BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Hồng Cẩm MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MODULE NHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Hồng Cẩm MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MODULE NHÂN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Trần Huyên, xin cảm ơn thầy động viên tận tình hướng dẫn trình thực hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa toán trường Đại học Sư Phạm Đại học Khoa học tự nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh giảng dạy truyền thụ kiến thức cho trình học tập trường Xin cảm ơn bạn lớp cao học Đại số lý thuyết số k22 có giúp đỡ, trao đổi trình học tập thực luận văn Xin cảm ơn anh Nguyễn Minh Trí có nhiều đóng góp tài liệu, kiến thức có liên quan luôn nhắc nhở động viên trình học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, thầy cô, bạn bè bên cạnh, động viên, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành giao hoán có đơn vị 1.2 Module CHƯƠNG 2: MODULE NHÂN 11 2.1 Định nghĩa điều kiện tương đương 11 2.2 Một số tính chất module nhân 21 2.3 Module nhân hữu hạn sinh 27 2.4 Họ hữu hạn vô hạn module module nhân 31 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 BẢNG KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa J ( R) Căn Jacobson R J (M ) Căn Jacobson module M IR I ideal R ann ( M ) Linh hóa tử module M ann ( m ) Linh hóa tử phần tử m rad N Căn module N MỞ ĐẦU Đại số giao hoán có phát triển mạnh mẽ vào thập niên cuối kỷ 20 Trong cấu trúc module vành giao hoán có đơn vị ngày quan tâm Một dạng cấu trúc module đặc biệt nhà toán học ý module nhân A Barnard người giới thiệu module nhân báo Multiplication modules, J Algebra 71(1981) sau: Cho R vành giao hoán có đơn vị, M R - module nhân với module N M ta có I ideal R cho N = IM Ta thấy module cyclic module nhân, module nhân mở rộng module cyclic vành giao hoán có đơn vị Trong trình tìm hiểu, ta thấy có số tương ứng đặc biệt module module nhân ideal đại diện Chẳng hạn, N module tối đại M tồn ideal tối đại P M thỏa = N PM ≠ M Tương tự, ta có tương ứng module nguyên tố, module cốt yếu, module đều,…, số miêu tả Jacobson module nhân Cấu trúc module nhân nghiên cứu mở rộng số nhà toán học Majid M Ali David J Smith (New Zealand), Unsal Tekir (Turkey), Yong Hwan Cho (Korean),… Nội dung luận văn chủ yếu trình bày kết báo [3], [5], [7] Trong toàn luận văn ta xét module vành giao hoán có đơn vị Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại số kiến thức vành giao hoán có đơn vị module Chương 2: Module nhân Chương nội dung luận văn trình bày bốn phần Phần 1: Định nghĩa, ví dụ số điều kiện tương tương module nhân Phần 2: Một số tính chất module nhân, tính chất module tối đại, module nguyên tố, module nhân Một số tính chất tính Artin, cyclic module nhân Phần 3: Phần đưa điều kiện để module nhân hữu hạn sinh, số tính chất module nhân hữu hạn sinh mà có linh hóa tử sinh phần tử lũy đẳng Phần 4: Họ hữu hạn vô hạn module module nhân, phần nêu điều kiện cần đủ để tổng giao họ hữu hạn vô hạn module module nhân, đưa số tính chất họ hữu hạn module thỏa tổng hai module module nhân Trong trình hoàn thành luận văn, hạn chế khả lẫn thời gian tìm hiểu nên luận văn tránh khỏi số sai sót Tôi mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cám ơn TP HCM, tháng năm 2013 Bùi Thị Hồng Cẩm CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm kiến thức vành giao hoán có đơn vị module để sử dụng cho chương sau 1.1 Vành giao hoán có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Một ideal P vành R gọi ideal nguyên tố P ≠ R với a, b ∈ R , ab ∈ P a ∈ P b ∈ P Một ideal Q vành R gọi ideal tối đại Q ≠ R có hai ideal R chứa Q Q R Bổ đề Zorn: Nếu dây chuyền tập thứ tự khác rỗng ∑ có cận ∑ ∑ có chứa phần tử tối đại Nếu dây chuyền tập thứ tự khác rỗng ∑ có cận ∑ ∑ có chứa phần tử tối tiểu Mệnh đề 1.1.2 Mỗi ideal thực chứa ideal tối đại Định nghĩa 1.1.3 Vành có ideal tối đại gọi vành địa phương Vành có hữu hạn ideal tối đại gọi vành nửa địa phương Mệnh đề 1.1.4 Cho I ideal vành R Tập rad I = {x ∈ R : ∃n ∈  \ {0} : x n ∈ I } ideal R Tập ( I : J ) = { x ∈ R : xJ ⊆ I } ideal R Mệnh đề 1.1.5 Cho I , J , ( I λ )λ∈Λ ideal vành R Khi đó: (i) I ⊆ (I : J ) (ii) (I : J ) J ⊆ I (iii)     Iλ : I  =  ( Iλ : I )  λ∈Λ  λ∈Λ (iv)    I : ∑ Iλ  =  ( I : Iλ )  λ∈Λ  λ∈Λ Mệnh đề 1.1.6 Căn rad ( I ) ideal I giao tất ideal nguyên tố chứa I vành R Định nghĩa 1.1.7 Giao tất ideal tối đại vành R gọi Jacobson vành R Ký hiệu J ( R ) Mệnh đề 1.1.8 x ∈ J ( R) với y ∈ R , − xy khả nghịch R Định nghĩa 1.1.9 Ideal A vành R gọi ideal nhân với ideal B ⊆ A tồn ideal C R cho B = AC 1.2 Module Định nghĩa 1.2.1 Thương ( N : P ) hai module N P R - module M tập phần tử r ∈ R cho rP ⊆ N , ideal R , hay ( N : P ) = {r ∈ R : rx ∈ N , ∀x ∈ P} Đặc biệt, thương ( : M ) gọi linh hóa tử R - module M ký hiệu ann ( M ) ann ( M ) = {r ∈ R : rx = 0, ∀x ∈ M } Nếu I ⊆ ann ( M ) R - module M có cấu trúc R - module nhờ phép nhân I rx = rx ( r ∈ R, x ∈ M ) Định nghĩa 1.2.2 Một R - module M gọi trung thành ann ( M ) = Một R module M R ann ( M ) - module trung thành Định nghĩa 1.2.3 R - module M gồm họ phần tử ( xi )i∈I ∈ ∏ M i mà hầu hết i∈I xi = gọi tổng trực tiếp họ R - module ( M i )i∈I Ký hiệu ⊕ M i i∈I Mệnh đề 1.2.4 Cho họ module ( M i )i∈I R - module M Khi M = ⊕ M i i∈I phần tử x ∈ M biểu diễn cách dạng tổng hữu hạn ∑x i , xi ∈ M i Định nghĩa 1.2.5 Một R - module M gọi module đơn có hai module Nếu N module tối đại M M / N module đơn Định lý 1.2.6 Cho M R - module, N module M Khi có tương ứng − tập tất module M chứa N đến tập tất module M / N , cho công thức A  A / N Vì module M / N có dạng A / N , A module M chứa N Định lý1.2.7 (Bổ đề Dual)[6, Bổ đề 2.6] Một R - module P xạ ảnh tồn họ phần tử {ai : i ∈ I } ⊆ P hàm tuyến tính { f i : i ∈ I } ⊆ P* cho với a ∈ P fi ( a ) = với hầu hết i , a = ∑ i fi ( a ) Định lý 1.2.8 Cho M R - module hữu hạn sinh I ideal R thỏa M = IM Khi tồn a ∈ I cho (1 − a ) M = Định nghĩa 1.2.9 Một module M vành R gọi module Noether M thỏa điều kiện sau: (i) Mọi dãy tăng module M ⊆ M ⊆ M dừng (ii) Với họ khác rỗng module M , xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, có phần tử tối đại (iii) Mọi module M hữu hạn sinh v ni ∈ N i với ≤ i ≤ n Do xi v = xi ki + xi ni ∈ K + N , nên = n ∑ x v ∈ K + N Vì i =1 i n ( K + N ) ⊆ K + N i i =1 ( vii ) n Lấy I ideal R Hiển nhiên IN ⊆  IN l Theo ( vi ) , tồn xi ∈ ( N : N i ) l =1 n n n i =1 l =1 k =1 cho = ∑ xi Lấy y ∈  IN l Khi y ∈ IN l với ≤ l ≤ n Vì y = ∑ ulk nlk với ulk ∈ I nlk ∈ N l với ≤ l ≤ n ≤ k ≤ m Từ ta có n m n yx ∑∑ u ( n x ) ∑= = y =l l = k =l lk lk l Nhưng nlk xl ∈ N ulk ( nlk xl ) ∈ IN với ≤ l ≤ n ≤ k ≤ m Suy y ∈ IN n hay ta có  IN l □ ⊆ IN l =1 Bổ đề 2.4.6 Cho M R module nhân I , J ideal R Khi IM ⊆ JM I ⊆ J + ann ( m ) với m ∈ M Chứng minh Giả sử I , J ideal R thỏa IM ⊆ JM Theo Định lý 2.3.1 I ⊆ J + ann ( M ) ta có I ⊆ J + ann ( M ) ⊆ J + ann ( m ) hay = M ( ( J + ann ( M ) ) : I ) M Lấy m ∈ M Khi Rm = AM với A ideal R Ta có ( ) = Rm AM = A ( J + ann ( M ) ) : I M ( ) ( ) = ( J + ann ( M ) ) : I AM = ( J + ann ( M ) ) : I m, ( ) nên R = ( J + ann ( M ) ) : I + ann ( m ) Do ( ) I= RI = ( J + ann ( M ) ) : I I + ann ( m ) I ⊆ J + ann ( M ) + ann ( m ) I ⊆ J + ann ( m ) Chiều ngược lại hiển nhiên □ 37 Một R - module M gọi triệt tiêu yếu (weak-cancellation) với ideal I J R thỏa IM ⊆ JM I ⊆ J + ann ( M ) Theo Hệ 2.3.2 module nhân hữu hạn sinh module triệt tiêu yếu Mọi module cyclic triệt tiêu yếu, Thật vậy, giả sử M = Rm IM ⊆ JM Lấy x ∈ I , ta có ann ( M ) xm ∈ IM ⊆ JM = Rm nên tồn y ∈ J thỏa xm = ym , suy x − y ∈ ann ( m ) = Từ x = y + ( x − y ) ∈ J + ann ( M ) Hay ta có I ⊆ J + ann ( M ) Hệ 2.4.7 Cho R vành N λ ( λ ∈ Λ ) họ module R - module M S = ∑ N λ module nhân Khi λ∈Λ (i) ∑ ( Nλ λ∈Λ (ii) P : S P ) = RP với ideal tối đại P R R với a ∈ S ( N λ : S ) + ann ( a ) = ∑ λ ∈Λ Đặc biệt, K L module R - module M thỏa K + L module nhân (i) R p với ideal tối đại ( K P : LP ) + ( LP : K P ) = (ii) R với a ∈ K + L ( K : L ) + ( L : K ) + ann ( a ) = Chứng minh (i ) P R Do S module nhân nên N λ = ( N λ : S ) S với λ ∈ Λ Do S = ∑ ( N λ : S ) S Giả sử P ideal tối đại R S P RP module nhân, RP vành λ∈Λ địa phương có ideal tối đại nên S P có module tối đại, theo Định lý 2.2.4 S P module cyclic nên module triệt tiêu yếu Ta có S P = ∑ ( N λ : S ) P S P nên λ∈Λ R= P ∑ ( Nλ : S ) λ∈Λ P + ann ( S P ) ⊆ ∑ ( N λ P : S P ) + ann ( S P ) λ∈Λ Nhưng ann ( S P ) ⊆ ( N λ P : S P ) với λ ∈ Λ Vậy 38 ∑ ( Nλ λ∈Λ P : S P ) = RP Ta có S = ∑ ( N λ : S ) S nên theo Bổ đề ( ii ) R với a ∈ S ∑ ( Nλ : S ) + ann ( a ) = λ∈Λ λ∈Λ □ Định lý 2.4.8 Cho R vành giao hoán có đơn vị N i (1 ≤ i ≤ n ) họ hữu hạn module R - module M thỏa N i + N j module nhân với i < j Khi R với a ∈ S , ∑ ( S : S ) + ann ( a ) = n (i) i i =1 R với a ∈ S , ∑ ( N : N ) + ann ( a ) = n (ii) i i =1 n ( S : K ) = ∑ ( Ni : K ) ( mod ann ( a ) ) (iii) với module K M với i =1 a∈S , n ∑( N (iv) i =1 i R với a ∈ S , : S ) + ann ( a ) = n ( K : N ) = ∑ ( K : Ni ) ( mod ann ( a ) ) (v) với module K M với i =1 a∈S , n R với a ∈ S , ∑ ( N : N ) + ann ( a ) = (vi) i i =1 n K  S = ∑ ( K  N i ) với module K M , (vii) i =1 (viii) K+N = n  ( K + N ) với module K i M , i =1 n IN =  IN l với ideal I R (ix) l =1 Chứng minh ( i ) Do N i + N j module nhân với i < j , nên theo Hệ 2.4.7 ta có (N : N )+(N i j j : N i ) + ann ( a ) = R với a ∈ N i + N j Suy ∑∑ ( ( N n n =i =j i ) : N j ) + ( N j : N i ) + ann ( a ) = R, 39 Do theo Bổ đề 1.2.11 ta nhận R với a ∈ N ∑ ( S : S ) + ann ( a ) = n i =1 i k + Nl , k < l Lấy m ∈ S Khi m = ∑ akl với akl ∈ N k + N l Vì k [...]... các module con nhân của R - module M thỏa R = ∑ ( M λ : M ) Khi đó M là module nhân λ∈Λ Đặc biệt, nếu K ( K : L) + ( L : K ) = R và L là các module con nhân của R - module M thỏa thì K + L là module nhân Hệ quả 2.1.17 Cho M λ ( λ ∈ Λ ) là họ các module con nhân hữu hạn sinh của R - module M thỏa M = ∑ M λ và A = ∑ ( M λ : M ) Khi đó λ∈Λ λ∈Λ (i) nếu R ann ( M λ ) + A ( λ ∈ Λ ) , và M là module nhân. .. là module nhân □ 2.2 Một số tính chất của module nhân Định lý 2.2.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là R - module nhân khác không Khi đó (i) Mọi module con thực sự của M được chứa trong một module con tối đại của M , và (ii) K là module con tối đại của M nếu và chỉ nếu tồn tại một ideal tối đại P của R sao cho= K PM ≠ M Chứng minh ( i ) Lấy N là module con thực sự của M Ta có M / N là module. .. R là vành và M là một R - module Một module con N của M được gọi là module con nguyên tố nếu rm ∈ N , với m ∈ M , r ∈ R , thì m ∈ N hoặc r ∈(N : M ) Bổ đề 2.2.7 có thể được phát biểu lại như sau: Nếu M là một module nhân trung thành và P là một ideal nguyên tố của vành R thỏa M ≠ PM thì PM là module con nguyên tố của M Hệ quả 2.2.9 Cho N là một module con thực sự của R - module nhân M Khi đó các... là module nhân □ Hệ quả 2.1.9 Cho R là vành với căn Jacobson là J ( R ) viết gọn là J Xét các phát biểu sau với một R - module M (i) M là module nhân (ii) M / JM là module nhân (iii) M / PM là cyclic với mọi ideal tối đại P của R Khi đó ( i ) ⇒ ( ii ) ⇒ ( iii ) Hơn nữa, nếu M là hữu hạn sinh thì ( iii ) ⇒ ( i ) Chứng minh ( i ) ⇒ ( ii ) Ta có ảnh đồng cấu của module nhân là module nhân nên module. .. Lấy N là module con của M và A là ideal của R thỏa N ⊂ AM Khi đó tồn tại ideal C của R sao N = CM cho Đặt B= A ∩ C thì ta N =AM ∩ CM =( A ∩ C ) M =BM theo ( i ) ( ii ) được chứng minh B⊂ A có và □ Cho M là một R - module và R ' = R / ( annM ) thì M là một R - module nhân nếu và chỉ nếu M là R ' - module nhân trung thành Do đó kết quả về module nhân trung thành có thể mở rộng đối với module nhân không... Noether nếu nó là một R - module Noether Định nghĩa 1.2.10 Một module M trên vành R được gọi là module Artin nếu M thỏa một trong các điều kiện sau: (i) Mọi dãy giảm các module con M 1 ⊇ M 2 ⊇ của M đều dừng (ii) Với mọi họ khác rỗng những module con của M , xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, đều có phần tử tối tiểu Cho R là một vành và N i (1 ≤ i ≤ n ) là họ hữu hạn các module con của R - module M Ký n... giao của V và bất kỳ phần tử nào thuộc B Do đó I không là module cyclic □ Với định nghĩa module nhân như trên ta có một số điều kiện tương đương như sau: Mệnh đề 2.1.3 Một R - module M là module nhân nếu và chỉ nếu với mỗi m thuộc M , tồn tại ideal I của R sao cho Rm = IM Chứng minh Giả sử M là R - module nhân Với mọi m ∈ M ta có Rm là module con của M nên tồn tại ideal I của R sao cho Rm = IM ... - xoắn Vậy M là module nhân □ Hệ quả trên chỉ ra rằng bất kỳ ideal I của vành R được sinh bởi các phần tử lũy đẳng là một ideal nhân Vì nếu e= e 2 ∈ I thì Re = Ie Hệ quả 2.1.8 Cho I là ideal nhân của vành R và M là một R - module nhân Khi đó IM là R - module nhân Chứng minh Lấy P là ideal tối đại của R Nếu I hay M là P - xoắn thì IM là P - xoắn nên IM là module nhân Giả sử I và M đều không là P -... IM Vì thế N = IM hay M là 2 module nhân □ 13 Hệ quả 2.1.6 Một R - module M là module nhân nếu và chỉ nếu với mọi ideal tối đại P của R thì M là P - xoắn hay tồn tại một module con nhân N của M và phần tử p ∈ P sao cho (1 − p ) M ⊆ N Chứng minh Theo Định lý 2.1.5 ta có chiều thuận Ngược lại, giả sử với mọi ideal tối đại P của R thì M là P - xoắn hay tồn tại một module con nhân N của M và p ∈ P sao cho... trình bày một vài điều kiện để ứng dụng cho các tính chất cyclic, Artin của module nhân  λ ký hiệu cho Cho M λ ( λ ∈ Λ ) là một họ không rỗng các R - module và với λ ∈ Λ , đặt M module con ⊕ M µ của M = ⊕ M λ Ta có định lý sau : µ ≠λ λ∈Λ Định lý 2.1.12 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M λ ( λ ∈ Λ ) là một họ các R module Khi đó M = ⊕ M λ là module nhân nếu và chỉ nếu λ∈Λ (i) M λ là module nhân với ... nghĩa, ví dụ số điều kiện tương tương module nhân Phần 2: Một số tính chất module nhân, tính chất module tối đại, module nguyên tố, module nhân Một số tính chất tính Artin, cyclic module nhân Phần... module nhân M R ' - module nhân trung thành Do kết module nhân trung thành mở rộng module nhân không trung thành Ta có hệ trực tiếp từ định lý sau : Hệ 2.1.11 Một R - module M module nhân (i)... họ module nhân R - module M thỏa R = ∑ ( M λ : M ) Khi M module nhân λ∈Λ Đặc biệt, K ( K : L) + ( L : K ) = R L module nhân R - module M thỏa K + L module nhân Hệ 2.1.17 Cho M λ ( λ ∈ Λ ) họ module