ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THÚY PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA - FREDHOLM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2019 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THÚY PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA - FREDHOLM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2019 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn thầy cô trường, thầy khoa Tốn - Trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ hỗ trợ em q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Cuối cùng, em xin cảm ơn người thân bạn bè bên em, động viên em hồn thành khóa luận Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn! Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài “Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm” cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình viết khóa luận tơi có tham khảo số tài liệu có nguồn gốc rõ ràng hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh Các nội dung nghiên cứu, kết đề tài trung thực chưa công bố trước Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước cam đoan Hà Nội, tháng năm 2019 Người thực Nguyễn Thị Thúy Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.2 Một số không gian hàm 1.2.1 Không gian Rn 1.2.2 Không gian C[a,b] 1.2.3 Không gian Cn[a,b] 1.2.4 Không gian Lp[a,b] 1.3 Tích phân phụ thuộc tham số 1.4 Công thức cầu phương 1.4.1 Cơng thức hình thang 1.4.2 Công thức parabol PHƯƠNG PHÁP CẦU PHƯƠNG GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA - FREDHOLM 2.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm 2.2 Áp dụng công thức cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích 2.3 phân tuyến tính Volterra - Fredholm loại hai 10 Một số ví dụ minh họa 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình lĩnh vực rộng lớn toán học nhiều tác giả quan tâm nghiêm cứu Trong phương trình tích phân đóng vai trị quan trọng Các kết lĩnh vực tìm nhiều ứng dụng vật lý, hóa học, sinh học nghiên cứu mơ hình kinh tế, qn sự, tình báo số ngành khác Chúng ta biết rằng, phần lớn phương trình tích phân nảy sinh từ tốn thực tiễn nói chung khơng tìm nghiệm xác Do vậy, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần phương tích phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà khoa học tìm phương pháp để giải gần phương trình Chính lý đó, em chọn đề tài nghiên cứu: “Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức loại phương trình Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến Volterra - Fredholm Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Giải số phương trình tích phân Volterra - Ferdholm + Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp cầu phương giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải, trình bày phương pháp cầu phương nêu số ví dụ giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra - Fredholm Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kiến thức khơng gian Banach, không gian hàm số kiến thức giải tích số phục vụ cho chương sau 1.1 Khơng gian Banach Định nghĩa 1.1 Cho X không gian vectơ trường K (K trường số thực trường số phức) hàm số · : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau: (i) x ≥ 0, ∀x ∈ X, x = ⇔ x = θ; (ii) λx = |λ| x , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K; (iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Cặp (X, · ) gọi không gian định chuẩn viết ngắn gọn X Nhận xét | x − y | ≤ x − y , ∀x, y ∈ X Cho X không gian định chuẩn d : X × X −→ R (x, y) −→ d(x, y):= x − y Khi d metric X gọi metric sinh chuẩn Định nghĩa 1.2 Cho X không gian định chuẩn, dãy (xn ) ⊂ X, x ∈ X Ta nói dãy (xn ) hội tụ đến x lim xn − x = n→∞ Định nghĩa 1.3 Dãy (xn ) ⊂ X gọi dãy ∀ε > 0,∃N ∈ N (∀m, n ≥ N ) : xm − xn < ε Không gian X gọi không gian Banach dãy không gian hội tụ Nói cách khác, khơng gian định chuẩn X khơng gian Banach metric đầy (đủ) với metric sinh chuẩn 1.2 1.2.1 Một số không gian hàm Không gian Rn Định nghĩa 1.4 Mỗi vectơ x thuộc Rn gồm n số thực cóthứ tự dạng (x1 , x2 , , xn ) x      x2   kí hiệu x = (x1 , x2 , , xn ) x =   ,     xn xi gọi thành phần thứ i x Không gian vectơ thực n chiều Rn không gian định chuẩn với chuẩn n x = |xi | x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=0 n x x 1.2.2 = ∞ |xi |2 x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=0 = max |xi | x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn 1≤i≤n Không gian C[a,b] Tập hợp hàm số thực liên tục đoạn [a, b] với khoảng cách hai phần tử x(t) y(t) d (x, y) = max |x(t) − y(t)| không gian C[a,b] a