Mục lục Mở đầu 4 1 Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic 6 1.1 Đường cong elliptic và nhóm aben trên nó . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Đường cong elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Luật cộng trên đường cong elliptic . . . . . . . . . . 7 1.2 Điểm có cấp hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Định lý Nagell-Lutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Phần xoắn của hai lớp đường cong elliptic . . . . . . . . . . 14 2 Một số phân loại đã biết theo danh sách của Kubert 18 2.1 Danh sách của Kubert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Phân loại của K. Ono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Phân loại của Qiu - Zhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Nhóm con xoắn nhận được theo danh sách của Kubert . . 30 3 Bổ sung về phân loại theo danh sách của Kubert 32 3.1 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 6 . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 4 . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Phần xoắn luôn chứa điểm cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 56 1 Tài liệu tham khảo 57 2 Lời cảm ơn Nhân dịp này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Phó Đức Tài, thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn cũng như trong suốt hai năm khi tôi bước vào học thạc sĩ thầy đã giành tâm huyết chỉ bảo cách tiếp cận và cách học đại số . Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, đã dạy bảo tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện và động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thiện nhiệm vụ của mình. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014. Học viên Lê Văn Nam 3 Mở đầu Đường cong elliptic là một đối tượng quan trọng trong toán học. Lịch sử phát triển của đường cong elliptic đã trải qua một thời gian dài và những ứng dụng của đường cong elliptic đang tiếp tục được khám phá. Gần đây, những ứng dụng quan trọng của đường cong elliptic đã được phát hiện trong lý thuyết mật mã, trong phân tích các số nguyên lớn, trong việc giải các phương trình Diophante. Định lý Mordell-Weil phát biểu rằng nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic (E(Q), +) là một nhóm aben hữu hạn sinh, như vậy E(Q) ∼ = T orsE(Q)  Z r , trong đó phần xoắn TorsE(Q) là một nhóm hữu hạn và hạng r cũng hữu hạn. Hơn nữa, phần xoắn TorsE(Q) có thể xác định tường minh từ phương trình định nghĩa đường cong nhờ định lý Nagell-Luzt và định lý Mazur. Câu hỏi ngược lại là bài toán phân loại (hoặc tìm) các họ đường cong elliptic với nhóm xoắn cho trước. Nội dung chính của luận văn là phân loại phần xoắn của một số họ đã biết và bổ sung những phân loại còn thiếu theo danh sách của D.S. Kubert (là danh sách (K) trong chương 2). Trong các phân loại đó song song với các chứng minh lý thuyết, chúng tôi sử dụng phần mềm đại số máy tính Sage để kiểm tra lại các kết quả. Bố cục của luận văn được trình bày như sau: Chương 1: Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic. Chúng tôi trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về đường cong 4 elliptic, định nghĩa các dạng đường cong elliptic, xây dựng luật cộng trên đường cong elliptic, chứng minh định lý Nagell-Luzt, chọn hai ví dụ trong đó có một ví dụ trình bày phân loại nhóm con xoắn. Chương 2: Một số phân loại đã biết theo danh sách của D.S. Kubert. Chúng tôi trình bày lại hai phân loại của K Ono và D. Qiu-X. Zhang cho hai lớp đường cong (2) và (3) trong danh sách (K) của D.S. Kubert. Chương 3: Bổ sung về phân loại theo danh sách của Kubert. Mục đích chính của chúng tôi là đi bổ sung phân loại cho bốn lớp đường cong (4), (5), (9) và (13) theo danh sách (K) của D.S. Kubert. 5 Chương 1 Các khái niệm cơ bản về đường cong elliptic Mục đích của chương này là trình bày lại một số kết quả quan trọng trong lý thuyết đường cong elliptic, chẳng hạn định lý Nagell-Luzt, định lý Mazur, định lý Mordell-Weil và hai ví dụ về phần xoắn của đường cong elliptic. 1.1 Đường cong elliptic và nhóm aben trên nó 1.1.1 Đường cong elliptic Phương trình đường cong bậc 3 tổng quát xác định trên trường K có dạng ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 + ex 2 + fxy + gy 2 + hx + iy + j = 0, trong đó a, b, c, e, f, g, h, i, j ∈ K và a, b, c không đồng thời bằng 0. Khi đó bằng phép đổi trục tọa độ hợp lý, chúng ta có thể chuyển phương trình bậc 3 tổng quát về dạng y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 với a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 6 ∈ K. Phương trình này được gọi là phương trình Weierstrass tổng quát. Khi char K = 2, bằng phép đổi biến thích hợp, cụ thể với y := y − 1 2 (a 1 x + a 3 ), 6 phương trình trên trở thành y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C. Phương trình này được gọi là phương trình dạng Weierstrass đơn giản. Khi char K = 3, bằng phép đặt x := x + A 3 chúng ta có thể chuyển phương trình Weierstrass đơn giản về dạng y 2 = x 3 + Ax + B. Phương trình này được gọi là phương trình Weierstrass chuẩn tắc. Một đường cong xác định bởi phương trình dạng Weierstrass đơn giản y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C với A, B, C ∈ K được gọi là đường cong elliptic nếu nó không kỳ dị, tức là biệt thức D = −4A 3 C + A 2 B 2 + 18ABC −4B 3 − 27C 2 = 0. Để đơn giản, ta dùng kí hiệu D thay cho biệt thức của đường cong elliptic nếu không nói gì thêm. 1.1.2 Luật cộng trên đường cong elliptic Cho đường cong elliptic E có phương trình y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C thì trong hệ tọa độ xạ ảnh phương trình của E là Y 2 Z = X 3 + AX 2 Z + BXZ 2 + CZ 3 . Mỗi điểm trong mặt phẳng xạ ảnh có tọa độ P [X : Y : Z]. Khi P = [X : Y : 0] thì điểm P tương ứng với điểm vô cùng trong không gian afin mà chúng ta ký hiệu là điểm Θ. Ký hiệu E(K) = {(x, y) ∈ K 2 : y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C} ∪ {Θ}. Để đơn giản, ta dùng kí hiệu E thay cho E(K) nếu không nói gì thêm. Luật cộng được xác định một cách hình học như sau: Bắt đầu với 2 điểm P 1 (x 1 , y 1 ) và P 2 (x 2 , y 2 ) trên E(K), vẽ đường thẳng đi qua P 1 , P 2 và cắt đường bậc 3 tại điểm P 1 ∗ P 2 , lấy đối xứng của điểm P 1 ∗P 2 qua trục hoành ta được điểm P 3 . Khi đó ta định nghĩa P 3 = P 1 +P 2 . Trong trường hợp P 1 ≡ P 2 thì đường thẳng qua P 1 , P 2 chính là tiếp tuyến 7 với đường cong tại P 1 , khi đó tọa độ điểm P 3 (x 3 , y 3 ) chính là tọa độ của điểm 2P 1 . Với P 1 , P 2 = Θ, tọa độ P 3 (x 3 , y 3 ) xác định như sau: 1. Nếu x 1 = x 2 thì x 3 = λ 2 − A −x 1 − x 2 , y 3 = λ(x 2 − x 3 ) − y 2 , với λ = y 2 −y 1 x 2 −x 1 . 2. Nếu x 1 = x 2 nhưng y 1 = y 2 thì P 1 + P 2 = Θ . 3. Nếu P 1 ≡ P 2 và y 1 = 0 thì x 3 = λ 2 − A −2x 1 , y 3 = λ(x 1 − x 3 ) − y 1 , với λ = 3x 2 1 +2Ax 1 +B 2y 1 . 4. Nếu P 1 ≡ P 2 và y 1 = 0 thì P 1 + P 2 = Θ. Qui ước P + Θ = P, ∀P ∈ E(K). Luật cộng điểm của đường cong E có phương trình (E) : y 2 + a 1 xy + a 3 y = f(x) = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 . Ta ký hiệu E(K) = {(x, y) ∈ K 2 : y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 } ∪ {Θ}. Bắt đầu với 2 điểm P 1 (x 1 , y 1 ) và P 2 (x 2 , y 2 ) trên E(K), vẽ đường thẳng đi qua P 1 , P 2 và cắt E tại điểm P 1 ∗ P 2 . Lấy đối xứng của điểm P 1 ∗ P 2 qua đường thẳng y = − a 1 x+a 3 2 ta được điểm P 3 . Khi đó ta định nghĩa P 3 = P 1 + P 2 . Trường hợp 1. Nếu x 1 = x 2 thì P 1 = P 2 , gọi phương trình đường thẳng đi qua P 1 , P 2 là y = λx + β, trong đó λ = y 1 − y 2 x 1 − x 2 . Trường hợp 2. Nếu x 1 = x 2 và P 1 = P 2 thì P 1 + P 2 = Θ. Trường hợp 3. Nếu P 1 = P 2 , gọi phương trình tiếp tuyến đi qua P 1 là y = λx + β, trong đó λ = f  (x 1 ) − a 1 y 1 2y 1 + a 1 x 1 + a 3 . Ta gọi phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = λx + β và E là (λx + β) 2 + a 1 x(λx + β) + a 3 (λx + β) = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 , 8 tương đương 0 = x 3 + (a 2 −λ 2 −λa 1 )x 2 + (a 4 −2λβ −a 1 β −λa 3 )x + (a 6 −β 2 −a 3 β). Tọa độ của P 3 (x 3 , y 3 ) xác định như sau. Trong trường hợp 1. (x 3 , y 3 ) = (x 3 , −y  3 − a 1 x 3 − a 3 ) trong đó x 3 = λ 2 + λa 1 − a 2 − x 1 − x 2 , y  3 = λx 3 + β. Trong trường hợp 3. (x 3 , y 3 ) = (x 3 , y  3 − a 1 x 3 − a 3 ) trong đó x 3 = λ 2 + λa 1 − a 2 − 2x 1 , y  3 = λx 3 + β. Định lý 1.1. E(K) cùng với phép cộng xác định như trên lập thành một nhóm giao hoán với Θ là phần tử đơn vị. Chứng minh. Có thể xem chứng minh định lý này trong [14]. Chú ý 1.1. Cho E là đường cong elliptic có phương trình y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C, A, B, C ∈ Q. Nếu cần thiết nhân cả hai vế của phương trình với d 6 , d ∈ Z ∗ , ta thu được (yd 3 ) 2 = (xd 2 ) 3 + d 2 A(xd 2 ) 2 + d 4 B(xd 2 ) + Cd 6 . Thay yd 3 bởi y và xd 2 bởi x, ta có thể chọn d sao cho d 2 A, d 4 B, Cd 6 ∈ Z. Vậy khi xét E : y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx +C trên Q có thể giả sử A, B, C ∈ Z. 1.2 Điểm có cấp hữu hạn 1.2.1 Điểm có cấp hữu hạn Định nghĩa 1.1. Cho E : y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C, với A, B, C ∈ K. Cho P (x 0 , y 0 ) ∈ E. Cấp của điểm P là số nguyên dương m bé nhất thỏa mãn mP = Θ. Nếu tồn tại m như vậy thì P có cấp hữu hạn, P còn được gọi là điểm xoắn, ngược lại P được gọi là điểm có cấp vô hạn. Ký hiệu E[n] là tập các điểm trên E có cấp n và điểm Θ. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm được tất cả các điểm hữu tỷ có cấp hữu hạn trên E. Để làm được điều đó, ta cần đến kết quả quan trọng là định lý Nagell-Lutz. 9 1.2.2 Định lý Nagell-Lutz Định lý 1.2. (Định lý Nagell-Lutz). Cho E là đường cong elliptic có phương trình y 2 = x 3 +Ax 2 +Bx + C, với A, B, C ∈ Z, P (x 0 , y 0 ) ∈ E(Q). Nếu P có cấp hữu hạn khi đó ta có được hai khẳng định sau đúng (1) x 0 ∈ Z và y 0 ∈ Z. (2) Nếu y = 0 thì P có cấp bằng 2, ngược lại nếu y = 0 thì y 2 |D. Chứng minh dưới đây được trích dẫn từ [14]. Để chứng minh định lý này, chúng ta cần đến một số khái niệm chuẩn bị sau. Giả sử x = a b = 0 là phân số tối giản, ta sẽ viết được x = p r a 1 b 1 với r ∈ Z và p không là ước của a 1 b 1 . Khi đó định giá p-adic được định nghĩa bởi v p (x) = r, v p (0) = +∞. Cho E: y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C, A, B, C ∈ Z, 1 ≤ r, r ∈ Z. Ký hiệu: E r = {(x, y) ∈ E(Q): v p (x) ≤ −2r, v p (y) ≤ −3r} ∪ {Θ}. Để chứng minh x, y ∈ Z chúng ta sẽ chứng minh mẫu số của x và y không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào. Để làm được điều đó cần đến định lý sau. Định lý 1.3. Giả sử E là đường cong elliptic y 2 = x 3 + Ax 2 + Bx + C với A, B, C ∈ Z, p là số nguyên tố, r ∈ N ∗ và R là vành số hữu tỷ . Khi đó (1) E r là một nhóm con của E(Q). (2) Với giả thiết P (x, y) ∈ E(Q) khi đó để v p (x) < 0 khi và chỉ khi v p (y) < 0. Hơn nữa, tồn tại r ≥ 1 sao cho v p (x) = −2r, v p (x) = −3r. (3) Ánh xạ λ r : E r → p r R/p 3r R, P = (x, y) → λ r (P ) = x y (modp 3r ), Θ → 0, là một đồng cấu. 10 [...]... có bậc hữu hạn của E(Q) từ đó tìm được T orsE(Q), còn vấn đề tìm hạng của đường cong là vấn đề khó mà ta không đề cập ở đây Nếu đường cong có hạng bằng 0 thì E(Q) là nhóm hữu hạn, nếu hạng khác 0 thì E(Q) có vô hạn phần tử 1.3 Phần xoắn của hai lớp đường cong elliptic Mục đích của phần này là mở rộng hai kết quả trong [3] (các định lý 3.2 và 3.3) về phân loại nhóm xoắn của hai lớp đường cong y 2 = x3... lớp đường cong elliptic của K Ono và D Qiu-X Zhang 2.1 Danh sách của Kubert Xuất phát từ giả thiết (0, 0) là điểm có cấp cực đại trong nhóm con xoắn đối với hai lớp đường cong Weierstrass đơn giản và Weierstrass tổng quát, Kubert đã đưa ra cấu trúc đầy đủ về các lớp đường cong với nhóm xoắn tương ứng để từ đó, ta có thể đi phân loại các họ đường cong mà điểm (0, 0) luôn là một điểm xoắn Danh sách của. .. là số chính phương khác một, hoặc a = −432m6 với m ∈ Z, m = 0 (3) T orsE(Q) = Z/2Z nếu và chỉ nếu a là số lập phương khác một (4) T orsE(Q) = 0 trong các trường hợp còn lại 17 Chương 2 Một số phân loại đã biết theo danh sách của Kubert Trong chương này chúng tôi lấy ra danh sách về cấu trúc phần xoắn của các lớp đường cong elliptic được D.S.Kubert đưa ra và trình bày lại cách phân loại nhóm con xoắn. .. khi đó nhóm con xoắn của đường cong elliptic chỉ có thể là Z 2nZ với n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Trường hợp 2 −a là số chính phương khi đó nhóm con xoắn của đường Z ⊕ 2nZ với n = 1, 2, 3, 4 Chúng ta sẽ đi tìm các nhóm con xoắn có trong trường hợp 1 Điểm P (x3 , y3 ) có cấp là 3 khi đó P là điểm uốn, phương trình tiếp tuyến của đường cong elliptic tại điểm P là y = kx + l(d) Vậy cong elliptic chỉ có thể là... hữu hạn sinh này được gọi là hạng của đường cong elliptic Tất cả các điểm có bậc hữu hạn của E(Q) lập thành nhóm T orsE(Q) gọi là nhóm con xoắn của E(Q) Khi đó E(Q) là tổng trực tiếp của T orsE(Q), với nhóm con các điểm có bậc vô hạn Nhóm con các điểm có bậc vô hạn là nhóm hữu hạn sinh nên nó đẳng cấu với Zr , với r được gọi là hạng của đường cong elliptic và nó là một số nguyên không âm Ta có E(Q) ∼... cho nhóm con xoắn của các lớp đường cong elliptic còn lại trong danh sách trên Bây giờ chúng tôi đi phân loại nhóm con xoắn trong danh sách (K) 2.2 Phân loại của K Ono Z ⊕ 2nZ với n = 1, 2, 3, 4 được K Ono phân loại, tức là phân loại đường cong trong (3) (danh sách (K)) Trong mục này chúng tôi trình bày nhóm con xoắn Z 2Z Nhận xét 2.2 Giả sử E : y 2 = x(x + M )(x + N ) là một đường cong elliptic, trong... nhận được từ một tập hữu hạn các điểm hữu tỉ bằng cách sử dụng một tổ hợp nào đó của các giao tuyến và tiếp tuyến Vấn đề là cần bao nhiêu điểm hữu tỉ để xây dựng tất cả các điểm hữu tỉ Vì E(Q) là nhóm aben hữu hạn sinh nên nó là tổng trực tiếp của một nhóm hữu hạn và một nhóm aben tự do hữu hạn sinh nên nó là tổng trực tiếp của một nhóm hữu hạn và một nhóm aben tự do hữu hạn sinh, hạng của nhóm aben... tỉ trên đường cong elliptic (E(Q), +) là một nhóm aben hữu hạn sinh Việc chứng minh đòi hỏi phải xây dựng rất nhiều lý thuyết toán có liên quan, vì vậy ta sẽ không đề cập phần chứng minh ở đây, chúng ta có thể 13 tham khảo phần chứng minh ở tài liệu [14, tr 83] Như vậy theo định lí này nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic E(Q) có tập sinh hữu hạn Nghĩa là mỗi điểm hữu tỉ trên đường cong có... trong trường hợp 2 không có nhóm con xoắn là Z/2Z ⊕ Z/4Z và Z/2Z ⊕ Z/8Z Mặt khác đường cong elliptic đã cho cũng không có điểm cấp 3 nên cũng không có nhóm con xoắn là Z/2Z ⊕ Z/6Z Với cách làm như trên ta có mệnh đề sau và có thể tham khảo chứng minh trong [3] Mệnh đề 1.2 Giả sử E là đường cong elliptic cho bởi y 2 = x3 + a, trong đó a ∈ Z, a = 0 Khi đó nhóm con xoắn của E(Q) là (1) T orsE(Q) = Z/6Z nếu... b3 − 8(1 − c)2 b4 + 36(1 − c)b4 − 27b4 + 16b5 Chúng tôi gọi danh sách trên của D.S Kubert là danh sách (K) Ý nghĩa của danh sách (K) như sau Nhận xét 2.1 (i) Danh sách trên chỉ đưa ra cấu trúc nhóm con xoắn chưa phân loại về nhóm con xoắn cho từng đường cong elliptic (ii) Trong (2) đường cong y 2 = x(x2 + ax + b), nhóm con xoắn chỉ có thể (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6) nếu phương trình x2 + ax + b = 0 vô nghiệm . định lý Mordell-Weil và hai ví dụ về phần xoắn của đường cong elliptic. 1.1 Đường cong elliptic và nhóm aben trên nó 1.1.1 Đường cong elliptic Phương trình đường cong bậc 3 tổng quát xác định trên. hạng của đường cong là vấn đề khó mà ta không đề cập ở đây. Nếu đường cong có hạng bằng 0 thì E(Q) là nhóm hữu hạn, nếu hạng khác 0 thì E(Q) có vô hạn phần tử. 1.3 Phần xoắn của hai lớp đường cong. bản về đường cong elliptic 6 1.1 Đường cong elliptic và nhóm aben trên nó . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Đường cong elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Luật cộng trên đường cong elliptic