CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I
Hệ phương trình đối xứng hai ẩn loại I là loại hệ phương trình có hai ẩn x và y, trong đó việc hoán đổi vai trò của x và y không làm thay đổi nội dung của hệ phương trình.
Ta có phương pháp giải tổng quát nhƣ sau
Bước 1: Đặt điều kiện các biến ( nếu có)
Khi đó , ta đưa hệ phương trình về hệ mới chứa S P,
Bước 3 : Giải hệ mới tìm S P, Chọn S P, thỏa mãn điều kiện S 2 4P
Bước 4 : Với S P, tìm được thì x y , là nghiệm của phương trình X 2 SX P 0 i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình gồm hai ẩn x và y, trong đó việc hoán đổi vị trí của x và y sẽ biến phương trình này thành phương trình khác Hệ này có dạng đặc trưng, thể hiện tính đối xứng trong các phương trình liên quan.
Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát
Xét hệ phương trình đối xứng bậc hai dạng
Để phân tích được nhân tử của một phương trình, cần kiểm tra biệt thức delta theo biến x hoặc y có phải là số chính phương hay không Nếu một trong hai biệt thức delta là số chính phương, việc giải sẽ đơn giản hơn; chỉ cần tìm nghiệm và phân tích nhân tử để xác định mối liên hệ giữa hai biến Tuy nhiên, nếu cả hai phương trình đều có delta không phải là số chính phương, ta cần áp dụng phương pháp tìm hệ số bất định (UCT) Phương pháp này yêu cầu lựa chọn một hằng số thích hợp để nhân vào một phương trình và cộng đại số với phương trình còn lại, nhằm biến đổi biệt thức delta thành số chính phương.
Ta sẽ làm theo các bước sau Đặt a a 1 ka 2 ;b b 1 kb 2 ;c c 1 kc 2 ;d d 1 kd 2 ;e e 1 ke 2 ; f f 1 kf 2
Khi đó k là nghiệm của phương trình sau cde 4abf ae 2 bd 2 fc 2 với a 0.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT
Phương trình bậc ba có dạng tổng quát x³ + ax² + bx + c = 0 có thể được giải bằng phương pháp Cardano Để áp dụng phương pháp này, ta đặt x = -t + a/3, từ đó biến đổi phương trình thành t³ + pt + q = 0, với p và q được xác định từ các hệ số a, b, c của phương trình ban đầu.
Ta sẽ tìm các số u v , sao cho qua hệ u 3 v 3 q và
Một nghiệm của nó đƣợc tìm từ việc đặt t v u, có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào 2 nhờ hằng đẳng thức v u 3 3 uv v u u 3 v 3 0
Hệ 3 có thể giải từ phương trình thứ hai bằng cách rút
u vào phương trình thứ nhất trong 3 ta có 3 3 3
u Phương trình này tương đương với phương trình bậc hai với u 3 Khi đó ta 3 2 3
Khi tìm giá trị u từ hàm số (4), cần lưu ý rằng có hai căn bậc ba tương ứng với dấu ±, và mỗi căn bậc ba lại có ba giá trị khác nhau Tuy nhiên, cần chọn dấu của các căn sao cho khi tính x, không xảy ra trường hợp chia cho không Nếu p = 0, thì phải chọn dấu của căn bậc hai phù hợp.
GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
i.1 Giải phương trình trùng phương ax 4 bx 2 c 0
Để giải phương trình bậc hai, ta đặt t = x², với t ≥ 0 Phương trình trở thành at² + bt + c = 0, từ đó dễ dàng tìm ra giá trị của t và suy ra x Ngoài ra, với phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e^x², ta có ad = bc = m.
Giải Trường hợp 1 x 0 có phải là nghiệm không ?
Phương trình đã cho tương đương với
x Phương trình trở thành u p u n e Đây là một phương trình bậc hai với biến u , ta dễ dàng tìm ra u và suy ra x i.3 Giải phương trình có dạng x a x b x c x d m có a b c d p
Giải Phương trình đã cho tương đương với x 2 px ab x 2 px cd m Đặt 2 , 2
4 t x px t p Phương trình trở thành t ab t cd m Đây là một phương trình bậc hai với biến t, ta dễ dàng tìm ra t và suy ra x i.4 Giải phương trình dạng x a 4 x b 4 c với c 0
2 x y a b Phương trình đã cho trở thành
Giải phương trình trùng phương này ta sẽ tìm được biến y và suy ra biến x i.5 Giải phương trình x 4 ax 2 bx c
Giải Ta sẽ đưa phương trình trên về dạng A 2 B 2 để giải
Phương trình đã cho tương đương với phương trình x 2 m 2 2 m a x 2 bx c m 2
Ta sẽ đi tìm m để vế phải của phương trình là bình phương của một biểu thức Khi đó biệt thức denta của vế phải bằng không, tức là 0 b 2 4 c m 2 2 m a 0
Đây là phương trình bậc ba với biến m , ta đã có cách giải.
CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP
Trong luận văn này tác giả chủ yếu sẽ đề cập tới các biểu thức liên hợp sau
Ngoài ra còn một số biểu thức liên hợp khác nữa nhƣng trong luận văn này mà tác giả không đề cập tới là
HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và hàm số f(x) xác định trên K với đạo hàm f'(x) tồn tại Định lý 1 chỉ ra rằng nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm, thì hàm số f(x) đồng biến trên K Ngược lại, nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và dấu bằng chỉ tại một số hữu hạn điểm, thì hàm số f(x) nghịch biến trên K Định lý 2 khẳng định rằng nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K, thì phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Cuối cùng, Định lý 3 cho biết nếu f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến), thì với mọi a, b ∈ K, f(a) = f(b) chỉ khi a = b.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP
Trong phần cuối của luận văn, tác giả sẽ trình bày cách sáng tác bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp liên hợp Phân tích này nhằm giúp người đọc hiểu và áp dụng hiệu quả trong việc giải và sáng tác bài toán Phương pháp liên hợp là một kỹ thuật cơ bản nhưng rất hữu ích, đặc biệt trong các phương trình chứa căn thức, vì nó cho phép giữ nguyên bậc của các biểu thức trong phương trình và chỉ tác động lên biểu thức chứa căn Đặc biệt, phương pháp này trở nên hiệu quả hơn khi có thể dự đoán nghiệm của hệ phương trình, từ đó xác định biểu thức cần liên hợp Ngoài ra, phương pháp này còn có thể kết hợp với nhiều kỹ thuật khác trong quá trình giải hệ phương trình Hãy cùng xem xét một bài toán cụ thể để áp dụng phương pháp này.
Bài toán 1 Giải hệ phương trình
Khi phân tích hệ phương trình, ta nhận thấy phương trình thứ hai có cấu trúc hấp dẫn với vế trái là các căn thức và vế phải là một hằng số Tuy nhiên, việc chuyển vế và bình phương để thay biến không khả thi do các biểu thức phức tạp và thiếu dữ liệu liên quan Ngược lại, phương trình đầu cho thấy sự cân đối về bậc giữa hai vế và có nghiệm x = y Từ đó, ta có thể phân tích phương trình thành dạng (x - y)f(x, y) = 0 Nhận thấy phương trình chứa căn thức, ta dự đoán nghiệm và sử dụng liên hợp để rút ra nhân tử chung một cách tối ưu.
Với suy nghĩ đó ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau
Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được x x 2 y x 2 x y x 0 2 x 2 1 0 y x x y x x
Thay y x vào phương trình thứ hai của hệ ta được
Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm ; 25 25 ;
Việc xác định nghiệm trước là yếu tố quan trọng giúp dự đoán phương pháp giải Khi đã tìm ra nghiệm cho phương trình có chứa căn thức, ta nên sử dụng liên hợp để rút nhân tử chung thay vì bình phương để loại bỏ căn Sử dụng liên hợp giúp tìm ra nhân tử chung bị ẩn dưới dạng biểu thức đã nhân liên hợp Do đó, nếu một phương trình có căn thức mà đã xác định được nghiệm hoặc mối liên hệ giữa các biến, ta có thể giải quyết nó bằng phương pháp này Chúng ta sẽ xem xét thêm một ví dụ không có sự đối xứng của các biến.
Bài toán 2 Giải hệ phương trình
Phân tích hai phương trình chứa căn thức, phương trình thứ hai không thể giải quyết bằng cách bình phương do sinh ra tích các căn Thay vào đó, phương pháp liên hợp được áp dụng, nhưng không tìm thấy nhân tử chung Đối với phương trình thứ nhất, có hai căn thức, ưu tiên sử dụng liên hợp vì chúng là căn bậc nhất, kết hợp với hàm đa thức bậc hai bên ngoài Nếu không thành công, cần liên hợp tráo đổi giữa các đại lượng chứa x và y Cuối cùng, nhờ phương pháp liên hợp đầu tiên, ta tìm được nhân tử chung là \(y - x - 1\), từ đó có lời giải cho bài toán.
Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được
Thay y x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được
Ta có f ' x 0 Nên hàm số đồng biến Mà f 2 0 Suy ra phương trình nhận nghiệm x 2.Với x 2 y 3 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ; 2;3
Việc dự đoán và suy luận nghiệm trong phương pháp liên hợp là rất quan trọng, giúp đơn giản hóa quá trình giải bài toán Khi đã xác định được nghiệm, việc áp dụng phương pháp liên hợp trở nên dễ dàng hơn Để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán bằng phương pháp này, người đọc nên tìm hiểu về phương pháp truy ngược dấu trong giải phương trình Tiếp theo, chúng ta sẽ sáng tác các bài toán giải hệ bằng cách sử dụng phương pháp liên hợp.
Trước tiên ta hãy chọn một nhân tử chung trước, ví dụ ta muốn có xuất hiện nhân tử chung là x y 2 và ta muốn sử dụng biểu thức A B A B
ta cần chọn hai biểu thức A B, sao cho A B x y 2, ta có thể chọn A y 2x1,B 3 3x Khi đó đã có một biểu thức là 2
Giờ ta cần thêm một biểu thức nữa cũng có chứa nhân tử x y 2, ví dụ x y 2 y 2 x 1 Khi đó ta đã có một phương trình 2 1 2 1 0
Biến đổi tương đương giúp che đi ý tưởng sử dụng liên hợp, từ đó ta có phương trình 2x² - y² + xy - 5x + y = y² - 2x - 1 Để lập phương trình thứ hai, ta đặt điều kiện y = -2x, và việc lựa chọn khai thác mối liên hệ này quyết định độ khó của bài toán Tác giả sẽ chọn nghiệm trước và tự cân bằng, ví dụ chọn x = 2, từ đó suy ra y = 4, và cặp (x, y) này là nghiệm của phương trình x² - 4x + y - 5x + 2y - 2 = 0.
Lưu ý nếu muốn chọn nghiệm như này cần phải dựa vào điều kiện của các biều thức trong phương trình thứ nhất để tránh căn thức vô nghĩa
Từ đó ta có bài toán giải hệ phương trình sau
Bài toán 3 Giải hệ phương trình
Dễ thấy x y ; 1;1 không phải là nghiệm
Xét với x1;y1, biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được
) y 2 x Thay y 2 x vào phương trình thứ hai của hệ ta được
Với x 2 y 4 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn
Hệ phương trình có nghiệm tại điểm x, y = 2; 4 Để tăng độ khó cho bài toán, chúng ta sẽ kết hợp việc cung cấp nhân tử chung và thêm vào một nhân tử chung bị che khuất bởi biểu thức liên hợp, làm cho việc biến đổi đại số trở nên phức tạp hơn Thói quen không kiểm tra số nghiệm của người giải có thể dẫn đến việc thiếu nghiệm, vì họ mặc định rằng biểu thức còn lại không còn nghiệm thỏa mãn Chúng ta sẽ chọn y - 2x - 14x - 1 làm nhân tử chung, và nó sẽ xuất hiện dưới một biểu thức liên hợp Như đã đề cập, ta có thể lập được hai biểu thức chứa nhân tử này.
Ta có biến đổi liên hợp
Khi đó ta sẽ có một phương trình
Biến đổi tương đương của phương trình là \( (4x - 1)(x^2 - y) = 2x^2 - y \) Sau khi giải phương trình này, ta tìm được hai nghiệm \( x = 4 \) và \( y = 2x + 1 \) Để lập phương trình thứ hai trong hệ, với nghiệm \( x = 4 \), việc tìm kiếm không gặp khó khăn Khi áp dụng mối liên hệ \( y = 2x + 1 \) và chọn nghiệm \( x = 1 \), ta có \( y = 3 \) Như vậy, ta có thể thiết lập một phương trình liên quan nhận hai nghiệm này.
Từ đó ta có bài toán giải hệ phương trình sau
Bài toán 4 Giải phương trình 4 1 2 2 2 2 2 1
Giải Điều kiện 1; 2 x4 y Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được
+ Với 1 x4 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
+ Với y2x1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
x 1 y 3 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 6 13 2 8
Để sáng tác bài toán dạng này, chúng ta có thể thực hiện ba bước cơ bản Đầu tiên, chọn nhân tử chung và viết dưới dạng biểu thức đã được nhân liên hợp Thứ hai, biến đổi phương trình để che giấu ý tưởng sử dụng liên hợp Cuối cùng, lập phương trình thứ hai, chọn nghiệm trước và cân bằng để thỏa mãn nghiệm ban đầu, giúp tác giả dễ dàng kiểm soát nghiệm của hệ Ngoài việc sử dụng biểu thức liên hợp với căn bậc hai, chúng ta cũng có thể áp dụng liên hợp với biểu thức bậc ba Bây giờ, chúng ta sẽ tiếp tục sáng tác thêm một bài toán mới.
được biểu diễn dưới dạng biểu thức đã được nhân liên hợp là liên hợp là
, tiếp theo ta có thể chèn thêm một vài biểu thức đa thức chứa nhân tử đã chọn, để đơn giản tác giả chọn chính là x 2 y 1
Vậy ta có một phương trình là
Biến đổi phương trình này ta được x 3 xy x y 2 y 5 y 4.
Khi giải phương trình thứ nhất của hệ ta được mối liên hệ giữa hai nghiệm là
2 1 x y Giờ ta đi lập phương trình thứ hai của hệ, trước tiên chọn nghiệm trước là
2 1 x y 2 Ta sẽ có một phương trình nhận hai nghiệm đã chọn là
Từ đó ta có bài toán sau
Bài toán 5 Giải hệ phương trình
Biến đổi tương đương phương trình thứ hai của hệ ta được
Thay 2y x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được
Với 2 1 x y 2 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm ; 2; 1 x y 2
Bài viết này khám phá ý tưởng sáng tác các bài toán giải hệ phương trình thông qua việc sử dụng liên hợp Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp này để hiểu rõ hơn về cách mà người sáng tác các bài tập đã hình thành Đây là cơ hội tuyệt vời để có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải này Hãy cùng xem xét bài toán dưới đây.
Bài toán 6 Giải hệ phương trình
Phân tích phương trình đầu tiên cho thấy sự đẳng cấp giữa hai biến mà không có số hạng tự do, cho phép dự đoán mối quan hệ bằng nhau giữa chúng Khi thử nghiệm với x = y, ta nhận ra đây chính là nghiệm của phương trình Với việc dự đoán nghiệm, và do phương trình chứa căn thức, việc sử dụng liên hợp trở thành một phương pháp hợp lý để giải quyết.
Khi xem xét phương trình thứ hai trong hệ, ta nhận thấy nó có cấu trúc phức tạp và không có mối liên hệ rõ ràng với các phương trình khác Do đó, chúng ta sẽ tập trung giải quyết phương trình đầu tiên của hệ Với cách tiếp cận này, chúng ta có thể tìm ra lời giải cho bài toán.
4 3 x y Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được
Thay y x vào phương trình thứ hai ta được
Phương trình * tương đương với x 3
Với x 3 y 3 Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ; 3;3
Bài toán 7 Giải hệ phương trình
Phân tích phương trình thứ nhất trong hệ có tổng của hai căn thức đòi hỏi việc thêm bớt các biểu thức để tạo ra nhân tử giống nhau, đặc biệt là nhân tử chung là \((x - 1)(y)\) Tuy nhiên, việc phân tích còn lại không chỉ rõ giá trị dương hay âm, do đó cần tham khảo thêm từ phương trình thứ hai Mục tiêu chính là xác định điều kiện của từng biến, vì đây là phương trình bậc hai với hai biến, nên ưu tiên tách thành các biểu thức bình phương để dễ dàng xác định điều kiện của chúng.
Từ đó ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau
Biến đổi tương đương phương trình thứ hai của hệ ta được
Biến đổi tương đương phương trình thứ nhất của hệ ta được
, với x1; 7 y 4) Thay y x 1vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 2 x 1 2 2 x x 1 x 2 x 1 2 0 x 1 0 x 1 y 2
Nhận xét : Trong quá trình giải ta luôn đưa phương trình khi sử dụng liên hợp về dạng
Trong toán học, hàm f(x, y) = 0 thường chứa nhân tử chung, trong khi g(x, y) thường là một hàm luôn dương hoặc luôn âm, tạo ra lợi thế khi sử dụng liên hợp Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng có thể chứng minh g(x, y) luôn âm hoặc dương, do đó cần nắm vững kỹ thuật truy ngược dấu khi nhân liên hợp Bên cạnh đó, khi thực hiện phép nhân liên hợp, cần lưu ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức; nếu không thể chứng minh, hãy tận dụng điều kiện này và hy vọng một chút may mắn để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn.
Giải các hệ phương trình sau :
(Trích đề thi thử THPT Trần Phú, Hải Phòng – 2015)
( Trích trường THPT Chuyên Hà Tĩnh – 2015)
(Trích đề thi trường THPT Quỳnh Lưu, Nghệ An – 2015)
CHƯƠNG III MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Bài toán 1 Giải hệ phương trình:
(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Bến Tre)
Giải Điều kiện xác định: x 3 y Phương trình đầu được viết lại thành:
Nên với x y 2 thay vào phương trình sau rồi rút gọn, ta được:
Trừ cả hai vế phương trình cho 2:
Vì trên 3;5 vế trái là hàm nghịch biến nên nó không nhỏ hơn 2 2 đạt đƣợc khi
5 y và trên cùng đoạn 3;5 thì vế phải làm hàm đồng biến nên không lớn hơn 2.5 11 1 2 2 Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x y ; 2; 4
Bài toán 2 Giải hệ phương trình:
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hòa Bình năm học 2016-2017)
Giải Điều kiện xác định:
Theo điều kiện xác định, x 0 nên y3x 4 y5x4 Thực hiện nhân liên hợp với phương trình đầu, ta có: 8 4
Thay vào phương trình sau ta được:
Để ý với điều kiện 2 x7 thì mỗi số hạng trong thừa số thứ hai đều dương nên đẳng thức trên tương đương: 4x 2 7x 2 0
Khi tìm nghiệm cho phương trình, chúng ta nhận thấy rằng có thể không tồn tại nghiệm nguyên hay hữu tỉ Do đó, cần xem xét khả năng xuất hiện nghiệm vô tỉ bằng cách nhân liên hợp với một biểu thức để tạo ra biểu thức bậc hai Gọi các biểu thức ax + b và cx + d là các thành phần được nhân liên hợp ở vế trái, từ đó chúng ta có thể thu được các biểu thức bậc hai.
Cho các biểu thức này bằng nhau hoặc đối nhau ta tìm đƣợc a b 1,c2,d 0 Bài toán 3 Giải hệ phương trình:
( Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lào Cai năm học 2016-2017)