Kát thực cừa hai a thực
Giá trị số f, g là hai hàm thực biến x với các hệ số trong một trường F Giá trị K là một trường con chứa F Gọi α₁, , αₙ là tất cả các nghiệm (kể cả nghiệm bội) của f trong K, thì f(x) có thể biểu diễn dưới dạng f(x) = a(x−α₁)(x−α₂) (x−αₙ), với a ∈ K và a khác không.
Tữỡng tỹ, gồi β 1 , , β m l tĐt cÊ cĂc nghiằm (kº cÊ bởi) cừa g trong K, tùc l g(x) =b(x−β1)(x−β2) (x−βm), vợi b ∈ K n o õ.
Ta ành nghắa kát thực cừa f v g, R(f, g) l
Ta liằt kả dữợi Ơy mởt số tẵnh chĐt cừa kát thực.
Ta cõ iãu phÊi chựng minh
Tẵnh chĐt 1.1.2 R(f, g) = 0 náu f v g cõ mởt nhƠn tỷ chung bêc d÷ìng.
Chứng minh rằng, với hai đa thức f và g thuộc F[x], khi α ∈ K là một nghiệm của h trong K, tồn tại các chỉ số i, j sao cho α_i = α và β_j = α Từ đó, ta có thể suy ra rằng trong tích phân R(f, g), có nhơn tỷ α_i - β_j = 0, dẫn đến kết luận R(f, g) = 0.
Chựng minh Vẳ g(x) =bQ n j=1 (x−β i ), nản ta cõ g(α i ) = bQ n j=1 (α i −β j ), vợi mồi i = 1, , n Do vêy a m n
Tữỡng tỹ (ho°c sỷ dửng Tẵnh chĐt 1.1.1) ta suy ra
Tẵnh chĐt 1.1.4 Náu g(x) = f q+ r, thẳ R(f, g) = a m−deg r R(f, r). Chựng minh Tứ Tẵnh chĐt 1.1.3, ta cõ
Vẳ α i l nghiằm cừa cừa f, nản f(α i ) = 0 v do vêy f(α i )q(α i ) +r(α i ) r(α) Do â ta câ
M°t khĂc, cụng theo Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, r) = a deg r Q n i=1 r(αi) Do vêy
Tẵnh chĐt 1.1.5 R(f, b) =b deg f náu b l vổ hữợng.
Chựng minh °t g(x) =b Theo Tẵnh chĐt 1.1.3
Các tính chất 1.1.1, 1.1.4, 1.1.5 cho phép chúng ta tính toán các thực của bậc kẻ hai a thực n và bông thuật toán chia của Euclid Những tính chất này cũng cho phép chúng ta chứng minh rằng R(f, g) là một phân tỷ của trường F, mặc dù nó được ánh nghĩa dựa theo các phân tỷ trong trường lớn hơn K.
Tẵnh chĐt 1.1.6 Ta cõ R(f, g) nơm trong F.
Chựng minh Ta chựng minh bơng quy nÔp theo degf Náu g = b l hơng số thuởc F Thẳ theo Tẵnh chĐt 1.1.1 v 1.1.5, R(f, g) = R(b, f) R(f, b) = b n thuởc F.
Giá trị của hàm số thực f và g được xác định trong không gian F[x], với g = f q + r, trong đó r = 0 hoặc deg r < deg f = n Theo tính chất 1.1.4 và 1.1.1, cùng với việc áp dụng định lý quy nạp, ta có R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f) trong F Do đó, chúng ta cần chứng minh điều này.
Chựng minh Suy ra tứ Tẵnh chĐt 1.1.3.
Biằt thực cừa a thực
Cho f = f(x) ∈ F[x] l a thực vợi hằ số trong trữớng F v K l mởt tr÷íng âng ¤i sè chùa F.
Biằt thực cừa f ữủc ành nghắa l
Theo Tẵnh chĐt 1.1.2, ta cõ D(f) 6= 0 náu v ch¿ náu f v f 0 khổng cõ thứa số chung.
Chúng ta cõ thº tẵnh toĂn D(f) bơng cĂch sỷ dửng thuêt toĂn Euclid trản f v f 0 Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử.
Vẵ dử 1.2.1 X²t f(x) = x−a Khi õ f 0 (x) = 1, vẳ vêy
Vẵ dử 1.2.2 X²t f(x) = x 2 +ax+b Khi õ f 0 (x) = 2x+a v D(f) −R(f, f 0 ) Ta câ x 2 +ax+b = (2x+a) x
= 2 deg f −deg r (−1)R(f 0 , r) ( theo Tẵnh chĐt 1.1.4)
Vẵ dử 1.2.3 Cho f(x) = x 3 + qx+r Thẳ f 0 (x) = 3x 2 +q v thỹc hiằn thuêt toĂn Euclid, ta cõ x 3 +qx+r = (3x 2 + q) x
Vẵ dử 1.2.4 X²t f(x) = x n −1 ∈ F[x] Ta i tẵnh biằt thực cừa f(x). Gồi α 1 , , α n l n nghiằm trong K (mởt trữớng õng Ôi số chựaF) cừa a thực f(x) =x n −1 Ta cõ f 0 (x) = nx n−1 Do vêy
Vẳ theo ành lỵ Vi²te α 1 ã ã ãα n = (−1) n a thực f(x) ∈ F[x] ữủc gồi l mởt a thực chuân (monic) náu hằ số ựng vợi số mụ cao nhĐt cừa nõ bơng 1.
Mằnh ã 1.2.5 Cho f l mởt a thực monic v α 1 , , α n l cĂc nghiằm cõa nâ trong tr÷íng âng ¤i sè K Khi â
Chựng minh Vẳ α1, , αn ∈ K l cĂc nghiằm cừa f nản f(x) = (x − α 1 )(x−α 2 ) .(x−α n ) Do â f 0 (x) = (x−α 2 )(x−α 3 ) .(x−α n ) + (x−α 1 )(x−α 3 ) .(x−α n )
Nhữ vêy f 0 (α i ) =Q n j=1,j6=i (α i −α j ) Theo Tẵnh chĐt 1.1.3, ta cõ
Chú ỵ rơng trong tẵch cuối cùng ð cổng thực trản chứa n(n−1) thứa số Trong đó, các thứa số dÔng α i − α j với i < j và các thứa số dÔng α i − α j với i > j Nhơn mọi thứa số dÔng thự hai vợi (−1) ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 1.2.6 Ta i tẵnh biằt thực cừa a thực monic bêc 2 v bêc 3 sỷ dửng cổng thực tẵnh biằt thực trong mằnh ã trữợc.
(a) X²t f(x) = x 2 + ax+ b ∈ F[x] Gồi α 1 , α 2 l hai nghiằm cừa f (trong mởt trữớng õng Ôi số n o õ chựa F) Khi õ biằt thực cừa f l
(b) X²t a thực f(x) =x 3 +qx+r ∈ F[x] Gồiα 1 , α 2 , α 3 l cĂc nghiằm cừa f Khi õ biằt thực cừa f l
LĐy Ôo h m hai vá theo x, ta suy ra
Do vêy, thay x = α 1 , α 2 v α 3 ta ữủc
D(f) =−[27r 2 + 4q 3 ] = −4q 3 −27r 2 Mằnh ã 1.2.7 Cho f v g l hai a thực monic trong F[x] Khi õ
Chựng minh Gồi n = degf v m = degg Khi õ m+n = deg(f g) Ta câ
Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh vẳ
Mằnh ã 1.2.8 Cho f 1 , , f r l cĂc a thực monic trong F[x] Khi õ
Chựng minh Ta chựng minh quy nÔp theo r Cổng thực úng vợi r = 2. GiÊi sỷ nõ Â úng vợi r −1 a thực vợi r ≥ 3 Theo Tẵnh chĐt 1.1.7 v theo quy n¤p ta câ
Tỹ ỗng cĐu Frobenius
X²t p l mởt số nguyản tố v x²t Fp = Z/pZ = {[0],[1], ,[p−1]} trữớng cõ p phƯn tỷ l cĂc số nguyản modulo p Gồi K l mởt trữớng bĐt ký chựa Fp X²t φ p : K → K l Ănh xÔ cho bði φ p (a) =a p , vợi mồia ∈ K.
(é Ơy ta  sỷ dửng nhên x²t rơng p | p k ) Nhữ vêy φp l tỹ ỗng cĐu cừa trữớng K nh xÔ φ p nhữ trản ữủc gồi l tỹ ỗng cĐu Frobenius cừa
Bờ ã 1.3.1 Cho a l mởt phƯn tỷ trong K Khi õ φ p (a) =a khi v ch¿ khi a thuởc F p
Chựng minh Náu a thuởc F p thẳ theo ành lỵ Fermat nhọ, ta cõ φp(a) a p = a.
Ngữc lôi, giê sỷ φ p (a) = a cho thấy a thuộc K là nghiệm của a thực x p − x Theo định lý Fermat, nghiệm của p phân tỷ trong Fp cũng là nghiệm của a thực x p − x Do đó, x p − x có bậc bậc bậc p phân tỷ của Fp chính là tất cả các nghiệm của x p − x Vì a là một trong các nghiệm này, nên a thuộc.
Ta mð rởng Ănh xÔ φ p lản Ănh xÔ tứ K[x] v o K[x] nhữ sau Vợi f(x) =a n x n + ã ã ã+a 1 x+a 0 , ta ành nghắa φ p (f(x)) = φ p (a n )x n +ã ã ã+ φ p (a 1 )x+φ p (a 0 )
Bờ ã 1.3.2 Cho f(x) ∈ K[x] Khi õ φp(f(x)) = f(x) khi v ch¿ khi f(x) ∈ F p [x].
Chựng minh Suy ra ngay tứ bờ ã trữợc.
Chữỡng n y trẳnh b y vã ành lỵ Stickelberger là một khái niệm quan trọng trong toán học, được minh họa qua một số ví dụ cụ thể Tài liệu tham khảo từ [3, Chapter 15] và [2, Section 6.6] cung cấp những thông tin bổ ích về chủ đề này, giúp người đọc hiểu rõ hơn về ứng dụng của chữỡng n y trong thực tiễn.
Cho f(x) ∈ Z[x] là một đa thức thực chuân (monic) với số nguyên bậc n và D(f) là biệt thức của f Giả sử p là một số nguyên tố và gói D(f) là bậc của f Đặt f¯(x) ∈ Fp[x] là đa thức được tạo ra từ f bằng cách lấy số modulo p Gọi r là số nhân tỷ lệ bất khả quy của f¯ Khi r thuộc về Stickelberger, không có trường hợp nào mà r không tương đương n (mod 2), và điều này xảy ra khi D(f) là bậc phương modulo p Kết quả này nằm trong một kết quả của Stickelberger Nó cũng được chứng minh bởi Skolem (1952) và phản bội đối với p = 2 của Stickelberger, cũng như bởi Carlitz (1953) và Dalen.
Nghiằm cừa a thực bĐt khÊ quy trong F p [x]
Bờ ã 2.1.1 GiÊ sỷ α ∈ K l mởt nghiằm cừa a thực f(x) ∈ F p [x] Khi õ α p cụng l nghiằm cừa f(x).
Chựng minh Ta viát f(x) = a n x n +a n−1 x n−1 +ã ã ã+a 1 x+ a 0 ∈ F p Khi õ 0 = f(α) =P n i=0 a i α i Sỷ dửng ỗng cĐu Frobenius φ p , ta cõ
X i=0 a i α pi = f(α p ). é trản ta  sỷ dửng tẵnh chĐt φ p (a) =a vợi mồi a ∈ F p
Mằnh ã 2.1.2 Cho f(x) l mởt a thực monic bĐt khÊ quy trong Fp[x] vợi bêc d Cho K l mởt trữớng chựa Fp, v α ∈ K l mởt nghiằm cừa f(x) Khi â trong K[x], ta câ f(x) = (x−α)(x−α p )(x−α p 2 ) .(x−α p d−1 ).
Chứng minh rằng theo định nghĩa trước, ta có α, α_p, α_p2, đều là nghiệm của f(x) Nếu f(x) chỉ có hữu hạn nghiệm trong K, thì tồn tại hai số nguyên k và l sao cho α_p_k = α_p_l Ta có 0 = α_p_l - α_p_k (α_p_l - k - α) p_k Suy ra α_p_l - k = α Như vậy, tồn tại số thực r sao cho α_p_r = α.
Ta có một chuỗi phân biệt α, α₁, α₂, , αₖ, αₖ₊₁, , αₖ₋₁ với k = 1, 2, , r-1 Các giá trị này phải thỏa mãn điều kiện αₖ ≤ αₖ₊₁, với k từ 1 đến h, và tồn tại một hàm số f có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng d Hàm g(x) được định nghĩa là g(x) = (x−α)(x−α₁) (x−αₖ₋₁).
Do vêy g(x) nơm trong F p [x] Hiºn nhiản α l mởt nghiằm cừa g(x) Chia a thùc f(x) cho g(x) ta câ f(x) =g(x)q(x) +h(x), vợi q(x), h(x) ∈ F p [x] v h = 0 ho°c degh < r Vợi mồi i = 0, , r−1 ta câ h(α p i ) =f(α p i )−g(α p i )q(α p i ) = 0.
Nhữ vêy a thực h cõ ẵt nhĐt r nghiằm phƠn biằt α, α p , , α p r−1 Do õ h phÊi l a thực 0 v do vêy f(x) = g(x)q(x) Vẳ f(x) l bĐt khÊ quy v monic nản f(x) =g(x) v r = d Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
ành lþ Stickelberger
Cho p là một số nguyên tố l, f(x) là một đa thức thực monic bậc m với các hệ số trong Fp Giả sử D(f) ≠ 0 Gọi r là số các nghiệm tỷ bất khả quy của f(x) trong Fp[x] Khi a ≡ m (mod 2) thì D(f là một bậc phương trong Fp.
Chứng minh rằng ưu tiên chúng ta chứng minh ảnh lý cho trường hợp hủp = 1 Trong trường hợp này, f(x) là bậc khê quy bậc m Giả sử K là một trường ô số chứa Fp, và α ∈ K là một nghiệm của f Khi α là nghiệm của f, các nghiệm của f sẽ là α, α^p, α^(p^2), , α^(p^(m−1)) theo Mệnh đề 2.1.2 Chú ý rằng ta có công thức α^(p^m) = α.
Khi õ δ(f) ∈ K v D(f) = (δ(f)) 2 Do vêy D(f) l mởt bẳnh phữỡng trong Fp khi v ch¿ khi δ(f) nơm trong F p Ta kiºm tra δ(f) nơm trong
Fp bơng cĂch kiºm tra ¯ng thực φ p (δ(f)) = δ(f) Ta cõ φ p (δ(f)) = Y
Thay êi ch¿ sè ta câ φ(δ(f)) = Y
Nhữ vêy ành lỵ úng vợi r = 1.
BƠy giớ ta giÊ sỷ f = f 1 f 2 f r l tẵch cừar nhƠn tỷ bĐt khÊ quy phƠn biằt Ta ành nghắa δ(f) v δ(f i ) tữỡng tỹ nhữ trong trữớng hủp r = 1 ð trản.
D(f) =D(f 1 f 2 f r ) = D(f 1 )D(f 2 ) D(f r )R 2 , vợi R n o õ thuởc F p Do õ, trong K ta cõ δ(f) =δ(f1)δ(f2) δ(fr)S, vợi S = ±R ∈ F p Theo trữớng hủp r = 1, vợi mồi i = 1, , r, ta cõ φ p (δ(f i )) = (−1) d i −1 δ(f i ), ð nìi d i = degf i Do â φ(δ(f)) = δ(f 1 )δ(f 2 ) δ(f r )S(−1) d 1 −1 (−1) d 2 −1 (−1) d r −1
(Chú ỵ rơng d1 +ã ã ã+dr = degf = m.) Tứ õ ta cõ
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Chựng minh ành lỵ Stickelberger ữa ra ð trản l chựng minh (vợi sỷa ời thẵch hủp) cừa Swan(1962) v Berlekamp (1968).
Vẵ dử 2.2.2 X²t f(x) = x 2 + x + 1 ∈ F 2 [x] cõ bêc d = 2 Vẳ f(0) f(1) = 1 6= 0 trong F 2 nản f(x) khổng cõ nghiằm trong F2 v do vêy f(x) ∈ F 2 [x] l bĐt khÊ quy Trong trữớng hủp n y số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cõa f(x) l r = 1.
M°t khĂc biằt thực cừa f(x) l D = 1−4ã1 = 1 l bẳnh phữỡng trong
F2 Hiºn nhiản kh¯ng ành r ≡ d⇔ D l bẳnh phữỡng mod 2 l sai trong trữớng hủp n y Nhữ vêy phĂt biºu cừa ành lỵ Stickelberger khổng cỏn úng nỳa cho trữớng hủp p = 2.
Hằ quÊ 2.2.3 Cho pl mởt số nguyản tố l´ v f(x) = x 3 +qx+r ∈ F p [x]. Gồi D = −4q 3 −27r 2 l biằt thực cừa f GiÊ sỷ p - D Gồi Np(f) l số nghiằm cừa f trản F p Khi õ
N p (f) (0 ho°c 3 náu D l bẳnh phữỡng trong Fp
1 náu D khổng l bẳnh phữỡng trong Fp.
Chựng minh Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cừa f(x) trản F p Ró r ng r ch¿ cõ thº nhên cĂc giĂ trà
1 r = 1, tực l f bĐt khÊ quy trản F p v N p (f) = 0,
2 r = 2, tực l f cõ duy nhĐt mởt nghiằm trản F p v N p (f) = 1,
3 ho°c r = 3, tực l f cõ 3 nghiằm phƠn biằt trản F p v N p (f) = 3. ành lỵ Stickelberger nõi rơng
⇔r ≡ degf (mod 2) ⇔ r = 1 ho°c 3 ⇔Np(f) = 0 ho°c 3.
Ta cõ iãu phÊi chựng minh
Vẵ dử 2.2.4 X²t a thực f(x) =x 3 −x−1 Biằt thực cừa f l
• Náu p = 3 thẳ D = −23 ≡ 1 2 (mod 3) l bẳnh phữỡng modulo 3. Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f) = 0 ho°c 3 Thỹc tá x 3 −x−1 l bĐt khÊ quy modulo 3.
• Náu p= 5 thẳ D = −23 khổng l bẳnh phữỡng modulo 5 Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f) = 1 Thỹc tá x = 2 l nghiằm duy nhĐt cừa x 3 −x−1 modulo 5 v phƠn ta cõ phƠn tẵch
• Náu p = 7 thẳ D = −23 = 5 (mod 7) khổng l bẳnh phữỡng modulo
7 Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f) = 1 Thỹc tá x = 5 l nghiằm duy nhĐt cừa x 3 −x−1 modulo 7 v phƠn ta cõ phƠn tẵch
• Náu p = 11 thẳ D = −23 = 10 (mod 11) l khổng bẳnh phữỡng modulo 11 Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f) = 1 Thỹc tá x = 6 l nghiằm duy nhĐt cừa x 3 −x−1 modulo 11 v phƠn ta cõ phƠn tẵch
• Náu p= 13 thẳ D = −23 ≡3 = 4 2 (mod 13) l bẳnh phữỡng modulo
13 Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f) = 0 ho°c 3 Thỹc tá x 3 −x−1 bĐt kh£ quy modulo 13.
• Náup = 59 thẳD = −23 ≡ 36 = 6 2 (mod 59) l bẳnh phữỡng modulo
59 Theo hằ quÊ trản thẳ Np(f) = 0 ho°c 3 Thỹc tá x 3 −x −1 cõ 3 nghiằm phƠn biằt modulo 59 v ta cõ phƠn tẵch x 3 −x−1 = (x−4)(x−13)(x−42) (mod 59).
a thực nguyản khÊ quy modulo mồi số p nguyản tố
Kát quÊ sau l hằ quÊ trỹc tiáp cừa ành lỵ Stickelberger.
Hàm f(x) là một đa thức thực monic bậc chẵn với hệ số nguyên Giả sử D là một số chính phương khác 0 Khi p là một số nguyên tố và D không chia hết cho p, thì f(x) là khế quy modulo p.
Chựng minh Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic modulo p cừa f(x).
Ró r ngD l số chẵnh phữỡng modulop Do vêy theo ành lỵ Stickelberger, r ≡ degf mod 2 Do vêy r l số chđn Nõi riảng r 6= 1 v f(x) l khÊ quy modulo p.
Bờ ã 2.3.2 Cho f(x) = x 4 +ax 2 +b ∈ F[x] Khi õ biằt thực cừa f l
Chựng minh Gồi α, −α v β, −β l 4 nghiằm cừa a thực f(x) (trong mởt trữớng õng Ôi số K n o õ chựa F) Ta cõ α 2 = u, β 2 = v l hai nghiằm cừa x 2 +ax+b.
Mằnh ã 2.3.3 a thực x 4 + 1 l bĐt khÊ quy trản Z những l khÊ quy modulo p vợi mồi số nguyản tố p.
Chựng minh Biằt thực cừa x 4 + 1 l D = 16ã4 2 l mởt số chẵnh phữỡng.
Do vêy theo hằ quÊ trản thẳ x 4 + 1 l khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố m p6= 2 Ta cõ x 4 + 1 = (x+ 1) 4 (mod 2) Nhữ vêy x 4 + 1 l khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố.
Ta chựng minh x 4 + 1 bĐt khÊ quy trản Z Thêt vêy, giÊ sỷ x 4 + 1 l khÊ quy trản Z Khi õ
(x 4 + 1) = (x 2 +ax+c)(x 2 + bx+d), vợi a, b, c, d ∈ Z n o õ Ta cõ
(x 2 +ax+c)(x 2 +bx+d) =x 4 + (a+b)x 3 + (ab+c+d)x 2 + (ad+bc)x+cd.
Do vêy a+ b = 0, ab +c +d = 0, ad+bc = 0 v cd = 1 Tứ cd = 1 ta suy ra c = d = −1 ho°c c = d = 1 Suy ra ab = −(c +d) = ±2 Do vêy a 2 = ±2, phữỡng trẳnh n y khổng cõ nghiằm nguyản.
Mằnh ã 2.3.4 a thực x 4 + 3x 2 + 1 l bĐt khÊ quy trản Z những l khÊ quy modulo p vợi mồi số nguyản tố p.
Chựng minh Biằt thực cừa x 4 + 3x 2 + 1 l D = 16 ã 5 2 l mởt số chẵnh phữỡng Do vêy theo hằ quÊ trản thẳ x 4 + x 2 + 1 l khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố m p 6= 2 v p 6= 5 Ta cõ x 4 + 3x 2 + 1 = (x+ 1) 4 (mod 2) v x 4 + 3x 2 + 1 = (x−1) 2 (x−1) 2 (mod 5).
Nhữ vêy x 4 + 1 l khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố.
Ta chựng minh x 4 + 3x 2 + 1 bĐt khÊ quy trản Z Thêt vêy, giÊ sỷ x 4 + 3x 2 + 1 l khÊ quy trản Z Khi õ
(x 4 + 1) = (x 2 +ax+c)(x 2 + bx+d), vợi a, b, c, d ∈ Z n o õ Ta cõ
(x 2 +ax+c)(x 2 +bx+d) =x 4 + (a+b)x 3 + (ab+c+d)x 2 + (ad+bc)x+cd.
Do vêy a+b = 0, ab+c+d = 3, ad+bc = 0 v cd = 1 Tứ cd = 1 ta suy ra c = d = −1 ho°c c = d = 1 Suy ra ab = 3−(c+ d) = 1 ho°c 5 Do vêy a 2 = −1 ho°c −5, phữỡng trẳnh n y khổng cõ nghiằm nguyản.
Nhên x²t 2.3.5 Hai mằnh ã trản l vẵ dử vã a thực trũng phữỡng bêc
Bài viết này đề cập đến các khái niệm liên quan đến quy trình Z và quy tắc modulo p với p là số nguyên tố Để kiểm tra xem D(f) có phải là một bậc phương mod p hay không, chúng ta cần áp dụng các lý thuyết liên quan đến Stickelberger Một phương pháp hiệu quả để chứng minh là sử dụng lý thuyết Stickelberger để xác định tính chất của các bậc phương Những khía cạnh này sẽ được trình bày và phân tích chi tiết trong các phần tiếp theo của bài viết.
T÷ìng tü cõa ành lþ Stickelberger cho a thùc thüc
ành lỵ 2.4.1 Cho f(x) l a thực chuân (monic) hằ số thỹc vợi bêc d v biằt thực D(f) 6= 0 Gồi r l số nhƠn tỷ monic bĐt khÊ quy thỹc cừa f. Khi â d ≡r (mod 2) ⇔D(f) > 0.
Chựng minh GiÊ sỷ f(x) = f 1 (x)ã ã ãf m (x)f m+1 (x)ã ã ãf n (x) l phƠn tẵch cừaf th nh tẵch cĂc a thực monic bĐt khÊ quy thỹc, trong õf 1 (x), , f m (x) l cĂc a thực bêc 2, v f m+1 (x), , f m+n l cĂc a thực bêc 1 Ta cõ
D(f) =D(f 1 ã ã ãf m f m+1 ã ã ãf m+n ) = D(f 1 )ã ã ãD(f m )a 2 , vợi a ∈ R n o õ Do vêy
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Hằ quÊ 2.4.2 Cho f(x) l a thực chuân (monic) hằ số thỹc vợi bêc d v biằt thực D(f) 6= 0 Khi õ
(a) Náu D(f) > 0 thẳ f cõ d−4k nghiằm thỹc, vợi k ≥0 n o õ;
(b) Náu D(f) < 0 thẳ f cõ d−2−4k nghiằm thỹc, vợi k ≥0 n o õ.
Chựng minh Gồi m l số c°p nghiằm phực (khổng thỹc) cừa f v gồi n l số nghiằm thỹc cừa f Khi õ theo ành lỵ trản
GiÊ sỷ D(f) > 0 Khi õ m l số chđn Viát m = 2k vợi k ≥ 0 n o õ. Khi õ, số nghiằm thỹc cừa f l d−2m = d−4k.
GiÊ sỷ D(f) < 0 Khi õ m l số l´ Viát m = 2k + 1 vợi k ≥ 0 n o õ Khi õ, số nghiằm thỹc cừa f l d−2m = d−2−4k.
ành lỵ Stickelberger v luêt thuên nghàch bêc hai 21
Kỵ hiằu Legendre
ành nghắa 3.1.1 Cho p l mởt số nguyản tố l´, v a l mởt số nguyản khổng chia hát cho p Khi õ kỵ hiằu Legendre a p ữủc ành nghắa nhữ sau. a p
−1 náu a khổng l bẳnh phữỡng modulo p.
Cho p l số nguyản tố l´, a v b l hai số nguyản khổng chia hát cho p. Khi õ ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau.
−1 p bơng 1 ho°c −1 tũy theo p ≡ 1 (mod 4) hay p ≡3 (mod 4).
Vẵ dử 3.1.2 Tẵnh kỵ hiằu Legendre
= −1. ành lỵ 3.1.3 (Luêt thuên nghàch bêc hai Gauss) GiÊ sỷ p v q l cĂc số nguyản tố l´ phƠn biằt Khi õ p q q p trứ khi p≡ q ≡ 3 (mod 4) thẳ p q
Vẵ dử 3.1.4 Tẵnh lỵ hiằu Legendre
ành lỵ Stickelberger v luêt thuên nghàch bêc hai
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh luật thuế nghịch Beck 2 bằng cách áp dụng định lý Stickelberger Đầu tiên, chúng ta cần xác định hai số nguyên tố l và p, trong đó l là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho q ≡ 1 (mod p) Đồng thời, l cũng là cấp của nhóm (Z/pZ) ×.
Ta s³ Ăp dửng ành lỵ Stickelberger cho a thực x p −1 trong F q [x]. Trữợc tiản ta cõ bờ ã sau.
Bờ ã 3.2.1 Gồi f(x) l mởt nhƠn tỷ bĐt khÊ quy bĐt ký cừa a thực (x p −1)/(x−1) trong F q [x] Khi õ bêc cừa f(x) bơng e, cĐp cừa q mod p.
Chứng minh rằng nếu K là một trường và Fp là một trường con của K, thì α là một nghiệm trong K của f(x) Theo định lý 2.1.2, ta có f(x) = (a−α)(x−α q )(x−α q^2) (x−α q^(n−1)), trong đó n là một số tự nhiên và α q^n = α Do đó, ta có thể suy ra rằng n = e.
Vẳ α p = 1 v α 6= 1, nản cĐp cừa α (trong nhõm K ì ) phÊi bơng p. iãu n y suy ra, náu α r = 1 vợi r ∈ N n o õ, thẳ p l ữợc cừa r.
Vẳ α q n = α, nản α q n −1 = 1 Do vêy p | q n −1, tực l q n ≡ 1 (mod p).
M°t khĂc, vẳ p e ≡ 1 (mod p), nảnp | p e −1 Do vêyα p e −1 = 1 Ta suy ra α p e = α v n≤ e Nhữ vêy n = e v ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Bờ ã 3.2.2 Số cĂc nhƠn tỷ bĐt khÊ quy phƠn biằt r cừa x p − 1 trong
Chựng minh Bêc cừa (x p −1)/(x−1) l p−1, v mội nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa (x p − 1)/(x − 1) ãu cõ bêc l e theo bờ ã trữợc Do vêy cõ (p−1)/e nhƠn tỷ bĐt khÊ quy (monic) phƠn biằt cừa (x p −1)/(x−1).
Bờ ã 3.2.3 Gồi D l biằt thực cừa x p − 1 ∈ F q [x] Khi õ D (−1) (p−1)/2 p p
Chựng minh Theo Vẵ dử 1.2.4, D = (−1) p(p−1)/2 p p Vẳ p l số l´ nản p(p−1)
Chựng minh cừa luêt thuên nghàch bêc hai
Chúng ta s³ Ăp dửng ành lỵ Stickelberger cho a thực x p − 1 trong
Fq[x] Trong trữớng hủp n y ành lỵ nõi rơng r ≡p (mod 2) ⇔D l bẳnh phữỡng mod p. Ð ¥y r = 1 + p−1 e l sè nh¥n tû b§t kh£ quy monic cõa f trong F q [x],
2 Vẳ e l cĐp cừa q (mod p) nản e| p−1
Chúng ta phƠn tẵch phẵa bản trĂi:
2 Khi e l thù tü cõa q cõa p, e chia p−1
Nhữ vêy tứ ành lỵ Stickelberger chúng ta cõ q p
Luêt thuên nghàch bêc hai ữủc chựng minh.
Vẵ dử 3.2.4 Tẳm bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa (x 257 − 1)/(x −1) trản F19.
Theo tiêu chuẩn Euler, có thể xác định rằng 19^128 ≡ -1 (mod 257) Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính 19 modulo 257 Khi e là 256, ta có 19^256 ≡ 1 (mod 257) theo định lý Fermat Điều này dẫn đến việc 19^128 ≡ -1 (mod 257), cho thấy rằng e = 256 và thực hiện phép toán modulo p với x^256 + + x + 1.
Vẵ dử 3.2.5 Tẳm bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừaf(x) = (x 257 −1)/(x−
GiÊi Gồiel bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa (x 257 −1)/(x−1) trản F 11 Khi õ e chẵnh l bêc cừa 11 modulo 257 Ta cõ 11 4 ≡ −8 (mod 257).
Do vêy 11 32 ≡8 8 ≡ −1 (mod 257) Suy ra 11 64 ≡1 (mod 257) Nhữ vêy e l ữợc cừa 64 những khổng l ữợc cừa 32 Do vêy e = 64 v f(x) cõ 4 nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic bêc 64 trản F11.
ành lþ Stickelberger modulo 2
Trong phần 2.2.1, chúng ta nhận thấy rằng phát biểu của ảnh lũy thừa 2.2.1 không còn đúng cho trường hợp p = 2 Tuy nhiên, vẫn có ảnh hưởng của số nhân tỷ bất kỳ quy của a thực nguyên modulo 2 Ở phần 3.3.1, nếu f(x) là một đa thức monic bậc m với các hệ số nguyên, và D(f) không đồng nhất với 0 (mod 2), thì số các nhân tỷ bất kỳ quy của f(x) modulo 2 sẽ được xác định Khi D ≡ 1 (mod 4) và r ≡ m (mod 2), thì D(f) sẽ đồng nhất với 1 (mod 8) Cuối cùng, ở phần 3.3.2, cho f(x) thuộc F[x] bậc m với m nghiệm α₁, , αₘ trong một trường hữu hạn K chứa F, ta định nghĩa δ₀(f) = ∏(x - αᵢ).
(Trong ành nghắa cừa ρ(f) ta giÊ sỷ cĂc α i +α j 6= 0 vợi mồi1 ≤ i < j ≤ m.)
Để hiểu rõ về hàm số thực δ₀(f), ta nhận thấy rằng nó là một hàm thực liên quan đến các số nguyên α₁, , αₘ Điều này có nghĩa là δ₀(f) phản ánh các giá trị thực của hàm số f tại các số nguyên này Từ đó, ta suy ra rằng δ₀ là một hàm thực có giá trị tại các số thực tương ứng với các số nguyên α₁, , αₙ Cụ thể, tồn tại một đa thức thực P(x₀, x₁, , xₘ) thuộc Z[x₀, , xₘ] sao cho δ₀(f) = P(a₀, a₁, , aₘ), với f(x) = a₀ + a₁x + + aₘxᵐ Thêm vào đó, [δ₀(f)]² ρ(f) cũng là một hàm thực liên quan đến các số nguyên α₁, , αₘ, cho thấy sự tồn tại của một đa thức thực Q(x₀, x₁, , xₘ).
Nhữ vêy δ 0 (f) v ρ(f) ãu thuởc F Hỡn nỳa, náu f(x) ∈ Z[x] v gồi f¯(x) ∈ F 2 [x] l a thực nhên ữủc bơng cĂch lĐy thu gồn modulo 2 cĂc hằ số cừa f, thẳ δ 0 ( ¯f) = δ(f) mod 2 v
Bờ ã 3.3.3 Cho f(x) ∈ F 2 [x] a thực bêc m GiÊ sỷ f cõ m nghiằm phƠn biằt α 1 , , α m khĂc 0 trong mởt trữớng K õng Ôi số chựa F 2 Ta câ ρ(f) = X
Chựng minh Vợi mồi a ∈ K, ta cõ (1 +a) 2 = 1 +a 2 , v a = 1 + (1 +a), do vêy a
Bờ ã 3.3.4 Cho f(x) v g(x) l hai a thực monic nguyản tố cũng nhau trản F2 Khi õ ρ(f g) =ρ(f) +ρ(g).
Chựng minh Gồi α 1 , , α m l cĂc nghiằm (trong K) cừa f(x) v α m+1 , , α m+k l cĂc nghiằm cừa g(x) (trong K) Bơng cĂch tĂch tờng
Vẳ α m+1 , α m+2 , , α m+k l cĂc nghiằm phƠn biằt cừa g(x) trong K, v α 2 m+1 , α m+2 2 , , α 2 m+k cụng l cĂc nghiằm phƠn biằt cừa g(x), nản α 2 m+1 , α 2 m+2 , , α 2 m+k ch¿ l mởt hoĂn và cừa α m+1 , α m+2 , , α m+k Do vêy, vợi mồi i = 1, , m, ta cõ k
Tữỡng tỹ α 2 1 , , α 2 m l mởt hoĂn và cừa α 1 , , α m Do vêy vợi mồi j m+ 1, , m+k, ta câ m
Tứ õ ta cõ ρ(f g) = ρ(f) + ρ(g). ành lỵ 3.3.5 Cho f(x) ∈ F 2 [x] l a thực bêc m v l tẵch cừa r a thực bĐt khÊ quy phƠn biằt trản F2 Khi õ r ≡m (mod 2) ⇔ρ(f) = 0.
Chựng minh Ưu tiản ta x²t trữớng hủp r = 1, tực l f l a thực bĐt khÊ quy trong F2[x] Gồi α ∈ K l mởt nghiằm cừa f(x) Khi õ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa f(x) l α 2 , α 2 2 , , α 2 m−1 , α 2 m = α Do vêy ρ(f) = X
BƠy giớ ta giÊ sỷ f(x) =f1(x)ã ã ãfr(x)vợi f1, , fr l cĂc a thực bĐt khÊ quy phƠn biằt trong F 2 [x] Khi õ theo phƯn trản, ρ(fi) = degfi−1, vợi mồi i = 1, , r Do vêy, theo bờ ã trản ρ(f) r
Do vêy ρ(f) = 0 khi v ch¿ khi m ≡ r (mod 2).
Chựng minh ành lỵ 3.3.1 Gồi α 1 , , α m l cĂc nghiằm cừa f(x) trong
(α i +α j ) 2 + 16S, ð Ơy S l mởt a thực ối xựng vợi hằ số nguyản trản cĂc nghiằm α 1 , , α m Nhữ vêy S l mởt số nguyản Do vêy
Nõi riảngD(f) ≡ δ 0 (f) (mod 4) Vẳ δ 0 (f) l mởt số nguyản l´ nảnD(f) ≡
Theo ành lþ 3.3.1, ta câ m ≡r (mod 2) ⇔ ρ( ¯f) = 0 ⇔δ 0 ( ¯f) 2 ρ( ¯f) = 0
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 3.3.6 X²t a thực f(x) = x 2 + x + 1 ∈ Z[x] Biằt thực cừa f l D = −3 ≡ 5 (mod 8) Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cừa f modulo 2 Khi õ degf 6≡ r (mod 2) Thỹc tá, degf = 2 v r = 1 (f(x) l b§t kh£ quy modulo 2).
Vẵ dử 3.3.7 X²t a thực f(x) = x 3 −x −1 ∈ Z[x] Biằt thực cừa a thùc n y l
Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cừa f modulo 2 Khi õ
Thỹc tá x 3 −x−1 l bĐt khÊ quy modulo 2, v r = 1.
Luên vôn  trẳnh b y nhỳng vĐn ã chẵnh sau Ơy
• Trẳnh b y vã kát thực cừa hai a thực v vã biằt thực cừa a thực.
• Trẳnh b y vã ành lỵ Stickelberger vã tẵnh chđn l´ cừa số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa a thực trản trữớng Fp.
• Trẳnh b y ựng dửng cừa ành lỵ Stickelberger trong chựng minh luêt thuên nghàch bêc hai.