Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 tìm hiểu về trường vector

Dau tién, ching em xin cam on truong Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã tạo điều kiện cho chúng em làm việc nhóm với nhau, có thể nói làm việc nhóm là một trong những yếu tố quan trọng sẽ hỗ t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BACH KHOA DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH

BAO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

TIM HIEU VE TRUONG VECTOR

GVHD: TRAN NGOC DIEM

NHOM:L17_23

TP.HCM, 5-2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BACH KHOA DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH

BK

TP.HCM

BAO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 TIM HIEU VE TRUONG VECTOR GVHD: TRAN NGOC DIEM

LOP: L15 NHOM: 23

1 Trinh Duy Khang 2311480 Truong nhom

TP.HCM, 5-2023

đà

¢3

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 1

A

¢3

Mục Lục

Lời Nĩi Đầu - n2 S011 11211111121111112111111211111211121111110111111 0111111011111 111111 a 3

L TÌM HIẾU VẼ TRƯỜNG VECTOR ả s1 21 2121 15121111111111111111111111111211 11121 xe 4

IL ĐỊNH NGHĨA GRADIENT CỦA HÀM NHIÊU BIẾN 22 222522 252525252E2E2 7

1.2 Ý ngÌĩa - 2s ST 1121121101 12121 21011 11 1111 1 1 111 101121 ra 7

2 Toan tur Curl rao nađg)lddấtatidaaầđáaậắäÝ 7 2.1 Tốn tit Curl(Xoay) 0 cccccccccccecessesessesessevsessssesensesseesessecsessessesresensessevsnssevenssnsenseees 7 2.2 Tốn tử Div (Phân kì) 5 + 22112 1112112111112111111111 1 112.E1 1011k § IIL ĐỊNH LÝ DIVERGENCE -á- - c1 21215 1121121211111112111121121211112112111121111112111 xxx 10

IV GIỚI THIỆU 5.2 1 21221 11251215512111121111211112111111111111111111111121121211 1111212 rseg 12

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM

Dau tién, ching em xin cam on truong Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã tạo điều kiện cho chúng em làm việc nhóm với nhau, có thể nói làm việc nhóm là một trong những yếu tố quan trọng sẽ hỗ trợ chúng em trên con đường sự nghiệp sắp tới Trong quá trình làm việc nhóm, chúng em đã được trao dồi thêm nhiều kỹ năng mềm như kỹ năng giao tiếp, kỹ năng phản biện Chúng em cũng xin cảm ơn trường đã đưa bộ môn Giải tích 2 vào chương trình giảng dạy, cung cấp cho chúng em nhiều kiến thức mới

Và đặt biệt, chúng em xin chân thành cảm ơn cô Trần Ngọc Diễm, là giảng viên giảng dạy chính môn Giải tích 2 cho chúng em Cảm ơn cô đã truyền đạt những kiến thức quý báo, những kinh nghiệm øiảng dạy của cô cho chúng em Trong quả trình học môn Giải tích 2 này, chúng em cảm thấy mình được trao dồi thêm nhiều kiến thức hay và

bồ ích, giúp chúng em có thê hoàn thành bài báo cáo nay

Bộ môn Giải tích 2 là một bộ môn vô cùng hữu ích, môn học này đã dạy cho chúng em biết cách làm việc nhóm, biết cách viết báo cáo đúng cách, trao dồi cho chúng em kỹ năng thuyết trình và kỹ năng giao tiếp Tuy nhiên, với kiến thức còn hạn chế cũng như còn bỡ ngỡ nên mặc dù đã cô gắng hết sức cho bài báo cáo lần này nhưng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót và những phần chưa chính xác Chúng em mong cô có thể xem xét và góp ý cho bài báo cáo của chúng em trở nên hoàn thiện hơn

Chung em xin chan thành cảm ơn!

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 3

I TIMHIEU VE TRUONG VECTOR

1 Định nghĩa trường vector

Trường vector trong không gian hai (hoặc ba) chiều là một hàm Ể gán cho từng điểm x,y) (hoặc |x,y,z]¿ một vector hai (hoặc ba) chiều được cho bởi Ể|x, y} (hoặc Flx, y,z)) Nói đơn giản là trường vector là thứ ta nhận được sau khi liên kết mỗi điểm trong không gian với một vector

Ký hiệu chuã n của hàm F là:

x, yl

F x,y|=P x,y)i+Q

7 j x,y z\k

F X,y,Zz]=P x,y,zli+Qlx,y,z]j+R

Ví dụ: Phác thảo các trường vector sau đây

a)F x,y|Ì=-2yl+xj

b)F

2 Cách vẽ tay trường vector

x,y,zÌ=2xÌ~2y]-2xK

Đề vẽ trường vector ta cần chọn một vài giả trị của hàm Nghĩa là ta sẽ chọn các diém (x, y)

(hoac (x,y, Z)) và từ đó sẽ tìm được các vector tương ứng tại mỗi điểm đã chọn Sau đó ta vã

các vector đã chọn và sẽ có được hình phác họa của trường vector can vé

a) ) FŒ,y) =— 2yL + xj

¬

ta chọn các điểm và suy ra vector tại điểm theo hàm F

£(L1) =- 2Ì+j

F(1,—1) =2i+j

Ẻ@,—1)=2Ì+2j

Làm thêm với các điểm khác tương tự như trên

Sau đó vẽ các vector tương ứng với các điểm đã chọn lên hệ trục tọa độ ta sẽ được bản phác

thảo của trường vector

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 4

6

a

ee all :

4 :

Pe

etter

felt

|

NRT

Leap

để chính xác và cụ rõ ràng hơn thì tốt nhất ta nên sử dụng các công cụ vẽ đồ thị trên máy tính (ở đây nhóm em làm Geogebra)

Đây là bản phác thảo trường vector được vẽ bằng øeogebra:

Ơ c?Z+zz7z-z===—————=-———————

DOR

/ / UE đái nổi whe A os fe ON ÀỊA, Ả \ \

J J jy 44s +———+ gt: tf

es, 4 (3 2 a oO 1 2 Dice ae D }

i \, Ñ Y FU nie ah a a ep pip ƒ /

~ RAR SNE, SS — T† c3 + 91 2` 7Ì ⁄ 2

b)F x, ¥,z)=2xi-2yj-2xk

Trong trường hợp trường vector ba chiều rất khó đề có thể vẽ bang tay vì vậy ta sé thường dùng các công cụ hỗ trợ trên máy tính

Tuy nhiên ta vẫn sẽ làm một số đánh giá về hàm F

F|1,1,1)=2i-2j-2k

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 5

A

cà

1, -3,2)=2i+6 j -2k

Ta thay trường hợp này z chỉ ảnh hưởng về hướng chứ kh ảnh hưởng đên độ lớn vector Sau đây là bản phác thảo trường vector:

Vai trò trường vector trong thy tế

Trường vectơ có nhiều ứng dụng quan trọng, vi chúng có thể được sử dụng đề biểu diễn nhiều đại lượng vật lý: vectơ tại một điểm có thê biểu thị cường độ của một lực nao do (trong lực, điện, từ trường) hoặc vận tốc (tốc độ gió hoặc vận tốc của một số chất lỏng khác)

3

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 6

II BINH NGHIA GRADIENT CUA HAM NHIEU BIEN

1 Gradient

1.1 Dinh nghia ;

-Néu f là hàm theo hai biên x và y, thì gradient của f là hàm vector V ƒ được xác định bởi

vf xy\)= ax ay!

x,yI=(f,lx.yÌ.fy

1.2 Ý nghĩa

-Gradient của một trường vô hướng là 1 trường vector có chiều hướng về phía mức độ tăng lớn nhất của trường vô hướng, và có độ lớn là mức độ thay đôi lớn nhất Giả sử: f là một hàm số từ R" đến R nghĩa làf=f lxị Xạ]

theo định nghĩa, gradient của hàm sô f là một vector cột mà thành phần là đạo hàm theo các biến của f

Of of)’

Ox,” Ox,

Vƒ=

Ví dụ: Nếu ƒ X,y J=sin x+e”

Vf

x, yl=(feof,)= (eos xt ye”, xe”)

2 Toán tử Curl va toan tir Div

Y nghĩa: là hai phép toán mà có thê tính được trên các trường vector và đóng vai trò thiết yêu trong các ứng dụng của giải tích vector vào dòng chất lưu, điện và từ tính Mỗi phép toán tương tự với phép vi phân, nhưng phép phép toán nảy tạo ra một trường vector còn phép toán kia tạo ra một trường vô hướng

2.1 Toán tử Curl(Xoáy)

Dinh nghĩa:

-Néu F=Pi+Qj+Rk la mot trường vector trong R’ va cdc dao ham riéng P, Q vaR đều tổn tại, thì toán tử curl của F( curl F) là trường vector trong RỶ được xác định bởi:

_[OR _ôQ],,lậP _ôR] ,[ôQ _ôP|

"lây dz) |az axl | ax oy

Hay

Dinh ly:

-Néu f là 1 hàm ba biến có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục, thì curl| VƒÌ}=0 Chứng minh: Ta có

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 7

¢3

i j k

j9 oO curl| Vfl=Vx(Vfl=|ax dy az

of of of

Ox Oy Oz

| #ƒ _ #ƒ |„| @f _@f || er _ #f

öy0z ôzôyl! OZOX Oxdz Oxdy ôyôx

¿0i+0 j+0k

Theo định lý Clairaut: vì trường vector bảo toàn mà F=V ƒ nên định lý có thể phát biểu lại

Nếu F bảo toản, thì curl F =0 -Nếu F là vector xác định trên toàn bộ R” mà các hàm thành phần của nó có các đạo hàm riêng liên tục và curl F = 0, thì F là trường vector bảo toản

Ví Dụ:

a, Tim curl F néu F |x, y,z|=xyitxyj+xy zk

b, curl F(-1, 2, 1) 1a gi?

GIảI:

a, Theo định nghĩa,

i j k 8_ ô 0 curl F=VxE=L ay 0z

xy xy xyZ

¿lxz?—xli—yz?j+Íz—xÌk

¿x\z?—1)i— yz2j+Ìz— xÌk

b, curl F(-1, 2, 1)(-1)1^1)¡ - (2)(12¿j + [1 - (-L)]k

2.2 Toán tử Div (Phân kì)

Định nghĩa: Nếu F = 7i + ÓJ + Rk là một trường vector trong RỶvà 5a? ay Ya Gy ton tại, thì toán tử divergence( div) cia F la hàm số ba biến được định nghĩa bởi phương

LPL oP 22, OR

Ox Tay y ÔZ -Ta quan sat thay rang curl F la m6t truong vector nhung div F la mét truong v6 hướng Theo toan tir gradient v=| < it i jt 2 k, toán tử divergence của F(div F) có thể được viết như tích chấm cua F va V

È¿E=V-F

Dinh ly: Néu F = Pi + Oj + Rk la mét trường vector trong R’va P, O va R co cac dao

hàm riêng bậc hai liên tục, thi

écurl F=0

Chứng minh: sử dụng các dinh nghia toan tu curl va div ta co

Truong Dai Hoc Bach Khoa Tp.HCM 8

écurl F=V- ee

, 0 {OR _6Q\, 6 /OP_OR\, a ap 20)

“Ox ay OZ + Oz Ox "ez Ox Oy

OR _0Q,0P OR, FQ _ OP

öxöy Oxdz 0y9z 0yöx 0z0x AzOy

=0

Bởi vì các số hạng triệt tiêu cặp theo định lý Clatraut

Ví dụ: Cho f là một hàm vô hướng và F là trường vector Nếu f và các thành phần của

F có đạo hàm riêng cấp một chứng minh:

¿|ƒF |=fƒ divF+F-Vƒ Giải: Cho F = Pit Qj+ Rk, trong do P, O va R la cac dao hàm của z, y và z khi đó

fF=f |Pi+ Qj+ Rk|=fPi+fQj+fRk Khai trién vé trai ta co:

ae PP +5 9| *ạz IR

II la 20 “af OR of p

Pax tax? tay ay el az *az®

ef Ox Oy Oz lax’ ta Q Ce

if\V-F)+(Vf)-F

¿ƒ-F+EF-Vƒ

3

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM ọ

<3 a

Ill DINH LY DIVERGENCE

Dinh ly divergence là một định lý trong toán học, chính xác hơn là trong lĩnh vực hình học và tính toán vector Nó liên quan đến tích phân của hàm vectơ trên một miễn trong không gian ba chiều Định lý này cho phép tính toán tỷ lệ giữa lưu lượng của trường vector qua bề mặt đóng và tông các phân kỳ của trường vector trone khối đó Định lý divereenee còn có tên gọi khác là định lý Gauss hoặc định lý phân kỳ Nó là một trong những định lý quan trọng trong lý thuyết cơ học chat long va co hoc chat ran

Dinh ly divergence có dạng toán học như sau:

SSJvv-dv = $S(V-n)dS

Trong đó:

- V là một vector field trong không gian ba chiều

- V- là toán tử diverpence, được hiểu là tích phân của đạo hàm riêng theo các biến không gian

- dV la phan thê tích của vùng không gian cần tính tích phân

- S là bề mặt giới hạn của vùng không gian can tính tích phân

- n là vector pháp tuyến của bề mặt S

- dS là phan diện tích của các phần tử diện bề mặt S

Dinh ly divergence thường được sử dụng trong các lĩnh vực như vật lý, điện tử và toán học ứng dụng Vi dy, trong vat ly, dinh ly divergence ø1úp tính toán lưu lượng của một trường vector qua một vùng không p1an xác định Nó cũng được sử dụng trong lý thuyết thông tin để định lượng và mã hóa thông tin

Ý nghĩa định lý trong một bài toán Vật lý

Định luật Gauss về Điện trường

Dưới dạng tích phân, Mật độ Điện trường được viết như sau

° q? =EA= fSE “dA seo dV =QAeo

Với

e ® là thông lượng điện,

® E là điện trường,

® dA là diện tích của một hình vuông vị phân trên mặt đóng S,

® QA là điện tích được bao bởi mặt đó,

® o là mật độ điện tích tại một điểm trong V

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 10

A

¢3

® £O là hằng số điện của không gian tự do

e ƒS là tích phân trên mặt S bao phủ thể tích V

Xem thêm thông tin và cách áp dụng định luật Gauss o mat Gaussian

Dưới dạng vị phan, phương trình trở thành:

eV.D=o

Với

e V la toan tu div,

D là cảm ứng điện trường (đơn vị C/m2),

p là mật độ điện tích (đơn vị C/m), không tính đến các điện tích lưỡng cực

biên giới trong vật chất Dạng vi phân được viết dưới dạng định lý Gauss

Đối với vật chất tuyến tính, phương trình trở thành:

ev t=

vol

£ là hằng số điện môi

Bài toán 30: Cho S là mặt biên phía trong của khối chóp đều có các đỉnh A(a, 0, 0), B(O, a, 0), C(—a, 0, 0), D(O, —a, 0) va S(O, 0, a)

osxdvdz+ J zdzdx

tinh!

GIải:

Gọi Q 1a khéi chop SABCD

Áp dụng định lí Gauss-Ostrogradsky, ta có:

[Lƒosxdtd=+ 1 zd=dv=- [ fifsin vt+2yz)dxdvdz= [ [ jinx- 2z)dvdtd:

Ta có: © là vật thê đôi xứng qua mặt phăng x=0, sinx là hàm lẻ đôi với biên x nên

Tương tự : Ô là vật thế đối xứng qua mặt phẳng y=0, 2yz là hàm lẻ đối với biến y nên

| | 2przdxdyvdz=0

rf (fin x - 2yz)dvdvdz=0

`

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 11

đà

c2

IV GIỚI THIỆU

Ứng dụng đề vẽ mà nhóm chúng em muốn giỏi thiệu là Geogebra Đây là một công cụ

hồ trợ học toán thông minh cung câp những bộ công cụ miền phi dé hoc tap và nghiên cứu Nøoài ra nó còn cung cap cho chúng ta một sô kiên thức mới và thú vị

Đây là công cụ chúng em dùng để vẽ các trường vector trong bai cua nhóm mình, nó

có thê vẽ hâu hết các trường vector, gradient, curl (not) một cách khá nhanh chống và

ro rang

Đầu tiên đề sử dụng chung ta truy cập vào ứng dụng øeogebra và tìm kiếm mục Vector field 2D va nhap cac thong tin cua ham F :

Vx(x,y)=

xmin = -5

@

ymin = -5 xn=8

v= 0.02

@

xmax = 5

ymax = 5 yn=8

@

vh = 0.09

e ứng dụng sẽ trả về kết quả là hình của trường vector cân vẽ

ADO Me be te NINA

DIVAS PFE

XS

Ä V/V W⁄/ 4V Cop Ris NAAN

XY LLL DLT Be INNATE Llib bbe ee gd win wn nih yl

†

TU số V - + — ra

V VIN YANN Ss ee Are ALT

CC =5: 7 '/7ý7a,

Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM 12