Một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm
Không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.1 Không gian mêtric là một cặp (X, ρ), trong đó X là một tập hợp, ρ : X ìX → R là một hàm xác định trên X ìX thoả mãn các điều kiện sau:
Hàm ρ được xem là một mêtric trong không gian X, trong đó mỗi phần tử của X được gọi là một điểm Khoảng cách giữa hai điểm x và y được ký hiệu là ρ(x, y) Theo định nghĩa 1.1.2, một dãy x_n (n=1 đến ∞) trong không gian mêtric (X, ρ) được coi là hội tụ đến phần tử x_0 ∈ X nếu giới hạn khi n tiến đến vô cùng của ρ(x_n, x_0) bằng 0, ký hiệu là lim n→∞ x_n = x_0 Định nghĩa 1.1.3 mô tả dãy x_n (n=1 đến ∞) ⊂ X là dãy côsi hay dãy cơ bản nếu
Không gian mêtric (X, ρ) được coi là không gian đầy đủ khi mọi dãy côsi trong X hội tụ đến một phần tử thuộc X Một tập con M trong không gian mêtric X được gọi là tập compact nếu mọi dãy x_n (với n = 1 đến ∞) thuộc M đều có một dãy con x_{n_k} (với k = 1 đến ∞) hội tụ đến một điểm trong M.
Trong không gian C [a,b] một tậpM là compac nếu thoả mãn định lý sau: Định lý 1.1.1 (Định lý Arsela - Ascoli) (xem [3])
TậpM ⊂ C [a,b] là compac khi và chỉ khi nó giới nội đều và liên tục đồng bËc.
Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.5 Giả sử K là trường số thực R Tập hợp X khác rỗng cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng):
X ×X → X (x, y) 7→ x+y Phép nhân vô hướng, kí hiệu:
R×X →X (α, x) 7→ α.x gọi là không gian tuyến tính trên R (hoặc không gian véc tơ thực) nếu hai phép toán cộng và nhân vô hướng thoả mãn các tính chất sau:
3) Với phần tử 0∈ X ta có: ∀x ∈ X, x+ 0 = 0 +x;
4) Với mỗi x ∈ X, tồn tại phần tử −x ∈ X : x+ (−x) = 0;
8) ∀β ∈ R, x, y ∈ X :β.(x+y) =β.x+β.y. Định nghĩa 1.1.6 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R Hàm số: k.k: X →R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
Một không gian định chuẩn là một không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn trên nó.
Nhận xét 1.1.1 Nếu đặt:ρ(x, y) = kx−yk thì(X, ρ) trở thành không gian mêtric.
Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.8 Cho X là một không gian tuyến tính trênR Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ h., i : X ìX → R thoả mãn các điều kiện sau:
4) hx+ y, zi = hx, zi+hy, zi, ∀x, y, z ∈ X.
Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng h., i được gọi là không gian tiÒn Hilbert.
Nhận xét 1.1.2 Với hàm kxk q x, x thì X trở thành không gian định chuÈn. Định nghĩa 1.1.9 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.1 1) Không gian các hàm L p [a, b] trong đó mỗi phần tử là các hàm đo được x(s) có x p (s) khả tích với chuẩn được xác định như sau: kxk L p Z b a
< +∞ (1.1) là không gian Bannach, với p =2 ta có không gian Hilbert. Đặc biệt, không gian Sobolev W 2 1 gồm những hàm f ∈ L2[a, b] sao cho f 0 ∈ L2[a, b], víi chuÈn kfk 2 W 1
2 = kfk 2 L 2 +kf 0 k 2 L 2 < ∞ là không gian Hilbert.
2) Không gian các hàm x(s) liên tục trên đoạn [a, b] và kxk C [a,b] = max s∈[a,b]|x(s)| (1.2) là không gian Bannach.
Sự hội tụ trong các không gian
ChoX là không gian định chuẩn, trong đó một dãy x n ⊂ X được xem là hội tụ mạnh đến phần tử x 0 ∈ X khi n → ∞ nếu khoảng cách giữa x n và x 0, ký hiệu là kx n − x 0 k, tiến gần đến 0 khi n tăng lên Hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh.
Ký hiệu lim n→∞ x n = x 0 hoặc x n → x 0 được sử dụng để diễn tả sự hội tụ của dãy x n Theo Định nghĩa 1.1.11, trong không gian định chuẩn X và không gian liên hợp X ∗, dãy x n ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x 0 ∈ X nếu với mọi hàm f ∈ X ∗, ta có f(x n) → f(x 0) khi n tiến tới vô cùng Ký hiệu cho sự hội tụ yếu này là x n * x 0.
Từ hội tụ mạnh suy ra hội tụ yếu, và ngược lại, điều này chỉ đúng khi không gian X là một không gian định chuẩn hữu hạn chiều hoặc khi x n thuộc M, trong đó M là một tập compact trong X.
Toán tử trong các không gian
Định nghĩa 1.1.12 Cho X và Y là hai không gian tuyến tính bất kì Toán tử A : X →Y gọi là tuyến tính nếu:
Nếu f : X → R là một toán tử tuyến tính, thì f được gọi là một phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.13 nêu rõ rằng, với X và Y là hai không gian định chuẩn, một toán tử tuyến tính A : X → Y được coi là liên tục nếu sự hội tụ x_n → x_0 luôn dẫn đến sự hội tụ A(x_n) → A(x_0).
Ax n →Ax 0 Định nghĩa 1.1.14 Toán tử tuyến tính A gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số K > 0 để cho
Một toán tử tuyến tính A: X → Y được gọi là toán tử hoàn toàn liên tục (toán tử compact) nếu nó biến mỗi tập đóng bị chặn thành tập compact Cụ thể, nếu tồn tại một hằng số K sao cho với mọi x ∈ X, có kAxk ≤ Kkxk, thì A là một toán tử bị chặn, và điều này đồng nghĩa với việc A cũng liên tục.
Kí hiệu K(X, Y) là tập tất cả các toán tử hoàn toàn liên tục từ X vào Y.
Dễ nhận thấy K(X, Y) ⊂ B(X, Y), ở đây B(X, Y) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y.
Trong không gian vô hạn chiều, nếu A là một toán tử hoàn toàn liên tục thì A −1 không liên tục.
Bổ đề 1.1.1 (Bổ đề Tikhonov) (xem [1] và các tài liệu dẫn)
Cho X và Y là các không gian Bannach Cho toán tửA : X → Y đưa tập
Nếu X0 ⊆ X và Y0 = A(X0), với A là một song ánh liên tục và X0 là tập compact của X, thì ánh xạ ngược A−1 cũng là một ánh xạ liên tục từ Y0 lên X0 Định nghĩa 1.1.16 nêu rõ bài toán tìm cực tiểu của phiếm hàm f(x) trên không gian Banach X là tìm phần tử x0 ∈ X sao cho f(x0) = inf x∈X f(x).
Dãy x n được gọi là dãy cực tiểu hoá cho bài toán cực tiểu trên (của phiếm hàm f), nếu n→∞lim f(xn) =f(x0) Điều này tương đương với:
1.1.6 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính Để tìm nghiệm một hệ phương trình đại số tuyến tính, tồn tại nhiều phương pháp số khác nhau.Tuỳ đặc điểm của từng ma trận hệ số, ta có thể chọn phương pháp nào cho có lợi hơn cả Khi tìm nghiệm hiệu chỉnh đã được rời rạc hoá của bài toán không chỉnh, ta thường sử dụng tính đối xứng và tính không âm của ma trận hệ số Trong mục này, chúng tôi giới thiệu phương pháp căn bậc 2, các phương pháp khác có thể xem trong [2].
Hệ phương trình đại số Ax = b với A là ma trận vuông cấp n, đối xứng và xác định dương, trong đó các thành phần của A được ký hiệu là a_ij và b = (b_1, b_2, , b_n)^T là chuyển vị của véctơ hàng Ma trận A có thể được biểu diễn dưới dạng A = U * U, với U là ma trận vuông.
và U ∗ là ma trận chuyển vị của U Các thành phần u ij được xác định lần lượt theo công thức sau u 11 = √ a 11 , u 1j = a1j u 11 , j = 2,3, n; u ii v u u ta ii − i−1
Hệ phương trình Ax = b được phân chia thành hai phần: U ∗ y = b và U x = y Bằng cách giải quyết từng hệ phương trình đại số với ma trận tam giác, ta có thể tìm ra nghiệm x.
Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh 13
Khái niệm bài toán đặt chỉnh được J Hadamard đề xuất trong nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên đến nghiệm của các phương trình elliptic và parabolic Định nghĩa 1.2.1 nêu rõ rằng, nếu X và Y là hai không gian metric với các độ đo tương ứng ρ_X (x_1, x_2) và ρ_Y (f_1, f_2), thì A là toán tử chuyển đổi từ X sang Y.
Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian mêtric (X, Y) nếu:
2) xf được xác định một cách duy nhất;
3) x f phụ thuộc liên tục vào f. Định nghĩa 1.2.2 Nếu một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán đã cho gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Trong các bài toán phi tuyến, điều kiện ổn định thường không được thỏa mãn, dẫn đến việc hầu hết các bài toán này trở thành bài toán không chỉnh Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ liệu f, được ký hiệu là x = R(f), được coi là ổn định trên cặp không gian (X, Y) nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho khi ρ Y (f 1 , f 2 ) ≤ δ(ε) thì ρ X (x 1 , x 2 ) ≤ ε, với x i = R(f i ), x i ∈ X, f i ∈ Y, i = 1,2 Đáng lưu ý, một bài toán có thể được đặt chỉnh trên một cặp không gian nhưng lại không chỉnh trên một cặp không gian khác.
Trong nhiều ứng dụng, vế phải của phương trình (1.4) thường được xác định thông qua đo đạc, nghĩa là thay vì biết giá trị chính xác f, ta chỉ có thể xấp xỉ nó bằng f δ, với điều kiện kf δ − fk ≤ δ Giả sử x δ là nghiệm của (1.4) khi f được thay thế bằng f δ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại) Khi δ tiến gần đến 0, f δ sẽ tiến gần đến f, nhưng trong bài toán không chỉnh, x δ thường không hội tụ về x.
Ví dụ 1.2.1 Bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại
I là bài toán đặt không chỉnh.
Xét phương trình Fredholm loại I:
Trong khoảng −∞ < a < b < +∞, nghiệm x0(s) được xác định bởi một hàm số f0(t) đã cho, kết hợp với nhân K(t, s) của tích phân và đạo hàm ∂K/∂t Cả K(t, s) và ∂K/∂t đều được giả thiết là các hàm liên tục Chúng ta sẽ phân tích hai trường hợp sau đây.
Sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L 2 [a, b], tức là khoảng cách giữa hai hàm f 1 (t) vàf 2 (t) trong L 2 [a, b] được xác định bởi ρ L 2 [a,b] (f 1 , f 2 ) Z b a
. Giả sử phương trình (1.5) có nghiệm x 0 (s) Khi đó với vế phải f 1 (t) =f 0 (t) +N
Phương trình (1.5) có nghiệm x 1 (s) = x 0 (s) +N sin(ω.s) Với N bất kì, ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f 0 , f 1 trong L 2 [a, b] là: ρ L 2 [a,b] (f0, f1) = |N|
2 dt 1/2 có thể làm nhỏ tuỳ ý Thật vậy, đặt:
≤ |N|.K max c 0 ω ở đây c 0 là một hằng số dương Ta chọn N vàω lớn tuỳ ý nhưng N ω lại nhỏ. Khi đó: ρ C[a,b] (x 0 , x 1 ) = max s∈[a,b]|x 0 (s)−x 1 (s)| = |N| cã thÓ lín bÊt k×.
Khoảng cách giữa hai nghiệm x 0 , x 1 trong L 2 [a, b] cũng có thể lớn bất kì. ThËt vËy, ρ L 2 [a,b] (x 0 , x 1 ) Z b a
Hai số N và ω có thể được chọn để ρ L 2 [a,b] (f 0 , f 1 ) rất nhỏ, nhưng vẫn dẫn đến ρ L 2 [a,b] (x 0 , x 1 ) rất lớn Điều này cho thấy sự thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu có thể gây ra sự thay đổi lớn về nghiệm Vì vậy, bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại I là một bài toán không chỉnh.
Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh
Ax = f 0 , (1.6) trong đó A là một toán tử từ không gian metric X vào không gian mêtric
Y và f 0 thuộc Y Để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán tổng quát (1.6), A.N Tikhonov đã giới thiệu khái niệm phương pháp hiệu chỉnh Phương pháp này dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và lựa chọn giá trị cho một tham số mới được đưa vào (xem [4]−[5]).
Giả sử A −1 không liên tục và thay cho 0, ta có điều kiện |f δ −f 0 | ≤ δ →0 Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, f δ ) và mức sai số δ để tìm một phần tử xấp xỉ nghiệm chính xác x 0 Rõ ràng, không thể xác định phần tử xấp xỉ x δ theo quy tắc x δ = A −1 f δ, vì A −1 có thể không xác định với f ∈ Y, và A −1 không liên tục, do đó A −1 f δ, nếu tồn tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A −1 f.
Tham số δ thể hiện mức độ sai số của vế phải trong phương trình (1.6) Do đó, vấn đề cần giải quyết là xây dựng một phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số được chọn tương thích với δ, nhằm đảm bảo khi δ tiến gần về 0, phần tử xấp xỉ này sẽ hội tụ tới nghiệm chính xác x₀.
Như vậy, tồn tại một toán tử tác động từ không gian Y vào không gian
Theo quy tắc với mỗi δ ∈ Y, tồn tại một phần tử xấp xỉ thuộc X Định nghĩa 1.3.1 cho biết toán tử R(f, α), phụ thuộc vào tham số α, tác động từ Y vào X, được xem là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.6).
1) Tồn tại hai số dương δ 1 và α 1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α 1 ) và với mọi f ∈ Y :ρ Y (f, f 0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ 1 );
2) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ > 0, ∃δ() ≤ δ 1 :
Trong định nghĩa này, với ∀f ∈ Y, nếu ρ Y (f, f 0 ) ≤ δ ≤ δ 1 thì ρ Y (x α , x 0 ) cũng sẽ được thỏa mãn, trong đó x α ∈ R(f, α(f, δ)) Lưu ý rằng không yêu cầu tính đơn trị của toán tử R(f, α) Phần tử xα ∈ R(fδ, α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (1.6), với α = α(fδ, δ) = α(δ) được xem là tham số hiệu chỉnh.
Từ định nghĩa trên, có thể thấy rằng nghiệm hiệu chỉnh ổn định liên quan chặt chẽ đến dữ kiện ban đầu Việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của (1.6) bao gồm hai bước quan trọng.
1) Tìm toán tử hiệu chỉnh R(f, α).
2) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán về phần tử f δ và sai số δ.
Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên gọi là phương pháp hiệu chỉnh.
Phương pháp này, đã được áp dụng từ thời Newton, được sử dụng để giải quyết bài toán cổ điển về việc tính giá trị z = df(t) dt trong metric C, khi hàm f(t) chỉ được biết gần đúng Đạo hàm z được xác định dựa trên tỷ số sai phân.
R(f, α) = f(t+α)−f(t) α Nếu thay cho f(t) ta biết xấp xỉ của nó là f δ (t) = f(t) + g(t), ở đây
Số hạng thứ 2 được đánh giá bởi
Nếu chọn α = δ η(δ), víi η(δ) → 0, khi δ → 0, th× 2δ α = 2η(δ) → 0 V× vËy víi, α = α 1 (δ) = δ η(δ), R(f δ , α 1 (δ)) →z.
Sự tồn tại toán tử hiệu chỉnh
Giả sử phương trình (1.6) có một nghiệm duy nhất x₀, khi đó vế phải f₀ là chính xác Nếu vế phải fₗ chỉ cho biết xấp xỉ ρY(fₗ, f₀) ≤ δ → 0, việc tìm phần tử xₗ xấp xỉ nghiệm x₀ sẽ bị giới hạn trong một tập nhất định.
Để xác định phần tử x δ gần x 0 khi δ tiến đến 0, người ta áp dụng một nguyên lý dựa trên quy tắc cực tiểu của phiếm hàm ổn định Định nghĩa phiếm hàm ổn định Ω(x) ≥ 0 trên tập X 1 ⊆ X được thiết lập, trong đó X 1 = X, nhằm đảm bảo tính ổn định trong quá trình tìm kiếm.
Khi đã có một phiếm hàm như vậy ta có thể tiến hành việc tìm nghiệm xấp xỉ z δ dựa vào việc giải bài toán:
Phần tử z δ, nếu tồn tại, có thể được xem như kết quả từ sự tác động của một toán tử R˜ phụ thuộc vào tham số δ lên f δ ∈ Y, tức là z δ = ˜R(f δ , δ) Do đó, R(f˜ δ , δ đóng vai trò là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.6) (xem [1]).
Khi X ≡ H là một không gian Hillbert, B là tập đóng của H, f(z) là một phiếm hàm không âm liên tục trên H.
Xét phiếm hàm phụ thuộc tham số:
Ω(z) =˜ f(z) + α.Ω(z), α > 0 (1.9)Khi đó ta có Định lý 1.4.1 (xem [1]) Tồn tại phần tử z˜∈ B ∩X1 sao cho
Sự tồn tại phần tử zδ của bài toán (1.8) được suy ra từ định lý trên khi lấy f ≡ 0và α = 1 (xem [1]).
Hiệu chỉnh cho phương trình tích phân tuyến tính loại
Nghiệm hiệu chỉnh của phương trình tích phân tuyến tính loại I 24 1 Cơ sở lý thuyết
Các kết quả, định lý trong phần này được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [1] và các tài liệu dẫn.
Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
Nghiệm x 0 (s) là một hàm, trong đó f 0 (t) là một hàm số đã được xác định trước, và K(t, s) là hạch của tích phân Đồng thời, giả thiết rằng ∂K/∂t cũng là một hàm liên tục đã được cho trước.
Sự thay đổi của vế phải được cho bằng độ đo trong không gian L 2 [c;d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f 1 (t) vàf 2 (t) trong L 2 [c;d] được xác định bởi ρ L 2 [c,d] (f 1 , f 2 ) Z d c
Nghiệm x 0 (s) được giả thiết thuộc vào lớp các hàm liên tục trên [a;b] với khoảng cách ρ C[a,b] (x 1 , x 2 ) = max s∈[a,b]|x 1 (s)−x 2 (s)|.
Giả sử phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất x₀ (s) thuộc X₁ theo nghĩa thông thường Để đơn giản, ta thay thế vế phải f₀(t) bằng fₓ(t) sao cho fₓ(t) thỏa mãn điều kiện cần thiết.
Khi đó, dựa vào phương trình
K(t, s)x(s)ds = fδ(t) ta chỉ có thể tìm nghiệm xấp xỉ cho cho x 0 (s) mà thôi. Để tìm xấp xỉ cho x 0 (s), trước tiên ta xác định tập
Tiếp theo từ Q˜ 1 δ chọn một phần tử x˜ δ (s) làm cực tiểu phiếm hàm
2 ds, ở đây p(s) và q(s) là hai hàm liên tục, không âm và p(s) ≥ p 0 > 0 Ta có kết quả sau. Định lý 2.1.1 (xem [1]) Với mỗi δ > 0 và f δ (t) ∈ L 2 [c;d] thoả mãn ρ L 2 [c;d] (f δ , f 0 ) ≤ δ, tồn tại x˜ δ ∈ Q˜ 1 δ sao cho
Ω(x). Để chứng minh định lý này, ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.1 Với mỗi d0 > 0, tập Φ = {x ∈ X 1 : Ω(x) ≤ d0} là một tập compact của C[a;b].
Chứng minh: Từ Ω(x) ≤ d suy ra
Z b a p(s)(x 0 ) 2 (s)ds ≤ d 0 (2.3) Bất đẳng thức (2.2) cho ta
∀x ∈ Φ ∃s 0 ∈ [a, b] : p q(s0)|x(s 0 )| ≤ r d 0 b−a. Nếu không như vậy, thì pq(s)|x(s)| > r d 0 b−a, ∀s ∈ [a, b].
Z b a d 0 b−ads = d0. Điều này trái với bất đẳng thức (2.2) Mặt khác,
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Byniakovskii ta được
|s 2 −s 1 | s d 0 p 0 Điều đó nói lên rằng Φ là họ các hàm liên tục đồng bậc.
Bây giờ, nếu lấy s 1 = s 0 , thì với mọi s 2 ∈ [a, b] ta có
Đoạn văn chứng minh rằng tập hợp Φ là tập các hàm giới nội đều Theo định lý Arzelà-Ascoli, tồn tại một dãy {x_n(s)} thuộc Φ hội tụ đều trên đoạn [a, b] đến một hàm x˜, và hàm x˜ này cũng liên tục trên đoạn [a, b] Do đó, Φ được xác định là một tập compact trong không gian C[a, b].
Bây giờ trở lại Định lý 2.1.1 Trước hết ta chứng minh định lý trên ở dạng đơn giản Xét tập
Ω(x) và x δ (s) có đạo hàm liên tục trên [a, b].
Thật vậy, do Ω(x) không âm, cho nên tồn tại
Ω(x) và dãy cực tiểu hoá {x n (s)}, x n (s) ∈ Q˜ 2M δ , sao cho n→∞lim Ω(x n ) = Ω 0
Ta có thể giả thiết
Như vậy, Ω(x n ) ≤ M 1 ,∀n Theo Bổ đề 2.1.1 ta có dãy con {x n k } hội tụ đều trên [a, b] đến một hàm x˜ δ (s) nào đó, khi k → ∞ và k→∞lim Ω(x n k ) = Ω 0 Mặt khác,
(x 00 n k ) 2 ds ≤M. Đặt d = max(M, M 1 ) Theo Bổ đề 2.1.1 tồn tại một dãy con {x 0 m (s)} của
Hội tụ đều của dãy {x_n k} trên đoạn [a, b] đến x_δ(s) cho thấy x_δ(s) bằng x̃_0 δ(s) Dễ dàng nhận thấy x̃_δ(s) thuộc Q̃_1 δ và giới hạn của Ω(x_m) khi m tiến đến vô cùng bằng Ω(x̃_δ) bằng Ω_0 Điều này được chứng minh thông qua giới hạn dưới dấu tích phân với sự hội tụ đều của các dãy {x_m} và {x_0 m}.
Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.1.1 Xét tích vô hướng x 1 , x 2
X 1 được xác định như sau x1, x2
1 và khoảng cách ρ1(x1, x2) = kx 1 −x2k 1 Đây chính là chuẩn của không gian W 2 1
Trong bài viết này, chúng ta xem xét dãy cực tiểu hoá {˜x n (s)} với điều kiện x˜ n (s) ∈ Q˜ 1 δ, sao cho giới hạn n→∞lim Ω(˜x n ) = Ω 0 Đặt Ω n = Ω(˜x n ), ta giả định rằng Ω n ≤ Ω n−1 cho mọi n Theo Bổ đề 2.1.1, tồn tại dãy con {˜x n k} hội tụ đều trên [a, b] đến một hàm x˜ nào đó với mỗi δ cố định Chúng ta chứng minh rằng x˜ n k hội tụ đến x˜ theo chuẩn k.k 1 Giả sử ngược lại, tức là k˜x n k − xk˜ 1 không tiến tới 0 khi k → ∞, dẫn đến tồn tại một số ε 0 và dãy số nguyên {m}, {p m} sao cho k˜x m − x˜ m+p m k 1 ≥ ε 0 Đặt βm = ˜xm − x˜m+p m và xét dãy ξm = 0,5(˜xm + ˜xm+p m), từ đó ta có ξm = ˜xm−0,5βm = ˜xm+p m + 0,5βm.
Do k˜x m k 2 1 = Ω(˜x m ) và Ω(˜x m ) → Ω 0 khi m → ∞, cho nên
Tương tự, sử dụng ξ m = ˜x m+p m + 0,5β m ta có
1 + 0,25kβ m k 2 1 ≥ −∆ 00 m , (2.5) ở đây ∆ 00 m = Ω(˜xm+p m )−Ω0 và ∆ 00 m →0, khi m → ∞ Cộng hai bất đẳng thức (2.4) và (2.5) ta được
Suy ra kβ m k 2 1 = k˜xm −x˜m+p m k 2 1 ≤ 2(∆ 0 m + ∆ 00 m ) → 0, khi m → ∞ Nh vậy phải tồn tại m(ε0) : m > m(ε0), k˜xm−x˜m+p m k 1 < ε 0
Điều này mâu thuẫn với k˜xm − x˜m + p m k 1 ≥ ε0, cho thấy rằng dãy {˜xm} là một dãy Cauchy trong không gian đầy đủ W 2 1 Do đó, x˜n k hội tụ trong k.k 1 đến một hàm x˜ nào đó Kết quả là dãy {˜xn k} hội tụ đều trên [a, b] đến x(s) := ˜˜ xδ ∈ Q˜ 1 δ, từ đó minh chứng cho định lý.
2 Định lý 2.1.2 (xem [1]) Dãy {˜x δ } hội tụ đến x 0 (s), khi δ →0.
Chứng minh: Lấy một dãy số δ n bất kì dần tới 0, khi n→ ∞ Tương ứng, ta có dãy {˜x δ n } : ρ L 2 [c,d] (A˜x δ n , f δ n ) ≤ δ n Với mỗi n cố định ta có tập Q˜ 1 δ n và
Suy ra Ω(˜x δ n ) ≤ Ω(x 0 ) := d Theo Bổ đề 2.1.1, tồn tại một dãy con {˜x δ nk } hội tụ đều đến x˜ Do x˜ δ n ∈ Q˜ 1 δ n, cho nên ρ L 2 [c,d] (A˜x δ nk , f δ nk ) ≤ δ n k
Vì x˜ δ hội tụ đều trên [a, b] đến x(s)˜, ta có ρ L 2 [c,d] (A˜x, f 0 ) = 0 Phương trình tích phân (2.1) chỉ có một nghiệm x 0 (s), do đó x(s) =˜ x 0 (s) Vì lý do này, x˜ δ hội tụ đều đến x 0 (s) khi δ → 0 Định lý đã được chứng minh.
2 Chú ý 2.1.1 Ta có thể xây dựng phiếm hàm
2 ds, ở đây q k (s), k = 0, , n liên tục, không âm và q n (s) ≥ c > 0.
Q˜ n δ = {x ∈ X n : ρ L 2 [c,d] (Ax, f δ ) ≤ δ} ta được nghiệm xấp xỉ x˜δ(s) có độ trơn bậc n (đạo hàm cấp n).
(f δ (t)) 2 dt và Ω(0) = 0, cho nên x˜ δ 6≡ 0 Do toán tử tích phân (2.1) liên tục trên X 1 , tồn tại một lân cận U(˜x δ ) của x˜ δ sao cho ρ L 2 [c,d] (Ax(s), Ax˜δ) < δ −β
Mọi hàm x ∈ U(˜x δ ) đều thoả mãn điều kiện kAx−f δ k L 2 [c,d] < δ, dẫn đến việc tìm kiếm một hàm x δ ∈ U(˜x δ ) sao cho Ω(x δ ) < Ω(˜x δ ) Bất đẳng thức này trái ngược với kết luận rằng x˜ δ là cực tiểu phiếm hàm Ω(x) trên Q˜ δ, từ đó chứng minh được bổ đề.
Chú ý 2.1.2 Bổ đề này chứng tỏ việc tìm phần tử x˜δ ∈ Q˜ 1 δ làm cực tiểu Ω(x) tương đương với bài toán
T×m x(s) ∈ X 1 : kAx−f δ k L 2 [c,d] = δ (2.7) Bài toán sau cùng quy về việc tìm x˜ δ làm cực tiểu
M α [x, f δ ] = ρ L 2 [c,d] (Ax, f δ ) 2 +αΩ(x), (2.8) và chọn tham số α = α(δ) sao cho ρ L 2 [c,d] (Ax˜ δ , f δ ) =δ.
Ta có kết quả sau. Định lý 2.1.3 (xem [1])Với mỗiα > 0vàf ∈ L 2 [c, d]tồn tại duy nhất một hàm x α (s) có đạo hàm (x α (s)) 0 và Rb a((x α (s)) 0 ) 2 ds < +∞ sao cho
Chứng minh: Với mỗi α > 0cố định, M α [x, f] ≥0,∀x ∈ X 1 Do đó, tồn tại dãy cực tiểu {˜x α n (s)} ⊂ X 1 để n→∞lim M α [˜x α n , f] = inf x∈X 1 M α [x, f].
Kí hiệu M n α = M α [˜x α n , f] Ta có thể chọn dãy cực tiểu {˜x α n (s)} sao cho
M n α ≤ M n−1 α ,∀n Khi đó, Ω(˜x α n (s)) ≤ M 1 α /α, ∀n Như vậy, theo Bổ đề 2.1.1 dãy {˜x α n (s)} là một tập compact Do đó, tồn tại một dãy con, vẫn kí hiệu là {˜x α n (s)}, hội tụ đều trên [a, b] đếnx˜ α (s) ∈ X 1
Chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy con này là một dãy cơ bản trong chuẩn của X 1 Giả sử ngược lại, tồn tại một số dương và dãy số nguyên {m, p m} sao cho kx˜ α m (s)−x˜ α m+p m (s)k 1 ≥ ε 0 Đặt β m α = ˜x α m −x˜ α m+p m Xét dãy ξ m α = 0,5(˜x α m + ˜x α m+p m) Rõ ràng ξ m α = ˜x α m −0,5β m α = ˜x α m+p m + 0,5β m α.
Do dãy {˜x α n } hội tụ đều đến x˜ α , cho nên kξ m α − x˜ α k C[a,b] → 0 và kξ m α − ˜ x α m k C[a,b] →0, khi m → ∞ Mặt khác, vì A là một toán tử liên tục, suy ra kAξ m α −fk 2 L
2 [c,d] + 0,5kA(˜x α m −x˜ α m+p m)k L 2 [c,d] + ∆ 0 m và ∆ 0 m → 0, khim → ∞ Do đó, α[− ˜ x α m , β m α
Tương tự, thay ξ m α = ˜x α m+p m + 0,5β m α ta được α[ ˜ x α m+p m, β m α
1 + 0,25kβ m α k 2 1 ] ≥ −∆ 000 m , ở đây ∆ 000 m > 0và∆ 000 m → 0, khi m → ∞ Cộng hai bất đẳng thức cuối cùng ta cã
−0,5kβ m α k 2 1 ≥ −(∆ 00 m + ∆ 000 m ). Điều này dẫn đến kβ m α k 2 1 = k˜x α m − x˜ α m+p m k 2 1 ≤ 2(∆ 00 m + ∆ 000 m ) → 0, khi m → ∞ Như vậy phải tồn tại m(ε 0 ) : m > m(ε 0 ), k˜x α m −x˜ α m+p m k 1 < ε 0
2.Bất đẳng thức này mâu thuẫn với k˜x α m −x˜ α m+p m k 1 ≥ ε 0 Như vậy, {˜x α m } là một dãy Cauchy trong không gian đầy đủ W 2 1 Do đó x˜ α n k cũng hội tụ trong k.k 1 đến hàm x α nào đó thuộcX 1 Do dãy{˜x α n k } hội tụ đều trên [a, b] đến ˜ x α (s) ∈ Q˜ 1 δ Cho nên x˜ α = x α Định lý được chứng minh.
Đối với mọi hàm f ∈ L 2 [c, d] và α > 0, chúng ta xác định toán tử R(f, α) với x˜ α = R(f, α), trong đó x˜ α là phần tử cực tiểu của phiếm hàm M α [x, f] trên X 1 Để chứng minh R(f, α) là một thuật toán hiệu chỉnh, cần chỉ ra mối quan hệ α = α(δ) sao cho phần tử x˜ α(δ) làm cực tiểu phiếm hàm M α [x, f δ] hội tụ đến x 0 (s) trong X 1 Theo định lý 2.1.4, với ∀δ > 0, f δ ∈ L 2 [c, d] và các hàm β 1 (δ), β 2 (δ) thỏa mãn β 2 (0) = 0, δ 2 ≤ β 1 (δ)β 2 (δ) trong khoảng (0, δ 1 ], ta có mối quan hệ α(δ) nằm trong khoảng δ 2 β1(δ) ≤ α(δ) ≤ β 2 (δ), và điều này dẫn đến max s∈[a,b]|˜x α(δ) (s)−x 0 (s)| → 0.
≤ δ 2 +αΩ(x 0 ) = α[δ 2 α + Ω(x 0 )], ở đây α = α(δ) Do δ 2 /β 1 (δ) ≤ α(δ), cho nên δ 2 α ≤ β1(δ) ≤ β1(δ1) và δ 2 α + Ω(x 0 ) ≤ β 1 (δ 1 ) + Ω(x 0 ) := ˜d.
Theo đó, ta có Ω(˜x α ) ≤ d và ˜Ω(x0) ≤ d, cho thấy rằng {˜x α } và x0 đều thuộc Φ Xét dãy {f δ n } ⊂ L2[c, d] với điều kiện kf δ n − f0k L2[c,d] ≤ δn và δn tiến tới 0 khi n tiến tới vô cực Từ đó, tồn tại dãy {˜x α n } ⊂ X1 với αn = α(δn) là cực tiểu của phiếm hàm M α n [x, fδ n ] và Ω(˜x α n ) ≤ d Theo Bổ đề 2.1.1, có một dãy con của {˜x α n } hội tụ trên [a, b] đến một hàm x(s)˜ nào đó, và để đơn giản, ta giữ nguyên kí hiệu cho dãy con này.
Do {˜xα n }hội tụ đều trên [a, b] đến x(s)˜ , cho nênkA˜x−f0k L 2 [c,d] = 0.Tức là kA˜x− f0k = 0 Điều đó nói lên rằng x˜ cũng là một nghiệm của (2.1).
Từ tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.1), ta suy ra rằng x˜ = x0 Điều này cho thấy mọi dãy con hội tụ của {˜x α(δ)} đều hội tụ đến x0, từ đó kết luận rằng toàn bộ dãy {˜x α(δ)} cũng hội tụ đến x0 Định lý đã được chứng minh.
2.1.2 Thuật toán hiệu chỉnh trên máy tính
Bây giờ, ta xét việc thực hiện thuật toán trên máy tính.
Lấy tích phân từng phần ta được
+p(b)x(b)x 0 (b)−p(a)x(a)x 0 (a), trong đó Lx(s) =q(s)x(s)−(p(s)x 0 (s)) 0 còn tích vô hướng x, Lx
Nếu x˜ α làm cực tiểu M α [x, f δ ] thì x˜ α là nghiệm của phương trình d dγM α [x+ γν, f δ ] γ=0
K(à, s)K(à, t)dà. Điều kiện bằng 0 của đạo hàm ở trên cho ta
Như vậy, nghiệm xấp xỉ (hiệu chỉnh) x˜ α(δ) là nghiệm của phương trình vi tÝch ph©n α{q(s)x(s)−(p(s)x 0 (s)) 0 }+
K(t, s)f δ (t)dt thoả mãn một trong các điều kiện sau
Nó gần giống như bài toán tìm nghiệm chuẩn tắc cho hệ phương trình đại số tuyến tính mà ta đã xét ở trên.
1 Điều kiện biên của nghiệm do tính chất của bài toán thực tế đặt ra.
2 Có thể dùng phép biến đổi sau để nghiệm có điều kiện biên bằng 0.
- Nếu x(a) =x 1 và x(b) =x 2 , ta có thể đặt x(s) = ˜x(s) + x 2 b−a(s−a) + x 1 b−a(b−s).
Khi đó, dễ dàng kiểm tra được là x(a) = 0˜ và x(b) = 0.˜
- Nếu x 0 (a) =m 1 và x 0 (b) =m 2 , ta có thể thế x(s) = ˜x(s)− m1
2(b−a)(s−a) 2 Khi đó, cũng dễ dàng kiểm tra được là x˜ 0 (a) = 0 và x˜ 0 (b) = 0.
2(b−a)(s−a) 2 ta được x(a) = ˜˜ x 0 (b) = 0 Trường hợp còn lại cũng xét tương tự.
2.1.3 Rời rạc hoá bài toán để tìm nghiệm xấp xỉ
Bây giờ, ta xét quá trình rời rạc hoá để tìm nghiệm xấp xỉ Để cho đơn giản lấy
{x 2 (s) +p(x 0 (s)) 2 }ds, (2.14) ở đây p là một hằng số dương Giả thiết nghiệm chính xác x(s) ∈ X 1 thoả mãn điều kiện x 0 (a) = x 0 (b) = 0 Khi đó, nghiệm xấp xỉ x α (s) xác định từ phương trình
Ta chia [a, b] ra làm n khoảng đều nhau với bước chia h = (b −a)/n và xét các mốc chia si = a+ 0,5h+ (i−1)h, i = 1,2, , n.
Thay tích phân bằng công thức hình chữ nhật và thay x 00 bằng tỷ sai phân ta được n
Khi thực hiện bước lưới chia theo biến tvàs, cần lưu ý rằng các tham số có thể khác nhau Đặc biệt, khi i = 1 và i = n, hai tham số x0 và xn+1 sẽ không được xác định Để đảm bảo điều kiện biên được thỏa mãn, ta đặt x0 = x1 và xn+1 = xn.
Kí hiệu B = [b i,j ], i, j = 1, , n với b ij = K(s i , t j )h, ta có hệ phương trình đại số tuyến tính
B α x n = Bx n +αCx n = g n , (2.15) ở đây véctơx n vàg n là các véctơ cộtnchiều, trong đóx n = (x 1 , x 2 , , x n ) T còn g n = (g 1 , g 2 , , g n ) T và αC
Ma trận B α là một ma trận đối xứng và xác định dương, do đó hệ phương trình có thể được giải bằng phương pháp căn bậc hai hoặc các phương pháp khác.
2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tích phân tuyến tính loại I