Ta giả sử N không chứa phần tử S để đến mâu thuẫn Xét tập hợp : T = { K | K module M thỏa N ⊆ K C ⊆ K với C ∈ S } = ℑ Gọi {Ki | i ∈ I } tập thứ tự toàn phần T Đặt K =  K i i∈I Hiển nhiên N ⊆ K Ta chứng minh C ⊆ K với C ∈ S Giả sử tồn C ∈ S cho C ⊆ K Theo giả thiết Ai M module nguyên tố tối tiểu nên hữu hạn sinh, theo nhận xét 2.3.7 C = A1 An M hữu hạn sinh Do tồn K i1 , K i2 , , K in với i j ∈ I n thỏa C ⊆  K i j Gọi K i0 phần tử ℑ cho K i j ⊆ K i0 , j ∈1, n Khi j =1 C ⊆ K i0 ∈ T (mâu thuẫn) Suy K ∈ T Do K chặn ℑ Theo bổ đề Zorn, T có phần tử tối đại, gọi L Ta chứng minh L module nguyên tố M Giả sử L không module nguyên tố M Khi tồn a ∈ R, m ∈ M \ L thỏa aM ∈ L aM ⊆ L , suy tồn m ' ∈ M cho am ' ∉ L Do L thực chứa L + Rm L + Ram ' Do tính tối đại L , tồn N1 N thuộc S cho= N1 A1 An M ⊆ L + Rm = N B1 Bk M ⊆ L + Ram ' Đặt ABM A1 An B1 Bk M ∈ S Lấy phần tử = A A= B1 Bk = An B x ∈ A, y ∈ B m1 ∈ M Khi ta có: xym1 =x ( ym1 ) =x ( l1 + ram ') =xl1 + xram ' =xl1 + ( l2 + tm ) =xl1 + ral2 + rtam ∈ L với l1 , l2 ∈ L; r , t ∈ R Điều suy ABM ⊆ L (mâu thuẫn) Vậy L module nguyên tố M Do L modle nguyên tố M N ⊆ L nên tồn module nguyên tố L ' M tối tiểu N thỏa N ⊆ L ' ⊆ L mà L ' ∈ S nên mâu thuẫn Vậy N chứa phần tử S suy điều phải chứng minh ■ Hệ 2.4.6 Cho M R − module nhân Nếu module nguyên tố tối tiểu M hữu hạn sinh M hữu hạn sinh Hệ 2.4.7 Cho I ideal thực R Nếu ideal nguyên tố tối tiểu I hữu hạn sinh R có hữu hạn ideal nguyên tố tối tiểu I Các mệnh đề cho ta mối quan hệ tính hữu hạn module nhân vành R Định lý 2.4.8.Cho M R − module nhân Nếu ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) hữu hạn sinh M chứa hữu hạn module nguyên tố tối tiểu Chứng minh : Giả sử { N λ }λ∈Λ họ tất module nguyên tố tối tiểu M Với λ ∈ Λ đặt I λ = ( N λ : M ) Theo hệ 2.2.7, I λ ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) Theo 2.4.7, R có hữu hạn ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) Do { họ {I λ }λ∈Λ hữu hạn, ta gọi I λ1 , , I λn } tập hợp tất ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) Với λ ∈ Λ , I λ ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) N λ I= I λ= M N λi Suy M nên tồn λi với i ∈1, n thỏa I λ = I λi Khi = λM i { } có hữu hạn module nguyên tố tối tiểu N λ1 , , N λn ■ Định lý 2.4.9 Cho M R − module nhân Nếu module nguyên tố tối tiểu M hữu hạn sinh vành R chứa hữu hạn ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) Chứng minh : Theo định lí 2.4.5, M chứa hữu hạn module nguyên tố tối tiểu theo hệ 2.4.6, ta có M hữu hạn sinh Giả sử I J hai ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ), I ≠ J Vì M hữu hạn sinh nên theo định lí 2.3.3 IM ≠ JM Theo hệ 2.2.7, IM JM module nguyên tố tối tiểu M Do đó, R chứa vô hạn ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) M phải có vô hạn module nguyên tố tối tiểu, điều mâu thuẫn Vậy R có hữu hạn ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) ■ Kết Luận Luận văn trình bày cách có hệ thống module nhân, chứng minh số tính chất quan trọng module nhân, nghiên cứu khái niêm module nguyên tố module nhân, module tối tiểu module nhân module nhân hữu hạn sinh để nghiên cứu tính hữu hạn module nhân Luận văn chứng minh số kết quan trọng tính hữu hạn module nhân:  Định lí Cohen: Cho M R − module nhân M module Noether module nguyên tố M hữu hạn sinh  Cho M R − module nhân Nếu M chứa hữu hạn module nguyên tố tối tiểu M hữu hạn sinh  Cho M R − module nhân Nếu module nguyên tố tối tiểu M hữu hạn sinh M hữu hạn sinh  Cho M R − module nhân Nếu ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) hữu hạn sinh M chứa hữu hạn module nguyên tố tối tiểu  Cho M R − module nhân Nếu module nguyên tố tối tiểu M hữu hạn sinh vành R chứa hữu hạn ideal nguyên tố tối tiểu ann( M ) Quá trình thực luận văn giúp cho em làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học Qua đó, thân em có hội rèn luyện lực tự nghiên cứu, lực tự học hỏi… Tuy nhiên, hạn chế thời gian, nguồn tài liệu nghiên cứu, lực thân… nên luận văn dừng mức độ định Em mong tương lai có điều kiện để tiếp tục nghiên cứu sâu tính hữu hạn module nhân Rất mong dạy, đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tài Liệu Tham Khảo  Tiếng Việt [1] Nguyễn Đình Lân, Chuyên đề đại số, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2011 [2] Lê Minh Triều, Về tính hữu hạn module nhân, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Cần Thơ, 2010 [3] Bùi Thị Hồng Cẩm, Một số vấn đề module nhân, Luận văn tốt nghiệp, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2011  Tiếng Anh [4] A.Amini, Multiplication Modules and Ideal, www.google.com [5] R Ameri, On The Prime Submodules of Multiplication Modules, Int J.Math, Math Sci.2003 (2003),no.27, 1715-1724 [6] D D.Anderson, A Note on Minimal Prime Ideals, Proc Amer Math Soc 122(1994), 13-14 [7] H.L Bok, S.L Dong, Some Remarks on Faithfull Multiplication Modules, J Chungcheong Math Soc Vol6 (1993) [8] A.gaur and A.K Maloo, Minimal Prime Submodules, Int J Algebra, Vol.2, 2008, no.20,953-956 [9] A.gaur and A.K Maloo, Prime Submodules in Multiplication Modules, Int J Algebra, Vol.1, 2007, no.8,375-380 [10] H Koohy, On Finiteness of Multiplication Modules, Acta Math Hungar, 118 (12) (2008), 1-7 [11] P.F Smith, Some Remarks on Multiplication Modules, Arch Math, Vol.50, 223235 (1988) [12] U Tekir, On Multiplication Modules, Int Math Forum, 2, 2007, no.29,14151420 [13] R Y Sharp, Step in Commutative Algebra, Cambridge University Press, Cambridge.1990 [14] A Barnard, Multiplication Modules, Vol 71, No 1, July 1981, 174- 178 [...]... được gọi là module xyclic Mệnh đề 1.1.23 Ảnh đồng cấu của một module hữu hạn sinh là một module hữu hạn sinh Hệ quả : Module thương của một module hữu hạn sinh là một module hữu hạn sinh Mệnh đề 1.1.24 Cho M là một R -module, N là module con của M Khi đó nếu N và M/N là các module hữu hạn sinh thì M hữu hạn sinh Nhận xét 1.1.25 Module con của module hữu hạn sinh có thể không là module hữu hạn sinh Định... minh Lấy Y là module con của N Vì M là module nhân nên tồn tại ideal B của R sao cho Y = BM , theo giả thiết N ∩ MB = NB nên ta có Y = BM =Y ∩ BM ⊆ N ∩ BM = NB ⊆ MB =Y Do đó Y = BN hay N là module nhân. ■ Như vậy module thương của module nhân trên tập con nhân là module nhân, module thương của module nhân là module nhân, còn module con N của R -module nhân M chưa chắc là module nhân, nó phải thỏa điều... module nhân và = R ann ( M i ) + ann ( M j ) với mọi i ≠ j thì M là module nhân (4) Giả sử mọi module M i là module nhân , R ann ( M i ) + ann ( M j ) với mọi i ≠ j = và với mọi tập con hữu hạn J của I , tồn tại một ideal BJ của R sao cho BJ M Khi đó M là một module nhân ⊕i∈J M i = Chương 2 Tính Hữu Hạn Của Module Nhân Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một số kết quả quan trọng về tính hữu hạn của module. .. là module nhân. ■ Hệ quả 1.2.7 Mọi module thương của module nhân là module nhân Chứng minh Giả sử M là R -module nhân, N là module con của M Xét ánh xạ: f : M →M /N x  x + N := x là toàn cấu nên theo mệnh đề 1.2.6 M / N là R - module nhân. ■ Mệnh đề 1.2.8 Cho M là R - module nhân, khi đó nếu N là module con của M sao cho N ∩ MB = NB với mọi ideal B của R thì N là module nhân Chứng minh Lấy Y là module. .. M là module nhân nên với mọi module con N của M tồn tại ideal −1 I của R sao cho N = IM Do đó = S −1 N S= ( IM ) ( S I )( S −1 −1 M ) Vậy S −1M là S −1 R - module nhân Mệnh đề 1.2.6 Mọi ảnh đồng cấu của module nhân là module nhân Chứng minh Lấy M là R -module nhân, f : M → M là toàn cấu R -module và N là module con của M , khi đó tồn tại module con N của M sao cho f ( N ) = N Do M là module nhân. .. -module M luôn là R ann ( M ) - module trung thành Định lý 1.1.21 Cho M là một R - module, N là một module con của M Khi đó có tương ứng 1-1 giữa tập tất cả các module con của M chứa N đến tập tất cả các module con của M / N , được cho bởi công thức A  A / N Vì vậy mỗi module con của M / N có dạng A / N , trong đó A là module con của M chứa N Khi xét đến tính hữu hạn của module thì module hữu hạn. .. module nhân Những kết quả này có liên quan trực tiếp đến module con nguyên tố của module nhân, module con nguyên tố tối tiểu của module nhân cũng như module nhân hữu hạn sinh Đầu tiên ta nghiên cứu những khái niệm này trước khi đi vào nghiên cứu tính hữu hạn của nó Để hoàn thành chương này, tác giả luận văn đã tham khảo [2], [3], [5], [6], [8], [9], [10], [11] §1 : Module con nguyên tố của module nhân. .. nhất, chẳng hạn  6 là  - module nhân và module con 2 4 )  6 ( 8 )  6 (= Module con, module thương của module nhân: Với định nghĩa module nhân như trên thì có những lớp nào bảo toàn và những lớp nào không bảo toàn Những mệnh đề sau đây sẽ cho ta biết điều đó Mệnh đề 1.2.5 Cho R là vành, khi đó ta có: Cho S là tập con nhân của R Nếu R -module M là module nhân thì S −1M là S −1 R module nhân Chứng... tiếp của module nhân Mệnh đề 1.2.20 Cho M là module trên vành R và M = ⊕i∈I M i với card ( I ) ≥ 2 Khi đó các phát biểu sau là đúng: (1) Nếu M là module nhân thì mọi module M i là module nhân và = M i ann ( ⊕ j ≠i M j ) M i với mọi i ∈ I (2) Nếu mọi module M i là module nhân và = R ann ( M i ) + ann ( ⊕ j ≠i M j ) với mọi i ∈ I thì M là module nhân (3) Giả sử I là tập hữu hạn, nếu mọi module M i là module. .. R ' - module nhân Theo mệnh đề 1.2.11 M là R - module nhân. ■ Định lý 1.2.17 Cho M là R - module nhân khác 0 Khi đó mọi module con thực sự của M đều nằm trong một module con tối đại nào đó Hệ quả 1.2.18 Cho M là R - module nhân khác 0 K là module con tối đại của M K QM ≠ M nếu và chỉ nếu tồn tại một ideal tối đại Q của R sao cho= Định lý 1.2.19 Cho M là một R - module nhân và A, B là các ideal của R ... thống module nhân, tìm hiểu module nguyên tố module nhân, module nguyên tố tối tiểu module nhân module nhân hữu hạn sinh từ nghiên cứu tính hữu hạn module nhân Từ có mối quan hệ tính hữu hạn vành... đồng cấu module hữu hạn sinh module hữu hạn sinh Hệ : Module thương module hữu hạn sinh module hữu hạn sinh Mệnh đề 1.1.24 Cho M R -module, N module M Khi N M/N module hữu hạn sinh M hữu hạn sinh... hữu =i =j hạn sinh hay NK hữu hạn sinh ■ Nhận xét 2.3.7 Tổng quát lên, ta có tích n module hữu hạn sinh module nhân module hữu hạn sinh §4 Tính hữu hạn module nhân Tiết nghiên cứu tính hữu hạn