Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu khái niệm tích phân phân thứ, một khái niệm mở rộng tự nhiên của tích phân lặp thông thường Định nghĩa 1.1 nêu rõ rằng, với α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x: [a, b] −→R được xác định bởi công thức t 0I t α x(t) := 1 Γ(α).
(t−s) α−1 x(s)ds, t ∈(a, b], trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) +∞
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước t 0 I t α := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
Định lý 1.1 khẳng định rằng nếu x là một hàm khả tích trên đoạn [a, b], với 0 < α < 1, thì tích phân t 0 I t α x(t) tồn tại cho hầu hết t trong khoảng [a, b] Hơn nữa, tích phân này cũng là một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1 (i) Cho x(t) = (t−a) β , ở đâyβ >−1và t > a Với bất kì α >0, chúng ta có: t 0I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) =e λt , λ >0 Với bất kì α > 0, chúng ta có: t 0 I t α x(t) =λ −α
Đạo hàm phân thứ
Định nghĩa 1.2 Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi:
(t−s) n−α−1 x(s)ds, trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function): f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f(t) là:
0 D t α f(t) = t −α Γ(1−α).Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau:
Khoảng [a, b] là một đoạn hữu hạn trong R, và AC[a, b] đại diện cho không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên đoạn này Theo Kolmogorov và Fomin, có mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue, cụ thể là: f(t) thuộc AC[a, b] khi và chỉ khi f(t) có thể biểu diễn dưới dạng f(t) = c+.
Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n ∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0 I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 c k (t−t 0 ) k , trong đó ϕ(t) ∈L(a, b), c k (k = 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0I t α ϕ(t) = 1
Từ các điều kiện đã nêu, ta có các biểu thức ϕ(s) = f(n)(s) và c_k = f(k)(t_0) k! với k = 0, 1, , n−1 Định lý 1.2 cung cấp tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Cụ thể, nếu α ≥ 0 và n = [α] + 1, thì với điều kiện f(t) ∈ AC_n[a, b], đạo hàm phân thứ RL t_0 D^α_t f(t) sẽ tồn tại hầu khắp trên đoạn [a, b] và có thể được biểu diễn theo dạng đã nêu.
Z t t 0 f (n) (s)ds (t−s) α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.
Hệ quả 1.1 Nếu 0< α 0 và n = [α] + 1, nếu hàm f(t) thuộc lớp AC n trên đoạn [a, b], thì công thức t 0I t α ( C t 0 D α t f(t)) = f(t) - n - 1 được áp dụng.
X k=0 f (k) (t 0 ) k! (t−t 0 ) k Đặc biệt, nếu 0< α ≤1 và f(t)∈ AC[a, b] thì t 0 I t α ( C t 0 D t α f(t)) = f(t)−f(t 0 ).
Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau: Định lí 1.6 Cho α > 0 và đặt n = [α] + 1 Với bất kì x∈ AC n [a, b], chúng ta có:
Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ
Từ nay, chúng ta chỉ xem xét tham số α trong khoảng (0,1) mà không cần giải thích thêm Giả sử có một hằng số T > 0, không gian C([0, T], R^n) được định nghĩa là tập hợp các hàm liên tục có giá trị là vectơ x: [0, T] → R^n, với chuẩn k.k ∞ được xác định bởi kxk ∞ := max t∈[0,T] kx(t)k, trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian R^n.
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho hệ phương trình vi phân bậc cao, bao gồm cả nghiệm địa phương và toàn cục.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
0D t α x(t) =f(t, x(t)), t ≥0, (1.1) với điều kiện ban đầu x(0) =x 0 ∈R n , (1.2) trong đó f : [0, T]×R n −→ R n là một hàm liên tục trên [0, T]×R n
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T],R n ) thỏa mãn (1.1) và (1.2).
Mệnh đề này cung cấp một tiêu chuẩn quan trọng để xác định sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.4 Xét bài toán (1.1) Khi đó, với điều kiện đầu x 0 ∈ R n tùy ý, một hàm ϕ(., x 0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân: ϕ(t, x 0 ) =x 0 + 1 Γ(α)
Để hiểu giá trị ϕ(t, x 0 ) tại một thời điểm t trong tương lai, không chỉ cần biết nghiệm trong khoảng thời gian từ hiện tại t 0 đến t, mà còn phải có thông tin về giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trong quá khứ từ 0 đến t 0 Điều này tạo ra sự khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương cũng như toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được khẳng định qua các định lý quan trọng Cụ thể, Định lý 1.7 xác nhận rằng với điểm x₀ thuộc Rⁿ, nghiệm địa phương sẽ tồn tại và duy nhất.
Giả sử f(t, x) là một hàm liên tục trên miền G theo biến t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho |f(t, x) - f(t, y)| ≤ L|x - y| với mọi cặp (t, x), (t, y) thuộc G Đặt M = sup.
T nếu M = 0; min{T,(KΓ(1 +α)/M) 1/α },trong trường hợp còn lại.
Định lý 1.8 khẳng định rằng, đối với bài toán (1.1) và điều kiện ban đầu (1.2), nếu hàm f : R + × R n −→ R n thoả mãn điều kiện kf(t, x)−f(t, y)k ≤ L(t)kx−yk với L : R + −→ R + là hàm liên tục, thì tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], R n) là nghiệm toàn cục của bài toán này trên khoảng thời gian [0, ∞) với điều kiện ban đầu tùy ý x 0 ∈ R n.
Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định 13 2.1 Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn
Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ 24 3.1 Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn
Ví dụ minh họa
Trong mục này, chúng tôi đưa ra một ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết trong mục trước.
Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1) với hai hệ con, tức là N = 2 và các tham số α = 0.95, ω(t) =√
# Ta thấy hàm kích hoạt f(x(t)) thỏa mãn điều kiện (A2) với L= diag{1,1}, véc tơ nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện (A3) với d = 0.1 Ta xét hàm chi phí toàn phương có dạng (3.2) với
1 i Ta thấy các điều kiện trong Định lý 3.1 và Nhận xét 3.2 được thỏa mãn với τ 1 = 0.4, τ 2 = 0.6, 1 = 0.9295, 2 = 0.2034,
. Khi đó ta có hệ ma trận {L 1 (P),L 2 (P)} đầy đủ chặt, ở đó
Ta xây dựng miền chuyển mạch như sau
. Luật chuyển mạch giữa hai hệ con được xác định như sau σ(x(t))
Theo Định lý 3.1, hệ đóng tương ứng ổn định trong thời gian hữu hạn với bộ (1,3,0.1,5, R) Luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ được xác định là u(t) = K i x(t) với i = 1,2 trong khoảng thời gian t ∈ [0,5].
.Giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ là J ∗ = 2.8344.
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ, bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, và hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ trình bày công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, giúp người đọc hiểu rõ hơn về ứng dụng và tầm quan trọng của các khái niệm này trong lĩnh vực toán học.
Tiêu chuẩn được trình bày cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn đối với hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định nhằm tối ưu hóa hiệu suất và độ ổn định của hệ thống Việc áp dụng tiêu chuẩn này giúp cải thiện khả năng điều khiển, đồng thời giảm thiểu chi phí liên quan đến quá trình điều khiển trong các ứng dụng thực tiễn.
• Nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ;
• Đưa ra 01 ví dụ để minh họa cho kết quả lý thuyết trong Chương 3.
[1] Hoàng Thế Tuấn (2017), Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học.
[2] Boroomand, A and Menhaj, M B (2008), “Fractional-order Hopfield neu- ral networks”, In International Conference on Neural Information Process- ing (pp 883-890), Springer, Berlin, Heidelberg.
[3] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994),Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.
[4] Chen L P., Liu C., Wu R.C., He Y.G., and Chai Y (2016), “Finite-time stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural Computing and Applications, 27(3), 549–556.
[5] Chua L.O and Yang L (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1257–1272.
[6] Chua L.O and Yang L (1998), “Cellular neural networks: Applications", IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1273–1290.
[7] Ding X., Cao J., Zhao X., and Alsaadi F.E (2017) “Finite-time Stability of fractional-order complex-valued neural networks with time delays",Neural Processing Letters, 46(2), 561–580.
[8] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A and Castro-Linares R (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove
Lyapunov uniform stability for fractional order systems",Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659.
[9] Niamsup P., Ratchgit K and Phat V.N (2015), “Novel criteria for finite- time stabilization and guaranteed cost control of delayed neural networks", Neurocomputing, 160, 281–286.
[10] Lazarevi´c M P and Debeljkovi´c D.L (2005), “Finite-time stability anal- ysis of linear autonomous fractional order systems with delayed state", Asian Journal of Control, 7(4), 440–447 (2005).
[11] Lazarevi´c M P and Spasi´c A.M., “Finite-time stability analysis of frac- tional order time-delay systems: Gronwall’s approach", Mathematical and Computer Modelling, 49, 475–481 (2009).
[12] Hilfer R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Science Publishing, Singapore.
[13] Kaczorek T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer.
[14] Kilbas A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Appli- cations of Fractional Differential Equations, Springer.
[15] Li M and Wang J (2017), “Finite time stability of fractional delay differ- ential equations", Applied Mathematics Letters, 64, 170–176.
[16] Podlubny I (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press.
[17] Shuo Z, Chen Y.Q and Yu Y (2017), “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers.
[18] Thuan M.V., Binh T.N and Huong D.C (2018), “Finite-time guaranteed cost control of Caputo fractional-order neural networks”,Asian Journal ofControl, DOI: 10.1002/asjc.1927.