1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Dãy chính quy suy rộng và tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

46 2 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 46
Dung lượng 592,41 KB

Nội dung

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 ✶ ▼ô❝ ❧ô❝ ❚r❛♥❣ ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ▼ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ▼ét sè ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✶✳✶✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ✶✳✶✳✶✳ ❍➭♠ tö ♠ë ré♥❣ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻ ✶✳✶✳✷✳ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✶✳✸✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✷✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ✈➭ ➤é s➞✉ ❧ä❝ ✶✳✷✳✶✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷✳✷✳ ➜é s➞✉ ❧ä❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✸✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ✶✳✸✳✶✳ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✶✳✸✳✷✳ ➜é s➞✉ s✉② ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✶✳ ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ n1 , ,nr ∈N Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✶✳✶✳ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✶✳✷✳ ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ ✷✳✷✳ ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) ✸✶ n1 , ,nr ∈N i Ass(HI (M )) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn3 ✷ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤ê sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ ❈➠ ❣✐➳♦ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣✳ ❈➠ ➤➲ ❣✐➭♥❤ ♥❤✐Ò✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥✱ ❝➠♥❣ sø❝ ❝❤Ø ❜➯♦ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ➤Ị t➭✐ ✈➭ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝❤♦ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❈➠ ❝ï♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤✳ ❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❧➲♥❤ ➤➵♦ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ❝đ❛ ❚r➢ê♥❣ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ tèt ♥❤✐Ư♠ ✈ơ ❤ä❝ t❐♣ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ sù t❐♥ t➞♠ ✈➭ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ q✉ý ❚❤➬② ❝➠ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❝❤♦ ❧í♣ ❈❛♦ ❤ä❝ ❝❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤ ❚♦➳♥ ❦❤ã❛ ✶✽✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ ❜➵♥ ❜❒✱ ữ t tr ì t➠✐ ♥✐Ị♠ t✐♥ ✈➭ ➤é♥❣ ❧ù❝ ➤Ĩ t➠✐ ❤ä❝ t❐♣ tèt✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✾ ♥➝♠ ✷✵✶✷ ❍ä❝ ✈✐➟♥ P❤❛♥ ❚❤Þ ❍✐Ị♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 ✸ ▼ë ➤➬✉ ❈❤♦ (R, m) m ❞✉② ♥❤✃t ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧➭ ❈❤♦ ❧➭ ✈➭♥❤ M ♠ét ❣✐❛♦ R ❧➭ tr♦♥❣ ❤♦➳♥✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ s➞✉ ể ó ột ứ ữ trò ❞➲② ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ tró❝ q✉❛♥ ❝đ❛ trä♥❣ ♠➠➤✉♥✳ tr♦♥❣ ➜➵✐ ♥✐Ö♠ ♥❣❤✐➟♥ ❣✐❛♦ ➤➵✐ ❤♦➳♥ ♠➭ t❤➠♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥ r✃t q✉❛♥ ❞➲② ❝ø✉ ❝ù❝ ✳ ➤é s➞✉✲♠ét ❑❤➳✐ ✈✐Ö❝ sè ✐➤➟❛♥ dim M = d ❉➲② ✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ❝❤✐Ị✉ q✉❛ ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ trä♥❣ ◆♦❡t❤❡r ❝❤Ý♥❤ ❝✃✉ q✉② tró❝ ✈➭ ➤é ✈➭♥❤ ✈➭ ♠➠➤✉♥✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ ♠ét ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧✉➠♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❝đ❛ ❤Ư t❤❛♠ sè✱ ➤é s➞✉ depth M dim M ✈➭ ♥Õ✉ depth M = dim M ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ ➤é s➞✉ r ❝đ❛ M ➜➲ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥❣❤✐➟♥ ➤Ĩ ❝❤♦ t❛ ♥❤÷♥❣ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ ♠í✐✳ P✳ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❬✹❪ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❝ø✉ ♥✐Ư♠ ♠➠➤✉♥ t❤á❛ ♠➲♥ ♠ä✐ ❤Ư t❤❛♠ sè ➤Ị✉ ❧➭ ✲❞❡♣t❤ M ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ♥❤á HIr (M ) ♠ë ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❦❤➠♥❣ tr✐Ưt t✐➟✉✳ ré♥❣ ❝➳❝ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ f ✲❞➲② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tr➟♥ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣ ✈➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ✭f ✲❞➲②✮✱ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ f ✈➭ ❚r➢í❝ t✐➟♥✱ ❦❤➳✐ I tr♦♥❣ ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ố ề ị tì f ộ s➞✉ ❧ä❝ ✭f ✲➤é s➞✉✮✱ ✈➭ ❧í♣ ✳ ❙❛✉ ➤ã✱ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ (I, M ) ❞➭✐ ❝đ❛ ♠ét ✱ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ▲✉✲❚❛♥❣ ❬✶✵❪ ♥❤➢ ❧➭ ❝❐♥ tr➟♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤é f ✲❞➲② ❝ù❝ ➤➵✐ ❝ñ❛ M tr♦♥❣ I s❛♦ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ Supp(M/IM ) ⊆ {m} ✳ r ✈➭ ➤ã ❝ò♥❣ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ HIr (M ) ♥❤á ♥❤✃t ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ ❦❤✐ ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ❬✶✹❪ ➤➲ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ♥❤➢ ❧➭ ♠ét sù ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝✿ ▼ét ❞➲② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö q✉② s✉② ré♥❣ ♥Õ✉ dim R/p > xi ∈ / p, ✱ ✈í✐ ♠ä✐ (x1 , , xr ) ✈í✐ ♠ä✐ m ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ M ✲❞➲② ❝❤Ý♥❤ p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M ) i = 1, , r ✱ t❤á❛ ♠➲♥ ❈❤ó ý r➺♥❣ ❦❤✐ ❝➳❝ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝đ❛ ➤é ❞➭✐ ❝❤✉♥❣ ➤ã ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tr♦♥❣ M tr♦♥❣ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣✱ I dim(M/IM ) > t✃t ❝➯ ➤Ò✉ ❝ã ❝❤✉♥❣ ➤é ❞➭✐ ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ gdepth(I; M ) ✳ ❘â r➭♥❣✱ ♠ä✐ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝✱ ✈➭ ♠ä✐ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ❧➭ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 ✹ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣✱ ♥❤➢♥❣ ➤✐Ị✉ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã depth(I, M ) f depth(I, M ) gdepth(I, M ) ✲ ◆❤✐Ò✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ t➢➡♥❣ tù ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝ị♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ gdepth(I; M ) s➞✉ s✉② ré♥❣ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ HIr (M ) r ➜➷❝ ❜✐Öt✱ ➤é ♥❤á ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❝ã t❐♣ ❣✐➳ ✈➠ ❤➵♥✱ ❦❤✐ dim(M/IM ) > ❍➡♥ ♥÷❛✱ t❤➠♥❣ q✉❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣✱ ♠ét sè t❤➠♥❣ t✐♥ ✈Ị tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) n1 , ,nr ∈N ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❝ñ❛ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ề ị ũ ợ ứ ú ý r➺♥❣✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ Ass(HIi (M )) ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ q✉❛♥ t➞♠✳ t❐♣ Ass(HIi (M )) ❝❤Ø ❝ã ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt✱ ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ I ❧➭ ❝đ❛ R ➤ó♥❣ ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ tr♦♥❣ ♠ét i sè ✳ ➜➲ ❝ã ❣✐➯ t❤✉②Õt r➺♥❣ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❣✐➯ t❤✉②Õt tr➟♥ ❝❤Ø ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ✈Ị ✈➭♥❤ ✭①❡♠ ❬✻❪✱ ❬✼❪✮ ✈➭ ➤➲ ❝ã ♥❤÷♥❣ ♣❤➯♥ ✈Ý ❞ơ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ❣✐➯ t❤✉②Õt tr➟♥ ❧➭ s❛✐ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✭①❡♠ ❬✽❪✱ ❬✶✻❪✮✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ❝❤✐ t✐Õt t♦➭♥ ❜é ♥é✐ ❞✉♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ✧❖♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ r❡❣✉❧❛r s❡q✉❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ❢✐♥✐t❡♥❡ss ❢♦r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣r✐♠❡s ♦❢ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✧ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥ ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✱ f ✲❞❡♣t❤ ♦❢ ❛♥ ✐❞❡❛❧ ♦♥ ❛ ♠♦❞✉❧❡✧ ❝ñ❛ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ➤➝♥❣ ♥➝♠ ✷✵✵✺ ✈➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝ñ❛ ▲✉✲❚❛♥❣ ➤➝♥❣ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ✧❚❤❡ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ t❤❡ ❆♠❡r✐❝❛♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙♦❝✐❡t②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝❤➢➡♥❣ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ sÏ ➤➢ỵ❝ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ①❡♥ ❦Ï tr♦♥❣ ❦❤✐ tr×♥❤ ❜➭② ♥é✐ ❞✉♥❣ ❤❛✐ ❜➭✐ ❜➳♦✳ ❈❤➢➡♥❣ ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 ✺ ✈➭ ➤é s➞✉✱ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ✈➭ ➤é s➞✉ ❧ä❝✱ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ❝ï♥❣ ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✳ q✉➯ ❤÷✉ ❤➵♥✿ t❐♣ n1 , ,nr ∈N tè ❧✐➟♥ ❦Õt ◆Õ✉ (x1 , , xr ) ❧➭ ♠ét Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) Ass(HIi (M )) ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❞➲② ❈❤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ q✉② tr×♥❤ ❜➭② ❤❛✐ ❦Õt s✉② rộ ủ M tì ữ t ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ i gdepth(I, M ) ✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s➡ ❝✃♣ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ❆rt✐♥ HIi (M ) ❝❤Ø ❝ã ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➭ ❋❛❣❤❛♥✐ ❬✷❪ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ Ass(HIi (M )) tí t ữ s ợ t❤❛② t❤Õ ❜ë✐ tÝ♥❤ ❆rt✐♥✳ P❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tỉ♥❣ ❦Õt ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭②✳ ❱í✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét sè ♥é✐ ❞✉♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ ✈Ò ❝➳❝ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♥ã tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❧í♣ ♠➠➤✉♥ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ♥❤➢♥❣✱ ✈× ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥✱ ♥➝♥❣ ❧ù❝ ✈➭ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➯♥ t❤➞♥ ❝ß♥ ❤➵♥ ❝❤Õ ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ữ tế sót ố ợ ữ sù ❣ã♣ ý q✉ý ❜➳✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ q✉ý t❤➬② ❝➠ ❝ï♥❣ ➤é❝ ❣✐➯ q✉❛♥ t➞♠ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 ✻ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❚r♦♥❣ t♦➭♥ ❜é ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ t❛ ❧✉➠♥ ❦ý ❤✐Ư✉ ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r✱ ❝❤✐Ị✉ ❑r✉❧❧ A ❧➭ R ✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ M (R, m) ❧➭ R ị ữ s dim M = d ✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧ä❝ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ❈➢ê♥❣✲❙❤❡♥③❡❧✲❚r✉♥❣ ❬✹❪ ✈➭ ➤é s➞✉ ❧ä❝ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ▲✉✲❚❛♥❣ ❬✶✵❪✱ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✈➭ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ❜ë✐ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ❬✶✹❪ ✈➭ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ q✉❡♥ ❜✐Õt✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥é✐ ❞✉♥❣ t✐Õ♣ t❤❡♦ ♥❤➢✿ ❍➭♠ tö ♠ë ré♥❣✱ ố ề ị ũ ợ ë ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✳ ✶✳✶ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ➤é s➞✉ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❉➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❞➲② ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ♠➭ t❤➠♥❣ q✉❛ ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤é s➞✉ ✲ ♠ét ❜✃t ❜✐Õ♥ r✃t q✉❛♥ trä♥❣ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝✃✉ tró❝ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ✭①❡♠ ❬✶✷❪✮✳ ✶✳✶✳✶ ❍➭♠ tư ♠ë ré♥❣ ▼ơ❝ ♥➭② ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❊①t t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 ✼ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ M, N ▼➠➤✉♥ ❞➱♥ ①✉✃t ♣❤➯✐ t❤ø ♠➠➤✉♥ ♠ë ré♥❣ t❤ø ♥ ❝đ❛ ❈ơ t❤Ĩ✱ ➤Ĩ ①➞② ❞ù♥❣ n ❧➭ ❝➳❝ R ❝đ❛ ❤➭♠ tư M ✈➭ N Hom(−, N ) ❧➭ ♠ét sè tù ♥❤✐➟♥✳ ø♥❣ ✈í✐ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ExtnR (M, N ) u n ✲♠➠➤✉♥ ✈➭ M ExtnR (M, N ) t❛ ❧✃② ♠ét ❣✐➯✐ ①➵ ➯♥❤ ❝đ❛ u ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ M ε → P2 →2 P1 →1 P0 → M → ❚➳❝ ➤é♥❣ ❤➭♠ tö Hom(−, N ) ✈➭♦ ❞➲② ❦❤í♣ tr➟♥ t❛ ❝ã ➤è✐ ♣❤ø❝ u∗ u∗ → Hom(P0 , N ) →1 Hom(P1 , N ) →2 Hom(P2 , N ) → ❑❤✐ ➤ã ➤è✐ M ExtnR (M, N ) = Ker u∗n+1 / Im u∗n ♣❤ø❝ tr➟♥ ✭♠➠➤✉♥ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ n ❝đ❛ ➯♥❤ ❝đ❛ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ t❤ø t❤✉é❝ ✈➭♦ ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ ❣✐➯✐ ①➵ ✮✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✷✳ Ext0R (M, N ) ∼ = Hom(M, N ) M ❧➭ ①➵ ➯♥❤ ❤♦➷❝ N ❧➭ ♥é✐ ①➵ t❤× ExtnR (M, N ) = ✈í✐ ♠ä✐ n ✭✐✐✮ ◆Õ✉ ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ ❝✃✉ ♥è✐ ✭✐✮ → N → N → N → ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ t❤× tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤å♥❣ ExtnR (M, N ) → Extn+1 R (M, N ), ỗ n s ❝❤♦ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext2R (M, N ) → ✭✐✈✮ ◆Õ✉ ❝✃✉ ♥è✐ → M → M → M → ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ♥❣➽♥ t❤× tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ➤å♥❣ ExtnR (M , N ) Extn+1 R (M , N ), ỗ n s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ → Hom(M , N ) → Hom(M, N ) → Hom(M , N ) → Ext1R (M , N ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M , N ) → Ext2R (M , N ) → ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ❝❤♦ t❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ❊①t ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❣✐÷❛ ♠➠➤✉♥ ❊①t ✈í✐ ❤➭♠ tư ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn9 ✽ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸✳ s✐♥❤ ✈í✐ ♠ä✐ ✭✐✐✮ ◆Õ✉ M, N ữ s tì ExtnR (M, N ) ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ ✭✐✮ ◆Õ✉ n S ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ♥❤➞♥ ❝đ❛ R t❤× t❛ ❝ã ➤➻♥❣ ❝✃✉ S −1 (ExtnR (M, N )) ∼ = ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ) tr♦♥❣ ➤ã S −1 ❧➭ ❤➭♠ tư ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ (ExtnR (M, N ))p ∼ = ExtnRp (Mp , Np ) ✶✳✶✳✷ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❚r➢í❝ ❤Õt✱ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝đ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ tï② ý✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝đ❛ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t❤ø ✐ ❝đ❛ M R ✈➭ M ❧➭ ♠ét ø♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ I, R ✲♠➠➤✉♥✳ ▼➠➤✉♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ HIi (M ), ợ ị ĩ HIi (M ) = Ri (ΓI (M )) tr♦♥❣ ➤ã ø♥❣ ✈í✐ ❈❤♦ Ri (ΓI (M )) ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❞➱♥ s✉✃t ♣❤➯✐ t❤ø i ❝ñ❛ ❤➭♠ tö I ✲①♦➽♥ ΓI (−) M I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t δ ✲❤➭♠ tư✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t tr✐Ưt t✐➟✉✱ ❦❤➠♥❣ tr✐Ưt t✐➟✉ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❆rt✐♥ ❝đ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳ ✭✐✮ ❈❤♦ f g → L → M → N → ❧➭ ♠ét ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ i ∈ N t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ H (f ) H (g) H (f ) H (g) H i (f ) H i (g) I I → HI0 (L) → HI0 (M ) → HI0 (N ) I I → HI1 (L) → HI1 (M ) → HI1 (N ) → I I → HIi (L) → HIi (M ) → HIi (N ) → HIi+1 (L) → ✭✐✐✮ HIi (M ) = ✈í✐ ♠ä✐ i > d ✈➭ Hmd (M ) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn10 ✸✵ ✭✐✐✮ ❈❤♦ M R ❧➭ ✲♠➠➤✉♥✳ M = N1 + + Nn M =0 ❤♦➷❝ M ▼ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ t❤➭♥❤ tỉ♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ t❤× t❛ ♥ã✐ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❤➵♥❣ tư Ni tè✐ t❤✐Ĩ✉✳ ❑❤✐ ➤ã t❐♣ ❤ỵ♣ ❦ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐ ❝đ❛ (R, m) ❈➳❝ ❤➵♥❣ tư ❧➭ pi t❤ø ❝✃♣ Ni ✲ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ ♥➭♦ ❧➭ t❤õ❛✱ ✈í✐ ♠ä✐ {p1 , , pn } ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ AttR M ♣❤➬♥ t❤ø ❝✃♣ ❈❤♦ M M ❧➭ ♠ét ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♥Õ✉ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❉Ơ t❤✃② r➺♥❣ ♠ä✐ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣ ❝đ❛ ❝✃♣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ M ❝đ❛ M pi ◆Õ✉ ❇✐Ó✉ ❧➭ ➤➠✐ ♠ét i = 1, , n ➤Ị✉ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ➤➢ỵ❝ ✈Ị ❞➵♥❣ ❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ ✈í✐ ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt Ni , i = 1, , n, ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝đ❛ ❝➳❝ M, t❤➭♥❤ M ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ➤➬② ➤đ✳ ➜➷t ❝đ❛ tr➢ê♥❣ t❤➷♥❣ ❞➢ R/m ❑ý ❤✐Ư✉ E = E(R/m) D(−) = HomR (−, E) ❧➭ ❜❛♦ ♥é✐ ①➵ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉ ❝đ❛ ❊✳▼❛t❧✐s✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✷✳ ❞✉② ♥❤✃t af ✭✐✮ R✲♠➠➤✉♥ E ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❱í✐ ỗ f HomR (E, E), tồ t R : f (x) = af x, ∀x ∈ E ✭✐✐✮ ◆Õ✉ N ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r t❤× D(N ) ❧➭ ❆rt✐♥✳ ✭✐✐✐✮ ◆Õ✉ A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ t❤× D(A) ❧➭ ◆♦❡t❤❡r✳ ✭✐✈✮ Ann M = Ann D(M ), ✈➭ ♥Õ✉ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ s❛♦ ❝❤♦ R (D(M )) = R (M ) < ∞ t❤× R (M ) ❚❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❣➽♥ ❦Õt sÏ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✸✳ ✭✐✐✮ ❈❤♦ ✭✐✮ ▼ä✐ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ➤Ị✉ ❝ã ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤ø ❝✃♣✳ M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ ❑❤✐ ➤ã M = ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ AttR M = ∅ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ R ❝❤ø❛ Ann(M ) ❝❤Ý♥❤ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ AttR M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 ✸✶ ✭✐✐✐✮ ❈❤♦ → M → M → M → ❧➭ ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❜✐Ĩ✉ ➤✐Ơ♥ ➤➢ỵ❝✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã AttR M ⊆ AttR M ⊆ AttR M ∪ AttR M ✭✐✈✮ AttR M = {p ∩ R : p ∈ AttR M } ✭✈✮ ◆Õ✉ R ❧➭ ✈➭♥❤ ị ủ tì t ó ế N ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r t❤× AttR (D(N )) = AssR (N ) ❜✮ ◆Õ✉ A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ t❤× AssR (D(A)) = AttR (A) ✷✳✶✳✷ n1 nr n1 , ,nr ∈N Ass(M/(x1 , , xr )M ) ❚Ý♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ ❚r➢í❝ ❦❤✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣✱ t❛ ❝➬♥ ♠ét sè ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳ ◆Õ✉ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✹✳ R ❧➭ ✈➭♥❤ ➤➬② ➤đ ø♥❣ ✈í✐ t➠♣➠ m✲❛❞✐❝✱ t❤× rad(Ann(0 :A I)) = rad(Ann A + I) ỗ R rt A ỗ I ❝ñ❛ R ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ t❤➷♥❣ ❞➢ ❈❤♦ R/m R = R ◆Õ✉ M ➜➷t E = E(R/m) ❧➭ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈➭ I ❜❛♦ ♥é✐ ①➵ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ rad(Ann(M/IM )) = rad(Ann M + IR) D(0 :A I) ∼ = D(A)/ID(A) ❝đ❛ R tr➢ê♥❣ t❤× t❛ ❝ã ✳ ❉♦ ➤ã ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤è✐ ♥❣➱✉ ▼❛t❧✐s ✷✳✶✳✷ ✈➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ t❛ ❝ã rad(Ann(0 :A I)) = rad(Ann(D(0 :A I))) = rad(Ann(D(A)/ID(A))) = rad(Ann D(A) + I) = rad(Ann A + I) ỗ R ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❝❤ø❛ Ann A ✳ A ✱ ❦ý ❤✐Ư✉ V (Ann A) ❱í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư tè✐ t❤✐Ĩ✉ p i 0, ❧➭ ➤➷t t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ (min V (Ann A))i ❝ñ❛ ❱✭❆♥♥ ❆✮ t❤á❛ ♠➲♥ dim R/p = i ❧➭ ✈➭ (Att A)i = {p ∈ Att A| dim R/p = i} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33 ✸✷ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✸✱ ✭✐✐✮✱ t❛ ❝ã Att A ✈➭ V (Ann A) ❝ã ❝ï♥❣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã ♥❣❛② ❦Õt q✉➯ ❞➢í✐ ➤➞②✳ ❇ỉ ➤Ò ✷✳✶✳✺✳ ❈❤♦ dim R/ Ann A i ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã (Att A)i = (min V (Ann A))i ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✻✳ ❑Ý ❤✐Ư✉ M ❧➭ ➤➬② ➤đ m✲❛❞✐❝ ❝ñ❛ M ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã AssR M = {p ∩ R : p ∈ AssR M } ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ϕa ➜➷t ϕ(p) = p ∩ R, ✿ (R) → ❙♣❡❝ (R) ❙♣❡❝ ✈í✐ ♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ủ R ợ ị ❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ❬✶✷✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✸✳✷✱ ✭✐✮❪ t❛ ❝ã {p ∩ R| p ∈ AssR M } = ϕa (AssR M ) = ϕa ( AssR M /pM ) p∈AssR M ϕa (AssR M /pM ) = = p∈AssR M {p} p∈AssR M = AssR M ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ t❤ø ♥❤✃t ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣✱ ❝❤♦ t❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ø♥❣ ✈í✐ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✼✳ ❈❤♦ (x1 , , xr ) ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ❝ñ❛ M ❑❤✐ ➤ã Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) n1 , ,nr ∈N ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ sè ❝đ❛ M ❈❤♦ r d1 ✲ ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈× x1 , , xd−1 (M/(x1 , , xr )M ) ♥➟♥ ❞✐♠ ❉♦ ➤ã ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠ Supp(M/(x1 , , xr )M ) ột t ữ ì Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) ⊆ Supp(M/(x1 , , xr )M ) n1 , ,nr ∈N Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn34 ✸✸ ♥➟♥ ❦Õt q✉➯ ➤ó♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✳ ●✐➯ sư ➤đ M m ✲❛❞✐❝ ❝đ❛ M ✳ ➜Ĩ ý r➺♥❣✱ x1 , , x r r ✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ M ❧➭ ➤➬② ❝ị♥❣ ❧➭ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ❝đ❛ n1 , , nr , ✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ d−2 t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✻ t❛ ❝ã Ass(M/(xn1 , , xnr r )M ) = {p ∩ R| p ∈ Ass(M /(xn1 , , xnr r )M )} ❑❤✐ ➤ã t❛ ❣✐➯ sö q✉➯ ✶✶✳✸✳✸❪ ✱ R=R ✈➭ ❝❤♦ N ❧➭ R ✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❱× t❤❡♦ ❬✶✱ ❍Ư (AssR N )i ⊆ AttR (Hmi (N )), ♥➟♥ t❛ ❝ã dim N (Att Hmi (N ))i Ass N i=0 ì tế ị ý sÏ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥Õ✉ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ (Att(Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M )))i n1 , ,nr ∈N ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ✈í✐ ♠ä✐ ❈❤♦ r=1 ✈➭ n1 > ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✺ t❛ ❝ã i = 0, 1, , d ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ r ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tï② ý✳ ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✸✱ ✭✐✐✐✮✱ dim(0 :M xn1 ) ✳ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ → :M xn1 → M → M/0 :M xn1 → t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ → Hmi (M ) → Hmi (M/0 :M xn1 ) → Hmi+1 (0 :M xn1 ) → , ✈× Hmi (0 :M xn1 ) = 0, ✈í✐ ♠ä✐ i ♥➟♥ Hmi (M ) ∼ = Hmi (M/0 :M xn1 ) ▲➵✐ tõ ❞➲② ❦❤í♣ n → M/(0 x1 :M xn1 ) → M → M/xn1 M → t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ → Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) → Hmi+1 (M/(0 :M xn1 )) → Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 ✸✹ ➳ ♣ ❞ô♥❣ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tr➟♥ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) → :Hmi+1 (M ) xn1 → ✈í✐ ♠ä✐ i i ❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ❙❝❤❡♥③❡❧ ❬✶✺❪✱ ✈í✐ ♠ä✐ dim(R/ Ann(0 :Hmi+1 (M ) xn1 )) (1) t❛ ❝ã dim(R/ Ann(Hmi (M/xn1 M ))) i ì t ị ý ✷✳✶✳✸✱ ✭✐✐✐✮✱ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✹ ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✺ t❛ ❝ã (Att Hmi (M/xn1 M ))i ⊆ (Att(Hmi (M )/Ki ))i ∪ (min V (Ann(Hmi+1 (M )) + xn1 R))i ⊆ (Att Hmi (M ))i ∪ (min V (Ann(Hmi+1 (M )) + x1 R))i ✈í✐ ♠ä✐ i tr♦♥❣ ❞➲② ✭✶✮✳ i Ki ❧➭ ❤➵t ♥❤➞♥ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❝✃✉ Hmi (M ) → Hmi (M/xn1 M ) ❉♦ ➤ã (Att Hmi (M/xn1 M ))i ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ ✈➭ n1 ∈N r>1 ❈❤♦ ✈➭ n1 , , nr ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ tï② ý✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❇æ ➤Ị ✶✳✸✳✸✱ ✭✐✐✐✮ ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✺ t❛ ❝ã nr dim(0 :M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M xr ) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r=1 t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ n r−1 Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ) → Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M ) → nr → :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr → ✈í✐ ♠ä✐ i (2) ▼➷t ❦❤➳❝✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✹ ✈➭ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✺ t❛ ❧➵✐ ❝ã nr nr−1 (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) xr ))i n r−1 = (min V (Ann Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) + xnr r R))i n r−1 = (min V (Ann Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) + xr R))i nr−1 = (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xr−1 )M ) xr ))i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn36 ✸✺ ❱× t❤Õ tõ ❞➲② ❦❤í♣ ✭✷✮ t❛ ❝ã (Att(Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M )))i n r−1 ⊆ (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ))i ∪ (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr ))i ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ✈í✐ ♠ä✐ i 1, t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã n r−1 (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 )M ))i n1 , , nr−1 ∈N ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❞ï♥❣ ❞➲② ❦❤í♣ ✭✷✮ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ nr = t❛ ❝ã n n1 i r−1 (Att(0 :Hmi+1 (M/(xn1 , , xnr−1 r−1 )M ) xr ))i ⊆ (Att Hm (M/(x1 , , xr−1 , xr )M ))i ✈í✐ ♠ä✐ i n ❈❤ó ý r➺♥❣✱ t❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✸✳✸✱ ✭✐✐✮✱ ✭✐✐✐✮ t❛ ❝ã ♠ét ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ❝ñ❛ M/xr M r−1 xn1 , , xr−1 ❧➭ ✳ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã n r−1 (Att Hmi (M/(xn1 , , xr−1 , xr )M ))i n1 , ,nr−1 ∈N ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ✈í✐ ♠ä✐ i ✳ ❑Ð♦ t❤❡♦ (Att Hmi (M/(xn1 , , xnr r )M ))i n1 , ,nr ∈N ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ ✷✳✷ i ị ý ợ ứ Ass(HIi (M )) í ữ ❤➵♥ ❝đ❛ t❐♣ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦ ❑ ❧➭ ♠ét (0 :K I n ) ❑❤✐ ➤ã R✲♠➠➤✉♥✳ ●✐➯ sö K = n Ass K = Ass(0 :K I) ✈➭ Supp K = Supp(0 :K I) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ ✈× (0 :K I n ) K= ♥➟♥ (0 :K I) ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ n ❝ñ❛ K ❉♦ ➤ã 0=a∈K ➤Ó Ass(0 :K I) ⊆ Ass K ▲✃② tï② ý p = Ann a (0 :K I n ) ❱× K= p ∈ Ass K ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ n n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn37 ✸✻ I na = s❛♦ ❝❤♦ ❉♦ ✈× ➤ã I n−1 a = Ass K Ass(0 :K I) ỗ tể ủ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ Supp(0 :K I) ❑❤✐ ➤ã Ass K = Ass(0 :K I) ❱❐② Supp K ❝ñ❛ t❤✉é❝ p ∈ Ass(I n−1 a) ⊆ Ass(0 :K I) t❤✉é❝ Ass(0 :K I) Ass K t ó ỗ ▼➷t ♣❤➬♥ t❤ø❝ ❦❤➳❝✱ tö ❝ù❝ t❤ø ❤❛✐ Supp K = Supp(0 :K I) ✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷✳ gdepth(I; M ) = min{i | Supp HIi (M ) ❧➭ ♠ét t❐♣ ✈➠ ❤➵♥} ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ Supp(HIr (M )) ❝ñ❛ M ✳ i1 ✈➭ x1 ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tư ❝❤Ý♥❤ q✉② s✉② ré♥❣ ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✶✵ t❛ ❝ã i < r − 1 (0 :K I n )) = Supp(0 :M I) ✈➭ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤× ❧➵✐ ❝ã ✈í✐ ♠ä✐ dim(0 :M x1 ) gdepth(M/x1 M ) = r − Supp HIi (M/x1 M ) dim :M x1 ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥➟♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✼✱ tõ ❞➲② ❦❤í♣ → :M x1 → M → M/(0 :M x1 ) → t❛ ❝ã HIi (M ) ∼ = HIi (M/(0 :M x1 )), ✈í✐ ♠ä✐ i ✳ ❉♦ ➤ã ❧➵✐ tõ ❞➲② ❦❤í♣ x → M/(0 :M x1 ) →1 M → M/x1 M → t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ị✉ x HIi−1 (M ) → HIi−1 (M/x1 M ) → HIi M →1 HIi (M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn38 ✸✼ ✈í✐ ♠ä✐ i ✳ ❱× ✈❐② ♥Õ✉ ir t❤× HIi (M ) = http://www.lrc-tnu.edu.vn39 ✸✽ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✹✳ ❈❤♦ K ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ A ❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❆rt✐♥ ❝ñ❛ K ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã Ass(K/A) \ {m} = Ass K \ {m} ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ Ass K ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ Ass(K/A) ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚õ ❞➲② ❦❤í♣ → A → K → K/A → 0, t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✸✱ ✭✐✐✐✮✱ t❛ ❝ã Ass K ⊆ Ass(K/A) ∪ Ass A ⊆ Ass(K/A) ∪ {m} ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❧✃② p ∈ Ass(K/A) p = AnnR a ¯ = A :R a ✈➭ ✈× ❝đ❛ A A ❧➭ ♥➟♥ ❆rt✐♥ pa ♥➟♥ pa ✱ ✈í✐ ❝ị♥❣ ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ ❧➭ ➯♥❤ ❝ñ❛ a a ¯ ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳ pn−1 (pa) = ✳ ❱× t❤Õ pn ⊆ :R a ❱× t➵✐ tr♦♥❣ pa ❧➭ = a ∈ K K/A ♠➠➤✉♥ ✳ ❉♦ ❝♦♥ s❛♦ pa ⊆ A, ➤ã ❤÷✉ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❝❤♦ ❤➵♥ n s✐♥❤ s❛♦ ❝❤♦ ✈➭ p = rad(pn ) ⊆ rad(0 :R a) ⊆ rad(A :R a) = p ❈❤ø♥❣ tá r➺♥❣ ✈➭ ✈× ✈❐② p = rad(Ann a) ✳ ❉♦ ➤ã p ∈ Ass(Ra) ✱ ❦Ð♦ t❤❡♦ p ❧➭ ♣❤➬♥ tö tè✐ t❤✐Ĩ✉ ❝đ❛ p ∈ Ass K Supp(Ra) ✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➭ ❋❛❣❤❛♥✐ ❬✷❪ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ợ ột ết q ẹ ề tí ữ ❝ñ❛ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝ñ❛ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✱ ♥Õ✉ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ HIi (M ) HIi (M ) ♥❤➢ s❛✉✿ ❈❤♦ ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ♠ä✐ i ✳ ❦Õt ❚❤❡♦ http://www.lrc-tnu.edu.vn40 ✸✾ HI0 (M ) ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣✱ t❛ ❝ã ❱× ✈❐② I p, ❧➭ R ✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ✳ p ∈ Ass M \ {m} ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö x∈ / p, p ∈ Ass M \ {m} i HIi (M ) ∼ = HIi (M/(0 :M x)), s❛♦ ❝❤♦ (0 :M I) < ∞ ❉♦ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ ✳ ✈í✐ ♠ä✐ (0 :M x) < ∞ ❙✉② r❛ ✳ x∈I ❱× ✈❐② ✳ ❉♦ ➤ã t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✳✷ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ x HIi−1 (M ) → HIi−1 (M/xM ) → HIi (M ) → HIi (M ) ✈í✐ ♠ä✐ i ❆rt✐♥ ✈í✐ ♠ä✐ ❱× HIi (M ) i < r−1 ♠ét t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ➜➷t i

Ngày đăng: 24/03/2021, 17:43

Nguồn tham khảo

Tài liệu tham khảo Loại Chi tiết
[1] Brodmann, M., Sharp, R. Y (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications. Cambridge University Press Sách, tạp chí
Tiêu đề: Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications
Tác giả: Brodmann, M., Sharp, R. Y
Nhà XB: Cambridge University Press
Năm: 1998
[2] Brodmann, M. P., Faghani , A. L. (2000). A finiteness result for as- sociated primes of local cohomology modules. Proc. AMS 128:2851 - 2853 Sách, tạp chí
Tiêu đề: A finiteness result for associated primes of local cohomology modules
Tác giả: Brodmann, M. P., Faghani, A. L
Nhà XB: Proc. AMS
Năm: 2000
[6] Huneke, C. (1992). Problems on local cohomology. In: Frec Resolution in Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Sundance, UT, 1990, Res. Notes Math, 2 Boston, MA: Jones and Bartlett, pp. 93-108 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Problems on local cohomology
Tác giả: C. Huneke
Nhà XB: Jones and Bartlett
Năm: 1992
[7] Huneke, C., Sharp, R, Y.(1993). Bass numbers of local cohomology modules. Trans. AMS 339:765-779 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Bass numbers of local cohomology modules
Tác giả: C. Huneke, R. Sharp, Y
Nhà XB: Trans. AMS
Năm: 1993
[9] Khashyarmanesh, K., Salarian, Sh. (1999). On the associated primes of local cohomology modules. Comm. Algebra 27:6191-6198 Sách, tạp chí
Tiêu đề: On the associated primes of local cohomology modules
Tác giả: Khashyarmanesh, K., Salarian, Sh
Nhà XB: Comm. Algebra
Năm: 1999
[10] Lu, R., Tang, Z. (2001). The f-depth of an ideal on a module. Proc AMS 130(7):1905-1911 Sách, tạp chí
Tiêu đề: The f-depth of an ideal on a module
Tác giả: R. Lu, Z. Tang
Nhà XB: Proc AMS
Năm: 2001
[12] Matsumura, H. (1986) Commutative Ring Theory. Cambridge University Press Sách, tạp chí
Tiêu đề: Commutative Ring Theory
Tác giả: H. Matsumura
Nhà XB: Cambridge University Press
Năm: 1986
[3] Cox, D., Little, J., O'Shea, D. (1992). Ideals, Varieties, and Algorithms.New York: Springer-Verlag Khác
[4] Cuong, N. T., Schenzel, P., Trung, N. V. (1978). Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln. Math. Nachr 85: 57-73 Khác
[5] Faltings, G. (1978). Uber die Annulatoren lokaler Kohomologiegruppen.Arch. Math. 30:473-476 Khác
[8] Katzman, M. (2002). An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module. J. Algebra 252:161-166 Khác
[11] Macdonald, I. G. (1973). Secondary representation of modules over a commutative ring. Symposia Mathematica 11:23-43 Khác
[13] Melkersson, L. (1995). Some applications of a criterion for Artinianness of a module. J. Pure Appl. Alg. 101:291-303 Khác
[14] Nhan, L. T. (2005). On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules. Communication in Algebra. 793:81-94 Khác
[15] Schenzel, P. (1982). Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe. Lectura Notes in Mathematicas. New York: Springer, p. 907 Khác
[16] Singh, A. (2000). p-torsion elements in local cohomology modules.Math. Res. Lett. 7:165-176 Khác

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w