Hệ phương trình sai phân tuyến tính

HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Hệ Ô-tô-nôm

Định nghĩa 1.1 Hệ có dạng x n 1 (  1) a x n 11 1 ( )a x n 12 2 ( )  a x n 1 k k ( ), x n 2 (  1) a x n 21 2 ( )a x n 22 2 ( )  a x n 2 k k ( ),

Hệ phương trình sai phân tuyến tính Ô-tô-nôm cấp k, hay bất biến theo thời gian, được mô tả bởi phương trình (1.1): x(n+1) = a1 * x(n,1) + a2 * x(n,2) + + ak * x(n,k) Hệ này có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: x(n+1) = A * x(n), với x(n) = (x(n,1), x(n,2), , x(n,k))^T thuộc R^k, và A = (aij) là ma trận thực cấp k x k không suy biến Các hệ không Ô-tô-nôm sẽ được thảo luận trong phần tiếp theo.

Nếu ta đưa vào n ≥ 0 và x(n0) = x0, thì hệ (1.2) được gọi là hệ sai phân Ô-tô-nôm với điều kiện đầu Qua việc lặp lại hoặc thay thế trực tiếp phương trình, ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của (1.2) được biểu diễn bởi x(n, n0, x0) = A(n, n0)x0, với A0 = I là ma trận đơn vị cấp k x k.

Chú ý rằngx n n x( , 0 0 , 0 )x 0 Nếu n 0 0 thì nghiệm (1.3) được viết như x n x( , 0 ) hoặc đơn giản là x n( ) Không mất tính tổng quát, giả sử n 0 0 và đặt

( )y n A y n (0) (1.5) Trong lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm của hệ phương trình vi phân dx ( ), dt  Ax t với điều kiện ban đầu được cho bởi

( ) , x t x trong đó A là ma trận cấp k k , x  k là

Thuật toán Putzer của hệ rời rạc

Trong các phương trình vi phân, thuật toán Putzer được sử dụng để tính e At và sau đây là một thuật toán tương tự để tính A n

Cho A(a i j ) là một ma trận thực cấpk k , trị riêng của A là một số thực hoặc số phức  sao cho A  với 0  k , hay

(A I) 0 (1.6) Phương trình (1.6) có nghiệm khác 0 khi và chỉ khi det(AI)0 hoặc

 k a 1  k  1 a 2  k  2   a k  1 a k 0 (1.7) Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.7) được gọi là phương trình đặc trưng của A,  được gọi là giá trị riêng của A

Nếu   1 , 2 , ,  k là các giá trị riêng của A thì (1.7) có thể viết

  (1.8) Định lý 1.1 (Cayley- Hamilton) 1 Cho A là một ma trận bất kỳ cấp k k Khi đó, ma trận A thỏa mãn phương trình đặc trưng của nó

A k a A 1 k  1 a A 2 k  2   a I k 0 (1.10) Để tính được A n ta đi xây dựng thuật toán như sau:

Cho A là ma trận cấp k k , k

  (1.11) với u n j ( ) là hàm số vô hướng được xác định sau đó và:

M n( )(A n I A)(  n  1 I) (A 1 I), hoặc được viết gọn lại

Từ định lý Cayley- Hamilton ta có:

1 Việc chứng minh chi tiết định lý có thể xem tại: https://mail.google.com/mail/u/0/?tab=wm#inbox/15b7ee896a597c8c?projector=1

Vì vậy, M n ( )    0, n k Công thức (1.11) được viết lại là

Nếu ta cho n=0, công thức (1.11) được viết lại là

A 0  I u 1 (0)I u 2 (0)M(1)  u k (0)M k( 1) (1.15) Phương trình (1.15) thoả mãn nếu u 1 (0) 1, u 2 (0)u 3 (0)  u k (0)0 (1.16)

Từ công thức (1.14) ta có

So sánh các hệ số của M j( ),1 j k trong (1.17) và điều kiện áp dụng (1.16), ta có được

( 1) ( ) 1( ), (0) 0, 2,3, , j j j j j u n u n u  n u  j k (1.18) Nghiệm của (1.18) được cho bởi

CÔNG THỨC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Ma trận chéo hóa được

Định nghĩa 2.1 Cho A và B là hai ma trận cấp k k , A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho:

P AP  1 B, trong trường hợp này, A và B có cùng giá trị riêng Định nghĩa 2.2 Nếu ma trận A là đồng dạng với ma trận chéo

D    thì A được gọi là chéo hóa được

Chú ý rằng ở đây, các phần tử chéo của D, cụ thể là,   1 , 2 , , k là các giá trị riêng của A

Nếu P AP  1  D diag( ,  1 2 , , k ) thì A  PDP  1 , do đó

(2.1) Để tìm ra ma trận cơ sở khác của phương trình

Từ công thức (2.3), ta có (0)P và do đó,

Cho P     1 , 2 , ,  k  với  i là cột thứ i của P, vì P AP  1  D nên AP  PD , điều này có nghĩa là:

Các vectơ riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng λi được biểu diễn qua các cột của ma trận P Vì P là ma trận không suy biến, các cột của nó là độc lập tuyến tính Theo định lý 2.1, một ma trận cấp k × k sẽ được chéo hóa khi và chỉ khi nó có k vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Từ công thức (2.3), ta có công thức xác định ma trận cơ sở  ( ) n :

Cho   1 , 2 , , k là các giá trị riêng của A và cho  1, 2, , k là các vectơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính của A Từ công thức (2.3) ta có:

Chú ý rằng các cột của  ( ) n là nghiệm của (2.1.2), điều đó chỉ ra rằng, với mỗi i,

1 i k x n, ( )  i n i là một nghiệm của (2.2) Vì thế, nghiệm tổng quát của (2.2) được cho như sau: x n ( )  c 1 1   n 1  c 2   2 n 2   c k   k n k (2.6)

Ví dụ 2.1: Sử dụng công thức (2.6) để tìm nghiệm tổng quát cho phương trình

Giải Gọi  là giá trị riêng của A,

Gọi  ( ,x x x 1 2 , 3 ) là vectơ riêng ứng với giá trị riêng

Giải hệ trên ta tìm được vectơ riêng đầu tiên là

Từ đó ta được, x 1 2x 2  x 3 0 là phương trình duy nhất thu được

Chọn x 1 1,x 2 0 thì x 3  1 và chúng ta thu được vectơ riêng là

Chọn x 1 0,x 2 1 thì x 3  2 và ta thu được vectơ riêng là

Giả sử bài toán cho một giá trị ban đầu

Phải tìm nghiệm x n ( ) theo giá trị ban đầu

Với n0 từ công thức (*), ta được

Giải hệ trên ta được 1 1, 2 1, 3 1

Bây giờ chúng ta giới thiệu một phương pháp khác để tìm nghiệm Cho

Khi xem xét ma trận A không chéo hóa được, điều này xảy ra khi ma trận này có các giá trị riêng lặp lại và không thể tạo ra k vectơ độc lập tuyến tính.

  Định nghĩa 2.3 Nếu một ma trận A cấp k k là không chéo hóa được thì nó đồng dạng với công thức Jordan, tức là P AP  1  J với

J diag J J  1, 2, ,J r ,1 r k (2.7) Công thức (2.7) được gọi là công thức Jordan, trong đó

Ma trận J i được biết đến là khối Jordan Theo định lý 2.2, mọi ma trận A cấp k x k đều đồng dạng với công thức Jordan, được mô tả bởi công thức (2.7), trong đó mỗi J i là ma trận cấp s i x s i theo công thức (2.8).

Số khối Jordan tương ứng với một giá trị riêng  được định nghĩa là bội số hình học của , và bội số hình học này tương ứng với số lượng các vectơ riêng độc lập tuyến tính liên quan đến .

Bội số đại số của giá trị riêng  là số lần lặp lại của  Nếu bội số đại số là 1

Nếu một giá trị riêng không lặp lại, nó được gọi là đơn Ngược lại, nếu bội số hình học của giá trị riêng bằng bội số đại số, tức là chỉ có một khối Jordan tương ứng với giá trị riêng đó, thì nó được gọi là không đơn.

Ma trận này có một giá trị riêng đơn là 3, một giá trị riêng không đơn là 2, và một giá trị riêng 5 không thuộc loại đơn hay không đơn.

Chú ý rằng ma trận có công thức

Chỉ có một vectơ riêng duy nhất, đó là vectơ đơn vị e = (1, 0, , 0)ᵀ Điều này chứng tỏ rằng các vectơ riêng tuyến tính độc lập của ma trận Jordan J được xác định bởi công thức (2.7).

Cho P   1 , 2 , , k , tương đương với các cột s 1 đầu tiên của cả hai bên trong công thức (2.9), ta có

Rõ ràng,  1 là vectơ riêng duy nhất của A trong chuỗi Jordan

   khác được gọi là vectơ riêng tổng quát của A Và chúng có thể thu được bằng cách sử dụng phương trình sai phân

Tiếp tục quy trình này cho các khối Jordan còn lại, các vectơ riêng tổng quát liên quan đến khối Jordan thứ m được xác định thông qua phương trình sai phân.

Ta có A n   PJP  1  n  PJ P n  1 với

Chú ý rằng với mọi J i i , 1, 2, ,r chúng ta có J i  i I N i , với

  là ma trận lũy linh cấp s i s i , tức là N i r   0, r s i Vì vậy:

Các dòng trong J i n cho thấy các mục trong mỗi đường chéo là giống hệt nhau Do đó, chúng ta có thể chứng minh nghiệm tổng quát của hệ (2.2).

Ma trận cơ sở của hệ (2.2) được xác định bởi ( ) n  PJ n Hơn nữa, ma trận chuyển tiếp trạng thái được biểu diễn bởi  n n, 0 PJ n n  0 P  1.

Hệ quả 2.1 Giả sử A là một ma trận cấp k k  bất kì thì lim n 0 n A

 1 với mọi giá trị riêng  của A

  , phải chứng minh   1 với mọi giá trị riêng  của A

( ) n n k k n k x n c   c    c   vậy   1 với mọi giá trị riêng  của A

Ngược lại cho   1với mọi giá trị riêng  của A, phải chứng minh lim n 0. n A

  với mọi giá trị riêng  của A

1 1 1 2 2 2 lim ( ) lim lim lim lim

Mặt khác ta lại có x n( ) A c n với c là một vectơ hằng, khi đó: lim ( ) lim 0 lim 0. n n n n n x n A c A

Ví dụ 2.2: Sử dụng công thức (2.14) để tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Giải Ma trận A có các giá trị riêng là   1  2   3  4 Để tìm các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng, ta giải phương trình  A    I   0, hay

Từ đó ta tìm được hai vectơ riêng của A là

  Để tìm vectơ riêng thứ 3, ta sử dụng công thức (2.10), đầu tiên, kiểm tra

Vì hệ này vô nghiệm nên ta tiếp tục kiểm tra  A  4 I   3   2 hay

Vì P AP  1  J nên từ đó ta tính được

Khối ma trận chéo

Vectơ riêng tổng quát tương ứng với giá trị riêng  của bội số đại số m là nghiệm của phương trình:

Vectơ riêng đầu tiên  1 ứng với  thu được bằng cách giải phương trình

Vectơ riêng thứ 2 hay vectơ riêng  2 thu được bằng cách giải phương trình

Và cứ tiếp tục như vậy

Nếu J là công thức Jordan của ma trận A, thì P AP  1  J, hay A  PJP  1 Trị riêng  của A tồn tại khi và chỉ khi nó cũng là trị riêng của J Hơn nữa, nếu  là giá trị riêng của A, thì vectơ riêng tương ứng của J được tính bằng công thức   P  1 .

  là một khối ma trận chéo cấp k k  sao cho A là ma trận cấp r r và B là ma trận cấp s s với r s   k Khi đó các mệnh đề sau đây là đúng:

(i) Nếu  là trị riêng của A thì  là trị riêng của C Hơn nữa, vectơ riêng và các vectơ riêng tổng quát ứng với trị riêng  thì có công thức

(ii) Nếu  là trị riêng của B thì  là trị riêng của C Hơn nữa, vectơ riêng và các vectơ riêng tổng quát ứng với trị riêng  thì có công thức

Giả sử  là giá trị riêng của ma trận A và V  a a 1, 2, ,a r  T là vectơ riêng tương ứng, ta định nghĩa   a a 1, 2, ,a r , 0, , 0 k Qua kiểm tra, ta thấy C  , từ đó kết luận rằng  là giá trị riêng của ma trận C Ma trận đơn vị I cấp k k được định nghĩa theo công thức cụ thể.

  , với I r và I s lần lượt là các ma trận đơn vị cấp r r và s s , cho  là trị riêng của A với bội số đại số m Khi đó:

    có một nghiệm không tầm thường là

    chỉ có một nghiệm tầm thường là

  Khi đó   a a 1, 2, ,a r , 0, , 0 T là vectơ riêng của C ứng với 

(ii) Chứng minh tương tự.

Các hệ tuần hoàn tuyến tính

Định nghĩa 2.5 Xét hệ tuyến tính có dạng x n (   1) A n x n ( ) ( ), (2.16) với mọi n    , (  )   ( )  với mọi số nguyên dương ,hệ (2.16) được gọi là hệ tuần hoàn tuyến tính

Bổ đề 2.2 Cho B là ma trận không suy biến cấp k k và cho m là số nguyên dương bất kì Khi đó tồn tại một ma trận C cấp k k sao cho C m B

  là công thức Jordan của B, trong đó:

  với I i là ma trận đơn vị cấp s i s i và:

1 1 1 exp ln exp ln ln i i i i i i i

       Áp dụng công thức (2.17), ta có:

Do đó, H i là ma trận xác định tốt, hơn nữa, H i m J i

Bây giờ nếu ta cho:

, với H i được định nghĩa như công thức (2.18) Khi đó:

Đặt C  PHP  1 , khi đó, C m  PH P m  1  PJP  1  B

Bổ đề 2.3 Cho hệ (2.16), ta có các mệnh đề sau:

(i) Nếu ( )n là một ma trận cơ sở thì  (n ) cũng là ma trận cơ sở

(ii)  (n )  ( )n C, với C là ma trận không suy biến

Chứng minh (i) Cho ( )n là một ma trận cơ sở của hệ (2.16) Khi đó, (n 1) A n( ) ( )n

Vậy  (n ) là ma trận cơ sở

Suy ra  1 ( ,n n 0 ), 2 ( ,n n 0 ) là các ma trận cơ sở với điều kiện ban đầu giống nhau:

    Áp dụng định lý 1.4, ta suy ra được:

Vậy   ( n , )   ( ,0) n Định lý 2.3 Với mỗi ma trận cơ sở  ( ) n của hệ (2.16) tồn tại một ma trận tuần hoàn không suy biến P n ( ), chu kỳ N sao cho:

Áp dụng bổ đề 2.3 (ii), ta có  (n )  ( )n C, với C là ma trận không suy biến Theo bổ đề 2.2, tồn tại một ma trận B sao cho B N  C Định nghĩa P(n) = (n)B  n, trong đó B  n = (B n)  1.

 P n tuần hoàn với chu kỳ N

P n là ma trận không suy biến, lại có

Vậy suy ra điều phải chứng minh

Chú ý nếu z n ( ) là nghiệm của hệ

39 z n (   1) Bz n ( ), (2.20) thì khi đó, x n( ) ( )n c P n B c( ) n hoặc x n ( )  P n z n ( ) ( ) (2.21) Định nghĩa 2.6 Ma trận C B N ở bổ đề 2.3 (ii) được gọi là ma trận đơn sắc của

(2.16) Các giá trị riêng  của B được gọi là số mũ Floquet của (2.16) ; tương ứng, các giá trị riêng  N của B N được gọi là số mũ Floquet của (2.16)

Bổ đề 2.4 Nếu  ( ) n và  ( ) n là hai ma trận cơ sở của (2.16) sao cho

    thì C và E là đồng dạng (và do đó chúng có cùng giá trị riêng)

Chứng minh Do ( )n và ( )n là hai ma trận cơ sở của (2.16) nên

( ) ( ) n n P n C n EP n PC n EP PC EP

Bổ đề 2.5 Một số phức  là số mũ Floquet của (2.16) khi và chỉ khi nghiệm của (2.16) là  n q n( ), trong đó q n( ) là một hàm vectơ với q n(  )q n( ),n

Chứng minh Cho số phức  là một số mũ Floquet của (2.16), do  là một số mũ Floquet nên  n là giá trị riêng của B n det(B n  n I)0

Với P(n) là ma trận tuần hoàn được định nghĩa ở công thức (2.19) Từ công thức (2.19), ta có :

Ngược lại, nếu  n q n( ) là nghiệm của (2.16) với

 n q n( )P n B x( ) n 0 với mọi x 0 0, (2.22) điều đó cũng có nghĩa là

Vậy  là một số mũ Floquet của (2.16)

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Các chuỗi Markov

Vào năm 1906 nhà toán học người Nga đã phát triển khái niệm chuỗi Markov Chuỗi Markov được mô tả như sau:

Trong một thí nghiệm với tập hợp k kết quả S = {s1, s2, , sk}, xác suất (pij) của mệnh đề si xảy ra ở lần lặp thứ (n+1) chỉ phụ thuộc vào mệnh đề si xuất hiện ở lần lặp n Theo lý thuyết xác suất, pij = p(ssi) là xác suất xảy ra của si trong lần lặp tiếp theo Nếu sj xảy ra ở lần lặp cuối cùng, thì một trong các mệnh đề s1, s2, , sk sẽ xảy ra ở lần lặp tiếp theo, do đó tổng xác suất p1j + p2j + + pkj = 1 với 1 ≤ j ≤ k.

Cho p n i ( ) biểu thị xác suất mà s i sẽ xảy ra vào lần lặp lại thứ n của thí nghiệm,

1 i k.Vì một trong các s i phải xảy ra ở lần lặp lại thứ n, sau đó là p n 1 ( )p n 2 ( )   p n k ( ) 1. (3.2) Để rút ra mô hình toán học cho thí nghiệm này, chúng ta định nghĩa :

( 1),1 p n i   i k , là xác suất mà s i xảy ra vào lần lặp thứ (n+1) của thí nghiệm

Có k cách để điều này xảy ra :

Trường hợp đầu tiên là lần lặp thứ n cho ta s 1 và lần lặp thứ (n+1) cho ta s i

Vì xác suất nhận được s 1 ở lần lặp thứ n là p n 1 ( ) và xác suất nhận được s i sau s 1 là p i 1, điều đó có nghĩa là xác suất của trường hợp đầu tiên là p p n i 1 1 ( )

Trong trường hợp thứ hai, chúng ta nhận được s2 ở lần lặp thứ n và si ở lần lặp thứ (n+1) Xác suất xảy ra trong trường hợp này được tính là p p n i 2 2 ( ) Nếu lặp lại quy trình này cho các trường hợp thứ ba, thứ tư, và tiếp tục đến k, với i = 1, 2, , k, ta sẽ thu được một hệ phương trình k chiều.

     hoặc biểu diễn dưới dạng ma trận: p n (   1) Sp n n ( ),  1, 2, 3, , (3.3) trong đó p n( ) p n p n 1( ), 2( ), ,p n k ( ) T là vectơ xác suất và S    p ij là ma trận chuyển đổi cấp kk.

Ma trận S thuộc loại ma trận đặc biệt được gọi là ma trận Markov Ma trận A = (a_ij) được xem là ma trận không âm (hoặc dương) nếu tất cả các phần tử a_ij đều thỏa mãn a_ij ≥ 0 (hoặc a_ij > 0) Định nghĩa 3.1 cho biết rằng một ma trận A không âm có kích thước k x k được gọi là ma trận Markov (hoặc ngẫu nhiên) nếu thỏa mãn các điều kiện nhất định.

Chuỗi Markov suy biến

Chuỗi Markov suy biến được định nghĩa là một chuỗi mà mọi số m nguyên dương đều thuộc tập hợp S m dương Theo định lý Perron, nếu A là một ma trận dương cấp k x k, thì giá trị riêng đơn giản thực của A, ký hiệu là ( ) A, là giá trị không lặp lại.

Nếu  là một giá trị riêng bất kì của A thì   ( )A , hơn nữa, một vectơ riêng ứng với ( ) A cũng có thể giả định là dương

Giả sử S là một ma trận chuyển đổi của chuỗi Markov đều với các giá trị riêng

Nếu S m dương thì ( S m ) 1 , trên thực tế các giá trị riêng của S m là   1 m , 2 m , , k m

Theo định lý Perron, giá trị riêng đơn của ma trận S là 1, nghĩa là S chỉ có một giá trị riêng đơn duy nhất Giả sử giá trị riêng đầu tiên là 1 = 1, thì tất cả các giá trị riêng còn lại đều thỏa mãn điều kiện i < 1 với i = 2, 3,

Do đó, công thức Jordan của S phải là

  với các giá trị riêng của J * là

Vì thế, nếu S QJQ  1 , chúng ta có: lim ( ) lim n (0) lim n 1 (0)  1, 0, , 0 1, n p n n S p n QJ Q p    a

Trong bài viết này, chúng ta đề cập đến phương trình (3.4), trong đó vectơ riêng  1    11, 21, , k 1  T tương ứng với giá trị riêng của ma trận S Thành phần đầu tiên của  Q p  1 (0) được ký hiệu là a Việc xác định ma trận Q không phải là điều đơn giản, do đó, chúng ta sẽ lựa chọn một phương pháp dễ dàng để tìm ra hằng số a.

  , nên từ đó suy ra rằng

Sự kế thừa di truyền ở động vật đơn giản nhất xảy ra khi một đặc điểm được xác định bởi một cặp gen cụ thể, với mỗi gen có hai loại là G và g Các kiểu gen của cá thể có thể là GG, Gg (di truyền như GG) hoặc gg.

GG là cá thể trội, cá thể mang kiểu gen gg là cá thể lặn và cá thể mang kiểu gen Gg là cá thể dị hợp

Trong quá trình giao phối giữa hai động vật, con cái sẽ nhận được một gen từ mỗi bậc phụ huynh, với giả định rằng việc chọn lọc gen diễn ra ngẫu nhiên Bắt đầu với cá thể có kiểu gen GG và con lai dị hợp, chúng ta tiếp tục lai giống với cá thể mang cặp gen dị hợp Quá trình này sẽ được lặp lại qua nhiều thế hệ, cho phép chúng ta nghiên cứu sự di truyền và biến đổi gen trong các thế hệ tiếp theo.

Trong mỗi thế hệ có 3 trạng thái có thể xảy ra, đó là, s 1 GG s, 2 Gg s, 3 gg

Cho p n i ( ) là xác suất xảy ra của sự kiện s i trong thế hệ thứ n, trong khi p ij là xác suất của sự kiện s i xảy ra ở thế hệ (n+1), với điều kiện rằng sự kiện s j đã xảy ra ở thế hệ thứ n.

Hệ sai phân mô hình chuỗi Markov được biểu thị bằng

Bây giờ, p 11 là xác suất để có được con mang kiểu gen GG bằng cách giao phối GG và Gg Suy ra

1 p  2 p 12 là xác suất để có được con mang kiểu gen GG bằng cách giao phối Gg và Gg

1 p  4 p 13 là xác suất để có được con mang kiểu gen GG bằng cách giao phối Gg và gg

Tương tự như vậy ta cũng tính được

Vì vậy chúng ta có: p n (   1) Sp n ( )với

Chú ý rằng mỗi mục của S 2 là dương và vì vậy, chuỗi Markov là suy biến Các trị riêng của S là 1 2 3

    2   Áp dụng công thức (3.4), lim ( ) 1, n p n a

Quan hệ này cho thấy rằng, khi số lần lặp lại là hợp lý thì xác suất có 1 đứa con mang gen trội hoặc mang gen lặn là 1

4 và xác suất để có được một đứa con mang gen dị hợp là 1

Bài viết đã giới thiệu về hệ Ô-tô-nôm, phương pháp giải hệ, cùng với công thức Jordan và các ứng dụng của nó Tuy nhiên, nội dung chỉ dừng lại ở việc trình bày và chứng minh một số định lý, bổ đề và hệ quả quan trọng.

Do hạn chế về thời gian nghiên cứu, đề tài này chưa được khai thác sâu về hệ tuần hoàn tuyến tính Nếu có thêm thời gian và điều kiện thuận lợi, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu vấn đề này một cách chi tiết hơn.

Trong quá trình thực hiện đề tài, mặc dù tôi đã nỗ lực rất nhiều, nhưng vẫn không tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô để đề tài này có thể được hoàn thiện hơn.