Tính cấp thiết của đề tài
Bậc học tiểu học đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng tri thức khoa học về tự nhiên và xã hội, cũng như trang bị các phương pháp và kỹ năng nhận thức ban đầu Chất lượng giáo dục ở bậc tiểu học ảnh hưởng lớn đến sự phát triển nhân cách của học sinh Việt Nam Trong đó, môn Toán giữ vị trí then chốt, với nhiều ứng dụng thiết thực trong cuộc sống Hiện nay, giáo dục Việt Nam đang nỗ lực đổi mới để đạt được tiêu chuẩn hiện đại, tương xứng với các nước trong khu vực và thế giới Việc nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt là môn Toán, trở thành yêu cầu cấp bách Một trong những giải pháp quan trọng là nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung và phương pháp dạy học theo hướng hiện đại hóa và phát huy khả năng sáng tạo của học sinh.
Toán học và thực tiễn có mối liên hệ chặt chẽ, đóng vai trò thiết yếu trong mọi ngành khoa học Nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như công nghệ, sản xuất và đời sống Chương trình giáo dục phổ thông nhấn mạnh mục tiêu giúp người học làm chủ kiến thức phổ thông và biết vận dụng hiệu quả vào cuộc sống, đồng thời khuyến khích việc tự học suốt đời.
Toán không chỉ là môn học về con số mà còn giúp phát triển tư duy logic và khả năng xử lý tình huống thực tế cho học sinh Môn toán góp phần rèn luyện năng lực tư duy, giải quyết vấn đề, và giao tiếp một cách khoa học Việc học toán giúp các em tiếp cận và xử lý các lĩnh vực khác một cách dễ dàng hơn.
Học Toán không chỉ giúp giải quyết các vấn đề hiện tại mà còn trang bị cho học sinh khả năng xử lý những nhiệm vụ phức tạp trong tương lai Ở bậc Tiểu học, kiến thức Toán học là nền tảng quan trọng cho quá trình học tập sau này, mặc dù nội dung còn đơn giản Học sinh được tiếp cận với Toán học ngay từ những ngày đầu đến trường, với các chủ đề kiến thức phù hợp với tâm sinh lý của các em, bao gồm 5 lĩnh vực lớn.
- Những kiến thức về số học
- Các yếu tố đại số
- Các yếu tố hình học (…)
Giải toán có lời văn là một phần quan trọng trong chương trình toán học, đặc biệt là số học về số tự nhiên, được giảng dạy từ lớp 1 đến hết bậc Tiểu học Số tự nhiên không chỉ xuất hiện trong các bài học mà còn được áp dụng rộng rãi trong đời sống hàng ngày, như trong giao dịch mua bán, thư tín, điện thoại và các hoạt động sinh hoạt thường nhật.
Việc dạy học sinh tiểu học nắm vững kiến thức về số tự nhiên là rất quan trọng Là sinh viên sư phạm tiểu học, tôi luôn trăn trở về cách tìm hiểu đầy đủ và chính xác nội dung dạy học số tự nhiên trong môn toán Chương trình học đại học đã giúp tôi nhận thức rõ ràng và hệ thống về tầm quan trọng của môn toán, đặc biệt là số tự nhiên.
Là một giáo viên Tiểu học tương lai, tôi cần áp dụng kiến thức đã học, đặc biệt là từ đại học, để phân tích nội dung và chương trình sách giáo khoa Tiểu học Việc này sẽ giúp tôi đạt hiệu quả tối ưu trong việc dạy và học môn toán tại trường Do đó, tôi đã chọn đề tài: "Về tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số nội dung môn học."
Bài viết "Toán ở Tiểu học" nhằm cung cấp cho giáo viên cái nhìn sâu sắc về nền tảng toán học của tập số tự nhiên và phương pháp giảng dạy số tự nhiên trong chương trình môn Toán tại bậc Tiểu học.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học
Bài viết này nhằm làm rõ cơ sở toán học của tập số tự nhiên bằng cách phân tích và khai thác các vấn đề lý thuyết, bài tập, cũng như mối liên hệ với một số nội dung môn Toán ở cấp Tiểu học Việc hiểu rõ về số tự nhiên không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các khái niệm toán học nâng cao sau này.
Ý nghĩa thực tiễn
Khóa luận này phân tích mối liên hệ giữa cơ sở toán học của tập số tự nhiên và các nội dung môn Toán ở Tiểu học, cung cấp tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học.
Mục tiêu nghiên cứu
Phân tích và khai thác kiến thức về tập số tự nhiên cùng các phép toán liên quan là rất quan trọng trong việc giảng dạy Toán học ở Tiểu học Bài viết này sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa tập số tự nhiên và các nội dung khác trong môn Toán, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các phép tính cơ bản và ứng dụng của chúng trong thực tiễn Việc nắm vững kiến thức này không chỉ hỗ trợ học sinh trong việc giải quyết bài tập mà còn phát triển tư duy logic và khả năng tính toán của các em.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu, tiếp cận số tự nhiên qua hệ tiên đề, bản số (tùy mục đích)
- Nghiên cứu cơ sở toán học về các vấn đề: tập hợp tương đương, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn
Nghiên cứu về tập số tự nhiên bao gồm việc xây dựng theo bản số và hệ tiên đề Peano, đồng thời khám phá quan hệ thứ tự trong tập số này Bên cạnh đó, các phép toán cơ bản trên tập số tự nhiên cũng được phân tích, nhằm hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của nó.
- Khai thác những bài toán liên quan đến: tập hợp tương đương, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn, các phép toán trên tập số tự nhiên
Sự thể hiện cơ sở toán học của tập số tự nhiên đóng vai trò quan trọng trong việc giảng dạy môn Toán ở Tiểu học Khái niệm số tự nhiên không chỉ giúp học sinh nhận biết và sử dụng các số trong cuộc sống hàng ngày mà còn tạo nền tảng cho việc phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề Việc hiểu rõ về số tự nhiên sẽ hỗ trợ học sinh trong các chủ đề toán học khác, từ phép cộng, phép trừ cho đến các khái niệm phức tạp hơn sau này.
- So sánh hai số, phép toán cộng, phép toán trừ, phép toán nhân, phép toán chia.
Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện các nhiệm vụ và mục tiêu của khóa luận, tôi đã áp dụng kiến thức cơ bản về toán học, bao gồm lý thuyết tập hợp, ánh xạ và phép toán trên tập số tự nhiên Tôi nghiên cứu cơ sở toán học của số tự nhiên, bao gồm khái niệm, quan hệ thứ tự và các phép toán Đồng thời, tôi tìm hiểu nội dung chương trình môn toán ở tiểu học và các tài liệu liên quan như sách giáo khoa và sách bài tập Qua việc phân tích các vấn đề lý thuyết và bài tập liên quan đến số tự nhiên, tôi làm rõ hơn cơ sở toán học và lịch sử của khái niệm số tự nhiên, từ đó chỉ ra mối liên hệ và sự thể hiện của những vấn đề này trong môn toán ở Tiểu học.
Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính của khóa luận được chia thành 3 chương
+ Chương 1: Xây dựng tập số tự nhiên
+ Chương 2: Các phép toán trên tập số tự nhiên
+ Chương 3: Mối liên hệ với một số nội dung dạy học toán ở tiểu học
TẬP SỐ TỰ NHIÊN
Xây dựng tập hợp số tự nhiên theo bản số
Cách tiếp cận theo bản số của nhà tâm lý học Piaget trong tác phẩm “La genèse du nombre chez l’enfant” nhấn mạnh sự kết hợp giữa hai quan điểm về số: quan hệ thứ tự và lớp Ông cho rằng việc xây dựng số tự nhiên chỉ dựa vào một trong hai quan điểm này là không chính xác, mà cần phải đồng nhất cả hai Piaget giả định rằng số tự nhiên đồng nhất với bản số, mặc dù có những nghi ngờ về mối liên hệ giữa số và tính chất của các lớp riêng biệt Ông không ủng hộ các lý thuyết của Frege và Russell, đồng thời khẳng định rằng ngoài tương ứng, thứ tự cũng là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết số Điều này dẫn đến việc mỗi số hạng trong lớp bất kỳ sẽ có số thứ tự tương ứng, và quy luật rằng mỗi cặp số hạng của các lớp khác nhau phải có cùng số thứ tự Như vậy, số tự nhiên sẽ mang nghĩa của cả hai cách tiếp cận.
Số tự nhiên là bản số của một tập hợp hữu hạn, được ký hiệu là N Nếu x là số tự nhiên, thì tồn tại một tập hữu hạn x với CardX = x Trong chương trình Tiểu học, khái niệm số tự nhiên được xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp, kết hợp với hình ảnh trực quan để giới thiệu các lớp tập hợp có cùng lực lượng, từ đó hình thành khái niệm ban đầu về số.
Nhà toán học Cantor là người đầu tiên tiếp cận số tự nhiên bằng cách xác định số liền trước và số liền sau Ông đã phát minh ra khái niệm bản số trong giai đoạn 1874-1884, sử dụng nó như một công cụ để so sánh các tập hợp hữu hạn Cantor chỉ ra rằng nếu a là số tự nhiên, thì tồn tại một tập hữu hạn A sao cho a = CardA Ông cũng giới thiệu khái niệm phép tương ứng 1-1, cho phép chứng minh rằng hai tập hợp hữu hạn có cùng bản số nếu có một tương ứng 1-1 giữa các phần tử của chúng Qua đó, Cantor đã mở rộng khái niệm này sang các tập hợp vô hạn, như tập hợp các số tự nhiên n = {1, 2, 3, }.
Bản số là khái niệm do Cantor phát triển để mở rộng ý nghĩa của "số" phần tử trong một tập hợp hữu hạn, nhằm đặc trưng cho các tập hợp này.
Số lượng phần tử trong một tập hợp được gọi là bản số, ký hiệu là |A| hoặc CardA Hai tập hợp A và B có bản số bằng nhau, tức là |A| = |B|, khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau, nghĩa là tồn tại một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.
1.1.1 Tập hợp tương đương Định nghĩa 1.1.1.1: Các tập hợp tương đương, còn gọi là tập hợp đẳng lực, là các tập hợp mà giữa các phần tử của chúng có thể thiết lập quan hệ tương đương, tức quan hệ tương ứng 1 - 1 hay còn gọi là song ánh
Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B, nếu có một song ánh f từ A lên
Như vậy: A ~ B khi và chỉ khi tồn tại một song ánh f : A → B
Tập hợp A các ngón tay của bàn tay phải tương ứng với tập hợp B các ngón tay của bàn tay trái thông qua một hàm tương ứng f: A → B Cụ thể, ngón cái của tay phải tương ứng với ngón cái của tay trái, ngón trỏ với ngón trỏ, ngón giữa với ngón giữa, ngón áp út với ngón áp út và ngón út với ngón út Điều này cho thấy sự tồn tại một song ánh 1:1 từ A lên B.
B M’ C Xét tam giác ABC kí hiệu [AB] và [CB] tương ứng là tập hợp các điểm của cạnh AB và CB
Thật vậy, xét ánh xạ f :[AB] → [ CB ] xác định như sau: với mọi điểm M trên cạnh AB, đặt:
Rõ ràng f là một song ánh
Đoạn thẳng tương đương đoạn thẳng c)
CD ~ AE (song song bằng nhau) nên AB ~ CD
Xét tập hợp 𝐴𝐵̂ là các điểm của nửa đường tròn với đường kính AB và tập hợp [AB] là các điểm của đoạn thẳng AB, ta có mối quan hệ 𝐴𝐵̂ ~ [AB] Để chứng minh điều này, chúng ta định nghĩa ánh xạ f : 𝐴𝐵̂ → [AB] như sau: với mỗi điểm x thuộc nửa đường tròn đường kính AB, ta xác định f(M) = M’, trong đó M’ là chân đường vuông góc từ điểm M hạ xuống đoạn thẳng AB.
Rõ ràng f là một song ánh
Ví dụ 1.1.1.4: Cung tròn tương đương đoạn thẳng tùy ý m
Ví dụ 1.1.1.5: a) Nửa đường tròn tương đương đoạn thẳng m
O b) Đường tròn tương đương đoạn thẳng CD tùy ý
(ta bỏ {A, B} vì A, B lấy 1 lần: hợp rời nhau) vậy ( O R ; ) = AmB AnB (A, B lấy 2 lần, trùng lặp: hợp không rời nhau)
Tập hợp (O; R) là tập con của AB, trong khi AB là tập con của AmB Điều này cho thấy rằng (O; R) cũng là tập con của AmB Hơn nữa, AB có mối quan hệ với mọi đoạn CD, dẫn đến việc (O; R) không thuộc về CD.
Ví dụ 1.1.1.6: Đường tròn tương đương đường tròn
(Như hình vẽ O, M, M’ thẳng hàng)
Vị tự tâm A , tỉ số k AO '
' f = T OO tịnh tiến theo Vecto OO '
Vậy 2 đường tròn luôn tương đương (cùng bản số)
Ví dụ 1.1.1.7: Đa giác tương đương đường thẳng
Ví dụ 1.1.1.8: Mặt cầu tương đương 2 hình tròn
Nửa mặt cầu tương đương hình tròn
Mặt cầu bằng hợp 2 nửa mặt cầu tương đương với 2 hình tròn (lấy rời nhau)
Ví dụ 1.1.1.9: Mặt cầu tương đương tập con mặt phẳng
(Vì mặt cầu tương đương 2 hình tròn, 2 hình tròn là tập con mặt phẳng)
Ví dụ 1.1.1.10: Mặt phẳng tương đương mặt cầu bỏ đi 1 điểm
(Mặt phẳng tương đương tập con mặt cầu)
Mặt cầu ( ) S tâm O , tiếp xúc( )
M : từ đỉnh p nối m cắt ( ) S tại M’
Tương ứng M ⟶ M’ cho ta song ánh
Có nhiều tập hợp tương đương như tập hợp số chẵn và số lẻ, số dương và số âm, cũng như các điểm trên một cung tròn mở và trên một đường thẳng Định lý cho thấy rằng quan hệ tương đương giữa các tập hợp thực sự là một quan hệ hai ngôi tương đương trong lớp các tập hợp Cụ thể, quan hệ tương đương giữa hai tập hợp cần thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Với mọi tập hợp a, ta luôn có A ~ A
Chứng minh: vì ánh xạ đồng nhất idA : A → A là một song ánh, nên ta luôn có
Với mọi tập hợp a, b, nếu A ~ B thì B ~ A chứng minh: nếu A ~ B thì theo định nghĩa, tồn tại một song ánh f: A → A khi đó ánh xạ ngược f –1 : B → A cũng là một song ánh vậy B ~ A
Với mọi tập hợp A, B, C, nếu A ~ Bvà B ~ Cthì A ~ C
Nếu A ~ B và B ~ C, theo định nghĩa, tồn tại các song ánh f: A → B và g: B → C Do đó, ánh xạ tích g º f: A → C cũng là một song ánh, dẫn đến A ~ C Đối với học sinh tiểu học, các em đang hình thành những khái niệm cơ bản về tập hợp và phần tử của tập hợp thông qua việc liệt kê đồ vật và sử dụng các từ quen thuộc để mô tả tập hợp.
Ví dụ: “Có 6 con vịt hợp thành một đàn vịt” Định lí Cantor: Với hai tập hợp A và B bất khì luôn xảy ra một trong hai trường hợp sau:
1) A tương đương với một bộ phận của B
2) B tương đương với một bộ phận của A
Nếu xảy ra đồng thời cả hai trường hợp trên thì a tương đương với b
Chú ý rằng tập hợp A tương đương với bộ phận B’ của tập hợp B, tức là tồn tại một song ánh f từ A đến B’ Nếu coi f là một ánh xạ từ A vào B, thì f sẽ là một đơn ánh Ngược lại, nếu có một đơn ánh f: A → B, thì ta có B' = f(A) ⊆ B.
Do đó, định lí Cantor có thể được phát biểu như sau:
Với hai tập hợp A và B bất kì, luôn xảy ra một trong hai trường hợp sau:
1) Có một đơn ánh từ A đến B
2) Có một đơn ánh từ B đến A
Nếu xảy ra đồng thời cả hai trường hợp thì có một song ánh từ A đến B
Chú ý rằng tập hợp A tương đương với bộ phận B’ của tập hợp B, tức là tồn tại một song ánh f từ A đến B’ Nếu coi f là một ánh xạ từ A vào B, thì f sẽ là một đơn ánh Ngược lại, nếu tồn tại một đơn ánh f: A → B, thì có thể thiết lập mối quan hệ tương ứng giữa các tập hợp này.
Như vậy mệnh đề “A tương đương với một bộ phận của B”, có thể diễn đạt theo một cách khác là: “Tồn tại một đơn ánh từ A đến B”
Chú ý: nếu A và B là hai tập hợp không tương đương nhau thì từ định lí Cantor sẽ xảy ra một và chỉ một trong hai trường hợp sau:
1) A tương đương với một bộ phận thực sự của B
2) B tương đương với một bộ phận thực sự của A
Khái niệm về một tập hợp, tập hợp tương đương được thể hiện rõ trong việc hình thành các số
Trong bài học về các số 1, 2, 3, sách giáo khoa giới thiệu số 1 thông qua nhiều tập hợp khác nhau nhưng đều có cùng một số lượng, cụ thể là một Các ví dụ minh họa cho số 1 bao gồm các tập hợp như "con chim", "em bé", "chấm tròn" và "con tính".
Trong môn toán lớp 1, học sinh được giới thiệu khái niệm ánh xạ đơn giản thông qua tương ứng 1-1 giữa các phần tử của hai tập hợp Ví dụ, khi so sánh “số thìa” và “số bát” bằng cách đặt một chiếc thìa vào một chiếc bát, học sinh đã thiết lập được tương ứng 1-1, xác lập một đơn ánh từ tập “số thìa” sang tập “số bát”.
1.1.2 Tập hợp vô hạn Định nghĩa 1.1.2.1: Tập hợp tương đương với một bộ phận thực sự của nó được gọi là một tập hợp vô hạn
Dãy số tự nhiên
Dãy số tự nhiên bắt đầu từ 0, tiếp theo là 1, 2, 3, và tiếp tục như vậy Tập hợp số tự nhiên là tập hợp rời rạc, vì giữa hai số tự nhiên liên tiếp không thể có số tự nhiên nào khác.
Hai số tự nhiên a và b có mối quan hệ hơn kém nhau 1 đơn vị, trong đó thao tác cộng 1 vào một số tự nhiên bất kỳ sẽ cho ra số tự nhiên liền sau nó, và thao tác trừ 1 sẽ cho ra số tự nhiên liền trước Giả sử a, b thuộc N và a ≤ b, với A và B là hai tập hợp hữu hạn sao cho A ⊆ B và Card(A) = a, Card(B) = b Khi đó, b được gọi là số kề sau của a nếu hiệu của hai tập hợp B và A chỉ có một phần tử, tức là Card(B \ A) = 1 Số kề sau của a được ký hiệu là a’, và khi b là số kề sau của a, a cũng được coi là số kề trước của b, ký hiệu là a = b’.
1) a b , do đó có các tập hợp hữu hạn A, B sao cho A B và
2) B \ A là một tập đơn tử
Ví dụ 1.2.1.1: Số 1 là số kề sau số 0 thật vậy, ta đã biết 0 1 = Card và
Sau khi tìm hiểu về các số tự nhiên từ 1 đến 10, học sinh sẽ nắm được khái niệm “số liền trước” và “số liền sau” Các khái niệm này được thể hiện rõ ràng qua các phép toán “thêm 1” và “bớt 1”, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các số.
Tính chất 1: Mỗi số tự nhiên có đúng một số kề sau
Nội dung của tính chất này gồm hai phần:
+ Tồn tại: Mỗi số tự nhiên đều có số kề sau
+ Duy nhất: Số kề sau của một số tự nhiên là duy nhất
Để chứng minh sự tồn tại, giả sử N, a = CardA Lấy phần tử x thuộc A, đặt A’ = A Rõ ràng A’ là một tập hợp hữu hạn vì A’ = A, đồng thời A \ A = {x} là một tập đơn tử Do đó, đặt b = CardA’, b là số tự nhiên kề sau của a.
Giả sử số tự nhiên a có hai số kề sau là b’ và b” Vì b’ là số kề sau của a, tồn tại các tập hợp hữu hạn A và B sao cho A < B.
Tập A = {x} là một tập đơn tử, và b là số kề sau của a, do đó tồn tại các tập hữu hạn A" và B" sao cho a = CardA", b = CardB" và B" \ A = {y} cũng là một tập đơn tử Giả thiết a = CardA' = CardA", dẫn đến A' = A Từ đây, có một song ánh f: A' → A Nhờ vào song ánh f, ta có thể xây dựng một ánh xạ g từ B' đến B" như sau: g: B' → B".
Do f là một song ánh nên g cũng là một song ánh Vậy B ’ ” = B hay b ’ ” = b Đó là điều phải chứng minh
Số 0 không phải là số kề sau của bất kỳ số tự nhiên nào, trong khi mọi số tự nhiên khác 0 đều có một số kề sau duy nhất Điều này có nghĩa là số 0 không có số liền trước, trong khi các số tự nhiên khác đều có một số kề trước.
Nội dung của tính chất này gồm hai phần:
+ Tồn tại: Mọi số tự nhiên khác 0 đều có số kề trước
+ Duy nhất: Số kề trước của một số tự nhiên khác 0 là duy nhất
Tính chất 3: Giả sử a và b là hai số tự nhiên Nếu a < b thì a’≤ b
Chứng minh: Nếu a b , N a , b , thì tồn tại các tập hữu hạn A, B sao cho
A B A B và ta có a = CardA b , = CardB Vì A B và A B nên B A \
B A không rỗng và tồn tại x thuộc B A Đặt A' = ∪{A, x}, thì A nằm trong A' và A' nằm trong B Khi đó, Card A' chính là số kế tiếp của a và thỏa mãn A' ⊆ B, dẫn đến a' ≤ b Điều này chứng minh rằng giữa số tự nhiên a và a' của nó không có số tự nhiên nào khác.
0 = Card là số tự nhiên không đứng liền sau số nào
1 = Card x là số tự nhiên đứng liền sau 0; 1 = 0’
Các số: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; ; 100; ; 1000; là các số tự nhiên
Các số tự nhiên sắp xếp theo thứ tự bé đến lớn tạo thành dãy số tự nhiên:
Có thể biểu diễn dãy số tự nhiên trên tia số:
Số 0 ứng với điểm gốc của tia số Mỗi số tự nhiên ứng với một điểm trên tia số
Trong dãy số tự nhiên:
Bằng cách thêm 1 vào bất kỳ số tự nhiên nào, ta sẽ luôn nhận được số tự nhiên liền sau, điều này chứng tỏ rằng không tồn tại số tự nhiên lớn nhất Dãy số tự nhiên có thể kéo dài vô hạn Ví dụ, khi ta thêm 1 vào số 1.000.000, kết quả nhận được là 1.000.001, tức là số tự nhiên liền sau.
1000 001 thêm 1 được một số tự nhiên liền sau là 1000 002,
Khi giảm 1 ở bất kỳ số tự nhiên nào (trừ số 0), ta sẽ nhận được số tự nhiên ngay trước nó Ví dụ, khi bớt 1 từ số 1, ta có số 0 Do không có số tự nhiên nào đứng trước số 0, nên số 0 được coi là số tự nhiên nhỏ nhất.
Trong dãy số tự nhiên, hai số liên tiếp thì hơn hoặc kém nhau 1 đơn vị
1.2.4 Tính vô hạn của tập hợp số tự nhiên
* Tập hợp số tự nhiên N là một tập hợp vô hạn
Chứng minh: Đặt N * = \ 0 N rõ ràng N *là một bộ phận thực sự của N Xét tương ứng f : N → N * n f n ( ) = n '
Hàm f ánh xạ mỗi số tự nhiên n đến số kề sau n' của nó, đảm bảo rằng mỗi số tự nhiên đều có một số kề sau duy nhất khác 0.
Mặt khác, mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số kề sau của đúng một số tự nhiên, nên f vừa là một toàn ánh vừa là một đơn ánh
Vậy f là một song ánh và ta có tập hợp N tương đương với bộ phận thực sự
N của nó Chứng tỏ N là một tập hợp vô hạn
Tập hợp vô hạn được chia thành hai loại: đếm được và không đếm được Tập hợp số tự nhiên là một ví dụ điển hình của tập hợp đếm được, vì mỗi số tự nhiên có thể liên kết với một số thứ tự duy nhất Học sinh tiểu học nhận biết rằng khi thêm 1 vào bất kỳ số nào, ta sẽ có số tự nhiên tiếp theo Đặc biệt, dãy số tự nhiên không có số lớn nhất, cho thấy tính chất vô hạn của nó.
Nguyên lí quy nạp và tính sắp thứ tự tốt
Chứng minh tính chất sắp thứ tự tốt của số tự nhiên thường gặp khó khăn do nguyên lý sử dụng khá trừu tượng và ít quen thuộc với người học Tiên đề toán học là những đề xuất được coi là đúng mà không cần chứng minh, đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng lý thuyết Tiên đề thuộc nhóm các yếu tố cơ bản, và chúng ta đã thừa nhận nhiều tính chất của số tự nhiên Do đó, việc chứng minh thêm tiên đề quy nạp có thực sự cần thiết hay không, vì thực chất tiên đề quy nạp chỉ là một tính chất của số tự nhiên.
Quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh trực tiếp, bao gồm hai bước chính Bước đầu tiên, gọi là bước cơ sở, chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên đầu tiên Bước thứ hai, được gọi là bước quy nạp, chứng minh rằng nếu mệnh đề đúng cho một số tự nhiên nào đó, thì nó cũng đúng cho số tự nhiên tiếp theo Sau khi hoàn thành hai bước này, quy tắc suy luận xác nhận mệnh đề đúng cho tất cả các số tự nhiên Phương pháp này thường được gọi là nguyên lý quy nạp toán học.
Giả sử M là một bộ phận của tập hợp số tự nhiên N thỏa mãn hai điều kiện:
Khi M = N, ta nhận thấy mệnh đề này đúng với hai điều kiện: thứ nhất, 0 không thuộc M, và thứ hai, nếu n thuộc M thì n' cũng thuộc M Điều này dẫn đến việc 0' = 1 thuộc M, 1' = 2 thuộc M, và như vậy mọi số tự nhiên đều thuộc M Do đó, nguyên lý quy nạp trở nên hiển nhiên và được xem như một tiên đề.
Trong quá trình xây dựng tập hợp số tự nhiên theo phương pháp tiên đề, nguyên lý quy nạp đóng vai trò như một tiên đề được công nhận Định lý này khẳng định rằng nếu P(n) là một hàm mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n, thì chúng ta có thể chứng minh tính đúng đắn của nó.
2) Nếu P(n) đúng thì P(n’) đúng; thì P(n) đúng với mọi số tự nhiên n
Chứng minh: Kí hiệu M là tập hợp các số tự nhiên n mà P(n) đúng,
M = {n ∈ N | P(n) đúng | Theo giả thiết ta có:
2) Nếu n ∈ M, nghĩa là P(n) đúng thì P(n’) đúng, do đó n’ ∈ M
Như vậy, M thỏa mãn hai điều kiện của nguyên lí quy nạp, suy ra M = N, hay P(n) đúng với mọi số tự nhiên n
Phép chứng minh bằng quy nạp: Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta cần tiến hành the,hai bước:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 0
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n( giả sử này thường được gọi là giả thiết quy nạp), ta chứng minh mệnh đề đúng với n’
Một dạng khác của phép chứng minh bằng quy nạp: Giả sử hàm mệnh đề P(n) xác định với biến tự nhiên n Nếu ta chứng minh được rằng :
2) Nếu P(k) đúng với mọi số tự nhiên k ≤ n thì P(k) đúng; thì P(n) đúng với mọi số tự nhiên n
Trong phép chứng minh bằng quy nạp, bước thứ hai là giả thiết mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên k và chứng minh mệnh đề đúng với k’ Đây thường là bước khó khăn nhất, nhưng cũng là lợi thế của phương pháp chứng minh này.
Trong nhiều trường hợp, việc chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ a là cần thiết, với a là một số tự nhiên xác định Để thực hiện chứng minh bằng quy nạp, bước đầu tiên là kiểm tra mệnh đề với n = a để xác nhận P(a) đúng Tiếp theo, giả thiết rằng mệnh đề đúng với n ≤ a, ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n’.
1.3.2 Tính sắp thứ tự tốt Định nghĩa về số theo quan hệ thứ tự thuộc về hai nhà toán học: Dedekind và Peano Dedekind (1887) đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự:
Các phần tử này được gọi là số tự nhiên hay số thứ tự Số chỉ phụ thuộc vào các tính chất thứ tự của số tự nhiên, dẫn đến kết luận rằng số thứ tự cơ bản hơn bản số Đây là một điểm quan trọng trong lý thuyết của Dedekind, người đề xuất rằng số tự nhiên phải được coi là một cấp số Các số tự nhiên có thể được định nghĩa dựa trên số liền trước của chúng.
Khái niệm: Tập hợp số tự nhiên N cùng với một quan hệ thứ tự ≤ trên
A được gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của A đều có phần tử nhỏ nhất
Giả sử M là một tập con rỗng của N, chúng ta sẽ chứng minh rằng M có số nhỏ nhất Định nghĩa M' = {n ∈ N | n ≤ x ∀ x ∈ N}, có nghĩa là M’ bao gồm tất cả các số tự nhiên n mà nhỏ hơn hoặc bằng mọi số tự nhiên x thuộc M.
Ta nhận thấy: M’ là một bộ phận khác
Nếu A có quan hệ thứ tự ≤ là sắp thứ tự tốt, thì ≤ là một quan hệ toàn phần trên A Điều này có nghĩa là với hai phần tử x và y bất kỳ trong A, bộ phận {x, y} có phần tử nhỏ nhất Nếu phần tử nhỏ nhất là x, ta có x ≤ y; nếu là y, ta có y ≤ x Do đó, mọi cặp phần tử trong A đều có thể so sánh được theo quan hệ ≤ Tập hợp số tự nhiên N với quan hệ thứ tự ≤ xác định là một tập hợp sắp thứ tự tốt.
Giả sử M là một tập hợp con rỗng của N, chúng ta sẽ chứng minh rằng M có số nhỏ nhất Tập hợp M’ được định nghĩa là M’ = { n ∈ N | n ≤ ∀ x ∈ M }, nghĩa là M’ bao gồm tất cả các số tự nhiên n mà nhỏ hơn hoặc bằng mọi số tự nhiên x thuộc M.
Nhận thấy M’ là một bộ phận của N có các tính chất:
1) 0 M vì ’ 0 x với mọi nên cũng có 0 x với mọi x N
2) M ’ N Thật vậy, vì M nên tồn tại x N khi đó x ’ M ’
Như vậy, tập hợp M’ thỏa mãn điều kiện thứ nhất của tiên đề quy nạp, nhưng
M’ không thể thỏa mãn điều kiện thứ hai của tiên đề quy nạp, dẫn đến sự tồn tại của phần tử m thuộc M’ nhưng không thuộc M Chúng ta sẽ chứng minh rằng phần tử m này là phần tử nhỏ nhất của M Trước hết, vì m thuộc M’,
, m x x M Do đó để chứng minh m là phần tử nhỏ nhất của M ta chỉ cần chứng minh m ∈ M Giả sử ngược lại, m ∉ M Khi đó ta phải có:
, m x x M Từ đó suy ra: m ’ x x M hay m ’ M ’ mâu thuẫn với giả thiết về m Vậy m ∈ M và đó là phần tử nhỏ nhất của M
Nói cách khác khi ta dạy ở bậc tiểu học, học sinh sẽ được học theo phương pháp sau:
Cách tiếp cận quan hệ thứ tự đồng nhất giữa số tự nhiên và số thứ tự cho thấy rằng số tự nhiên thể hiện "vị trí của các số hạng trong một cấp số".
1.3.3 Bộ phận bị chặn trên
Giả sử M là một bộ phận của N, M gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số tự nhiên a sao cho x ≤ a với mọi x ∈ M
Số tự nhiên liền sau Thêm một đơn vị
Số tự nhiên liền trước
Mọi bộ phận khác rỗng bị chặn trên của tập hợp số tự nhiên N đều có số lớn nhất
Giả sử M ⊂ N, M ≠ ∅ và M bị chặn trên Khi đó theo định nghĩa tồn tại a ∈ N sao cho x ≤ a, ∀ x ∈ M Đặt M ’ = { n N | x , n x M }
Giả sử M’ là một tập con của N và M’ không rỗng, ta luôn có a thuộc M’ Nhờ vào tính chất sắp thứ tự tốt của tập hợp N, tập hợp M’ sẽ có một số nhỏ nhất, giả sử số đó là m.
Ta sẽ chứng minh m là số lớn nhất của tập hợp M Trước hết ta luôn có:
( ’) x m x M Vì m M Vì vậy để chứng minh m là số lớn nhất của M ta chỉ cần chứng minh m ∈ M Giả sử ngược lại, m ∉ M khi đó ra có: x , m x M
Vì m khác rỗng, tồn tại ít nhất một phần tử x' trong M, và điều kiện x' nhỏ hơn m chứng tỏ m không bằng 0 Điều này cho thấy có tồn tại số kề trước m' của m Từ điều kiện x nhỏ hơn m và m không thuộc x M, suy ra x' nhỏ hơn hoặc bằng m và do đó m' thuộc M' Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng m là phần tử nhỏ nhất của M'.
Vậy m ∈ M và đó chính là số lớn nhất của M.
Xây dựng tập số tự nhiên theo tiên đề Peano
Số tự nhiên là khái niệm quan trọng trong Toán học hiện đại, vì vậy việc định nghĩa chúng dựa trên các tiên đề là rất cần thiết Hệ tiên đề Peano giúp chúng ta hiểu rõ hơn về định nghĩa số tự nhiên.
Mặc dù lý thuyết của Dedekind và Peano có nhiều điểm tương đồng, nhưng lý thuyết của Peano được áp dụng và xem xét rộng rãi hơn trong các lĩnh vực toán học khác nhau.
Lý thuyết của Peano xuất hiện đầu tiên vào năm 1899 trong quyển
Lý thuyết của Peano bao gồm ba khái niệm cơ bản và năm tiên đề dựa trên các khái niệm này Các khái niệm không định nghĩa trong lý thuyết này là "1", "số tự nhiên" và "số liền sau".
Cách tiếp cận số tự nhiên của Peano dựa trên phương pháp tiên đề đánh dấu bước ngoặt quan trọng sau Dedekind trong việc nhìn nhận số tự nhiên từ góc độ thứ tự Theo phương pháp này, các số tự nhiên được định nghĩa dựa vào số liền trước của chúng, với số 1 là khái niệm cơ bản không cần định nghĩa Đặc biệt, Peano không chọn số 0 làm khái niệm cơ bản trong các tiên đề của mình.
Tập N bao gồm các số tự nhiên, trong đó các phần tử có quan hệ kề nhau theo bốn tiên đề cụ thể Những tiên đề này xác định cách thức mà các phần tử tương tác và liên kết với nhau, tạo nên cấu trúc rõ ràng cho tập hợp Sự hiểu biết về các quan hệ này là rất quan trọng để phân tích và nghiên cứu các thuộc tính của tập N.
(N1) 0 là một số tự nhiên, và 0 không phải số kề sau của bất kì số tự nhiên nào
(N2) Mỗi số tự nhiên đều có một và chỉ một số tự nhiên kề sau nó
Mỗi số tự nhiên chỉ có một số tự nhiên kề sau Nếu tập hợp D của các số tự nhiên chứa số 0 và mỗi khi D có một số tự nhiên n thì D cũng phải có số kề sau của n, thì D sẽ trùng với tập hợp N.
Người ta gọi N là tập các số tự nhiên
1) Nếu một số tự nhiên khác 0 cùng là kề sau của các số tự nhiên a và b, thì bởi (N3) ta suy ra a = b
2) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là kề sau của một số tự nhiên Thật vậy, xét tập D gồm số 0 và những số tự nhiên là kề sau của một số tự nhiên Khi đó bởi 0 ∈ D và nếu a ∈ D thì số kề sau của nó hiển nhiên cũng thuộc
D, nên theo tiên đề (N4), D trùng với N Do đó kết hợp với (N3), ta suy ra mỗi số tự nhiên khác số tự nhiên 0 là số tự nhiên kề sau của đúng một số tự nhiên
3) Tiên đề (N4) được gọi là tiên đề quy nạp Từ tiên đề này ta rút ra rằng: Nếu một hàm mệnh đề P(n) của biến số tự nhieenn có P(0) đúng, và nếu từ P(a) đúng sẽ kéo theo P(a’) cũng đúng, thì P(n) đúng với mọi n ∈ N
4) Thực chất trong nguyên bản của hệ tiên đề Peano, người ta đã không coi số 0 là một số tự nhiên, cũng như một nửa nhân loại đã không coi số 0 là một số tự nhiên Tuy nhiên việc trình bày bắt đầu bằng số 0 là một thói quen của nước ta, và có nhiều ưu điểm
5) Tiên đề (N1) nói rằng trong tập N tồn tại một phần tử, không phải là phần tử kề sau của bất cứ một phần tử nào, theo (2) thì phần tử này là duy nhất Số duy nhất khởi đầu đó, ta đặt là 0 hay 1 không quan trọng, không thể hiện ở nội hàm của Hệ tiên đề Peano, mà sự khác nhau được thể hiện trong cấu trúc của các phép toán cộng và nhân trong N
Trong tập hợp các số tự nhiên, tồn tại số 0 và với mọi số tự nhiên a, luôn có một số tự nhiên liền sau được ký hiệu là S(a) Đặc biệt, không có số tự nhiên nào có số liền sau là 0 Hơn nữa, hai số tự nhiên khác nhau sẽ có hai số liền sau tương ứng khác nhau, nghĩa là nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
Nếu một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0 và chúng ta chứng minh rằng nếu tính chất đó đúng với một số tự nhiên thì cũng đúng với số liền sau của nó, thì tính chất đó sẽ được thỏa mãn với mọi số tự nhiên Định đề này khẳng định tính chính xác của phép quy nạp toán học.
Lưu ý rằng "0" trong định nghĩa không chỉ đơn thuần là số không mà chúng ta thường nói đến, mà thực chất nó đại diện cho một đối tượng nào đó Khi kết hợp với một hàm liền sau, "0" sẽ thỏa mãn các tiên đề Peano Nhiều hệ thống khác nhau có thể đáp ứng các tiên đề này, trong đó có các số tự nhiên, bắt đầu từ số không hoặc số một.
Trong suốt quãng thời gian học từ lớp 1 đến lớp 9, chúng ta thường chấp nhận 1 + 1 = 2 như một sự thật hiển nhiên, cùng với các định nghĩa về phép cộng, nhân, chia trong số tự nhiên theo sách giáo khoa Tuy nhiên, khi nắm vững kiến thức về logic toán, lý thuyết tập hợp và ánh xạ, những người đam mê toán học sẽ không thể chỉ dừng lại ở sự "hiển nhiên" này Điều này đặc biệt rõ ràng khi tiếp cận với các khái niệm toán học sâu hơn.
“nghịch lí 1 + 1 = 1” với các dẫn dụ:
- 1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;
1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát
- 1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn
Giải và khai thác một số bài tập liên quan
Bài 1.5.1: Cho hai tập A, B Chứng minh rằng: A B ~ B A
Vậy f là một đơn ánh
Thật vậy, giả sử ( x ’, ’ , ”, ” y ) ( x y ) A B và ( x ’, ’ ”, ” y ) ( x y ) Khi đó x ’ ” x hoặc y ’ ” y Mặt khác, ta có f x ( ’, ’ ’, ’ y ) = ( y x ) và f x ( ”, ” y ) = ( y ”, ” x ) Từ
Mà ta có( x ', y' ) B A Hiển nhiên ( x ", y") A B là tạo ảnh của ( ', ') x y qua ánh xạ f Do đó f là song ánh và từ đó có A×B ~ B×A
Bài 1.5.2: Cho hai tập A, B, với B ≠ ∅ Chứng mỉnh rằng A tương đương với một bộ phận của tích Đề-các A×B
Với hai tập bất kì A, B, trong đó B ≠ ∅ ta có A tương đương với một bộ phận của A×B Thật vậy, vì B ≠ ∅ nên tồn tại b ∈ B
Ta chứng minh f là đơn ánh
Thật vậy, giả sử x’≠ x” x ’, ” x A và x ’ ” x Khi đó ( x ’, ”, b ) ( x b )do đó ( ) ’ ( ) ” f x f x Vì f là đơn ánh nên A tương đương với một bộ phận của A×B
Bài 1.5.3: Chứng minh rằng: Tập hợp các số tự nhiên là vô hạn
2 N = { x N | x = 2 , k k N (Tập số tự nhiên chẵn)
Ta có : tập 2N là tập con thực sự của N ( 2 N N ) (1) Ánh xạ f là một song ánh (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra N là tập vô hạn
Bài 1.5.4: Cho P(n) là một hàm mệnh đề một biến (vì từ một ngôi) xác định trên tập các số tự nhiên:
Chứng minh rằng: a, Nếu hàm mệnh đề P(n) thỏa mãn các điều kiện sau:
- P(a) đúng với a là một số tự nhiên nào đó
- Với mọi n ∈ N, P(n) đúng kéo theo P(n’) đúng thì mệnh đề ∀n ≥ a, P(n) đúng (nghĩa là P(n) đúng ∀n ≥ a) b, Nếu P(n) thỏa mãn các điều kiện sau:
- Với mọi k ∈ N sao cho 0 ≤ k ≤ n, P(k) đúng kéo theo P(k’) đúng, thì mệnh đề ∀n ∈ N, P(n) đúng (nghĩa là P(n) đúng với ∀n ∈ N)
Chứng minh: a, Nếu a = 0 thì ta có nguyên lí của phép chứng minh bằng quy nạp (trong phần 1.3.)
Hơn nữa, theo cách xác định của các tập M’, M”, M ta dễ dàng chứng minh được với mọi n ∈ N, nếu n ∈ M thì n’ ∈ M Từ đó suy ra M = N
Do đó N – ’ M M ”, nghĩa là { n N | n a { { n M | P n đúng ( ) } Điều đó chứng tỏ rằng P(n) đúng với mọi n ≥ a {n ∈ N} b, Xét tập S = { n N | P n sai ( ) } Vì P(0) đúng nên 0 ∉ S
Giả sử S ≠ ∅ Vì S ⊂ N và S ≠ ∅ nên S có số nhỏ nhất, chẳng hạn là m’
Ta có m’ ∈ S và 0 ∉ S Vậy m’ ≠ 0 Vì m’∈ S nên P(m’) là mệnh đề sai Vì M’ là số nhỏ nhất của S nên mọi k ∈ N sao cho 0 ’ k m đều không thuộc
S Như vậy ta có P(k) đúng với mọi k ∈ N sao cho0 1 ’ – 1 m Khi đó, theo giả thiết ta có P(m’) đúng Điều đó mâu thuẫn với kết quả P(m’) sai Vậy
S = ∅ Do đó P(n) đúng với mọi n ∈ N
Bài 1.5.5: Cho X là tập các tam giác, Y là tập các đường tròn a) Quy tắc cho tương ứng mỗi tam giác với một đường tròn ngoại tiếp nó có phải là ánh xạ hay không? Tại sao? b) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp trong đường tròn đó có phải là ánh xạ hay không? Tại sao?
Chứng minh rằng mỗi tam giác luôn có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp, điều này khẳng định tính ánh xạ Ngược lại, một đường tròn có thể chứa vô số tam giác nội tiếp, điều này cho thấy không phải tất cả các đường tròn đều là ánh xạ của tam giác.
- Phát biểu bài toán cho cho tứ giác, đa giác
Bài toán liên quan đến tam giác ngoại tiếp đường tròn đề cập đến việc mỗi tam giác có thể được xác định bởi một đường tròn nội tiếp, tức là tam giác đó bao quanh đường tròn này Việc nghiên cứu mối quan hệ giữa tam giác và đường tròn ngoại tiếp không chỉ giúp hiểu rõ hơn về hình học mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Bài 1.5.6: Cho X = 1; 2; 3; 4; 5; 6 Có thể thiết lập một đơn ánh mà không phải là toàn ánh từ X vào chính nó không? Tại sao?
Không thể thiết lập một đơn ánh mà không phải là toàn ánh từ tập hợp X vào chính nó, vì X là hữu hạn Do đó, mọi đơn ánh đều là toàn ánh, mặc dù chúng không thực sự tồn tại.
- Tính số ánh xạ từ X vào X: 66
- Thay X bằng tập n phần tử
Bài 1.5.7: Cho X = a b c d e và Y ; ; ; ; = 1; 2; 3; 4 Có thể thiết lập một song ánh từ X lên Y không? Tại sao?
Không thiết lập được vì X và Y không tương đương (số phần tử khác nhau)
- Khái quát khi X, Y lần lượt có m, n phần tử (m > n)
- Bổ sung thêm câu hỏi:
+ Tìm số ánh xạ: Gọi f là ánh xạ từ X vào Y f(a) có 4 cách chọn, f(b), f(c), f(d), f(e) cũng vậy
+ Tìm số toàn ánh: Nếu f là toàn ánh từ X vào Y thì mỗi phần tử của Y đều là ảnh của ít nhất 1 phần tử thuộc X Ta có 4 trường hợp:
1 có 2 tạo ảnh; 2, 3, 4 mỗi số có 1 tạo ảnh
2 có 2 tạo ảnh; 1, 3, 4 mỗi số có 1 tạo ảnh
3 có 2 tạo ảnh; 1, 2, 4 mỗi số có 1 tạo ảnh
4 có 2 tạo ảnh; 1, 2, 3 mỗi số có 1 tạo ảnh
Xét trường hợp 1 có 2 tạo ảnh; 2, 3, 4 mỗi số có 1 tạo ảnh
Số cách chọn tạo ảnh của 1:
Khi đã chọn 2 tạo ảnh của 1, còn 3 phần tử của X sẽ tương ứng 1-1 với 3 phần tử 2, 3, 4 của Y: có 3! = 6 cách chọn
Trong trường hợp này, ta có 10.6 = 60 Tương tự, khi số 2, 3, và 4 mỗi số có 2 cách tạo ảnh, mỗi trường hợp cũng cho ra 60 cách chọn Tổng số cách chọn được tính là: 60 + 60 + 60 + 60 = 240.
Bài 1.5.8: Chứng minh rằng các tập sau đây là tương đương: a) X là tập các điểm thuộc đường tròn tâm O , bán kính R và tập Y các điểm thuộc đường tròn tâm O bán kính R 2 với R R 2 b) Tập A các điểm thuộc đường tròn tâm O , bán kính R và tập B các điểm thuộc đường kính của đường tròn đó c) Tập X gồm các điểm nằm trong hình tròn tâm O , bán kính R và tập P các điểm trong mặt phẳng
Cho f(M) = M’ Rõ ràng có đơn ánh từ B vào A, và nửa đường tròn tương đương với đoạn thẳng, tức là nửa đường tròn tương đương với bán kính, trong khi nửa còn lại tương đương với nửa đường kính Điều này cho thấy có đơn ánh từ A vào B, do đó A tương đương với B Thêm vào đó, có đơn ánh từ mặt phẳng vào mặt cầu, vì mỗi nửa mặt cầu tương đương với hình chiếu của nó là hình tròn, dẫn đến việc có đơn ánh từ mặt cầu vào hình tròn.
M M' O có đơn ánh từ mặt phẳng vào hình tròn Hiển nhiên có đơn ánh từ hình tròn vào mặt phẳng Vậy mặt phẳng tương đương hình tròn
Bài 1.5.9: Cho A và B là hai tập hợp Chứng minh rằng a) A B B A ; b) Nếu B khác rỗng thì A luôn tưong đương với một tập con của A B
Vậy f là một đơn ánh
Thật vậy, giả sử ( x ’, ’ , ”, ” y ) ( x y ) A B và ( x ’, ’ ”, ” y ) ( x y ) Khi đó x ’ ” x hoặc y ’ ” y Mặt khác, ta có f x ( ’, ’ ’, ’ y ) = ( y x ) và f x ( ”, ” y ) = ( y ”, ” x ) Từ
Mà ta có( x ', y' ) B A Hiển nhiên ( x ", y") A B là tạo ảnh của ( ', ') x y qua ánh xạ f Do đó f là song ánh và từ đó có A×B ~ B×A b) Tồn tại b thuộc B A A b A B
Tích Đề là một khái niệm quan trọng trong toán học, cho thấy rằng các hữu hạn tập tương đương tích của chúng không thay đổi giá trị khi thay đổi thứ tự hoặc hoán vị Điều này có nghĩa là việc đảo thứ tự các yếu tố trong tích Đề không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.
A A A tương đương bộ phận con của A 1 A 2 A n A n + 1 ( A n + 1 )
Bài 1.5.10: Chứng minh rằng tập A hữu hạn khi và chỉ khi mọi đơn ánh từ A vào chính nó đều là song ánh
Nếu có đơn ánh f: A→A không song ánh Khi đó f A ( ) A f A , ( ) A Ta có
A ~ f(A) là tập con thực sự của A Trái định nghĩa tập hữu hạn
Ngược lại, nếu mọi đơn ánh từ A vào chính nó đều là song ánh và A không hữu hạn thì a vô hạn Theo định nghĩa tập vô hạn, A ' A A , ' A A , A '
Do đó có song ánh f : A → A ' Xét ánh xạ F A : → A a , F a ( ) = f a ( ) F là đơn ánh mà không là toàn ánh Điều này trái giả thiết Vậy A phải là tập hữu hạn
Bài 1.5.11: Chứng minh rằng: a) Mọi tập tương đương với một tập vô hạn đều là vô hạn; b) Mọi tập chứa một tập vô hạn đều vô hạn; c) Một tập vô hạn không thể tương đương với tập hữu hạn
Chứng minh: a) Giả sử A tương đương với B, B vô hạn Khi đó có song ánh f : B → A Tồn tại B ' B B , ' B B , ' B Vì f song ánh nên ta có f B ( ') A f B , ( ') A Ta có
A được xác định là tập con thực sự của f(B’), cho thấy A là vô hạn Nếu A chứa B và B cũng vô hạn, thì B được xem là tập con thực sự của B’ Theo tính chất hợp rời nhau, ta có A = (A B \) B (A B \) B'.
Vậy A tương đương với ( A B \ ) B ' và ( A B \ ) B ' là tập con thực sự của A Vậy A vô hạn c) Giả sử A hữu hạn, B vô hạn Nếu A tương đương với B thì có song ánh
: f B → A Vì B vô hạn tồn tại B ' B B , ' B B , ' B Vì f song ánh nên ta có
( ') , ( ') f B A f B A Ta có f B ( ') B ' B A Do đó A tương đương với tập con thực sự của nó là f(B’) Vậy A vô hạn trái giả thiết
Bài 1.5.12: Chứng minh rằng tập các điểm trên đường thẳng là một tập vô hạn
Cách 1: Ta đã biết đoạn thẳng là vô hạn Mà đoạn thẳng là bộ phận của đường thẳng nên đường thẳng vô hạn
Cách 2: Coi đường thẳng là tập số thực (đường thẳng thực) Ta có:
: , x f → + x e là song ánh Do đó đường thẳng thực tương đương bộ phận con của nó Vậy là tập vô hạn
Bài 1.5.13: Cho hai số tự nhiên a và b trong đó a b Chứng minh rằng a b
Lấy 2 tập hữu hạn A, B sao cho: a = Card(A), B = Card(B) và A B A , B
Lấy phần tử x B Khi đó rõ ràng x A Ta có:
Trong chương 1, chúng tôi đã tổng hợp các kiến thức cơ bản về số tự nhiên, bao gồm tập hợp tương đương, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn và khái niệm số tự nhiên Chúng tôi cũng phân tích và làm rõ các nội dung toán học qua ví dụ minh họa, mở rộng các tính chất và giới thiệu một số mô hình của tập số tự nhiên Bên cạnh đó, chương này còn cung cấp lời giải và khai thác một số bài tập liên quan đến tập tương đương, tập hữu hạn, tập vô hạn và khái niệm số tự nhiên.
