ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Tiến Hưng ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN THÁI NGUYÊN 2020 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– Nguyễn Thị Tiến Hưng ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN 2020 download by : skknchat@gmail.com i Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12A7; Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục Đào tạo Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K12A7 ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Nguyễn Thị Tiến Hưng download by : skknchat@gmail.com ii Danh mục hình 1.1 Hình vng nội tiếp tam giác 1.2 Ba tam giác Lucas 1.3 Các đường tròn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas 1.4 Khoảng cách hai tâm Lucas 1.5 Đường tròn Lucas (OA , RA ) tiếp xúc với (ABC) 1.6 Đường tròn Lucas đường tròn Apollonius 1.7 O1 tâm đường tròn A−Apollonius 1.8 ABC A B C trực giao với 1.9 OA OB OC vị tự với ABC , trực giao với TA TB TC 1.10 2Ra − bc > 0, 2Rb − ca > 0, 2Rc − ab > 1.11 Các đường tròn tiếp xúc 1.12 Hình vng nội tiếp với hai đỉnh BC 1.13 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 10 11 12 14 15 17 18 19 20 2.1 Ba điểm X , Y , Z thẳng hàng 2.2 Tâm vị tự hai đường tròn 2.3 Trục vị tự ba đường tròn 2.4 Cặp điểm liên hợp đẳng cự 2.5 Cặp điểm liên hợp đẳng cự: Ge N 2.6 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L G 2.7 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L G 2.8 Tam giác Kiepert tâm phối cảnh Kiepert theo θ 2.9 Đường tròn trực giao với đường tròn bàng tiếp 2.10 Hai đường trịn vị tự từ hai hình vng vị tự 2.11 Tam giác Ta Tb Tc vị tự với tam giác ABC 2.12 Đường tròn đẳng phương ba đường tròn Lucas 25 26 27 29 30 33 34 36 40 42 43 45 3.1 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 51 download by : skknchat@gmail.com iii 3.2 Các đường tròn C1a , C1b , C1c 52 a b c 3.3 Đường tròn đẳng phương C1 , C1 , C1 54 3.4 Các đường níc sinh từ hình vng nội tiếp 60 download by : skknchat@gmail.com iv Mục lục Chương Đường tròn Lucas tam giác 1.1 Đường trịn Lucas tính chất 1.2 Đường tròn Lucas công thức Descartes 16 Chương Đường tròn Lucas tọa độ barycentric 2.1 Tọa độ barycentric 2.1.1 Các định nghĩa ký hiệu 2.1.2 Công thức Conway tâm phối cảnh Kiepert 2.2 Đường tròn Lucas với tâm tam giác 2.2.1 Đường tròn đẳng phương Lucas 2.2.2 Họ đường tròn đồng trục Schoute Chương Một số vấn đề liên quan 3.1 Đường tròn Lucas đường tròn Soddy 3.1.1 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại 3.1.2 Điều kiện tồn đường tròn Soddy 3.2 Ba họ vơ hạn đường trịn 3.2.1 Các tâm vị tự 3.2.2 Hai đường níc Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com 22 22 22 34 41 44 47 50 50 50 51 52 57 58 64 MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu A−Lucas, Ca B−Lucas, Cb C−Lucas, Cc (OA , RA ) A−Apollonius Ta Tb Tc CA (RA ) Ge N 10 L, LA , LB , LC 11 σ 12 σθ 13 K(θ) 14 15 16 17 X( ) OL Ca , Cb , Cc Cna , Cnb , Cnc Nội dung ký hiệu Đường tròn Lucas qua A Đường tròn Lucas qua B Đường tròn Lucas qua C Đường trịn Lucas tâm OA , bán kính RA Đường tròn Apollonius ứng với đỉnh A Tam giác tiếp xúc A Đường trịn tâm R−R R A bán kính RA Điểm Gergonne Điểm Nagel Điểm đối trung điểm đối trung mở rộng Ký hiệu Conway, σ = 2SABC Ký hiệu Conway, σθ = σ cot θ 1 Tâm Kiepert : : σA + σθ σB + σθ σC + σθ Tâm tam giác, [4] Trục Brocard Các đường tròn Lucas Ba họ đường tròn tiếp xúc download by : skknchat@gmail.com Trang 6 6 11 13 16 29 29 32 33 33 35 35 40 40 53 Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Đề tài “Đường tròn Lucas tam giác số vấn đề liên quan” bao gồm cách xác định ba đường tròn Lucas, tâm Lucas, phương trình Lucas, đường trịn đẳng phương Lucas mối liên hệ đường tròn Lucas tâm tam giác Các khái niệm gắn liền với tên tuổi Edouard Lucas (1842-1891), nhà toán học người Pháp, người phát tính chất thú vị dãy số Lucas, dãy sinh đôi với dãy số Fibonacci Mục đích đề tài là: - Nghiên cứu tính chất đường trịn Lucas phương pháp hình học truyền thống phương pháp tọa độ (barycentric), tìm mối liên quan đường tròn Lucas với tâm tam giác xác định danh sách C Kimberling, [4] - Trình bày tính chất liên quan đường tròn Lucas đường tròn Apollonius, đường tròn Soddy - Dùng phương pháp tọa độ tìm cặp tam giác phối cảnh, tam giác vị tự Các tâm phối cảnh, tâm vị tự tìm tâm tam giác có [4] điểm chưa có danh sách Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Dựa vào tài liệu [1], [2] [3] luận văn trình bày tính chất đường trịn Lucas tam giác mối quan hệ với đường tròn khác, điểm đặc biệt khác tam giác; số ứng dụng quan download by : skknchat@gmail.com trọng kết tìm đường trịn đẳng phương Lucas, cơng thức Descartes, họ đường trịn đồng trục Schoute, Nội dung luận văn chia làm chương Chương Đường tròn Lucas tam giác Xuất phát từ ba hình vng nội tiếp tam giác xây dựng ba đường tròn Lucas tam giác Bằng phương pháp hình học truyền thống giới thiệu tính chất đường trịn Lucas thơng qua hệ thức hình học Chương bao gồm (nội dung tham khảo [2], [5]): 1.1 Đường trịn Lucas tính chất 1.2 Đường trịn Lucas cơng thức Descartes Chương Đường trịn Lucas tọa độ barycentric Các tính toán chủ yếu sử dụng kết tọa độ barycentric Từ phương trình đường trịn tìm cặp tam giác phối cảnh tam giác vị tự, từ có mối liên hệ đường tròn Lucas tâm tam giác (tổng hợp mệnh đề [3]) Chương bao gồm mục: 2.1 Tọa độ barycentric 2.2 Đường tròn Lucas với tâm tam giác Chương Một số vấn đề liên quan Bằng cách tính tương tự rút điều kiện tồn đường tròn Soddy tam giác Giới thiệu ba họ đường tròn ứng dụng kết vào việc xây dựng chuỗi đường trịn, từ thu loạt cặp tam giác phối cảnh vị tự Nội dung chương bao gồm: 3.1 Đường tròn Lucas đường trịn Soddy 3.2 Ba họ vơ hạn đường tròn download by : skknchat@gmail.com Chương Đường tròn Lucas tam giác 1.1 Đường tròn Lucas tính chất Ta bắt đầu khái niệm quen thuộc: hình vng X1 X2 X3 X4 nội tiếp ∆ABC Vì hình vng có đỉnh cịn tam giác có cạnh nên cạnh tam giác phải chứa đỉnh hình vng Dựng hình vuông nội tiếp tam giác tốn biết phổ thơng (Hình 1.1) Dựng hình vng Hình 1.1: Hình vng nội tiếp tam giác DEF G Hình 1.1a Nếu đường thẳng LM qua G, song song với AC ∆LBM với hình vng DEF G nội tiếp hồn tồn thỏa mãn điều kiện đặt kích thước nhỏ Nhắc lại góc tương ứng hai hình đồng dạng nhau, kéo theo BG chia góc B thành phần x, y BS chia góc ABC Kéo dài BG gặp AC X3 , sau ta dựng hình download by : skknchat@gmail.com 50 Chương Một số vấn đề liên quan 3.1 Đường tròn Lucas đường tròn Soddy Một trường hợp đặc biệt toán Apollonius biết đến toán đồng tiền hay toán đồng tiền Các đường trịn nói chung có bán kính khác nhau, đơi tiếp xúc Bài tốn có nghiệm: Một đường trịn nhỏ tiếp xúc ngồi với đường tròn cho trước đường tròn lớn tiếp xúc với chúng 3.1.1 Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại Ta biết tốn Apollonius tổng qt: cho đường trịn tùy ý với tâm không thẳng hàng tồn nhiều đường tròn tiếp xúc với đường tròn chúng Trong trường hợp đặc biệt đường trịn tiếp xúc ngồi có hai đường trịn tiếp xúc với đường trịn Đó đường tròn Soddy Định nghĩa 3.1 Cho đường tròn (A, r1 ), (B, r2 ), (C, r3 ) đơi tiếp xúc ngồi Đường trịn tiếp xúc ngồi với ba đường trịn gọi đường tròn Soddy nội; Đường tròn tiếp xúc với ba đường trịn gọi đường tròn Soddy ngoại ba đường trịn cho download by : skknchat@gmail.com 51 Hình 3.1: Đường tròn Soddy nội đường tròn Soddy ngoại Ta nói đường trịn Soddy tam giác ABC Giả sử Ca (A, r1 ), Cb (A, r2 ), Cc (A, r3 ) đường trịn tiếp xúc ngồi cho trước A1 , B1 , C1 tiếp điểm Hình 3.1 Ta quan tâm đến điều kiện tồn đường tròn Soddy tam giác ABC Cách làm lặp lại bước tính bán kính đường trịn Lucas chương tổng quát 3.1.2 Điều kiện tồn đường tròn Soddy Cho đường trịn bán kính α, β , γ đơi tiếp xúc ngồi Ta xác định bán kính hai đường trịn Soddy tiếp xúc (trong ngồi) với đường trịn trên: đường tròn Soddy ngoại đường tròn Soddy nội Trong (1.10) ta có cơng thức tính bán kính đường trịn Soddy ngoại R: 1 1 = + + −2 R α β γ 1 + + βγ γα αβ Bằng tính tốn tương tự, ta có bán kính đường trịn Soddy nội R cho 1 1 = + + +2 R α β γ 1 + + βγ γα αβ download by : skknchat@gmail.com (3.1) 52 Vì vế phải (3.1) luôn dương nên xác định Để ln tồn hai R đường trịn Soddy nội ngoại ta cần có: 1 + + −2 α β γ 1 + + >0⇔ βγ γα αβ 1 + + α β γ >4 1 + + βγ γα αβ Ta rút điều kiện tồn đường tròn Soddy nội ngoại ba đường trịn bán kính α, β , γ đơi tiếp xúc 1 + + >2 α2 β γ 1 + + βγ γα αβ (3.2) 3.2 Ba họ vô hạn đường trịn Hình 3.2: Các đường trịn C1a , C1b , C1c Ba họ đường tròn liên quan đến đường tròn Soddy chủ yếu tham khảo [3] Đây nội dung khó, chúng tơi dừng lại số nét Trước hết ta xác định đường tròn tiếp xúc với (ABC) hai đường tròn Lucas tương ứng Ký hiệu (O1a ) đường tròn tiếp xúc với (ABC), tiếp xúc download by : skknchat@gmail.com 53 với đường tròn Lucas (Ob ), (Oc ) Bằng cách đặt K = K ∗ π ,K1 = K ∗ arctan 41 , dùng tâm phối cảnh Kiepert ta nhận O1a = AK1 ∩ Oa K , Hình 3.2 Mệnh đề 3.1 Tâm O1a = a2 (σA − 2σ) : b2 (σB + 4σ) : c2 (σC + 4σ) Chứng minh Ta có A = (1 : : 0) Oa = a2 (σA + 2σ) : b2 σB : c2 σC K = K∗ π = a2 (σA + σ) : b2 (σB + σ) : c2 (σC + σ) K1 = K ∗ arctan = a2 (σA + 4σ) : b2 (σB + 4σ) : c2 (σB + 4σ) Từ đó, đường thẳng AK1 , Oa K có phương trình (AK1 ) : x y z 0 =0 a2 (σA + 4σ) b2 (σB + 4σ) c2 (σC + 4σ) ⇔ c2 (σA + 4σ) y − b2 (σB + 4σ) z = (Oa K ) : (3.3) x y z a2 (σA + 2σ) b2 σB c2 σC a2 (σA + σ) =0 b2 (σB + σ) c2 (σC + σ) ⇔ b2 c2 (σC − σB ) x + c2 a2 (σC + σA + 2σ) y − a2 b2 (σA + σB + 2σ) z = (3.4) Tìm giao AK1 Oa K cách giải hệ phương trình (3.3) (3.4) sau thu gọn ta giao điểm cần tìm O1a = a2 (σA − 2σ) : b2 (σB + 4σ) : c2 (σ + 4σ) Mệnh đề chứng minh Lưu ý cách tính tọa độ O1a [2] khơng xác Điểm O1a tâm đường tròn tiếp xúc với đường tròn B−Lucas, C−Lucas đường tròn (ABC) Tiếp điểm đường tròn với đường trịn ngoại tiếp download by : skknchat@gmail.com 54 điểm K0a , ta ký hiệu đường trịn C1a Các tiếp điểm với đường tròn B−Lucas, C−Lucas tương ứng a2 (σA − σ) : b2 (σB + 3σ) : c2 (σC + 2σ) , a2 (σA − σ) : b2 (σB + 2σ) : c2 (σC + 3σ) Tương tự có đường tròn C1b , C1c , đường tròn tiếp xúc với đường Hình 3.3: Đường trịn đẳng phương C1a , C1b , C1c tròn ngoại tiếp tiếp xúc ngồi với hai đường trịn Lucas Các tâm ba đường tròn C1a , C1b , C1c tạo thành tam giác phối cảnh với tam giác ABC , tâm phối cảnh điểm K ∗ arctan , Hình 3.3 Chú ý P J Moses chứng minh [3]: Sáu tiếp điểm với đường tròn Lucas nằm C0 (arctan 4) Đường tròn đẳng phương đường tròn Cs (arctan 6) Từ đường trịn Lucas tạo họ đường tròn tiếp xúc khác: Chẳng hạn, họ vơ hạn đường trịn Cna , đường trịn tiếp xúc ngồi với download by : skknchat@gmail.com 55 a đường tròn B−Lucas, C−Lucas cho Cna tiếp xúc với Cn−1 Tna (ta coi C0a đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cho T1a = A ) Các tâm tiếp điểm (chứng minh quy nạp): Ona = a2 2n2 − σA − 2nσ : b2 : c2 Tna = 2n2 − σB + 2n(n + 1)σ 2n2 − σC + 2n(n + 1)σ a2 (2n(n − 1)σA − (2n − 1)σ) : 2nb2 ((n − 1)σB + nσ) : c2 ((n − 1)σC + nσ) Các tâm Ona đường tròn nằm hypebol với tiêu điểm Ob Oc , chứa O Ta Đó hypebol Soddy nội tam giác Oa Ob Oc Các tiếp điểm Tna nằm đường trịn A−Apollonius Tương tự ta có họ đường tròn Cnb , Cnc tương ứng có tâm Onb , Onc tiếp điểm Tnb , Tnc Nhận xét Ứng với n ∈ N, ta có Các tâm Cna , Cnb , Cnc nằm đường tròn Cs 4n2 − 2n + arctan 2n(n − 1) Sáu tiếp điểm ba đường tròn với đường tròn Lucas nằm đường tròn Cs arctan 2n2 + n + n2 Đường tròn đẳng phương đường tròn Cna , Cnb , Cnc đường tròn Cs arctan 2n(2n + 1) 2n2 − Ta nhắc lại khái niệm tam giác phối cảnh định lý Desargue: Trên mặt phẳng cho tam giác ABC A B C Nếu đường thẳng AA , BB , CC đồng quy điểm O hai tam giác gọi hai tam giác phối cảnh (hay thấu xạ) Điểm O gọi tâm phối cảnh hai tam giác download by : skknchat@gmail.com 56 Định lý Desargue: “Cho tam giác ABC A B C Nếu đường thẳng AA , BB , CC đồng quy điểm α = BC ∩ B C , β = CA ∩ C A , γ = AB ∩ A B thẳng hàng ngược lại” Lúc đường thẳng chứa α, β , γ gọi trục phối cảnh hai tam giác Mệnh đề 3.2 Các cặp tam giác sau phối cảnh, tâm phối cảnh thuộc trục Brocard OL Tam giác Tam giác Ona Onb Onc ABC Ona Onb Onc Oa Ob Oc Ona Onb Onc Ta Tb Tc Ona Onb Onc O1a O1b O1c Ona Onb Onc c b a On+1 On+1 On+1 Ona Onb Onc a b c Om Om Om Tna Tnb Tnc ABC Tna Tnb Tnc Oa Ob Oc Tna Tnb Tnc Ta Tb Tc Tna Tnb Tnc Tma Tmb Tmc Tâm phối cảnh = K ∗ (θ) với tan θ = 2n2 − 2n(n + 1) 3n − 2n 4n + 2n 5n + 2n 4n2 + 6n + 2n(n + 1) 4mn + m + n + + 2mn n−1 n 6n2 − 2n − 4n2 4n − 2n − 4mn − m − n + 2mn − m − n Bảng 3.1: Các cặp tam giác phối cảnh Các kết Bảng 3.1 tham khảo [1], [3] với xếp theo chủ ý tác giả luận văn Cách chứng minh kết tiến hành theo bước: B1 Viết phương trình đường thẳng nối đỉnh tam giác tương ứng, B2 Giải hệ phương trình, tìm tọa độ giao điểm, download by : skknchat@gmail.com 57 B3 Chứng tỏ tọa độ giao điểm thỏa mãn phương trình trục Brocard: b2 c2 (b2 − c2 )x + c2 a2 (c2 − a2 )y + a2 b2 (a2 − b2 )z = 3.2.1 Các tâm vị tự Vì đường trịn đẳng phương Lucas, đường tròn Soddy nội đường tròn ngoại tiếp (ABC) thuộc họ Schoute nên đường tròn vị tự, tâm vị tự thuộc trục Brocard Các tâm vị tự trong, vị tự ngồi: • Đường tròn Soddy nội vị tự với đường tròn ngoại tiếp với tâm vị tự K ∗ (arctan 2), tâm vị tự K ∗ arctan • Đường trịn Soddy nội vị tự với đường tròn đẳng phương Lucas với tâm vị tự K ∗ arctan , tâm vị tự K ∗ arctan Mệnh đề 3.3 Ta có kết sau Các tâm vị tự đường tròn đẳng phương Lucas đường tròn Lucas tạo thành tam giác phối cảnh với tam giác ABC , tâm phối cảnh điểm K ∗ (arctan 3) Các tâm vị tự ngồi đường trịn đẳng phương Lucas đường tròn Lucas tạo thành tam giác phối cảnh với tam giác ABC , tâm phối cảnh điểm K ∗ arctan π Chứng minh Các tâm vị tự V1 = 3a2 (σA + σ) : b2 (3σB + σ) : c2 (3σC + σ) , V2 = a2 (3σA + σ) : 3b2 (σB + σ) : c2 (3σC + σ) , V3 = a2 (3σA + σ) : b2 (3σB + σ) : 3c2 (σC + σ) download by : skknchat@gmail.com 58 Ta lập phương trình đường thẳng Phương trình (AV1 ) : c2 (3σC + σ) y + b2 (3σB + σ) z = Phương trình (BV2 ) : c2 (3σC + σ) x − a2 (3σA + σ) z = Phương trình (CV3 ) : −b2 (3σB + σ) x + a2 (3σA + σ) z = Từ đường thẳng AV1 , BV2 , CV3 đồng quy điểm a2 (3σA + σ) : b2 (3σB + σ) : c2 (3σC + σ) = K ∗ (arctan 3) Tương tự vậy, tâm vị tự V1 = a2 (σA − σ) : b2 (σB + σ) : c2 (σC + σ) , V2 = a2 (σA + σ) : b2 (σB − σ) : c2 (σC + σ) , V3 = a2 (σA + σ) : b2 (σB + σ) : c2 (σC − σ) Các đường thẳng AV1 , BV2 , CV3 đồng quy điểm a2 (σA + σ) : b2 (σB + σ) | : c2 (σC + σ) = K ∗ (arctan 1) = K ∗ π Cũng viết phương trình đường thẳng AV1 , , CV3 , kiểm tra tọa độ K ∗ (arctan 3), K ∗ (arctan 1) thỏa mãn phương trình đường thẳng tương ứng 3.2.2 Hai đường níc Các đường trịn Lucas tam giác kết hợp với hình vng nội tiếp tam giác Ta biểu diễn hai đường níc quan trọng liên quan đến hình vuông nội tiếp Cho tam giác ABC , ta gọi hình vng nội tiếp tam giác X1 X2 X3 X4 có đỉnh X1 , X2 ∈ BC , X3 ∈ CA, X4 ∈ AB , A−hình vng nội tiếp Tương tự ta có hình B−hình vng nội tiếp C−hình vng download by : skknchat@gmail.com 59 nội tiếp Tọa độ đỉnh A−hình vuông nội tiếp X1 X2 X3 X4 X1 = (0 : σC + σ : σB ) , X2 = (0 : σC : σB + σ) ∈ BC, X3 = a2 : : σ ∈ AC, X4 = a2 : σ : ∈ AB Mệnh đề 3.4 Hình vng X1 X2 X3 X4 có tâm a2 : σC + σ : σB + σ Chứng minh Viết phương trình đường thẳng X1 X3 X2 X4 : (X1 X3 ) : σ (σC + σ) x = a2 σy − a2 (σC + σ) z = (X2 X4 ) : −σ (σB + σ) x + a2 (σB + σ) y − a2 σC z = Giải hệ phương trình gồm hai phương trình thu nghiệm a2 , σC + σ, σB + σ Ta có điều phải chứng minh Tương tự, dễ dàng viết tọa độ đỉnh tâm B , C−hình vng nội tiếp Rõ ràng tâm hình vng tạo thành tam giác phối cảnh với tam giác ABC với tâm phối cảnh Kiepert K π = 1 : : σA + σ σB + σ σC + σ Liên quan đến đường cô níc ta có định lý Carnot điều kiện để điểm thuộc níc Mệnh đề 3.5 (Định lý Carnot, [5]) Nếu níc C cắt BC X, X ; cắt CA Y, Y ; cắt AB Z, Z BX BX CY CY AZ AZ · · · · · = XC XC Y A Y A ZB Z B Chứng minh Viết phương trình níc dạng f x2 + gy + hz + 2pyz + 2qzx + 2rxy = download by : skknchat@gmail.com (3.3) 60 Giao níc C với BC điểm (0 : y1 : z1 ) (0 : y2 : z2 ) thỏa mãn gy + hz + 2pyz = Từ đó, BX BX z1 z2 g CY CY h AZ AZ f · = = Tương tự, · = , · = Ta suy XC X C y1 y2 h YA Y A f ZB Z B g (3.5) Hình 3.4: Các đường níc sinh từ hình vng nội tiếp Đảo lại, kết đúng: Nếu X , X , Y , Y , Z , Z điểm cạnh tam giác (tương ứng) thỏa mãn đẳng thức (3.5) điểm thuộc níc Áp dụng kết ta có hai níc sinh từ hình vng nội tiếp, Hình 3.4 Mệnh đề 3.6 ([3]) Sáu điểm X1 , X2 , Y1 , Y2 , Z1 , Z2 nằm níc thứ có phương trình a2 + σ yz + b2 + σ zx + c2 + σ zx =(x + y + z) [σA (σA + σ) x + σB (σB + σ) y + σC (σC + σ) z] Cơ níc có tâm a2 + σ : b2 + σ : c2 + σ download by : skknchat@gmail.com (3.4) 61 Mệnh đề 3.7 ([3]) Sáu điểm X3 , X4 , Y3 , Y4 , Z3 , Z4 nằm níc thứ hai, có phương trình a2 b2 c2 yz + zx + zx a2 + σ b2 + σ c2 + σ a2 b2 c2 σ(x + y + z) x y z = + 2+ 2 (a + σ) (b + σ) (c + σ) a b c (3.5) Chứng minh Để chứng minh Mệnh đề 3.6, 3.7 ta việc thay tọa độ điểm vào phương trình (3.4), (3.5) tương ứng Ý nghĩa mệnh đề khẳng định tồn níc liên quan đến đường tròn Lucas tam giác Chương đề cập đến vấn đề nhiều vấn đề liên quan đến đường trịn Lucas Đó tồn đường tròn Soddy nội ngoại đường trịn tiếp xúc ngồi xét tới họ đường tròn tiếp xúc đường tròn cho trước Các tính tốn sử dụng tọa độ barycentric thu kết có ích phức tạp: phát tâm vị tự (trong ngồi) cặp đường trịn níc sinh từ đường trịn Lucas download by : skknchat@gmail.com 62 Kết luận Luận văn thu kết sau Trình bày chi tiết đường trịn Lucas tính chất nó, đặc biệt tính chất liên quan đường trịn Lucas đường tròn Apollonius tam giác Bằng cách áp dụng tọa độ barycentric chúng tơi trình bày khái niệm xung quanh đường tròn Lucas, bổ sung tính chất hai khái niệm quan trọng đường tròn đẳng phương Lucas họ đường tròn đồng trục Trong suốt nội dung luận văn, chúng tơi gắn đường trịn Lucas với tâm tam giác (theo danh sách tâm tam giác [4]) Các tính tốn giải tích có giá trị để dẫn tới kết luận hình học Chúng tơi nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: • Đường trịn Lester, Evans, vấn đề liên quan • Đường tròn Tucker, điểm đường thẳng Tucker Mối liên hệ với đường tròn đặc biệt Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Tác giả mong góp ý, bổ sung thầy cô giáo đồng download by : skknchat@gmail.com 63 nghiệp nhằm làm cho kết nghiên cứu hồn chỉnh có ích Xin chân thành cảm ơn download by : skknchat@gmail.com 64 Tài liệu tham khảo [1] Nikolaos Dergiades N., Salazar J., C., (2009), Some Triangle Centers Associated with the Tritangent Circles, Forum Geom., Volume 9, 259–270 [2] Hatzipolakis, A., Yiu, P.,(2001), The Lucas circles, Amer Mathly, 108, 444-446 [3] Moses, P., J., (2005), Circles and Triangle Centers Associated with the Lucas Circles, Forum Geom., Volume 5, 97-106 [4] Kimberling,C.,(2000), Encyclopedia of Triangle Centers, available at http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html [5] Yiu, P.,(2001), Introduction to the Geometry of the Triangle, Florida Atlatic University Lecture Notes download by : skknchat@gmail.com ... tài ? ?Đường tròn Lucas tam giác số vấn đề liên quan? ?? bao gồm cách xác định ba đường trịn Lucas, tâm Lucas, phương trình Lucas, đường trịn đẳng phương Lucas mối liên hệ đường tròn Lucas tâm tam giác. .. tam giác Lucas Đường tròn ngoại tiếp tam giác Lucas gọi đường tròn Lucas download by : skknchat@gmail.com Mỗi tam giác ABC cho trước có tam giác Lucas tương ứng có ba đường tròn Lucas Đường tròn. .. Lucas với tâm tam giác 2.2.1 Đường tròn đẳng phương Lucas 2.2.2 Họ đường tròn đồng trục Schoute Chương Một số vấn đề liên quan 3.1 Đường tròn Lucas đường tròn Soddy