Lí thuyết chia hết trong tập số tự nhiên và mối liên hệ với một số nội dung môn toán ở tiểu học

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa thực tiễn

Khóa luận này phân tích mối liên hệ giữa cơ sở toán học của lý thuyết chia hết và các nội dung trong môn Toán Tiểu học, nhằm cung cấp tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và sinh viên ngành Giáo dục Tiểu học.

Mục tiêu nghiên cứu

Phân tích và khai thác kiến thức về lý thuyết chia hết trong toán học là rất quan trọng, đặc biệt trong bối cảnh giảng dạy môn Toán ở Tiểu học Những khái niệm này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về các phép toán cơ bản mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn sau này Mối liên hệ giữa lý thuyết chia hết và các nội dung khác trong chương trình Toán Tiểu học, như phân số và số nguyên, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng tính toán chính xác Việc áp dụng lý thuyết chia hết trong các bài tập thực tế sẽ làm tăng tính thú vị và khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở toán học liên quan đến các vấn đề như quan hệ chia hết và phép chia có dư, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố cùng với định lý cơ bản của số học, và quan hệ đồng dư Những khái niệm này không chỉ là nền tảng cho lý thuyết số mà còn có ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Việc hiểu rõ các mối quan hệ này sẽ giúp cải thiện khả năng giải quyết bài toán và phát triển tư duy logic.

Khai thác các bài toán về lý thuyết chia hết trong tập số tự nhiên bao gồm việc giải và phân tích các dạng toán liên quan đến dấu hiệu chia hết, áp dụng tính chất chia hết của tổng và hiệu, tìm chữ số tận cùng, cũng như vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải quyết các bài toán có lời văn Ngoài ra, các dạng toán tìm thương, số chia và số dư trong phép chia Euclid cũng được khai thác để nâng cao khả năng tư duy toán học.

Bài viết này phân tích sự thể hiện cơ sở toán học của lý thuyết chia hết trong chương trình môn toán Tiểu học, bao gồm việc liên hệ với phương pháp dạy học về phép chia, các dấu hiệu chia hết và một số dạng bài tập liên quan Việc hiểu rõ các khái niệm này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong toán học.

Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được các mục tiêu của khóa luận, chúng tôi đã áp dụng kiến thức về lí thuyết chia hết và chia có dư, cùng với Định lí Euler và Định lí Fermat Chúng tôi bắt đầu bằng việc nghiên cứu lí thuyết chia hết trên tập số tự nhiên, cũng như ứng dụng của quan hệ đồng dư trong các bài toán liên quan đến chia hết và tìm số dư Đồng thời, chúng tôi cũng xem xét nội dung chương trình môn toán ở tiểu học và các tài liệu liên quan như sách giáo khoa và sách bài tập Cuối cùng, chúng tôi phân tích và khai thác các vấn đề lí thuyết và bài tập liên quan đến lí thuyết chia hết, từ đó chỉ ra mối liên hệ của kiến thức toán học này trong chương trình Toán tiểu học.

Cấu trúc của đề tài

Bài viết bao gồm phần mở đầu, bảng kí hiệu, chữ viết tắt, danh mục bảng biểu, mục lục, kết luận kiến nghị và tài liệu tham khảo Nội dung chính được chia thành 3 chương: Chương 1 trình bày lý thuyết chia hết trong tập số tự nhiên, trong khi Chương 2 khai thác một số dạng toán liên quan đến lý thuyết này.

THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN.

CHƯƠNG 3 MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ MỘI DUNG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC.

LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

Quan hệ chia hết và phép chia có dư

1.1.1.1 Định nghĩa về chia hết. Định nghĩa: “Cho a và b là hai số tự nhiên, b ≠ 0 Ta nói rằng a chia hết cho b nếu có một số tự nhiên q sao cho a = bq Số tự nhiên q gọi là thương trong phép chia a cho b Nếu a chia hết cho b, ta kí hiệu là a ⋮ b, khi đó ta cũng nói là b chia hết a và kí hiệu là b|a”[12].

Dựa vào cách ghi số trong hệ thập phân, chúng ta có thể xác định dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên a dựa vào các chữ số của số bị chia Đối với hai số tự nhiên a và b (với b khác 0), luôn tồn tại hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho a = b × q + r, với điều kiện 0 ≤ r < b Nếu r = 0, điều này cho thấy phép chia là chia hết.

Ví dụ: Phép chia 12 cho 3 là phép chia hết: 12 chia cho 3 được 4. Tính chất:

“Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c”[16].

Vì a ⋮ b nên có q ∈ N để a = bq

Vì b ⋮ c nên có p ∈ N để b = cp

Từ đó a = bq = c (pq) Theo định nghĩa ta có a ⋮ c.

Nếu a ⋮ b, a ⋮ b, … , a ⋮ b và x , x , … , x là những số tự nhiên tùy ý thì ta có: a x + a x + ⋯ + a x ⋮ b

Chứng minh Theo giả thiết tồn tại các số q , q , … , q ∈ N sao cho a = bq , … , a = bq

Điều này chứng tỏ rằng trong một đẳng thức như a + a + ⋯ + a = m + m + ⋯ + m, nếu tất cả các số hạng trừ một số hạng nào đó đều chia hết cho b, thì số hạng còn lại cũng sẽ chia hết cho b.

1.1.1.2 Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.

Số tự nhiên a chia hết cho 2 khi chữ số hàng đơn vị của nó là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 Đồng thời, số tự nhiên a chia hết cho 5 khi chữ số hàng đơn vị của nó là 0 hoặc 5.

Chứng minh Giả sử = … Khi đó có thể viết = 10 + ⋯ + 10 +

Vì 10 chia hết cho 2 và 5 nên điều kiện cần và đủ để a chia hết cho 2 (hoặc 5) là: c chia hết cho 2 (hoặc 5).Đpcm.

1.1.1.3 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9.

Một số chia hết cho 3 (tương ứng chia hết cho 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số đó chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).

Một lũy thừa bất kỳ của 10 khi chia cho 3 hoặc 9 đều cho kết quả dư bằng 1 Điều này có thể được chứng minh thông qua công thức nhị thức Newton.

Vì vậy với số tự nhiên a ta có thể viết:

=9 +( + + ⋯ + + ). Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ rằng a chia hết cho 3 (tương ứng cho

9) khi và chỉ khi + + ⋯ + + chia hết cho 3 (tương ứng cho 9).Đpcm. a) Chia hết cho 3.

15 có tổng các chữ số: 1 + 5 = 6 chia hết cho 3 ⇒ 15 chia hết cho 3

138 có tổng các chữ số là: 1 + 3 + 8 = 12 chia hết cho 3 ⇒ 138 chia hết cho 3 b) Chia hết cho 9.

18 có tổng các chữ số: 1 + 8 = 9 chia hết cho 9 ⇒ 18 chia hết cho 9

189 có tổng các chữ số là: 1 + 8 + 9 = 18 chia hết cho 9 ⇒ 189 chia hết cho 9 1.1.1.4 Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25.

Số tự nhiên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số cuối cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).

Chứng minh Thật vậy, số tự nhiên a = được viết thành c c … c c

Vì 100 chia hết cho 4 và 25 nên a chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi c 10 chia hết cho 4 (hoặc 25) nghĩa là khi và chỉ khi c c chia hết cho 4 (hoặc 25).Đpcm

Để xác định xem một số có chia hết cho 4 hay không, ta chỉ cần xem hai chữ số tận cùng của nó Nếu số này chia hết cho 4, thì số ban đầu cũng chia hết cho 4, vì 100 chia hết cho 4 Các số như 24, 04, 08 là ví dụ điển hình cho quy tắc này Một phương pháp khác là chia đôi số đã cho và kiểm tra xem kết quả có chia hết cho 2 hay không; nếu có, số ban đầu cũng chia hết cho 4.

2092 (Chỉ lấy hai chữ số cuối của số, loại bỏ đi các chữ số khác)

92 ÷ 4 = 23 (Kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 không)

2092 ÷ 4 = 523 (Nếu số thu được chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4) Cách khác

1720 ÷ 2 = 860 (Chia số ban đầu cho 2)

860 ÷ 2 = 430 (Kiểm tra xem kết quả vẫn còn có chia hết cho 2 không)

1720 ÷ 4 = 430 (Nếu kết quả chia hết cho 2 thì số ban đầu chia hết cho 4)

Với trường hợp phép chia hết cho 4 ta phải xét 2 trường hợp gồm: Nếu số lớn hơn 99:

Một số chia hết cho 4 khi 2 chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc tổng 2 số cuối cùng chia hết cho 4.

Ví dụ: 14676 chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối cùng 76 tạo thành một số chia hết cho 4 (76/4 = 19) Số 345 200 cũng chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối là số không

Một số sẽ chia hết cho 4 nếu khi nhân đôi chữ số hàng chục và cộng với chữ số hàng đơn vị, kết quả này chia hết cho 4.

Để kiểm tra số chia hết cho 4, ta chỉ cần lấy chữ số hàng chục nhân đôi và cộng với chữ số cuối Ví dụ, với số 64, ta có 2 × 6 + 4 = 16, và 16 chia hết cho 4, nên 64 cũng chia hết cho 4 Tương tự, với số 96, ta tính 9 × 2 + 6 = 24, và 24 chia hết cho 4, do đó 96 cũng chia hết cho 4.

Số 47 = 4 × 2 + 7 = 15 không chia hết cho 4 nên 47 không chia hết cho 4.

1.1.1.5.Dấu hiệu chia hết cho 11.

“Số tự nhiên a chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ các chữ số hàng lẻ (hoặc ngược lại) là bội của 11”[16].

Trước hết ta nhận xét rằng một lũy thừa của 10 sẽ có dạng 11q hoặc 11q−1

Như vậy 10 = 11 q + 1 nếu n chẵn và 10 = 11 q − 1 nếu n lẻ. có thể viết thành

Do đó số tự nhiên a = c c … c c

Nếu phép trừ giữa tổng chữ số hàng chẵn và tổng chữ số hàng lẻ không thực hiện được trong N, chúng ta cần đổi vai trò của hai tổng này Đẳng thức cuối cùng chứng minh rằng số a chia hết cho 11 khi và chỉ khi điều kiện trên được thỏa mãn.

Ví dụ: Số 9873215 chia hết cho 11 vì:

1.1.1.6 Một số dấu hiệu chia hết mở rộng

Dấu hiệu chia hết cho 4.

- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4

- Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4.

- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho

- Các số chia hết cho 25 thì chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho

- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8

- Các chữ số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 8.

- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.

- Các số chia hết cho 125 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 125.

- Các số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 thì chia hết cho 11.

- Các số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11.

Trong các bài toán nâng cao về chia hết, học sinh Tiểu học thường gặp các dấu hiệu chia hết cho các số như 2, 5, 3, 9, 4, 25, 8, 125, 11, và đặc biệt là 6, 12, 15, 18, 24, 36, 45, 99 Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần xác định điều kiện chia hết cho từng số Việc tìm điều kiện chia hết yêu cầu phân tích số đó thành tích của các thừa số nguyên tố, nhằm đảm bảo các số này chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

Như vậy, ta có điều kiện chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99 cụ thể như sau:

- Điều kiện chia hết cho 6

Một số tự nhiên chia hết cho 6 khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.

- Điều kiện chia hết cho 12.

Các số tự nhiên chia hết cho 99 nếu và chỉ nếu chúng chia hết cho cả 9 và 11 Theo định lý về phép chia với dư, với hai số tự nhiên a và b (với b khác 0), luôn tồn tại duy nhất các số tự nhiên q và r sao cho a = bq + r, trong đó r là phần dư.

= +,0≤ ≤ Chứng minh a) Tồn tại Xét tập hợp:

Rõ ràng M là tập con của N có các tính chất:

M bị chặn trên vì rõ ràng x ≤ a với mọi x ∈ M.

Vậy M có số lớn nhất chẳng hạn đó là q, điều này có nghĩa là q

∈ M nhưng q + 1 không thuộc M hay: bq ≤ a ≤ b(q + 1)0 = bq + b Đặt r = a − bq thì ta có: a = bq + r và 0 ≤ r ≤ b. b) Duy nhất: Giả sử có hai cặp số q, r và q , r mà: a = bq + r 0 ≤ r ≤ b a = bq + r 0 ≤ r ≤ b

Từ đó suy ra bq + r = bq + r

Nếu q ≠ q thì ta có thể giả sử q > q hay q = q + m

Với m ∈ N, m ≠ 0 Thay vào đẳng thức trên, ta được: bq + bm + r = bq + r hay r = bm + r ≥ b Mâu thuẫn.

Phép chia có dư được định nghĩa qua công thức a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < b, với q là số thương hụt và r là số dư Lưu ý rằng phép chia hết là một trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư r bằng 0.

Ví dụ: phép chia 7 cho 2 là phép chia có dư: 7 chia cho 2 được 3 (dư 1) Trong một phép chia có dư thì:

+ Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia

+ Trong phép chia có số chia là a (a >1) thì số dư lớn nhất là a − 1 + Số dư nhỏ nhất trong phép chia có dư là 1

+ Số bị chia luôn lớn hơn số chia

+ Muốn tìm số bị chia = (Thương x Số chia) + Số dư

+Muốn tìm số chia = (Số bị chia − Số dư) : Thương.

Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

1 Cho hai số tự nhiên a và b, b ≠ 0 Khi a chia hết cho b, ta còn nói a là bội của b, hay b là ước của a.

2 Ước chung và bội chung.

Nếu số tự nhiên b là ước đồng thời của các số a , a , … , a thì b gọi là một ước chung của a , a , … , a

Nếu số tự nhiên a là bội đồng thời của các số b , b , … , b thì a gọi là một bội chung của b , b , … , b

Giả sử a1, a2, , an là các số tự nhiên không đồng thời bằng 0, thì tập hợp M các ước chung của chúng là khác rỗng và có giới hạn trên Cụ thể, 1 luôn thuộc M và M bị chặn bởi số dương nhỏ nhất trong các số a1, a2, , an Vì vậy, tồn tại số lớn nhất trong các ước chung của a1, a2, , an.

1 Định nghĩa: Số lớn nhất d trong các ước chung của a , a , … , a gọi là ước chung lớn nhất của các số đó và kí hiệu là: d = ƯCLN (a , a , … , a )

Tập hợp các ước chung của a , a gồm: 1,3 Vậy

Tập M các ước chung của a , a là M = {1, 2, 3, 6}

3 Số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi

- Nếu ƯCLN (a , a , … , a ) = 1 thì ta nói rằng các số a , a , … , a nguyên tố cùng nhau.

- Nếu ƯCLN (a , a ) = 1 với mọi chỉ số i, j = 1, 2,…,n ; i ≠ j thì ta nói a , a , … , a là nguyên tố sánh đôi hay đôi một nguyên tố cùng nhau Ví dụ: 3 và 4 là nguyên tố cùng nhau

2,6,5 nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi 3,5,7 nguyên tố sánh đôi.

Chú ý rằng các nguyên tố sánh đôi thường đi cùng nhau, nhưng không phải tất cả các nguyên tố cùng nhau đều là nguyên tố sánh đôi Một trong những tính chất của ƯCLN là nếu b không chia hết cho a, thì ƯCLN(a, b) sẽ bằng b.

Theo giả thuyết, b là ước chung của a và b, và mọi ước chung của a và b không lớn hơn b, do đó b là ƯCLN của a và b Ngoài ra, nếu a = bq + r thì ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r).

Để chứng minh đẳng thức, chúng ta cần chứng minh rằng hai tập hợp ước chung của a và b, cũng như của b và r, là trùng nhau Khi hai tập hợp này trùng nhau, phần tử lớn nhất của cả hai tập hợp cũng sẽ trùng nhau.

Nếu d là ước chung của a và b, thì d cũng là ước của r = a – bq, từ đó d trở thành ước chung của b và r Ngược lại, nếu d là ước chung của b và r, thì d cũng là ước của a = bq + r, chứng minh rằng d là ước chung của a và b.

Nếu m là một số tự nhiên khác 0 thì ƯCLN(am, bm) = m.ƯCLN(a, b) Nếu là một ước chung của a và b thì a b 1 ƯCLN δ , δ = δ ƯCLN(a, b)

Khi nhân hai vế của các đẳng thức trong thuật toán Ơclit giữa a và b, ta có thể áp dụng thuật toán Ơclit cho am và bm Kết quả cuối cùng của thuật toán này sẽ cho ra số dư khác 0 là m.r Do đó, ước chung lớn nhất (ƯCLN) của am và bm được tính là m.r, tương đương với m.ƯCLN(a, b).

Theo (*) ta có ƯCLN = δa , δb = δƯCLN a ,b (∗ δ δ δ δ ∗)

Từ đó ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Hệ quả: giả sử d là một ước chung của a và b, điều kiện cần và đủ để d là ƯCLN của a, b là và nguyên tố cùng nhau.

Nếu d = ƯCLN(a,b) theo (**) ta có Ư (,) Ư ( , ) = = 1

Ngược lại nếu ƯCLN , = 1 theo (∗) ta có: ƯCLN(a, b) = ƯCLN a b a b d , d = d ƯCLN( , ) = d d d d d

Cho a1, a2,…, an là các số tự nhiên khác 0, tập hợp các bội chung của a1, a2,…, an không rỗng, vì tích của a1, a2,…, an là một bội chung Do đó, tồn tại số nhỏ nhất trong các bội chung của a1, a2,…, an, và từ đó ta có định nghĩa về bội chung nhỏ nhất.

- Định nghĩa: “Số nhỏ nhất trong các bội chung của a 1 , a 2 ,…a n gọi là bội chung nhỏ nhất của chúng và kí hiệu là BCNN(a 1 , a 2 ,…a n )”[15].

- Ví dụ: a = 2, a = 4, a = 6 Các bội chung của a 1 , a 2 , a 3 là 12, 24,

36, 48,…Trong đó 12 là số nhỏ nhất, vậy 12 = BCNN(2, 4, 6).

1.2.2.2 Công thức xác định BCNN của hai số.

Công thức: Để tìm BCNN của hai số a và b ta có công thức sau: ab

Kí hiệu d = ƯCLN(a,b), a = da 1 , b = db 1 ta có a 1 , b 1 nguyên tố cùng nhau Giả sử M là một bội chung tùy ý của a, b và M = ak, ta có ⋮

⋮ Nhưng a 1 , b 1 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra k

Mọi bội chung của a và b đều có dạng t, và số m = ab là một bội chung của a và b Điều này chứng tỏ rằng m là số nhỏ nhất trong các bội chung của a và b.

Phép chứng minh này cho phép chúng ta kết luận rằng BCNN của hai số a và b không chỉ là bội chung mà còn là ước của mọi bội chung của hai số này.

- Áp dụng: Tìm BCNN(12,18) ƯCLN (12,18) = 6

- Tính chất 1 Tập hợp các bội chung của a và b trùng với tập hợp các bội của BCNN(a, b) (Theo chứng minh trên).

- Tính chất 2 Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì một số tự nhiên c chia hết đồng thời cho a và b sẽ chia hết cho tích ab.

- Tính chất 3. a) BCNN(am,bm) = m.BCNN(a,b). b) Nếu là một ước chung của a và b thì a b 1 BCNN δ , = BCNN(a, b) δ δ

BCNN(am, bm) = am bm am bm ƯCLN(am, bm) = m ƯCLN(a, b)

= m ab = m BCNN(a, b) ƯCLN(a, b) b) BCNN(a, b) = BCNN δ , δ = δ BCNN( , )

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

- Tính chất 4 Giả sử m là một bội chung của a và b Điều kiện cần và đủ để m là BCNN(a, b) là và nguyên tố cùng nhau.

Để chứng minh, điều kiện cần là giả sử m = BCNN(a, b), nếu ƯCLN(a, b) = d ≠ 1 thì m sẽ là một bội chung của a và b, và m > 1 Điều này dẫn đến mâu thuẫn, chứng tỏ a và b là nguyên tố cùng nhau Về điều kiện đủ, giả sử m = BCNN(a, b), khi đó m chia hết cho ƯCLN(a, b) = 1 và m có thể biểu diễn dưới dạng m = m d Từ đó, ta có thể suy ra các tính chất liên quan đến m.

Số nguyên tố và định lí cơ bản của số học

- Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước tự nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố.

Ký hiệu P là tập hợp các số nguyên tố Khi đó:

- Số tự nhiên lớn hơn 1mà không là số nguyên tố gọi là hợp số

Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu nó không có ước thực sự, tức là không có ước nào khác ngoài 1 và chính nó.

- Số 1 và số 0 đều không phải là số nguyên tố mà cũng không phải là hợp số (số 1 chỉ có một ước số, số 0 có vô số ước số).

- Mỗi số tự nhiên n ∈ N ∗ có một và chỉ một trong ba khả năng: n

=1; n là số nguyên tố; n là hợp số.

1.3.1.2 Một số định lí cơ bản về số nguyên tố. a) Bổ đề 1: Mọi số nguyên tố lớn hơn 1 đều chia hết cho ít nhất một số nguyên tố.

Ta chứng minh bằng quy nạp

+Với n = 2, do 2 là số nguyên tố nên bổ đề đúng

+ Xét n > 2 và giả sử bổ đề đúng với mọi số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn n Ta sẽ chứng minh bổ đề đúng với n.

Nếu n là số nguyên tố thì n ⋮ n và bổ đề đúng.

Nếu n là hợp số thì n có ước dương a với a ≠ 1 và a ≠ n Giả sử n = a.b

Nếu a > n thì từ b ≥ 1 ta có n = a.b > n.1= n, mâu thuẫn Vậy 1< a < n. Theo giả thiết quy nạp, a có ước nguyên tố p Từ p | a, a | n suy ra p | n. Vậy bổ đề đúng với mọi n > 1. b) Định lí Euclid.

Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là , , … ,

Khi đặt N = … + 1, theo bổ đề (a), N chia hết cho một số nguyên tố p nào đó (vì N > 1) Số nguyên tố p này phải là một trong các số nguyên tố có sẵn, nhưng theo định nghĩa của N, N không thể chia hết cho số nào cả Mâu thuẫn này chứng minh điều cần thiết Đối với số tự nhiên a và một số nguyên tố p, ta có thể kết luận rằng p | a hoặc (a, p) = 1.

Chứng minh Gọi d = (a, p) => d | p với p là số nguyên tố Từ đó hoặc d

+Nếu d = p thì p | a. d) Nếu một số nguyên tố p chia hết tích của nhiều số nguyên tố thì nó phải trùng với một trong các số nguyên tố đó.

1.3.2 Định lí cơ bản của số học

Mọi số tự nhiên a lớn hơn 1 có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố, và sự phân tích này là duy nhất khi không tính đến thứ tự của các thừa số.

Chứng minh a) Sự phân tích được.

Giả sử ∈ N, a > 1 Khi đó bổ đề (a) a có ít nhất một ước nguyên tố p 1 nào đó và ta có a = p 1 a 1 , a 1 ∈ N

Nếu a 1 = 1 thì a = p 1 là cách phân tích tầm thường của a

Nếu a 1 > 1 theo lý luận trên, a 1 có ước nguyên tố p 2 nào đó và ta có: a 1 = p 2 a 2 , a 2 ∈ N nên a = p 1 p 2 a 2

Nếu a 2 = 1 thì a = p 1 p 2 là tích phân của a

Nếu a 2 > 1 lại tiếp tục lý luận như trên, có số nguyên tố p 3 ,…

Quá trình phân tích một số tự nhiên a thành tích của các thừa số nguyên tố phải kết thúc, tức là tồn tại một số nguyên n sao cho a_n = 1 và a_{n-1} = p_n là một số nguyên tố Dãy số a, a_1, a_2,… được sắp xếp theo thứ tự giảm dần với a > a_1 > a_2 >… Do đó, ta có thể viết a = p_1 p_2 … p_n, thể hiện sự phân tích của a thành các thừa số nguyên tố Điều này cũng khẳng định tính duy nhất của sự phân tích này.

Giả sử có một số nguyên lớn hơn 1 có hai cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố, ta đặt a là số nhỏ nhất thỏa mãn điều này, tức a = p1.p2…pm = q1.q2…qn với pi, qj là các số nguyên tố Do p1 chia hết cho q1.q2…qn, nên tồn tại một số qj mà p1 chia hết cho qj Điều này dẫn đến p1 = qj, và khi loại bỏ hai số nguyên tố khỏi đẳng thức, ta có hai cách biểu diễn khác nhau của số a chia cho p1, điều này mâu thuẫn với giả thiết a là số nhỏ nhất Do đó, giả thiết ban đầu là sai, chứng minh rằng mỗi số nguyên tố lớn hơn 1 chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích thừa số nguyên tố, không tính đến thứ tự.

1.3.3 Hàm ( n), hàm ( n) và hàm euler ( n)

1.3.3.1 Hàm ( ) và hàm ( ). a) Định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa 1 Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị số các ước nguyên dương của n.

Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị tổng các ước nguyên dương của n.

Trong tổng các số hạng đều bằng 1, số lượng số hạng tương ứng với số lượng ước dương của n Hàm này được gọi là hàm đếm số ước dương của n Một số giá trị đầu tiên của n bao gồm:

Một vài giá trị đầu tiên của n là:

Số tự nhiên n được coi là một số nguyên tố khi và chỉ khi n lớn hơn 1 Điều này có nghĩa là n phải có đúng hai ước số: 1 và chính nó Công thức để xác định tính nguyên tố của n là n > 1.

Nếu n > 1 và n = … là dạng phân tích tiêu chuẩn của n thì

Chứng minh Với n > 1 và k = 1 thì n = có và chỉ có ước là 1; , , … nên ta được ( ) = + 1.

Giả sử mệnh đề đúng với k – 1 ≥ 1 Khi ấy vì ƯCLN( … ) =

1 và có có tính chất nhân nên

Tức là mệnh đề đúng với k Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n > 1.

Chú ý rằng chúng ta có thể tìm công thức cho ( ) Từ đó, có thể suy ra tính chất nhân của ( ) Thật vậy, f(n) = là hàm số có tính chất nhân, do đó với n có phân tích tiêu chuẩn, chúng ta có:

Với s = 0 ta sẽ được kết quả

Từ công thức tính (n) dễ dàng suy ra tính chất nhân của nó. Công thức tính của σ(n).

Nếu n > 1 và n = … là dạng phân tích tiêu chuẩn của nó thì σ(n) = …

Với n > 1 và k = 1 thì n = có và chỉ có các ước là , , …nên σ(n) = 1 + + +⋯+ =

Giả sử mệnh đề đúng với k −1 ≥ 1 Khi ấy ta có σ(n) = σ( … ) σ( )

Vì ƯCLN(…, ) = 1 và σ(n) có tính chất nhân, mệnh đề đúng với k, từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n > 1 Ví dụ, với n = 360 = 2 3 5, ta có σ(360) = 1170 Tính chất của hàm σ(n) và n cũng được thể hiện rõ trong trường hợp này.

Hàm n và n là những hàm nhân

- Hàm (n) τ(n) là một hàm số có tính chất nhân

Ta có (1) = 1 nên khác 0 Giả sử a, b N*, ƯCLN(a, b) = 1, ta phải chứng minh (a.b) = (a) (b) Trước hết ta chứng minh d | ab d = xy trong đó x | a, y | b và ƯCLN(x, y) = 1 (1)

Nếu a = 1 hoặc b = 1, thì điều này là hiển nhiên Giả sử a > 1 và b > 1, với a và b được biểu diễn dưới dạng phân tích tiêu chuẩn Từ ƯCLN(a, b) = 1, ta suy ra rằng các số nguyên tố khác nhau là …, và ab cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân tích tiêu chuẩn.

Hay a | ab d = xy với x = … và y = …

Tức là a | ab d = xy với x | a, y | b Thêm nữa rõ ràng ƯCLN(x, y) = 1

Từ kết quả trên ta suy ra được rằng (ab) = (a) (b).

Hàm số σ(n) là một hàm số có tính chất nhân Chứng minh

Ta có σ(1) = 1 nên σ khác 0 Ta còn phải chứng minh ∀ ,

Thật vậy, giả sử x , x , … , x ( ) là các ước tự nhiên của y , y , … , y ( ) là các ước tự nhiên của b Ta có d | ab d = x y (i = 1, 2, …, ( ); j = 1, 2,… ( )) Nên ta được σ(ab) = ∑ | = ∑ , ,… ( ) x y = ∑ ( ) x ∑ ( ) y = ( ) ( ).(đpcm)

1.3.3.2 Hàm Euler ( ). a) Định nghĩa và ví dụ. Định nghĩa Hàm số học n xác định với mọi số nguyên dương n và biểu thị số các số nguyên dương không vượt quá n mà nguyên tố cùng nhau với n gọi là hàm Euler n 1 m n m , n 1 n còn gọi là hàm đếm các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố với n

Ví dụ: Một vài giá trị đầu tiên của n là:

Chú ý Nếu p là số nguyên tố thì p p 1 Điều ngược lại cũng đúng. Mọi số tự nhiên p > 1 mà p p 1 đều là số nguyên tố b) Công thức tính hàm n

Giả sử d là một ước nguyên dương của số tự nhiên n Số lượng các số nguyên dương không vượt quá n và có ước chung lớn nhất với n bằng d là n/d.

Bổ đề 2 Với mọi số nguyên dương n ta có d n d \ n

- Với m p , trong đó p là một số nguyên tố và là một số tự nhiên khác 0, ta có p p p 1 p 1

- Với n > 1; Giả sử n p n 1 p n 2 p n k là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên

1 2 k n thành tích các thừa số nguyên tố Khi đó ta có:

( )là hàm số có tính chất nhân

Ta có (1) = 1 nên khác không Bây giờ giả sử a, b là hai số tự nhiên khác 0 nguyên tố cùng nhau Ta sẽ chứng minh rằng ( ) = ( ) ( )

Thật vậy nếu a = 1 hoặc b = 1 thì đẳng thức là hiển nhiên Giả sử a >

1, b > 1 Ta lập bảng M gồm ab số tự nhiên từ 0 đến ab − 1 như sau

Bảng M có a cột và b hàng Các số trong bảng nằm có cột thứ y, hàng thứ x là ax + y trong đó x = 0, 1, , b − 1, y = 0, 1, a − 1.

Chúng ta nhận thấy rằng một số trong bảng M là nguyên tố với tích ab khi và chỉ khi số đó là nguyên tố với cả a và b Để xác định các số nguyên tố tương ứng với tích ab, trước tiên cần tìm các số nguyên tố với a, sau đó trong số đó tiếp tục tìm các số nguyên tố với b.

Do ƯCLN(ax + y, a) = ƯCLN(y, a), các số trong M nguyên tố với a chỉ xuất hiện ở cột y khi ƯCLN(y, a) = 1, và có (a) cột như vậy Mỗi cột y chứa b số dạng ax + y (với x = 0, 1, , b − 1), do đó theo mệnh đề 1, trong b số này có đúng cp(b) số nguyên tố với b Vì vậy, trong bảng M có tổng cộng ( ) số nguyên tố với ab Theo định nghĩa, số lượng số trong bảng M nguyên tố với ab là (ab), dẫn đến kết luận (ab) = (a)(b).

Quan hệ đồng dư

1.4.1 Định lí Euler và định lí Fermat.

Giả sử m là một số tự nhiên lớn hơn 1 và a là một số nguyên nguyên tố với m Khi ấy ta có

Tập hợp các số nguyên không âm nhỏ nhất trong hệ thống đồng dư modulo m tạo thành một hệ TDTG mod m Khi đó, các thặng dư không âm nhỏ nhất tương ứng với các số trong lớp đồng dư cũng sẽ tạo thành một hệ TDTG mod m.

( ) ≡ ( ) ( ), ta sẽ được , , … , ( ) cũng là hệ TDTG mod m không âm nhỏ nhất Bằng cách nhân vế với vế của ( ) đồng dư trên thức ta được

Bởi vì , , … , ( ) và , , … , ( ) cùng là hệ TDTG mod m không âm nhỏ nhất nên ta có

Nhưng tích… ( ) nguyên tố với m (vì từng thừa số của nó nguyên tố với m), nên có thể chia hai vế của đồng dư thức trên đây cho … ( ) ta được

1.4.1.2 Định lí Fermat Định lí 1 (Định lí Fermat)

Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p Khi ấy ta có

Chứng minhTheo giả thiết ta có ( ) = − 1 và a là nguyên tố với p nên theo định lí Ơ-le ta được

≡ 1 ( ). Định lí 2 (Dạng khác của định lí Fermat)

Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý Khi ấy ta có

Nếu a chia hết cho p, thì có thể khẳng định rằng a ≡ 0 (mod p) Ngược lại, nếu a không chia hết cho p, theo định lý 1, ta có a ≡ 1 (mod p) Do đó, khi nhân cả hai vế của đồng dư thức này với a, ta sẽ có a^2 ≡ a (mod p).

Ngược lại từ định lí 2 ta có thể suy ra định lí 1 Thật vậy từ

Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p, thì a nguyên tố với p Bằng cách chia hai vế của đồng dư thức cho a, ta có được kết quả ≡ 1 (mod p) Điều này dẫn đến việc người ta gọi đây là định lý.

2 là dạng khác của định lí Fermat.

1.4.2 Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài toán chia hết.

1.4.2.1 Ứng dụng tính chất của đồng dư thức.

Ví dụ 1 Chứng minh rằng: a, 2222 + 5555 chia hết cho 7 b, 5 + 5 chia hết cho 6

Giải a, Ta có 2222 ≡ 3(mod 7) và 5555 ≡ 4(mod 7)

Do 3 2 = 9 ≡ 2(mod 7) nên 3 3 ≡ −1 (mod 7) và 5555 ≡ 3.1851

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng 5 + 5 chia hết cho 6, với mọi n ≥ 1

Mặt khác 5 ≡ 5(mod 6) suy ra 5 ≡ 0(mod 6) Do đó 5 + 5⋮

Trường hợp đặc biệt n = 2009 ta được 5 ⋮ 6.

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có a, 12 2n+1 + 11 n+2 133 b, 2 2n + 15n − 1 9.

Mặt khác 11 n+2 = 121.11 n , mà 121 ≡ −12 (mod 133) nên

Cộng hai vế của phép đồng dư (1) và (2) ta được 12 2n+1 + 11 n+2 ≡ 0(mod 133) b, Ta có

Do đó để chứng minh 2 2n + 15n − 1 ≡ 0(mod 9) ta chứng minh 4 + … + 4 + 1 ≡ n(mod 3). ố

Thật vậy vì 4 ≡ 1(mod 3) nên 4 k ≡ 1(mod 3) Vậy 2 2n + 15n − 1 ⋮ 9

1.4.2.2 Sử dụng định lí Euler và Fermat chứng minh tính chia hết.

Ví dụ 1 Chứng minh rằng:

1 Áp dụng định lí Fermat ta có a 2 ≡ l(mod 3) suy ra a 4 ≡ l (mod 3) và a 4 ≡ l (mod 5) suy ra a 4 − 1≡ 0(mod5) (1)

Vì tích của 3 số chẵn trong đó có 2 số chẵn liên tiếp nên một trong 3 số phải chia hết cho 3 nên a 4 − 1 chia hết cho 2 4 hay a 4 ≡ 1 (mod 2 4 ) (2)

Do a 2 , (a 2 − 1), (a 2 + 1) là 3 số nguyên liên tiếp nên một trong 3 số phải chia hết cho 3.

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. a, Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 7 thì:

3 − 2 − 1 ⋮ 42p b, Chứng minh rằng 2 là hợp số với mọi n > 0

Giải a, Ta có 42p = 2.3.7 p Mặt khác

Vì p là số tự nhiên lẻ nên 2 +1 ⋮ (2+1) = 3 và 3 − 1 là số chẵn. Theo định lí Fermat ta có 3 ≡ 3(mod p) và 2 ≡ 2(mod p)

Do một số nguyên tố chia cho 6 có thể dư 1 hoặc 5 nên

3 − 2 −1 =3 3 −2 (2 −1≡3 −2 −1≡0( 7) Theo định lí Fermat 3 6 ≡ l (mod 7) và 2 6 ≡ 1 (mod 7)

Ta có điều phải chứng minh b, Ta chứng minh 2 + 19 ⋮ 3, với mọi n ≥ 1

Thật vậy, theo định lí Fermat 2 10 ≡ l(mod 11) suy ra 2 ≡ 2(mod 22) suy ra 2 = 22k+ 2 k ∈ N.

Theo định lí Fermat ta có: 2 ≡ l(mod 23)

Suy ra 2 ≡ 2 ≡ 4(mod 23) suy ra 2 + 19 ⋮ 23 và 2 + 19 >23 Với mọi n ≥ 1.

Vậy 2 + 19 là hợp số tự nhiên n > 0.

Ta có 11 là số nguyên tố (2, 11) = 1 Theo định lí Fermat ta có 2 10 ≡ l(mod

11) Ta tìm dư trong phép chia 2 cho 10.

Ví dụ 4 Chứng minh 2 + 3 ⋮11 với n là số tự nhiên.

Ta có (11) = 10, (10) 10 = (1 − ).(1− ) = 4 Áp dụng định lí Euler ta có (3, 10) = 1 nên 3 ( ) ≡ 1 (mod 10) ≡ 1 (mod 10)

3 ≡ 1(mod 10) suy ra 3 ≡ 3 (mod 10) Đặt 3 = 10k +3 với k ∈ Khi đó ta có : 2 +3=2 + 3. Áp dụng định lí Euler ta có (2, 11) = 1 suy ra

1.4.3 Ứng dụng quan hệ đồng dư trong bài toán tìm số dư.

Cho a, m ∈ Z, với m > 0, ta có a = mq + r, trong đó 0 ≤ r < m Theo điều kiện tương đương của đồng dư thức, ta suy ra a ≡ r(mod m) Do đó, bài toán tìm số dư khi chia a cho m có thể được chuyển thành việc tìm số r thỏa mãn 0 ≤ r < m và a ≡ r(mod m).

1.4.3.1 Sử dụng tính chất của đồng dư thức.

Ví dụ 1 Tìm số dư trong phép chia 2945 − 3 cho 9

Ta có 2945 ≡ 2(mod 9) suy ra 2945 − 3 ≡ 2 − 3 (mod 9).

Mà 2 − 3 ≡ 2(mod 9) Vậy số dư trong phép chia 2945 − 3 cho 9 là 2.

Ví dụ 2 Tìm số dư trong phép chia A = 776 + 777 + 778 cho 3 và cho 5.

Mà3 2 ≡ −1(mod5) suy ra (3 2 ) 338 3 ≡ 3(mod 5).

1.4.3.2 Sử dụng các định lí Euler và định lí Fermat.

Ví dụ 1 Tìm số dư trong phép chia 3 2005 cho 100.

Ví dụ 2 Tìm số dư trong phép chia 109 345 cho 14.

Ta có 109 ≡ − 3(mod 14) nên 109 345 ≡ −3 (mod 14)

Theo định lý Euler ta có

Mà (−3) 345 = (−3) (−3) suy ra (−3) 345 ≡ (−3) (mod 14) ≡ 1(mod 14).

Vậy số dư trong phép chia 109 345 cho 14 là 1.

Ví dụ 3 Tìm dư trong phép chia 1997 1997 cho 13.

Theo định lý Fermat ta có 8 12 ≡ 1(mod 13) và 1997 = 12.166 + 5 Suy ra 8 1997 = 8 ≡ 8 5 (mod 13) ≡ 8(mod 13)

Vậy dư trong phép chia 1997 1997 cho 13 là 8.

1.4.4 Ứng dụng quan hệ đồng dư trong nhận biết các dấu hiệu chia hết.

Cho số tự nhiên N khác 0 được viết trong hệ thập phân là

Để xác định điều kiện ràng buộc giữa các chữ số của số tự nhiên N nhằm đảm bảo N chia hết cho một số tự nhiên nhất định, ta cần dựa vào tính chất của đồng dư thức Cụ thể, để kiểm tra dấu hiệu chia hết cho 2, số N phải có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8.

Ta có N = = 10 a + 10 a + ⋯ + 10 a + a a a … a a Vì10≡0 (mod 2) nên N = ≡ 0 (mod 2) khi và chỉ khi

≡ 0 (mod 2) tương đương a ϵ {0, 2, 4, 6, 8}. b) Dấu hiệu chia hết cho 5.

N = ≡ 0 (mod 5) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 5) tương đương

… a ϵ {0, 5 } c) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25).

Vì 100 ≡ 0 (mod 4) và 100≡ 0 (mod 25) nên

N ≡ 0 (mod 4) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 4)

Và N ≡ 0 (mod 25) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 25) d) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125).

Vì 1000 ≡ 0 (mod 8) và 1000 ≡ 0 (mod 125) nên

N ≡ 0 (mod 8) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 8) và

N ≡ 0 (mod 125) khi và chỉ khi ≡ 0 (mod 125). e) Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9.

Trong chương 1, chúng tôi đã tổng hợp kiến thức cơ bản về lý thuyết chia hết, bao gồm các khái niệm như quan hệ chia hết, phép chia có dư, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố và định lý cơ bản của số học, cũng như quan hệ đồng dư Chương này còn phân tích và làm rõ một số định lý và tính chất thông qua việc chứng minh và cung cấp các ví dụ minh họa cụ thể.

KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LÍ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

Giải và khai thác một số dạng toán về dấu hiệu chia hết

2.1.1 Dạng 1: tìm số các số có k chữ số phân biệt được thành lập từ những chữ số cho trước thỏa mãn điều kiện chia hết.

Để xác định số lượng số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ bốn chữ số 0, 4, 5, 9 và thỏa mãn các điều kiện chia hết cho 2, 5, 9 và 36, ta cần phân tích các dấu hiệu chia hết tương ứng Cụ thể, để một số chia hết cho 2, chữ số tận cùng phải là số chẵn; để chia hết cho 5, chữ số tận cùng phải là 0 hoặc 5; để chia hết cho 9, tổng các chữ số phải chia hết cho 9; và để chia hết cho 36, số đó phải chia hết cho cả 4 và 9 Việc kết hợp các điều kiện này sẽ giúp xác định các số tự nhiên phù hợp.

+Các số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

+Các số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Để lập số chia hết cho cả 2 và 5, chữ số tận cùng chỉ có thể là 0 Do đó, c = 0, và các chữ số a, b, c phải khác nhau Ta cần xác định số cách chọn cho chữ số hàng chục và hàng trăm từ các chữ số đã cho Với điều kiện này, số lập được có dạng abc, trong đó a ≠ 0 và a, b, c là các chữ số khác nhau.

Vì số phải tìm có ba chữ số khác nhau nên a có ba cách chọn từ các chữ số a = 5; a = 5 hoặc a = 9

Khi đó, b chỉ còn hai cách chọn trong ba chữ số còn lại Như thế, số các số chia hết cho 2 và 5 là

Vậy 6 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho cả 2 và 5 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9. b) Phân tích: Để giải bài toán cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 Như vậy, tổng các chữ số của số cần lập là số chia hết cho 9 Từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 mà đề bài cho, ta sẽ chia thành hai nhóm có tổng các chữ số chia hết cho 9 để lập thành các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9.

Để lập số từ nhóm các chữ số 4, 5, và 9, ta cần xác định số cách chọn cho từng chữ số Số cần lập có dạng (a ≠ 0; a, b, c là các chữ số khác nhau) Để đảm bảo số này chia hết cho 9, tổng các chữ số (a + b + c) phải chia hết cho 9.

Các số 9 và 18 là những số chia hết cho 9 Các cặp số (0; 4; 5) và (4; 5; 9) chứa các chữ số khác nhau, do đó, có thể tạo ra các cặp số ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 từ hai nhóm chữ số này.

Nhóm các chữ số 0, 4, và 5 cho phép chúng ta chọn chữ số a với hai lựa chọn, vì a không được bằng 0 Sau khi chọn a, chỉ còn hai lựa chọn cho b và một lựa chọn cho c, đảm bảo rằng tất cả các chữ số đều khác nhau và tạo thành một số có ba chữ số.

Do đó, số các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 là

2 × 2 × 1 = 4 (số) Đó là các số 405; 450; 504; 540.

+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9 Lập luận tương tự nhóm trước ta được số các chữ số chia hết cho 9 là

3 × 2 × 1 = 6 (số) Đó là các số 459; 495; 549; 594; 945; 954.

Vậy 10 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 9 được lập từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9. c) Phân tích: Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và 9. Dựa và dấu hiệu chia hết cho 4 “ Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của số đó tạo thành số chia hết cho 4”[10], ta tìm được chữ số hàng chục và hàng đơn vị Tiếp theo, dựa vào yêu cầu của đề bài số đó là số có ba chữ số khác nhau, ta tìm được chữ số hàng trăm dựa vào chữ số hàng chục và hàng đơn vị vừa tìm được Cuối cùng, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 ta đi loại các trường hợp không thỏa mãn. Lời giải: Gọi số cần lập có dạng (a ≠ 0; a, b, c là các chữ số khác nhau)

Vì 36 = 4 × 9, nên số cần lập phải chia hết cho cả 4 và 9 Để số này chia hết cho 4, hai chữ số cuối cùng của nó phải tạo thành một số chia hết cho 4, do đó chỉ có thể là 04 hoặc 40.

Do số phải tìm chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó là ( a +

4 + 0) phải chia hết cho 9 Khi đó a chỉ có thể là 5.

Vậy có hai số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 36 được lập từ bốn chữ số đã cho.

Chúng ta có thể giải bài toán bằng cách liệt kê tất cả các khả năng có thể, và số khả năng chính là đáp số bài toán Đối với số chia hết cho 2 và 5, chúng ta có số chia hết cho 10, bao gồm các số như 450, 490, 540, 590, 940, và 950 Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9, với các ví dụ như 405, 450, 504, 540, 459, 495, 549, 594, 945, và 954 Cuối cùng, số chia hết cho 36 là những số chia hết cho cả 4 và 9, trong đó có 540 và 504.

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ bốn chữ số 0, 4, 5, 7 và thỏa mãn các điều kiện: a) Chia hết cho 2 và 5, b) Chia hết cho 9, c) Chia hết cho 36.

Bài toán yêu cầu tìm số lượng số tự nhiên ba chữ số khác nhau được tạo thành từ bốn chữ số 0, 4, 5, 8 với các điều kiện: a) Số đó phải chia hết cho 2 và 5, b) Chia hết cho 9, c) Chia hết cho 36.

Bài toán 3 yêu cầu xác định số lượng số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo ra từ bốn chữ số 0, 4, 5, và 6 Cụ thể, cần tìm số lượng số thỏa mãn các điều kiện: a) Chia hết cho 2 và 5, b) Chia hết cho 3, và c) Chia hết cho 36.

Bài toán yêu cầu tìm số lượng số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo ra từ bốn chữ số a, b, c, d, với các điều kiện chia hết như sau: a) Chia hết cho 2, b) Chia hết cho 5, c) Chia hết cho 2 và 5, d) Chia hết cho 3, e) Chia hết cho 9, f) Chia hết cho 4, g) Chia hết cho 36.

Ví dụ 2.1.1.2 Cho bốn chữ số 0; 1; 5; 8 Hãy thiết lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6.

Hướng dẫn tìm lời giải

Phân tích: Bởi vì 6 = 2 × 3 nên để làm được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 3.

Để kiểm tra tính chia hết cho 2, ta xác định chữ số tận cùng là 0 hoặc 8 Tiếp theo, dựa vào quy tắc chia hết cho 3 và yêu cầu các chữ số phải khác nhau, ta sẽ tìm ra hai chữ số còn lại.

Lời giải: Bởi vì 6 = 2 × 3 nên các số chia hết cho 6 sẽ chia hết cho cả 2 và 3 Dựa vào 4 chữ số đã cho là 0; 1; 5; 8 ta có thể lập được

+Các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8.

+Các số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3 Ta có

Mà 6 ⋮ 3; 9 ⋮ 3 và (0; 1; 5) và (0; 1; 8) là những cặp số có các chữ số khác nhau nên các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8 sẽ được lập từ hai nhóm chữ số trên. Vậy các số đó là: 150; 510; 108; 180; 810.

Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu

Ví dụ 2.2.1 Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 3 hay không? Vì sao?

Để xác định xem một phép tính có chia hết cho 3 hay không, cần phân tích từng số hạng, số bị trừ và số trừ trong phép tính đó Sau khi kiểm tra tính chia hết của các số này, ta có thể áp dụng tính chất chia hết của tổng hoặc hiệu để đưa ra kết luận chính xác.

+ Vì 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:

+ Các số 459, 690, 1236 đều chia hết cho

+ Số 2454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3 nên :

2454 + 3742454 − 374 Đều không chia hết cho 3.

+ 541 không chia hết cho 3; 690 và 1236 chia hết cho 3 nên: f) 541 + 690 + 1236 không chia hết cho 3

Một số kiến thức cần lưu ý :

Cho n là một số tự nhiên khác 0, ta có các khẳng định sau:

+ Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho n thì tổng của chúng cũng chia hết cho n;

+Nếu số trừ và số bị trừ đều chia hết cho n thì hiệu chia hết cho n.

+ Nếu một số hạng không chia hết cho n và các số hạng còn lại đều chia hết cho n thì tổng không chia hết cho n.

+ Hiệu giữa một số chia hết cho n và một số không chia hết cho n là một số không chia hết cho n.

Bài toán 1: Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 9 hay không? Vì sao? a) 240 + 123; b) 240 − 123; c) 459 + 690 + 1236; 2454 + 374; e) 2454 − 374; f) 541 + 690 + 1236;

Bài toán 2: Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 12 hay không? Vì sao? a)340 + 234; b) 340 – 123; c) 459 + 690; d) 2454 + 374 + 524 e) 2454 − 374; f) 541 + 690;

Không làm phép tính hãy chứng tỏ một biểu thức chia hết hay không chia hết cho một số tự nhiên.

Năm học 2005 – 2006, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi Ban Giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn một học sinh tiên tiến 2 quyển vở Cô văn phòng tính toán cần mua 2006 quyển vở để phát thưởng Câu hỏi đặt ra là liệu cô văn phòng đã tính đúng hay sai và lý do đằng sau con số đó là gì.

Để phân tích dạng toán này, cần xác định số lượng học sinh giỏi và học sinh tiên tiến, từ đó tìm ra số chia hết cho các nhóm học sinh này Số vở thưởng cho mỗi loại học sinh cũng phải chia hết cho số đó Nếu tổng số vở cần mua chia hết cho số này, thì cô văn phòng đã tính toán đúng; ngược lại, nếu không chia hết, cô văn phòng đã tính sai.

462 và 195 đều chia hết cho 3, do đó, số vở thưởng cho mỗi loại học sinh cũng phải là số chia hết cho 3 Từ đó, tổng số vở phát thưởng cũng sẽ là số chia hết cho 3, nhưng 2006 không phải là số chia hết cho 3.

Vậy cô văn phòng đã tính sai.

Trong năm học 2005 – 2006, một trường tiểu học có 460 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi Ban Giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn mỗi học sinh tiên tiến 2 quyển vở Cô văn phòng tính toán cần mua 2006 quyển vở để phát thưởng Câu hỏi đặt ra là liệu cô văn phòng có tính đúng hay không và lý do cho sự tính toán đó.

Công ty A có 1790 công nhân và 100 cán bộ, với mức thưởng cho mỗi cán bộ cao hơn mỗi công nhân 500.000 đồng Kế toán dự tính cần chuẩn bị 100.000.000 đồng cho khoản thưởng này Câu hỏi đặt ra là liệu cô kế toán đã tính đúng hay sai và lý do cho sự tính toán đó.

Một gia đình nuôi 120 con gà và 80 con vịt, trong đó mỗi con vịt cần ăn nhiều hơn mỗi con gà 5 gam ngô Chủ nhà dự tính cần 20 kg ngô mỗi ngày để nuôi chúng Câu hỏi đặt ra là liệu cô chủ nhà đã tính toán đúng hay sai, và cần giải thích lý do cho sự tính toán này.

Không làm phép tính hãy chứng tỏ một biểu thức chia hết hay không chia hết cho một số tự nhiên.

Bài 1 Không làm phép tính, hãy xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?

Bài 2 Có 5 tờ giấy Xé mỗi tờ giấy thành 6 mảnh Sau đó, lại lấy một số mảnh xé thành 6 mảnh nhỏ…Khi ngừng xé theo quy luật trên, người ta đếm được 2011 mảnh lớn, nhỏ cả thảy Hỏi người này đếm đúng hay sai? Bài 3 Hai bạn Nhung và Minh đi mua 9 gói kẹo và 6 gói bánh để lớp liên hoan Nhung đưa cho cô bán hàng hai tờ giấy 50 000 đồng và cô trả lại 36 000 đồng Minh nói ngay “Cô tính sai rồi” Hãy cho biết Minh nói đúng hay sai? Tại sao? Biết rằng giá một gói kẹo và bánh là một số nguyên đồng

Bài 4 Công ty X có một số công nhân hưởng mức lương 360 000 đồng, một số khác hưởng mức 495 000 đồng và số còn lại hưởng mức 672 000 đồng một tháng Sau khi phát lương cho công nhân, cô kế toán cộng sổ hết

273 815 000 đồng cả tháng Hỏi cô kế toán tính đúng hay sai? Tại sao?

Tìm chữ số tận cùng

2.3.1 Dạng 1: xác định số chẵn, số lẻ

Các kiến thức cần ghi nhớ:

- Tổng các số chẵn là một số chẵn.

- Tổng chẵn số lẻ là một số chẵn, tổng lẻ số lẻ là một số lẻ.

- Hiệu hai số chẵn là 1 số chẵn, hiệu hai số lẻ là 1 số chẵn.

- Hiệu giữa số chẵn và số lẻ (hoặc số lẻ và số chẵn) là 1 số lẻ.

- Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có 1 thừa số chẵn sẽ là số chẵn.

Ví dụ 2.3.1.1 Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (không cần tính tổng).

Hướng dẫn tìm lời giải:

Lời giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; …; 1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; …; 1996.

Số lượng số lẻ là: (1997 − 1) : 2 + 1 = 999 ( số).

Số lượng số chẵn là: (1996 – 2) : 2 + 1 = 998 ( số).

Tổng của 999 số lẻ là một số lẻ, trong khi tổng của 998 số chẵn là một số chẵn Khi cộng một số chẵn với một số lẻ, kết quả sẽ là một số lẻ Do đó, tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 cũng là một số lẻ.

Từ 1 đến 1997 có 1997 số Ta có (1+1997) + (2+1996) + (3+1995) + …

Có tất cả là 998 cặp và dư 1 số Số đó là 999.

Số 1998 là số chẵn, do đó khi nhân với bất kỳ số nào, kết quả cũng sẽ là số chẵn Ngược lại, số 999 là số lẻ Khi cộng một số chẵn với một số lẻ, tổng sẽ là số lẻ Do đó, tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 sẽ là một số lẻ.

Bài toán 1: Tổng của 1986 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? (không cần tính tổng).

Tính tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ k là một số chẵn hay lẻ? (Không cần tính tổng).

Ví dụ 2.3.1.2 Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672×41×3719423 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 =

9161 Hướng dẫn tìm lời giải:

Phân tích: a) Dựa vào tính chất “Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có

Một thừa số chẵn sẽ tạo ra một số chẵn Ví dụ, các số 1.472, 6.210, 532 và 946 đều là số chẵn Dựa vào tính chất rằng tổng của các số chẵn cũng là một số chẵn, chúng ta có thể xác định tính đúng sai của phép tính.

Kết quả a) là sai do có một thừa số chẵn (672), nên tích phải là số chẵn, trong khi 1 019 423 là số lẻ Kết quả b) cũng sai vì tổng các số chẵn luôn là số chẵn, nhưng 9 161 lại là số lẻ.

Bài toán 1: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672×41×3719427 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164.

Bài toán 2: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672×41×371857×32. b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164 + 123.

Bài toán 3: Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 41×37= 56×27 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9164 + 123 + 128

2.3.2 Dạng 2: xác định một chữ số tận cùng.

1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.

2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

3- Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0.

- Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5.

- Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6.

- Tích a x a không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8.

Ví dụ 2.3.2.1 Tính 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × × 48 × 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là :

Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.

Khai thác bài toán (1)Bài toán tương tự.

Bài toán 1 Tính xem 1 × 2 ×…× 2021 có bao nhiêu chữ số 0.

Bài toán 2 Tính xem 1 × 2 ×…× 1999 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0.Bài toán 3 Tính xem 1 × 2 ×…× 1994 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0.

Tính xem 1 × 2 ×…× n = n! có bao nhiêu chữ số 0.

1) Phần nguyên: [ ] là số nguyên [ ] ≤ x < [ ] + 1

[3,2] = 3, [−2,5] = −3 (chú ý: phần nguyên số âm)

1) Số các bội số của số a ∈ N, a ≥ 1 (không tính số 0) Không vượt quá n: a, 2a, 3a, …, ka,… Đó là số k lớn nhất để ka ≤ n => Suy ra ka ≤ n ≤ (k + 1)a

Có tất cả bội số dương của a không vượt quá n.

3) Tìm số mũ của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n!, n! =1 × 2 ×…× n.

• Số bội của p: (Vì các số cuất hiện trong n! là 1, 2, 3,…, n nên chỉ xét các bội ≤ n)

Nhìn hình thức tưởng rằng tổng là vô hạn, tuy nhiên nó chỉ kéo dài đến k mà p ≤ , còn với k sao cho > => = 0. k > log nVậy thực chất, số mũ của p là:

Số chữ số 0 xuất hiện trong A là số thừa số 10 trong phân tích A thành tích các thừa số (số mũ của 10).

• Số thừa số 2 (số mũ của 2) trong phân tích A:

Do đó A có 10 chữ số 0 ở tận cùng.

Ví dụ 2.3.2.2 Tìm chữ số tận cùng của:

Lời giải: Ở bài này, chúng ta thấy chữ số tận cùng của các số có quy luật lặp lại, 1, 2, 3

Nhìn vào cách tách trên ta thấy, mỗi nhóm là tổng của 5 tích, và mỗi nhóm này sẽ có chữ số tận cùng giống nhau (đều là 0).

Nếu chữ số cuối cùng của một số là 0, chúng ta không cần xác định số nhóm, vì bất kỳ số nào nhân với 0 cũng sẽ có chữ số tận cùng là 0 Dù vậy, chúng ta vẫn có thể tiến hành tìm kiếm số nhóm để xem có bao nhiêu nhóm tồn tại.

Hãy chú ý số cuối cùng của mỗi nhóm (phần bôi đậm) Ta có khoảng cách là 10:

Lẻ ra 1 thừa số, 2011× 2012 tận cùng là 2, tổng của 201 nhóm tận cùng là 0 => S tận cùng là 2.

+ 2020 × 2021 (tận cùng 0) + 2021 × 2022 (tận cùng 2) Đáp số: 2.

A=1 ×2+3×4+5×6+⋯+( ×10−1)× ×10) Ở đây × 10) là số lớn nhất chia hết cho 10 (bội của 10) và không vượt quá n ( ≤ )

Chính là số tận cùng là 0 nên ≤

(trong ví dụ 2.4.2.2 là số 2010)

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng: A = 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + ⋯ + 145 ×

Số tận cùng 0 (Số chia hết cho 10) lớn nhất mà ≤ 145 là ×10)= ×14 = 140.

Do đó ta ghép đôi ( ×10−1)( × 10) = 139 × 140. a) 13×14×15×…×22 b) 1×2×3×…×50.

Hỏi M có tận cùng là bao nhiê chữ số 0 ?

Bài 3 Không cần làm phép tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích.

Bài 4 Tìm chữ số tận cùng của tích sau:

Vận dụng tính chất chia hết và chia có dư để giải bài toán có lời văn

Số học sinh của một trường tiểu học nằm trong khoảng từ 450 và có tính chất đặc biệt khi chia cho 3, 4 hoặc 5 đều cho số dư là 1.

500.Bạn hãy tính số học sinh của trường đó Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta gọi số học sinh của trường đó là x.

Theo đề bài, suy ra x – 1 chia hết cho 3, 4 và 5 Do đó, ta có thể biểu diễn x – 1 ở dạng x – 1 = 3 × 4 × 5 × k, với k ∈ N; hay x = 60k + 1.

Do số học sinh vào khoảng từ 450 đến 500, nên ta có 450 ≤ x ≤ 500 hay 449 ≤ 60k ≤ 499 (*)

Thử chọn với k ∈ N, ta có k = 8 thỏa mãn (*) Thay giá trị k = 8 vào x = 60k + 1 ta được x = 481 Vậy số học sinh của trường đó là 481.

Giả sử số học sinh của trường đó là x Thì x là số có 3 chữ số, x =

Theo đề bài, chúng ta chỉ xét với a = 4 hoặc a = 5.

Khi a = 4 thì 5 ≤ b ≤ 9, hoặc khi a = 5 thì b = 0 (*).

Theo giả thiết, suy ra x – 1 = − 1 chia hết cho 3, 4 và 5

Trường hợp c = 6 Khi đó phải có − 1 = 5 ⋮ 4, suy ra 5 ⋮ 2 Điều này không xảy ra vì 5 có chữ số đơn vị là 5, nó là một số lẻ Vậy c ≠ 6 do đó c = 1.

Trong bài toán này, ta xét các giá trị của b với các trường hợp b = 0, 6 và 8 Khi b = 0, các giá trị tương ứng của a không phù hợp, do đó loại trừ b = 0 Tiếp theo, với b = 6, các giá trị của a cũng không thỏa mãn, dẫn đến việc b không thể bằng 6 Cuối cùng, khi b = 8, ta tìm được a = 4, từ đó suy ra số học sinh của trường là 481.

Bài toán 1 yêu cầu tìm số học sinh của một trường tiểu học, có số dư là 1 khi chia cho 3, 4 hoặc 5, và nằm trong khoảng từ 600 đến 650 Bài toán 2 tương tự, nhưng số học sinh có số dư là 1 khi chia cho 5, 6 hoặc 7 Cả hai bài toán đều liên quan đến việc xác định số học sinh dựa trên các điều kiện chia hết và giới hạn cụ thể.

Qua cách giải bài toán trên, chúng ta thấy rằng:

1 Phương pháp chủ yếu để giải chúng là vận dụng tiêu chuẩn chia hết cho các số.

2 Với bài toán liên quan đến chia có dư, chúng ta cần tìm cách thích hợp chuyển về chia hết để sử dụng tiêu chuẩn chia hết.

3 Phương pháp vận dụng tiêu chuẩn chia hết để giải các bài toán ở dạng trên chỉ là một trong nhiều cách giải.

Ví dụ 2.4.2 Một số tự nhiên chia hết cho 4 và 9 Tìm số đó, biết thương khi chia cho 4 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340.

Bài toán yêu cầu tìm hai số khi biết hiệu của chúng là 340 và tỉ số giữa hai thương khi chia cho 4 và 9 Vì hiệu này chia hết cho cả 4 và 9, ta có thể xác định được tỉ số giữa hai thương Để giải, ta gọi thương của phép chia số cần tìm cho 4 là thương thứ nhất và thương của phép chia số đó cho 9 là thương thứ hai.

Để tìm số chia hết cho 4 và 9, ta có hai thương bằng nhau và hiệu của chúng là 340 Nếu coi thương thứ nhất là 9 phần, thì thương thứ hai sẽ là 4 phần.

Bài toán 1 Một số tự nhiên chia hết cho 5 và 9 Tìm số đó, biết thương khi chia cho 5 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 520.

Bài 1 Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh ( trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả) Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104, 115, 132, 136 và 148 quả Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam Hỏi lúc ban đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Bài 2 Ba xe lam xuất phát từ lúc 7 giờ ở cùng một bến xe chở khách đi ba nơi khác nhau Xe thứ nhất quay về sau 25 phút, nghỉ lại 5 phút rồi tiếp tục đi

Ba xe đã xuất phát cùng một lúc tại bến xe vào buổi sáng Xe thứ nhất quay về sau 35 phút, nghỉ 10 phút trước khi tiếp tục Xe thứ hai trở về sau 45 phút, nghỉ 15 phút rồi tiếp tục hành trình Câu hỏi đặt ra là vào lúc mấy giờ ba xe cùng xuất phát?

Bài 3 Hoàng mua 6 quyển vở, Hùng mua 3 quyển vở Hai bạn góp số vở của mình với số vở của bạn Sơn rồi chia đều cho nhau. Sơn tính rằng mình phải trả các bạn đúng 800 đồng Tính giá tiền một quyển vở, biết rằng cả ba bạn cùng mua một loại vở.

Bài 4 Lớp 4A có ít hơn 35 học sinh và nhiều hơn 20 học sinh. Nếu học sinh lớp 4A xếp thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì không thừa, không thiếu bạn nào Tìm số học sinh của lớp 4A.

Bài 5 Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ đựng trứng gà và trứng vịt ( mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng) Số trứng trong mỗi rổ lần lượt là: 47,

Một cửa hàng có 54, 60, 66, 75, 85, 92 quả trứng, sau khi bán hết 6 rổ, còn lại một rổ trứng gà Trong số trứng đã bán, số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu trứng mỗi loại? Bài 6 đề cập đến một cửa hàng có 6 thùng bột giặt với khối lượng lần lượt là 15 kg, 16 kg, 18 kg, 19 kg, 20 kg và 31 kg Cửa hàng đã bán 5 thùng trong một ngày, với khối lượng bột giặt bán buổi sáng gấp đôi buổi chiều Hỏi cửa hàng còn thùng bột giặt loại nào?

Anh chàng chăn cừu sở hữu từ 4.001 đến 5.000 con cừu Số cừu này khi chia cho 9 dư 3, chia cho 6 cũng dư 3, và chia cho 25 dư 19 Từ những điều kiện này, ta có thể xác định số lượng cừu chính xác mà anh chăn cừu đang nuôi.

Bài 8 Tổng số học sinh khối 1 của một trường Tiểu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trăm bằng 3 Nếu các em xếp hàng 10 hoặc hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không dư Tính số học sinh khối 1 của trường đó.

Dạng toán về tìm thương, số chia, số dư trong phép chia euclid

Ví dụ 2.5.1 Khi chia 100 cho một số tự nhiên, ta tìm được số dư bằng 16 Tìm số chia và thương gần đúng trong phép chia đó.

Phân tích: Khi chia 100 cho một số tự nhiên thì ta được số dư là

16 Do đó, Số chia phải lớn hơn 16 Ta có 100 = × + 16 Từ đó rút a ta tìm được điều kiện của b.

Gọi số chia là a, thương là b. a, b ≠ 0, a > 16.

Vậy số chia và thương gần đúng trong phép chia 100 cho một số tự nhiên được số dư bằng 16 là: a = 21, b = 4; a = 28, b = 3; a = 42, b = 2; a = 84, b = 1

Bài toán 1: Khi chia 120 cho một số tự nhiên, ta được số dư bằng

20 Tìm số chia và thương gần đúng trong phép chia đó.

16 Tìm số chia và thương gần đúng của phép chia đó.

18 Tìm số chia và thương gần đúng của phép chia đó.

Khi chia n cho x, ta được số dư r Tìm số chia x và thương q. n = × +

Ví dụ 2.5.2 Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng

15 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của số bị chia và số dư trong phép chia đó.

Số dư (r) của một số luôn nhỏ hơn số chia (38), do đó số bị chia có thể được biểu diễn dưới dạng 38 × 15 + r Giá trị nhỏ nhất của số bị chia xảy ra khi r đạt giá trị nhỏ nhất, trong khi giá trị lớn nhất của số bị chia xảy ra khi r đạt giá trị lớn nhất.

Số dư của một số luôn nhỏ hơn số chia (38), gọi số dư là r, số bị chia là n Ta có: n : 38 = 15 dư r (0 ≤ ≤ 37)

Ta có 0 ≤ ≤ 37 nên n – 570 ≤ 37 Suy ra 570 ≤ n ≤ 602.

Vậy n nhỏ nhất khi r nhỏ nhất và n lớn nhất khi r lớn nhất.

Bài toán 1 Khi chia một số tự nhiên cho 38, ta được thương gần đúng bằng

Khi chia một số tự nhiên n cho b, thương gần đúng là q, với n = bq + r, trong đó b là số chia và r là số dư Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của số bị chia n và số dư r, ta có thể sử dụng công thức r = n – bq Điều này cho thấy rằng n và r có mối quan hệ biến thiên cùng nhau.

+ Nếu n giảm thì r giảm n lớn nhất thì r lớn nhất và ngược lại n bé nhất thì r bé nhất.

Trong chương 2, tôi đã trình bày các dạng toán liên quan đến lý thuyết chia hết trong tập số tự nhiên, kèm theo ví dụ minh họa và hướng dẫn giải chi tiết Để làm rõ các dạng toán, tôi đã tìm kiếm các lời giải khác nhau, đưa ra các bài toán tương tự với thay đổi số liệu và ngữ cảnh, cũng như các bài toán khái quát Ngoài ra, tôi cũng cung cấp các bài tập tham khảo cho từng dạng toán.

MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ NỘI DUNG MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

Liên hệ với dạy học về phép chia

3.1.1 Phân tích cơ sở toán học. a) Hình thành phép chia.

Trong tập số tự nhiên, với hai số tự nhiên a và b (b≠ 0, a ≥ b), luôn tồn tại hai số tự nhiên q và r sao cho a = bq + r, với điều kiện 0 ≤ r < b Điều này có nghĩa là a chia cho b cho ra thương q và dư r Phép chia còn dư trong tập số tự nhiên luôn có thể thực hiện và cặp số q, r tìm được là duy nhất.

Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia khi số dư bằng 0, tức là r = 0 Khi đó, ta có công thức a = b × q, trong đó a là số bị chia, b là số chia và q là thương Khi a chia hết cho b, ta có phép chia a : b = q Để giúp học sinh tiểu học hình thành khái niệm ban đầu về phép chia, có thể bắt đầu từ phép nhân.

2 × 5 = 10 có thể hình thành được hai phép chia: 10 : 2 = 5 và 10 : 5 = 2

Phép chia giúp học sinh hiểu rõ trình tự từ chia hết đến chia có dư, áp dụng cho cả số hai chữ số và một chữ số Đầu tiên là ví dụ chia hết như 69 : 3, tiếp theo là trường hợp không chia hết như 72 : 3, và cuối cùng là chia có dư như 78 : 3 Đối với số ba chữ số, quy trình đơn giản hơn, chỉ cần thực hiện hai bước: chia hết (144 : 3) và chia có dư (236 : 3) Để tăng cường hiểu biết cho học sinh Tiểu học, có thể minh họa khái niệm chia qua các ví dụ thực tế về “chia đều” và “chia theo nhóm”.

Bà có 6 cái kẹo và chia đều cho 3 cháu, mỗi cháu sẽ nhận được 2 cái kẹo Trong trường hợp khác, nếu bà có 6 cái kẹo và chia đều cho mỗi cháu 2 cái, ta cần xác định số cháu được nhận kẹo Để thực hiện phép chia số có hai chữ số cho số có một chữ số, ta có thể áp dụng quy tắc tổng chia cho một số, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán.

Khi thực hiện phép chia, cần bắt đầu từ hàng cao đến hàng thấp để đảm bảo chính xác trong việc tính toán Ví dụ, trong phép chia 7 chia cho 3, ta cần hiểu là 7 chục chia cho 3 chục Nếu bộ phận nào đó không thể thực hiện được do số bị chia nhỏ hơn số chia, hãy biểu thị hàng đó bằng chữ số 0 trong thương Ví dụ cụ thể là 1824 chia 6 bằng 304.

Trên đây là cơ sở của việc xây dựng nội dung dạy học thực hiện kĩ thuật chia trong dạy toán ở Tiểu học.

Nội dung dạy phép toán chia ở Tiểu học bắt đầu từ lớp 2, khi học sinh được giới thiệu về bảng nhân và bảng chia Trước tiên, học sinh học các bảng nhân 2, 3, 4, 5 Sau khi nắm vững bảng nhân, học sinh sẽ được tiếp cận với phép chia và học bảng chia tương ứng Qua đó, các em sẽ tiếp nhận những khái niệm ban đầu về phép chia, hiểu rằng phép chia là phép toán ngược của phép nhân.

Khái niệm ban đầu về phép chia được xây dựng từ phương pháp pháp trực quan từ tấm bìa có 6 ô vuông.

- Có 6 ô vuông chia thành hai nhóm Hỏi mỗi nhóm có bao nhiêu ô vuông ?

- Hướng dẫn cắt tấm bìa 6 ô thành hai nhóm, mỗi nhóm có 3 ô.

Phép chia biểu thị số ô trong mỗi nhóm, ví dụ: 6 : 2 = 3, được đọc là “Sáu chia hai bằng ba” với dấu “:” là dấu chia Tại đầu kì I lớp 3, học sinh sẽ được học về “phép chia hết và phép chia có dư” Dựa trên những kiến thức này, các phép chia sẽ được mở rộng và phát triển qua các lớp học tiếp theo.

Trong chương trình Tiểu học, phép chia được trình bày trong môn Toán lớp 2 đến kì I lớp 4 theo bốn giai đoạn:

- Dùng các biểu tượng kết hợp với phép nhân dẫn đến ý nghĩa của phép chia

- Xây dựng các bảng chia làm cơ sở để mở rộng phép chia trong các vòng số lớn hơn.

- Xây dựng các quy tắc hình thành phép chia.

Mở rộng khái niệm phép chia giúp hình thành dãy tính và biểu thức Trong sách giáo khoa Toán 2, từ hình ảnh 6 ô vuông được chia thành hai phần bằng nhau, chúng ta có thể dẫn đến khái niệm phép chia.

6 : 3 = 2 để tìm số phần khi biết mỗi phần có 3 ô.

Bảng chia được hình thành dựa trên các biểu tượng kết hợp với phép nhân

- Trong SGK Toán 2: Từ biểu tượng các tấm bìa có hai chấm tròn và phép nhân ta xây dựng bảng chia;

- Trong SGK Toán 3: Từ biểu tượng các tấm bìa có các chấm tròn và phép nhân ta xây dựng các bảng chia 6, 7, 8, 9;

Trong sách giáo khoa Toán lớp 3 và lớp 4, học sinh được hướng dẫn quy tắc thực hành phép chia với số có hai và ba chữ số Quy trình này bắt đầu từ phép chia với số có một chữ số, sau đó tiến tới phép chia với số có hai, ba chữ số và nhiều chữ số, dựa trên các bảng nhân và bảng chia đã được học trước đó.

• Nội dung dạy học phép chia trong chương trình toán lớp 2.

Phép chia là một khái niệm cơ bản trong toán học, được thiết lập từ phép nhân khi biết tích và một thừa số chưa biết Trong phép chia, số bị chia là số mà ta muốn phân chia, số chia là số dùng để chia, và thương là kết quả của phép chia Việc hiểu rõ các thành phần này giúp học sinh nắm vững cách thực hiện phép chia một cách hiệu quả.

- Lập bảng chia cho 2, 3, 4, 5 có tích không quá 50.

- Nhân và chia một số cho 1.

- Nhân và chia một số cho 0.

- Thực hành chia nhẩm trong phạm vi bảng tính Chia số có hai chữ số cho số có một chữ số, các bước trong phạm vi các bảng tính.

- Tính giá trị của biểu thức số có đến hai dấu phép tính nhân, chia Tìm số còn thiếu trong phép tính chia

- Giới thiệu các phần bằng nhau của đơn vị (có dạng với n là các số tự nhiên khác 0 và không vượt quá 5).

•Nội dung dạy học phép chia trong chương trình lớp 3 - Lập bảng chia cho 6, 7, 8, 9.

- Phép chia trong phạm vi 1000

- Tìm một trong các phần bằng nhau của một số

- Chia số có hai, ba, bốn, năm chữ số cho số có một chữ số - Phép chia hết và phép chia có dư

- Giảm đi một số lần - Tìm số chia

- So sánh số lớn gấp mấy lần số bé

- Tính giá trị của biểu thức có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và dấu ngoặc.

- Giải các bài toán có lời văn và bài toán rút về đơn vị.

•Nội dung dạy học phép chia trong chương trình lớp 4.

- Phép chia các số có nhiều chữ số cho số có không quá ba chữ số, thương có không quá bốn chữ số (chia hết hoặc chia có dư).

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 9, 3.

- Chia một tổng cho một số.

- Chia một số cho một tích

- Chia một tích cho một số.

- Phép chia có thành phần 0, có số chia là 1.

- Tìm số trung bình cộng.

- Phân số và phép chia số tự nhiên.

- Một số bài toán liên quan đến tỉ số.

Việc thực hành phép chia cho học sinh Tiểu học dựa trên nguyên tắc đưa lạ về quen và đưa lớn về nhỏ Điều này giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và hiểu rõ hơn về các khái niệm tính toán, phù hợp với đặc điểm tâm lý của lứa tuổi này.

Ta có bài toán: Chia am cho b. Để giải bài toán trên ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chia a cho b a = bq + r ( r là số dư, q là thương).

Bước 3: Chia rm cho b rm = bq + r*.

Chú ý: (i) Trong thực hành tính toán số m chính là các số: 10

Bước 1: Thực hiện chia cho b nếu > a = bq + r, r < b.

Bước 2: Sau chia 10 cho b còn thừa r 10 (thương lần đầu q × 10 ).

Như vậy ta đã đưa A => A (chữ số đầu tiên của A là > là chữ số đầu tiên của A ).

) Trường hợp số chia B có 2 chữ số, 3 chữ số thực hiện tương tự.

3.1.2 Liên hệ với dạy học phép chia hết.

Giải các bài toán chia hết ở Tiểu học liên quan đến tính chất chia hết của tổng Nhiều phép chia có số bị chia không chia hết cho số chia Để thực hiện phép chia, ta chia từ trái sang phải, lấy từng chữ số của số bị chia, và nếu có dư, ta chuyển số dư sang hàng thấp liền kề để tiếp tục chia Quá trình chia bao gồm các bước thực hiện tuần tự, trong đó mỗi bước kết hợp chia, nhân nhẩm và trừ nhẩm, với việc tìm thương là phần khó khăn nhất.

78 bằng 7 chục và 8 đơn vị Chia lần lượt số chục, số đơn vị cho 3.

- Lấy 7 chục chia 3 được 2 chục, 2 chục nhân 3 bằng 6 chục; 7 chục trừ

6 chục bằng 1chục Như vậy 7 chục chia 3 được 2 chục và dư 1chục.

- 1 chục cộng 8 bằng 18, 18 chia 3 bằng 6, 6 nhân 3 bằng 18, 18 trừ

18 bằng 0 Vậy 78 : 3 = 26 Từ cơ sở trên hình thành kĩ thuật chia.

Để thực hiện phép chia, ta bắt đầu từ trái sang phải, lấy từng chữ số của số bị chia Chia số này cho số chia để tìm thương, sau đó trừ tích của thương và số chia khỏi số bị chia Tiếp theo, hạ chữ số tiếp theo bên phải hiệu để tiếp tục chia, cho đến khi có kết quả cuối cùng.

+ Lấy 7 chia 3 được 2, viết 2; 2 nhân 3 bằng 6, 7 trừ 6 bằng 1.

+ Hạ 8 (bên phải 1) được 18; 18 chia 3 bằng 6, viết 6 (bên phải

- Bước chia thứ nhất: 7 chia cho 3 được 2 Như vậy 7 là “số bị chia riêng”, 2 là “thương riêng”, 1 là “số dư riêng” của bước chia thứ nhất;

Trong bước chia thứ hai, hạ 8 bên phải 1, ta được 18 Tiếp theo, chia 18 cho 3, kết quả là 6, được ghi bên phải 2 Khi nhân 6 với 3, ta thu được 18, và 18 trừ 18 bằng 0 Do đó, trong bước chia thứ hai, 18 là “số bị chia riêng”, 6 là “thương riêng”, và 0 là “số dư riêng” Cuối cùng, thương của phép chia được xác định là 2 chục và 6 đơn vị, hay 26.

7 : 3 = 26 (2 chục là thương của bước chia thứ nhất, 6 đơn vị là thương của bước chia thứ hai)

Trong sách giáo khoa Toán, có nhiều bài toán đơn giản liên quan đến phép chia hết Học sinh có thể áp dụng kỹ thuật chia đã học để tìm ra kết quả cho các bài toán này.

Dạng 1 Đặt tính rồi tính

2 nhân 6 bằng 12; 12 trừ 12 bằng 0, viết 0

Hạ 4, được 24; 24 chia 6 được 4, viết 4

Dạng 2 Chia hai số có tận cùng là chữ số 0.

liên hệ với dạy học các dấu hiệu chia hết

Dấu hiệu chia hết dựa vào lí thuyết đồng dư. m > 1, m ∈ , a , b , a , b , a, b, k ∈ , n ∈

1 a ≡ b (mod m) thì a + a ≡ b + b (mod m) a ≡ b (mod m) a − a ≡ b − b (mod m)

2 a ≡ b (mod m) thì ka ≡ kb (mod m)

Dấu hiệu chia hết cho 3, 9

Tư duy của trẻ em mới đến trường chủ yếu là tư duy cụ thể, dựa vào các đặc điểm trực quan của đối tượng và hiện tượng Theo J Piaget, nhà tâm lý học Thụy Sĩ, trẻ em từ 7 đến 10 tuổi vẫn ở giai đoạn thao tác cụ thể Điều này thể hiện rõ trong những tiết học đầu tiên khi trẻ bắt đầu vào lớp một, nơi tính trực quan trong tư duy của học sinh tiểu học rất nổi bật.

Quá trình học tập tại trường giúp học sinh tiểu học phát triển tư duy, chuyển từ nhận thức bề ngoài đến hiểu bản chất của sự vật và hiện tượng Điều này hình thành khả năng khái quát hóa, so sánh và suy luận sơ đẳng cho học sinh Để phù hợp với đặc điểm tư duy của học sinh tiểu học, phương pháp dạy học cần bắt đầu từ những ví dụ cụ thể, từ đó giúp học sinh nhận diện các dấu hiệu chia hết Cuối cùng, kiến thức đã học sẽ được ứng dụng để giải quyết các bài toán chia hết trong sách giáo khoa.

3.2.1 Liên hệ với dạy học dấu hiệu chia hết cho 2.

3.2.1.1 Các ví dụ cụ thể để hình thành dấu hiệu chia hết cho 2.

3.2.1.2 Dấu hiệu chia hết cho 2 trong chương trình môn toán lớp 4 hiện hành.

Dấu hiệu chia hết cho 2 trong chương trình môn toán lớp 4 hiện hành được trình bày như sau:

“Các số có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2”.

Chú ý: Các số có chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 thì không chia hết cho 2 Số chẵn, số lẻ

- Số chia hết cho 2 là số chẵn.

Chẳng hạn: 0; 2; 4; 6; 8;…; 156; 158; 160; …là các số chẵn.

- Số không chia hết cho 2 là số lẻ.

Chẳng hạn: 1; 3; 5; 7; …; 567; 569; 571; …là các số lẻ.

3.2.1.3 Bài tập về dấu hiệu chia hết cho 2 trong sách giáo khoa. Các bài tập về dấu hiệu chia hết cho 2 trong chương trình môn toán lớp

Có hai dạng chia hết cho 2: Dựa vào dấu hiệu chia hết và viết các số tự nhiên chia hết cho 2 Dạng 1 yêu cầu xác định các số trong tập hợp 35; 89; 1000; 744; 867; 7536; 84 683; 5782; 8401, trong đó cần tìm số nào chia hết cho 2 và số nào không chia hết cho 2.

Dạng 2: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 để viết các số tự nhiên.

Bài tập 2 yêu cầu viết bốn số có hai chữ số, mỗi số đều chia hết cho 2, và hai số có ba chữ số, mỗi số không chia hết cho 2 Bài tập 3 gồm việc sử dụng ba chữ số 3, 4, 6 để viết các số chẵn có ba chữ số, đảm bảo mỗi số có cả ba chữ số này, và với ba chữ số 3, 5, 6 để viết các số lẻ có ba chữ số, mỗi số cũng phải chứa tất cả ba chữ số đó.

Bài tập 4. a) Viết số chẵn thích hợp vào chỗ chấm: 340; 342; 344; …; …; 350. b) Viết số lẻ thích hợp vào chỗ chấm:

“ Các số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5”.

Chú ý: Các số không có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 5

3.2.2.3 Bài tập về dấu hiệu chia hết cho 5 trong sách giáo khoa.

Trong chương trình môn toán lớp 4, bài tập về dấu hiệu chia hết cho 5 được chia thành hai dạng chính: xác định các số có chia hết cho 5 và viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu này Đặc biệt, có sự liên kết giữa dấu hiệu chia hết cho 5 và dấu hiệu chia hết cho 2, giúp học sinh tìm ra các số vừa chia hết cho 2 và 5 hoặc chỉ chia hết cho 5 Dạng 1 yêu cầu học sinh xác định các số trong tập hợp 35, 8, 57, 660, 4674, 3000, 945, 5553, trong đó cần tìm số chia hết cho 5 và số không chia hết cho 5.

Dạng 2: Viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho

5 Bài tập 2 Viết số chia hết cho 5 thích hợp vào chỗ chấm a) 150 < ⋯ < 160; b) 3575 < ⋯ < 3585; c) 335; 340; 345;…;…; 360.

Bài tập 3 Với ba số 0; 5; 7 hãy viết các số có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ số đó và đều chia hết cho 5.

Bài tập 4 Trong các số 35; 8; 57; 660; 945; 5553; 3000; a) Số nào vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2 ? b) Số nào chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 ?

“ Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3”

Chú ý: Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho

Có 4 dạng bài tập chia hết cho 3, trong đó có 3 dạng chính Dạng 1 yêu cầu xác định các số có chia hết cho 3 dựa vào dấu hiệu chia hết Bài tập 1 đặt ra câu hỏi về việc tìm số nào trong danh sách các số dưới đây chia hết cho 3.

Bài tập 2 Trong các số sau, số nào không chia hết cho 3 ?

Dạng 2: Viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3

Bài tập 3 Viết ba số có ba chữ số và chia hết cho 3.

Dạng 3: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số chưa biết. Bài tập 4 Tìm chữ số thích hợp viết vào ô trống để được các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9:

“ Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9”

Chú ý: Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho

Bài viết này đề cập đến hai dạng chia hết, trong đó có việc xác định các số tự nhiên có chia hết cho 9 Dạng 1 tập trung vào dấu hiệu chia hết cho 3 Một bài tập cụ thể là tìm ra số nào trong các số cho trước chia hết cho 9.

Bài tập 2 Trong các số sau, số nào không chia hết cho 9 ?

Dạng 2: Viết các số tự nhiên dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9.

Bài tập 3 Viết hai số có ba chữ số và chia hết cho 9.

Dạng 3: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm chữ số chưa biết. Bài tập 4 Tìm chữ số thích hợp viết vào ô trống để được số chia hết cho 9:

Liên hệ với dạy học một số dạng bài tập

Các dấu hiệu chia hết và phép chia có dư là phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 4, đóng vai trò cơ sở để giải nhiều dạng toán ở Tiểu học Kiến thức về dấu hiệu chia hết giúp học sinh tính toán, điền và tìm ra kết quả bài toán một cách nhanh chóng Dưới đây là một số hướng giải cho các bài toán Tiểu học dựa vào dấu hiệu chia hết.

Hướng 1 Xét dấu hiệu chia hết của một tổng hoặc hiệu các số Các tính chất thường sử dụng:

- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.

- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.

- Nếu một số hạng của tổng chia cho 2 dư n và các số hạng còn lại đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia cho 2 dư n.

- Hiệu của 2 số là một số chia hết cho 2 và một số chia cho 2 dư n thì số còn lại cũng chia cho 2 dư n.

Trong một tổng, nếu tổng số dư của các phép chia từng số hạng cho một số mà chia hết cho số đó, thì tổng của các số hạng cũng sẽ chia hết cho số đó.

-Trong một hiệu, nếu số bị trừ và số trừ khi chia cho một số có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó.

Để xác định xem các tổng và hiệu có chia hết cho 3 hay không, ta cần xem xét các trường hợp sau: a 240 + 123 và 240 − 123; b 2454 + 374 + 135 và 2454 − 374 - 135 Việc không thực hiện phép tính mà chỉ phân tích các tổng và hiệu sẽ giúp chúng ta đưa ra kết luận về tính chia hết cho 3 của các biểu thức này.

Gợi ý: Ta nhận xét: a 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:

(240 + 123) chia hết cho 3 (240 − 123) chia hết cho 3 b 2454 và 135 chia hết cho 3 còn 374 không chia hết cho 3 nên:

Bài toán 2 Tìm số n sao cho n + 6 chia hết cho n + 1.

Gợi ý: n + 6 = n + 1 + 5 nên n + 6 chia hết cho n + 1 khi và chỉ khi 5 chia hết cho n + 1 Nhưng 5 chỉ chia hết cho 5 và 1 nên n + 1 = 1 hoặc n + 1 = 5 Từ đó n = 0 hoặc n = 4.

Hướng 2 Xác định số đồng thời chia hết cho 2 số hoặc 3 số.

Số đồng thời chia hết cho 2 và 5 sẽ chia hết cho 10 Dấu hiệu để nhận biết số chia hết cho 10 là số đó có chữ số tận cùng bằng 0.

Số chia hết cho 6 phải có chữ số tận cùng là số chẵn và tổng các chữ số của nó cũng phải chia hết cho 3.

3 Tương tự như thế với số chia hết cho 15, 18, 45.

Bài toán 3 Viết thêm sau số 1 hai chữ số sao cho được một số có

3 chữ số và số này chia hết cho 6.

Giáo viên hướng dẫn nên xác định chữ số tận cùng trước và từ đó suy ra chữ số hàng chục.

Bài toán 4 Không thực hiện phép chia hãy cho biết các số sau đây: 2015, 1975, 55555 có chia hết cho 15 không? Tại sao?

Bài toán 5 Viết thêm vào số 2017 hai chữ số tận cùng để được số mới (gồm 6 chữ số) chia hết cho 45.

Gợi ý: Số mới chia hết cho 45 nên phải chia hết cho 5, vậy chữ số hàng đơn vị là

0 hoặc 5 Nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì tổng của 5 chữ số đã biết của số mới là

Số 201780 được xác định bằng cách cộng các chữ số 2, 0, 1, 7 và 0, cho ra tổng là 10 Chữ số hàng chục còn lại cộng với 10 phải chia hết cho 9, do đó chữ số hàng chục là 8 Tương tự, khi chữ số hàng đơn vị là 5, tổng của các chữ số 2, 0, 1, 7 và 5 là 15, dẫn đến chữ số hàng chục chỉ có thể là 3, tạo ra số 201735.

Bài toán 6 Viết thêm vào số 1996 hai chữ số tận cùng để được một số chia hết cho các số 2, 5, 9.

Gợi ý: Số chia hết cho 2 và 5 thì có chữ số tận cùng là 0 Xét tổng các chữ số chia hết cho 9 để suy ra chữ số hàng chục là 2.

Bài toán 7 Viết thêm số 459 vào giữa hai chữ số thì được một số(gồm 5 chữ số) mà khi chia cho 2, 5, 9 đều dư 1 Tìm số có 5 chữ số đó.

Gợi ý: Số đó có chữ số tận cùng là 1 Xét tổng các chữ số chia cho 9 dư 1 để tìm ra chữ số còn lại là 9.

Bài toán 8 Có thể thay các chữ khác nhau trong biểu thức trên bởi các chữ số khác nhau để được đẳng thức :

Đẳng thức CAM + QUYT + NHO = 1989 + 1990 + 1991 không đúng Vế trái có 10 chữ cái khác nhau, tương ứng với 10 chữ số khác nhau, tổng của chúng phải là 45 và chia hết cho 9 Tuy nhiên, tổng các số ở vế phải không chia hết cho 9, vì vậy đẳng thức này không thể đúng.

Hướng 3 Các bài toán tính nhanh các tổng hoặc rút gọn phân số. Bài toán 9 Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất. a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984 b) 16×3×4×50×25×125 c)(45× 46 × 47 × 49) × (50 × 51 − 49 × 48) × (45 × 128 − 90 × 64) ×

Để tính tổng 1996 + 3992 + 5988 + 7984, chúng ta có thể phân tích các số hạng dựa trên dấu hiệu chia hết Các số hạng này đều có thừa số chung là 1996 Bằng cách nhóm các số hạng có thừa số giống nhau và áp dụng tính chất của các phép toán, ta có thể tìm nhanh kết quả của dãy tính này.

Trong 1 tích có 1 thừa số bằng 0 Vậy tích đó bằng 0, tức là:

Phân tích các thừa số trong tử số và mẫu số bằng cách sử dụng dấu hiệu chia hết giúp chúng ta xác định các số giống nhau Cụ thể, ví dụ a) có thể được biểu diễn là 7 nhân với các thừa số tương ứng, trong khi ví dụ b) cũng có thể được phân tích tương tự Việc này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của phân số mà còn tối ưu hóa cho các tìm kiếm liên quan đến toán học.

Hướng 4: Các bài toán có lời văn nên được chuyển đổi thành bài toán xét dấu hiệu chia hết Phương pháp này giúp gắn kết kiến thức toán học với thực tế, đồng thời tránh tình trạng học sinh chỉ nắm vững lý thuyết về dấu hiệu chia hết mà không hiểu ứng dụng thực tiễn của nó.

Lớp 4A có từ 31 đến 39 học sinh, khi xếp hàng đôi thì số học sinh trong mỗi hàng bằng nhau Ngoài ra, khi chia lớp thành 3 tổ, số học sinh trong mỗi tổ cũng đồng đều.

Gợi ý: Số kẹo chia hết cho 6 và sĩ số là 36.

Bài toán 12: Mẹ mua kẹo và chia đều cho hai anh em, mỗi người nhận số kẹo như nhau, nhưng khi có thêm một bạn đến chơi, mẹ cũng chia số kẹo đó cho ba trẻ và vẫn vừa đủ Biết rằng số kẹo mẹ mua không quá 15 chiếc và không ít hơn 10 chiếc, ta cần tìm số kẹo mà mẹ đã mua Gợi ý: Số kẹo phải chia hết cho 6 và có khả năng là 12 chiếc.

Bài toán 13 Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả) Số quả trong mỗi rổ lần lượt là

Sau khi bán một rổ cam, người bán nhận thấy số lượng chanh gấp 4 lần số cam còn lại Cửa hàng có các loại cam với số lượng 104, 115, 132, 136 và 148 quả Hãy xác định số lượng mỗi loại cam và chanh còn lại trong cửa hàng.

Gợi ý: - Dựa vào dấu hiệu chia hết tìm rổ cam đã bán Đưa về dạng toán tổng tỉ

Tổng số cam và chanh của cửa hàng là:

Tổng số quả là 635, với số chanh gấp 4 lần số cam còn lại Nếu coi số cam còn lại là một phần, thì số chanh sẽ chiếm 4 phần Do đó, tổng số chanh và số cam còn lại được xác định dựa trên tỷ lệ này.

1 + 4 = 5 ( phần ) Như vậy số quả chanh và cam còn lại phải là một số chia hết cho 5.

Cửa hàng có tổng cộng 635 quả cam và chanh, và số quả này chia hết cho 5, do đó số cam đã bán cũng phải chia hết cho 5 Trong 5 rổ cam và chanh, chỉ có rổ chứa 115 quả là chia hết cho 5, điều này cho thấy cửa hàng đã bán rổ 115 quả cam Tổng số quả chanh và cam còn lại sau khi bán là 635 - 115 = 520 quả.

Số cam còn lại là:

Số cam của cửa hàng có là:

Số chanh của cửa hàng có là:

635 − 219 = 416 (quả) Đáp số: Cam: 219 quả

Tiêu đề	Lí Thuyết Chia Hết Trong Tập Số Tự Nhiên Và Mối Liên Hệ Với Một Số Nội Dung Môn Toán Ở Tiểu Học
Tác giả	Trần Thanh Loan
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Tiến Mạnh
Trường học	Trường Đại Học Hùng Vương
Chuyên ngành	Giáo Dục Tiểu Học
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Phú Thọ

Định dạng
Số trang	113
Dung lượng	2,86 MB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
[1] Nguyễn Áng – Dương Quốc Ấn – Hoàng Thị Phước Hảo (2010), bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[2] Nguyễn Áng – Đỗ Trung Hiệu (2010), 123 bài toán số và chữ số lớp 4, 5, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[7] Hà Sĩ Hồ – Đỗ Đình Hoan – Đỗ Trung Hiệu (1999), Phương pháp dạy học toán – tập 1, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[8] Đỗ Trung Hiệu – Nguyễn Hùng Quang – Kiều Đức Thành (2006), Phương pháp dạy học toán – tập 2, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[9] Trần Diên Hiển (2012), 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, 5 – tập 1, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[10] Trần Diên Hiển, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở Tiểu học, nhà xuất bản đại học Sư phạm	Khác
[11] Trần Diên Hiển (chủ biên) – Nguyễn Thủy Chung (2018), cơ sở toán học của môn toán Tiểu học, nhà xuất bản Đại học Sư phạm	Khác
[12] Nguyễn Hữu Hoan (2010), Lí thuyết số, nhà xuất bản Đại học Sư phạm	Khác
[13] Nguyễn Tiến Quang (2009), Bài tập số học, nhà xuất bản Giáo dục. [14] Nguyễn Tiến Tài (2007), Số học, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[15] Lại Đức Thịnh (1997), Giáo trình số học, nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[16] Dương Thế Việt ( chủ biên) – Đàm Văn Nhỉ, Cơ sở lí thuyết số và đa thức, nhà xuất bản Đại học Sư phạm	Khác