ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH GVHD: TS Lê Hải Trung SVTH : Lê Thị Phương Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018 Mục lục LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CÁC BƯỚC THỰC HIỆN PHẠM VI NGHIÊN CỨU NỘI DUNG LUẬN VĂN CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1 HỆ Ô-TÔ-NÔM 1.2 THUẬT TOÁN PUTZER CHO HỆ RỜI RẠC 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CHƯƠNG CÔNG THỨC JORDAN 19 2.1 MA TRẬN CHÉO HÓA ĐƯỢC 19 2.2 KHỐI MA TRẬN CHÉO 29 2.3 CÁC HỆ TUẦN HỒN TUYẾN TÍNH 30 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 38 3.1 CÁC CHUỖI MARKOV 38 3.2 CHUỖI MARKOV SUY BIẾN 39 3.3 MƠ HÌNH THƯƠNG MẠI TIÊU CHUẨN 42 PHẦN KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quãng đời sinh viên, học tập nghiên cứu mái trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng nói chung Khoa Tốn nói riêng, em vinh dự nhận bảo tận tình q thầy giáo Và để hồn thành chương trình học em đăng ký làm luận văn tốt nghiệp hướng dẫn thầy Lê Hải Trung, thầy tận tình hướng dẫn em suốt q trình hồn thành luận văn này, thầy dẫn, động viên, khích lệ em nhiều từ việc chọn đề tài nội dung hình thức Vì thời gian kiến thức hạn chế nên thân cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ Thầy cô bạn Cuối em xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp Sinh viên thực Lê Thị Phương PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước đường cơng nghiệp hóa, đại hóa, tri thức chìa khóa quan trọng để hồn thành công phát triển Một phần khơng thể thiếu Tốn học Bởi vậy, ngày nay, Toán học giới Toán học Việt Nam nói riêng khơng ngừng phát triển, đặc biệt Tốn học giải tích với khía cạnh phương trình sai phân Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác Các nhà nghiên cứu khoa học, giảng viên, sinh viên không ngừng nghiên cứu đề tài Một phần thú vị quan trọng phương trình sai phân hệ phương trình sai phân tuyến tính Bản thân sinh viên ngành Toán, với niềm đam mê Tốn học tị mị, tìm hiểu chưa học, em chọn đề tài “Hệ phương trình sai phân tuyến tính” để làm luận văn tốt nghiệp, hồn thành chương trình học hướng dẫn thầy giáo-TS Lê Hải Trung MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Thực đề tài “Hệ phương trình sai phân tuyến tính”, em hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học cịn thân Từ đó, hình thành khả trình bày vấn đề Tốn học trừu tượng cách logic có hệ thống Luận văn nhằm nghiên cứu hệ phương trình sai phân tuyến tính, cách giải ứng dụng dựa sở tổng hợp lại khái niệm, định lý, tính chất của phương trình sai phân hệ phương trình sai phân tuyến tính Thực luận văn này, em có hội tìm hiểu vấn đề hệ phương trình sai phân tuyến tính mà chưa học làm quen với cách nghiên cứu khoa học vấn đề toán học PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài hoàn thành dựa tảng kiến thức Đại số, Giải tích, Phương trình vi phân Phương trình sai phân Trên sở dịch, đọc tìm hiểu kiến thức hệ phương trình sai phân tuyến tính “An introduction to difference equation” Saber Elaydi số tài liệu liên quan, từ hệ thống lại kiến thức, chứng minh số định lý, bổ đề, hệ đề hoàn thành việc nghiên cứu CÁC BƯỚC THỰC HIỆN  Nhận đề tài  Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài  Lập đề cương chi tiết  Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài  Thực đề tài  Trình bày thơng qua GVHD  Chỉnh sửa hồn chỉnh luận văn  Báo cáo luận văn PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, em trình bày vấn đề liên quan đến hệ phương trình sai phân tuyến tính, cơng thức Jordan số ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn chia làm ba chương sau: Chương Hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương chủ yếu trình bày hệ Ơ-tơ-nơm, định nghĩa, định lý, bổ đề liên quan để giải hệ Ơ-tơ-nơm Chương Cơng thức Jordan Chương giới thiệu công thức Jordan để giải hệ Ơ-tơ-nơm Chương Ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương trình bày vài ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Trong chương luận văn trình bày kiến thức hệ phương tình sai phân, thuật tốn Putzer, cơng thức Jordan Các kiến thức chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 HỆ Ơ-TƠ-NƠM Định nghĩa 1.1 Hệ có dạng 𝑥1 (𝑛 + 1) = 𝑎11 𝑥1 (𝑛) + 𝑎12 𝑥2 (𝑛) + ⋯ + 𝑎1𝑘 𝑥𝑘 (𝑛) 𝑥 (𝑛 + 1) = 𝑎21 𝑥1 (𝑛) + 𝑎22 𝑥2 (𝑛) + ⋯ + 𝑎2𝑘 𝑥𝑘 (𝑛) { … 𝑥𝑘 (𝑛 + 1) = 𝑎𝑘1 𝑥1 (𝑛) + 𝑎𝑘2 𝑥2 (𝑛) + ⋯ + 𝑎𝑘𝑘 𝑥𝑘 (𝑛) (1.1) gọi hệ phương trình sai phân tuyến tính Ơ-tơ-nơm cấp 𝑘 bất biến theo thời gian Hệ (1.1) viết dạng ma trận sau: 𝑥(𝑛 + 1) = 𝐴𝑥(𝑛), (1.2) 𝑥(𝑛) = (𝑥1 (𝑛) 𝑥2 (𝑛) 𝑥𝑘 (𝑛))𝑇 ∈ ℝ𝑘 , 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ma trận thực cấp 𝑘 × 𝑘 khơng suy biến Các hệ khơng Ơ-tơ-nơm khơng suy biến theo thời gian xem xét phần sau Nếu ta đưa vào 𝑛0 ≥ 0, 𝑥(𝑛0 ) = 𝑥0 ), hệ (1.2) gọi hệ sai phân Ơtơ-nơm với điều kiện đầu Bằng cách lặp lặp lại liên tiếp (hoặc cách trực tiếp thay phương trình), ta nghiệm (1.2) cho bởi: 𝑥(𝑛, 𝑛0 , 𝑥0 ) = 𝐴𝑛−𝑛0 𝑥0 , (1.3) đó, 𝐴0 = I ma trận đơn vị cấp 𝑘 × 𝑘 Chú ý 𝑥(𝑛0 , 𝑛0 , 𝑥0 ) = 𝑥0 Nếu 𝑛0 = nghiệm (1.3) viết 𝑥(𝑛, 𝑥0 ) đơn giản 𝑥(𝑛) Không tính tổng quát, giả sử 𝑛0 = đặt 𝑦(𝑛, 𝑛0 ) = 𝑥(𝑛), (1.2) trở thành: 𝑦(𝑛 + 1) = 𝐴𝑦(𝑛), (1.4) 𝑦(𝑛) = 𝐴𝑛 𝑦(0) (1.5) với 𝑦(0) = 𝑥(𝑛0 ) Trong lý thuyết phương trình vi phân nghiệm hệ phương trình vi phân dx  Ax(t ) , dt với điều kiện ban đầu cho 𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0 , 𝐴 ma trận cấp 𝑘 × 𝑘, 𝑥 ∈ ℝ𝑘 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝐴(𝑡−𝑡0 ) 𝑥0 1.2 THUẬT TOÁN PUTZER CHO HỆ RỜI RẠC Trong phương trình vi phận, thuật tốn Putzer sử dụng để tính 𝑒 𝐴𝑡 sau thuật tốn tương tự để tính 𝐴𝑛 Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ma trận thực cấp 𝑘 × 𝑘, trị riêng 𝐴 số thực số phức 𝜆 cho 𝐴 𝜉 = 𝜆𝜉 với ≠ 𝜉 ∈ ℂ𝑘 , hay (𝐴 − 𝜆𝐼)𝜉 = 0, (1.6) Phương trình (1.6) có nghiệm khác 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, 𝜆𝑘 + 𝑎1 𝜆𝑘−1 + 𝑎2 𝜆𝑘−2 + ⋯ + 𝑎𝑘−1 𝜆 + 𝑎𝑘 = (1.7) Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.7) gọi phương trình đặc trưng 𝐴, 𝜆 gọi giá trị riêng 𝐴 Nếu 𝜆1 , 𝜆2 , , λ𝑘 giá trị riêng ma trận 𝐴 (1.7) viết lại thành: k 𝑝(𝜆) =  (𝜆 − 𝜆𝑗 ) (1.8) j 1 Định lý 1.1 (Cayley-Hamilton) Cho 𝐴 ma trận cấp 𝑘 × 𝑘 Khi ma trận 𝐴 thỏa mãn phương trình đặc trưng k 𝑝(𝜆) =  (𝐴 − 𝜆𝑗 𝐼) = 0, (1.9) j 1 𝐴𝑘 + 𝑎1 𝐴𝑘−1 + 𝑎2 𝐴𝑘−2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝐼 = Chứng minh Để tính 𝐴𝑛 ta xây dựng thuật tốn sau: (1.10) Cho 𝐴 ma trận cấp 𝑘 × 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ, 𝐴𝑘 = s  𝑢𝑗 (n)M(j − 1), (1.11) j1 với 𝑢𝑗 (n) hàm số vơ hướng xác định sau và: 𝑀(𝑗) = (𝐴 − 𝜆𝑗 I)M(j − 1), 𝑀0 = I, 𝑀(𝑗 + 1) = (𝐴 − 𝜆𝑗+1 I)M(j), 𝑀0 = I, (1.12) … 𝑀(𝑛) = (𝐴 − 𝜆𝑛 I)(𝐴 − 𝜆𝑛−1 I) … (𝐴 − 𝜆1 I), viết gọn lại: n 𝑀(𝑛) =  (𝐴 − 𝜆𝑗 𝐼) (1.13) j 1 Từ định lý Cayley-Hamilton ta có: k 𝑀(𝑘) =  (𝐴 − 𝜆𝑗 𝐼) = j 1 Vì vậy, 𝑀(𝑛) = 0, ∀ 𝑛 ≥ 𝑘 Công thức (1.11) viết lại là: 𝐴𝑛 = k  𝑢𝑗 (n)M(j − 1) (1.14) j1 Nếu ta cho 𝑛 = 0, công thức (1.11) viết lại là: 𝐴0 = 𝐼 = 𝑢1 (0)I + 𝑢2 (0)M(1) + ⋯ + 𝑢𝑘 (0)M(k − 1) (1.15) Phương trình (1.15) thỏa mãn nếu: 𝑢1 (0) = 1, 𝑢2 (0) = 𝑢3 (0) = ⋯ = 𝑢𝑘 (0) = Từ cơng thức (1.14) ta có: 𝐴𝑛+1 = k  𝑢𝑗 (n + 1)M(j − 1), j1 k 𝐴 𝐴𝑛 = 𝐴  𝑢𝑗 (n)M(j − 1) = j1 Mặt khác ta có: k  j1 𝑢𝑗 (n)AM(j − 1) (1.16) 𝑀(𝑗) = (𝐴 − 𝜆𝑗 I)M(j − 1) ⇒ 𝑀(𝑗) = 𝐴𝑀(𝑗 − 1) − 𝜆𝑗 IM(j − 1) ⇒ 𝐴𝑀(𝑗 − 1) = 𝑀(𝑗) + 𝜆𝑗 IM(j − 1) ⇒ 𝐴𝑛+1 = k  𝑢𝑗 (n + 1)M(j − 1) = k  𝑢𝑗 (n)[𝑀(𝑗) + 𝜆𝑗 IM(j − 1)] (1.17) j1 j1 So sánh hệ số M(j), ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 (1.17) điều kiện áp dụng (1.16), ta có được: 𝑢1 (n + 1) = 𝜆1 𝑢1 (n), 𝑢1 (0) = 1, 𝑢𝑗 (n + 1) = 𝜆𝑗 𝑢𝑗 (n) + 𝑢𝑗−1 (n), 𝑢𝑗 (0) = 0, 𝑗 = 2,3, … 𝑘 (1.18) Nghiệm (1.18) cho bởi: n 1 𝑢1 (n) = 𝜆1 𝑛 , 𝑢𝑗 (n) =  𝜆𝑗 𝑛−1−𝑖 𝑢𝑗−1 (i), 𝑗 = 2,3, … , 𝑘 i 1 n Ví dụ 1.1 Tìm A  1   A   2   3    Giải Ta có:    A   I   2    3        det( A   I )     7  16  12  1  2  2,  3   2 1    M (0)  I , M (1)  A  I   2 1   3    (1.19)  1    M (2)  ( A  I )   1   2    Ta có : u1 (n)  4n n 1 u2 ( n)   i 0 n 1 u3 (n)   i 0 n 1i n 1   2n 1  n2n 1 n 1i i i 0 n 1 (i )   i 1 i 0 n 1 2i i 3i   n   n   n 1   1        i n 1   3n 1 3          i     i 0    2      1 3     2n  3n  n2n 1 Vậy n A   u j (n)M ( j  1)  u1 (n)M (0)  u2 (n)M (1)  u3 (n)M (2) n j 1 1 0  2 1   1      n 1  n n n 1      n2  2 1   (2   n2 )  1  0 1  3   2        n 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1.3 Cho hệ: x(n  1)  A(n) x(n), (1.20) với A(n)  (aij (n)) hàm ma trận cấp k  k Hệ (1.20) gọi hệ sai phân tuyến tính Hệ không cho bởi: y (n  1)  A(n) y (n)  g (n), (1.21) m Do đó, H i ma trận xác định dương, nữa, H i  J i Bây ta cho:  H1  H     H2    ,  Hr  với H i định nghĩa công thức (2.18) Khi đó:  H1m  m H     H 2m   J1        H rm   J2   J   Jr  m m 1 1 1 Đặt C  PHP , đó, C  PH P  PJP  B Vậy C m  B Bổ đề 2.3 Cho hệ (2.16), ta có mệnh đề sau: (i) Nếu  ( n ) ma trận sở  (n  N ) ma trận sở (ii)  (n  N )   ( n)C , với C ma trận không suy biến (iii) (n  N , N)   (n, 0) Chứng minh (i) Cho  ( n ) ma trận sở hệ (2.16) Khi đó,  (n  1)  A(n) (n) với n  , (  N )  ( ) Phải chứng minh  (n  N  1)  A(n) (n  N ) Ta có : (n  N  1)  A(n  N )(n  N )  A(n)(n  N ) Vậy  (n  N ) ma trận sở (ii) Đặt 1 (n, n0 )  (n  N ) 1 (n0  N ) ,  (n, n0 )  (n) 1 (n0 ) Suy 1 (n, n0 ),  (n, n0 ) ma trận sở với điều kiện ban đầu giống nhau: 1 (n0 , n0 )   (n0 , n0 )  I 32 Áp dụng định lý 1.4, ta suy được: 1 (n, n0 )   (n, n0 )  (n  N ) 1 (n0  N )  (n) 1 (n0 )  (n  N )  (n) 1 (n0 )(n0  N ) Đặt C   1 (n0 )(n0  N )   (n  N )   (n)C (iii) Ta có  (n  N , N)   (n  N , 0) (0, N)   (n  N ) 1 (0)   (0) 1 (N)    (n  N )  1 (0) (0)   1 (N)   (n  N ) 1 (N)   (n)C  1 (N)   (n) 1 (0)   (n, 0) Vậy (n  N , N)  (n, 0) Định lý 2.3 Với ma trận sở  ( n) hệ (2.16) tồn ma trận tuần hồn khơng suy biến P (n) , chu kỳ N cho: (n)  P(n) Bn (2.19) Chứng minh Áp dụng bổ đề 2.3 (ii),  (n  N )   ( n)C , với C ma trận không suy biến Khi đó, áp N dụng bổ đề 2.2, tồn ma trận B cho B  C n n 1 Đặt P(n)  (n) B  n với B  ( B ) , P(n  N )  (n  N ) B  N B  n  (n)CB  N B  n  (n) B N B  N B  n   ( n) B  n  P ( n)  P ( n) tuần hoàn với chu kỳ N P ( n) ma trận khơng suy biến, lại có P(n)  (n) B n  (n)  P(n) Bn 33 Vậy suy điều phải chứng minh Chú ý z ( n ) nghiệm hệ z (n  1)  Bz (n), (2.20) n đó, x(n)  (n)c  P(n) B c x(n)  P(n) z (n) (2.21) N Định nghĩa 2.6 Ma trận C  B bổ đề 2.3 (ii) gọi ma trận đơn sắc (2.16) Các giá trị riêng  B gọi số mũ Floquet (2.16) ; tương ứng, giá trị riêng  N B N gọi số mũ Floquet (2.16) Bổ đề 2.4 Nếu  ( n)  ( n) hai ma trận sở (2.16) cho  (n  N )   (n)C ,  (n  N )   (n)C , C E đồng dạng (và chúng có giá trị riêng) Chứng minh Do  ( n )  ( n ) hai ma trận sở (2.16) nên x(n)  (n)c1 x(n)   (n)c2  (n)c1   (n)c2  (n)   (n)c2c11 1 Đặt P  c2c1  (n)   (n) P  (n  N )   (n  N ) P  (n)C   (n) EP   (n) PC   (n) EP  PC  EP  C  P 1EP Vậy C E đồng dạng Bổ đề 2.5 Một số phức  số mũ Floquet (2.16) nghiệm (2.16)  n q(n) , q ( n ) hàm vectơ với q (n  N )  q (n), n Chứng minh Cho số phức  số mũ Floquet (2.16),  số mũ n Floquet nên  giá trị riêng B  det( Bn   n I )  n Chọn x0  k , x0  cho: 34 B n   n I  x0  0, n  B n x0   n x0 Với P(n) ma trận tuần hoàn định nghĩa công thức (2.19) Từ công thức (2.19), ta có: x(n, n0 , y0 )  (n, n0 ) x0  P(n) B n x0  P(n) n x0   n P(n) x0 Đặt q(n)= P(n) x0  x(n, n0 , y0 )   n q(n) Ngược lại,  n q(n) nghiệm (2.16) với q(n  N )  q(n), n, từ định lý 2.3,  n q (n)  P (n) B n x0 với x0  , (2.22) điều có nghĩa  n  N q (n)  P (n) B n  N x0 (2.23) Từ (2.22), ta có:  n  N q (n)   N P (n) B n x0 (2.24) Từ (2.23) (2.24) ta có: P(n) B n N x0   N P(n) B n x0  P(n) B n  B N   N I  x0  0,  det  B N   N I   Vậy  số mũ Floquet (2.16) Từ định lý 2.3, ta có hệ sau đây: Hệ 2.2 Các mệnh đề sau (i) Hệ (2.16) có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ N có số bội Floquet (ii) Tồn bội số Floquet -1 hệ (2.16) có nghiệm tuần hồn với chu kỳ 2N Chứng minh 35 Bổ đề (2.3) (ii) cho ta công thức để tìm ma trận đơn sắc 𝐶 = 𝐵𝑁 , mà trị riêng bội số Floquet hệ (2.16) Từ bổ đề (2.3) ta có : C  1 (n)(n  N ) Cho 𝑛 = ta : C  1 (0)(N) Nếu ta đặt  (N)  A( N  1) A( N  2) A(0) (0)  I C   (N) , hay: C  A( N  1) A( N  2) A(0) Ta xét ví dụ để minh họa kết Ví dụ 2.3 Xét hệ sau : 𝑥(𝑛 + 1) = 𝐴(𝑛)𝑥(𝑛), Và  n  (1) 𝐴(𝑛)=  ( 1) n    Rõ ràng A(n  2)  A(n) n  Sử dụng công thức C  1 (0)(N) ta có,  1  B  C  A(1) A(0)     1 Vậy bội số Floquet ma trận -1 Từ hệ (2.2), hệ có nghiệm tuần hồn với chu kỳ Chú ý 𝐴(𝑛) có trị riêng không đổi -1,  (A(n))  Ví dụ cho ta gợi ý mối liên hệ giá trị riêng ma trận 𝐴(𝑛) bội số Floquet Ta có ví dụ sau Ví dụ 2.4 Xét hệ sau 𝑥 (𝑛 + 1) = 𝐴(𝑛)𝑥(𝑛), với 36   A(n)     (1) n   2  (1) n       Rõ ràng 𝐴(𝑛) ma trận tuần hoàn với chu kỳ Trị riêng A  ta có, 1  B  C  A(1) A(0)   0   Do đó, bội số Floquet 4 Vậy  ( B)  37  0  9  4 3 ,  (A)  1 2 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Nội dung chương dịch tham khảo từ tài liệu [1] 3.1 CÁC CHUỖI MARKOV Vào năm 1906 nhà toán học người Nga phát triển khái niệm chuỗi Markov Chuỗi Markov mô tả sau: Giả sử tiến hành số thí nghiệm với tập k kết mệnh đề, S  s1 , s2 , , sk  Thí nghiệm lặp lặp lại cho xác suất ( pij ) mệnh đề si ,1  i  k xảy lặp lại lần thứ (n+1) phụ thuộc vào mệnh đề si xuất   lặp lại lần thứ n thí nghiệm Trong ngơn ngữ lý thuyết xác suất, ( pij )  p si s j xác suất xảy si lần lặp lại Cho rằng, s j xảy vào lần lặp lại cuối cùng, s1 , s2 , , sk phải xảy lần lặp Như p1 j  p2 j   pkj  1,1  j  k (3.1) Cho pi (n) biểu thị xác suất mà si xảy vào lần lặp lại thứ n thí nghiệm,  i  k Vì si phải xảy lần lặp lại thứ n, sau p1 (n)  p2 (n)   pk (n)  (3.2) Để rút mơ hình tốn học cho thí nghiệm này, định nghĩa : pi (n  1),1  i  k , xác suất mà si xảy vào lần lặp thứ (n+1) thí nghiệm Có k cách để điều xảy : Trường hợp lần lặp thứ n cho ta s1 lần lặp thứ (n+1) cho ta si Vì xác suất nhận s1 lần lặp thứ n p1 (n) xác suất nhận si sau s1 pi1 , điều có nghĩa xác suất trường hợp pi1 p1 (n) 38 Trường hợp 2, nhận s2 lần lặp lại thứ n si lần lặp lại thứ (n+1) Xác suất xảy trường hợp thứ pi p2 (n) Lặp lại điều cho trường hợp thứ 3,4,…,k với i  1, 2, , k , ta có hệ:  p1 (n  1)  p11 p1 (n)  p12 p2 (n)   p1k pk (n),  p (n  1)  p p (n)  p p (n)   p p (n),  21 22 2k k    pk (n  1)  pk1 p1 (n)  pk p2 (n)   pkk pk (n) biểu diễn dạng ma trận: p(n  1)  Sp(n), n  1,2,3, ,n, (3.3)   p(n)   p1 (n), p2 (n), , pk (n)  vectơ xác suất S  pij T ma trận chuyển đổi cấp k  k Ma trận S thuộc lớp ma trận đặc biệt gọi ma trận Markov Ma trận A   aij  gọi ma trận không âm (dương) aij  0( 0) với phần tử aij A Định nghĩa 3.1 Một ma trận A không âm cấp k  k gọi Markov (hoặc ngẫu nhiên) k a i 1 ij  1, j  1, 2, , k 3.2 CHUỖI MARKOV SUY BIẾN m Định nghĩa 3.2 Chuỗi Markov suy biến chuỗi mà S dương với số m nguyên dương Định lý 3.1 (Perron’s theorem) Cho A ma trận dương cấp k  k  ( A) giá trị riêng đơn giản thực (không lặp lại A) Nếu  giá trị riêng A    ( A) , nữa, vectơ riêng ứng với  ( A) giả định dương Giả sử S ma trận chuyển đổi chuỗi Markov với giá trị riêng 1, 2 , , k  ( S )  39 m m Nếu S dương  ( S m )  , thực tế giá trị riêng S 1m , 2m , , km m Bởi định lý Perron, giá trị riêng đơn S Do đó, S có xác giá trị riêng đơn Nếu 1  tất giá trị riêng lại thỏa mãn i  1, i  2, 3, Do 1 đó, cơng thức Jordan S phải J   0 0  với giá trị riêng J * J*  2 , 3 , , k J *n  , lim J n  diag (1, 0, 0, , 0) Từ hệ 2.1, lim n  n  Vì thế, S  QJQ1 , có: lim p(n)  lim S n p(0)  lim QJ nQ 1 p (0)  1 , 0, ,   a1 , n  n  (3.4) n  1  11 ,  21 , ,  k1  vectơ riêng S ứng với giá trị riêng T  1 a thành phần đâu tiên   Q 1 p(0) Vì việc xác định ma trận Q khơng phải việc đơn giản, chọn thay tạo phương pháp dễ dàng để tìm số a Chú ý rằng: p(n)   p1 (n), p2 (n), , pk (n)  , T từ công thức (3.2): p1 (n)  p2 (n)   pk (n)  lim p(n)  a1 , nên từ suy rằng: n  a11  a 21   a k1  a 11   21    k1 Ví dụ 3.4 Loại đơn giản kế thừa di truyền động vật xảy đặc điểm định xác định cặp gen cụ thể mà gen có hai loại G g Một cá thể có kiểu gen: GG, Gg (di truyền GG) gg Cá thể mang kiểu gen GG cá thể trội, cá thể mang kiểu gen gg cá thể lặn cá thể mang kiểu gen Gg cá thể dị hợp 40 Trong giao phối hai vật, thừa hưởng gen từ cặp bố mẹ Giả định di truyền học, việc lựa chọn gen ngẫu nhiên Chúng ta bắt đầu với cá thể mang kiểu gen GG lai dị hợp Giả sử đời con, đem lai với cá thể có cặp gen dị hợp Lặp lại q trình thơng qua số hệ Trong hệ có trạng thái xảy ra, là, s1  GG, s2  Gg , s3  gg Cho pi (n) xác suất mà si xảy hệ thứ n cho pij xác suất mà si xảy hệ thứ (n+1) cho s j xảy hệ thứ n Hệ sai phân mơ hình chuỗi Markov biểu thị  p1 (n  1)  p11 p1 (n)  p12 p2 (n)  p13 p3 (n),   p2 (n  1)  p21 p1 (n)  p22 p2 (n)  p23 p3 (n),  p (n  1)  p p (n)  p p (n)  p p (n) 31 32 33  Bây giờ, p11 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phối GG Gg Suy p11  p12 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phối Gg Gg p12  p13 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phối Gg gg p13  Tương tự ta tính 1 1 p21  ; p22  ; p23  ; p31  0; p32  ; p33  2 Vì có: p ( n  1)  Sp ( n) với 41 1 2  S  2    4  0  1 2  1  2 Chú ý phần tử S dương vậy, chuỗi Markov suy biến Các trị riêng S 1  1, 2  , 3  Áp dụng công thức (3.4), lim p(n)  a1 , n  1 1    a  1   Vậy 1 4   lim p (n)    2 n      4 Quan hệ cho thấy rằng, số lần lặp lại hợp lý xác suất có đứa mang gen trội mang gen lặn xác suất để có đứa mang gen dị hợp 3.3 MÔ HÌNH THƯƠNG MẠI TIÊU CHUẨN Ví dụ 3.5: Ta xem xét số mơ hình thương mại hai nước A B, bị hạn chế giả định sau: (i) Thu nhập quốc dân = vốn tiêu dùng + đầu tư ròng + xuất – nhập (ii) Chi tiêu tiêu dùng nước = tổng tiêu thụ - nhập (iii) Thời gian chia thành chu kỳ nhau, kí hiệu n  0,1, 2, Với nước j  1, ta định nghĩa: 42 y j (n) = Thu nhập quốc dân chu kỳ n, c j ( n) = Tổng tiêu thụ chu kỳ n, i j (n) = Đầu tư ròng chu kỳ n, x j (n) = Số lượng xuất chu kỳ n, m j ( n) = Số lượng nhập chu kì n, d j (n) = Mức tiêu thụ sản phẩm nước chu kỳ n Với nước A, ta có: y1 (n)  c1 (n)  i1 (n)  x1 (n)  m1 (n), d1 (n)  c1 (n)  m1 (n) Kết hợp phương trình ta được: y1 (n)  d1 (n)  i1 (n)  x1 (n) (3.5) Tương tự với nước B, ta có: y2 (n)  d2 (n)  i2 (n)  x2 (n) (3.6) Bây đưa giả định hợp lý say đây: Tiêu thụ nội địa d j (n) số lượng nhập m j (n) quốc gia chu kỳ n + tỉ lệ thuận với thu nhập quốc gia y j (n) chu kỳ trước Tức là: d1 (n  1)  a11 y1 (n), m1 (n  1)  a21 y1 (n), d (n  1)  a22 y2 (n), (3.7) m2 (n  1)  a12 y2 (n) Các số aij gọi xu hướng biên Hơn nữa, aij > với i, j = 1, Vì xem xét giới có quốc gia, nên lượng xuất nước phải lượng nhập nước kia, tức là: m1 (n)  x2 (n), (3.8) m2 (n)  x1 (n) Thay cơng thức (3.7) (3.8) vào phương trình (3.5) (3.6) ta được:  y1 (n  1)   a11    y2 (n  1)   a21 a12   y1 (n)   i1 (n  1)     a22   y2 (n)   i2 (n  1)  43 (3.9) Bằng cách sử dụng giả sử đầu tư ròng số viết i1 (n)  i1 , i2 (n)  i2 Khi (3.9) trở thành:  y1 (n  1)   a11    y2 (n  1)   a21 a12   y1 (n)   i1       a22   y2 (n)   i2  (3.10) Theo công thức số biến thiên (1.33), ta được: n 1 n 1 r 0 r 0 yn  An y (0)   An  r 1 I  An y (0)   Ar I (3.11) với I  (i1 , i2 )T Để có kinh tế ổn định, ta thấy tổng tiêu thụ nội địa d j  (n  1) lượng nhập m j  (n  1) chu kì n  phải nhỏ thu nhập quốc gia y j (n) chu kỳ n, tức là: d j (n  1) + m j (n  1) ≤ y j (n) , j  1, 2, hay a12  a22  a11  a21  , (3.12) Dưới điều kiện (3.12), giá trị riêng  ma trận A thỏa |  | Từ hệ (2.1), ta có An  n   Từ đó, ta có khai triển Neumann sau: n 1  r 0 r 0 lim  Ar   Ar  (I A) 1 n  (3.13) Lấy lim hai vế phương trình (3.11) áp dụng khai triển Neumann ta được: lim y (n)  (I A) 1 i n  Phương trình nói thu nhập quốc gia nước A B tiệm cận với giá trị cân mà không phụ thuộc vào giá trị đầu y1 (0) , y2 (0) thu nhập quốc gia Tuy nhiên, biết, phát triển kinh tế quốc gia phụ thuộc vào nhiều yếu tố yếu tố mà ta giải thích phần 44 PHẦN KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu, tham khảo từ tài liệu hướng dẫn thầy TS Lê Hải Trung, em hoàn thành luận văn tốt nghiệp với số kết đạt sau: Trình bày kiến thức hệ Ơ-tơ-nơm Trình bày thuật tốn Putzer để tính ma trận An Trình bày cơng thức Jordan để tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình sai phân tuyến tính Chứng minh chi tiết định lý: Neumann, Cayley Hamilton, Perron… Ứng dụng vào mơ hình: chuỗi Markov, chuỗi Markov suy biến, mơ hình thương mại tiêu chuẩn Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu có hạn nên thân em có nhiều cố gắng khơng thể tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện Sinh viên thực Lê Thị Phương 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Saber Alaydi, An introductionto difference equation, Springer, 2000 [2] Lê Hải Trung, Giáo trình phương trình sai phân [3] Romanko V.K (2006), Phương trình sai phân, Nhà xuất Moscow 46 ... sai phân tuyến tính Chương trình bày vài ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Trong chương luận văn trình bày kiến thức hệ phương tình sai phân, ... phương trình sai phân tuyến tính, cơng thức Jordan số ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn chia làm ba chương sau: Chương Hệ phương trình sai phân tuyến tính. .. trọng phương trình sai phân hệ phương trình sai phân tuyến tính Bản thân sinh viên ngành Toán, với niềm đam mê Tốn học tị mị, tìm hiểu chưa học, em chọn đề tài ? ?Hệ phương trình sai phân tuyến tính? ??