CC BT NG THÙC I SÈ QUAN TRÅNG
BĐt ¯ng thực Cauchy (BĐt ¯ng thực trung bẳnh cởng- trung bẳnh nhƠn, bĐt ¯ng thực AM-GM) GiÊ sỷ a 1 , a 2 , , a n l cĂc số thỹc khổng Ơm Khi õ a 1 +a 2 + +a n n > √ n a 1 a 2 a n (1.1.1)
DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi a 1 =a 2 = =a n
BĐt ¯ng thực Bunyakovsky Vợi mồi bở 2n số thỹc a i , b i , i= 1, n ta cõ
Đu bơng xẩy ra khi tồn tại số t ∈ R sao cho bi = tai hoặc ai = tbi, với i = 1, 2, , n Bất đẳng thức Chebyshev được áp dụng cho hai dãy số a1 > a2 > > an và b1 > b2 > > bn.
(a 1 +a 2 + +a n )(b 1 +b 2 + +b n )≤n(a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) (1.1.3) b) Cho hai dÂy ỡn iằu trĂi chiãu a 1 >a 2 > >a n v b 1 >b 2 > >b n Khi õ
Trong cÊ hai dÔng trản, dĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi a 1 = a 2 = = a n ho°c b 1 = b 2 =b n
BĐt ¯ng thực Nesbitt cho ba số dữỡng GiÊ sỷ a 1 , a 2 , , a n l số thỹc khổng Ơm Khi â a b+c+ b b+c + c a+b > 3
B§t ¯ng thùc Schwarz Cho a 1 , , a n l c¡c sè thüc, b 1 , , b n l c¡c sè d÷ìng,x ∈ N ∗ Khi â a 2 1 b 1 + a 2 2 b 2 + + a 2 n b 2 = (a 1 +a 2 + +a n ) 2 b 1 +b 2 + +b n (1.1.6) DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi a 1 =a 2 = =a n
BĐt ¯ng thực Bernoulli Vợi x >−1, ta luổn cõ i)(1 +x) α ≤1 +αx vợi 0< α 1 +αx vợi α 1.
CC CặNG THÙC LìẹNG GIC
Cho α v β l nhỳng gõc lữủng giĂc sao cho cĂc cổng thực cõ nghắa Ta cõ
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản bao gồm: a) sin²α + cos²α = 1; b) tanα = sinα/cosα; c) tanαcotα = 1; d) 1/cos²α = 1 + tan²α; e) 1/sin²α = 1 + cot²α Đối với các công thức lượng giác cho góc tổng và hiệu, ta có: a) sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ; b) cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ; c) tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ).
Cổng thực gõc nhƠn ổi: a) sin 2α = 2 sinαcosα (1.2.3) b) cos 2α= cos 2 α−sin 2 α= 2 cos 2 α−1 = 1−2 sin 2 α (1.2.4) c) tan 2α= 2 tanα
Cổng thực hÔ bêc: a) sin 2 α= 1−cos 2α
13a) sin 3α=−4 sin 3 α+ 3 sinα (1.2.7a) 13b) cos 3α = 4 cos 3 α−3 cosα (1.2.7b) Liản hằ giỳa sin 2α,cos 2α v tanα: a) sin 2α= 2 tanα
Cổng thực bián ời tẵch th nh tờng: a) cosαcosβ = 1
2[sin(α−β) + sin(α+β)] (1.2.9c) Cổng thực bián ời tờng th nh tẵch: a) sinα+ sinβ= 2 sinα+β
2 (1.2.10d) e) tanα±tanβ = sin(α±β) cosαcosβ (1.2.10e)
CĂc hằ thực lữủng giĂc cỡ bÊn trong tam giĂc: a) sinA+ sinB + sinC = 4 cosA
2 (1.2.11a) b) sin 2A+ sin 2B + sin 2C = 4 sinAsinBsinC (1.2.11b) c) sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C= 2(1 + cosAcosBcosC) (1.2.11c) d) cosA+ cosB + cosC= 1 + 4 sin A
2 (1.2.11d) e) cos 2A+ cos 2B+ cos 2C =−1−4 cosAcosBcosC (1.2.11e) f) cos 2 A+ cos 2 B+ cos 2 C = 1−2 cosAcosBcosC (1.2.11f) g)Vợi mồi tam giĂc ABC khổng vuổng, ta cõ tanA+ tanB+ tanC = tanAtanBtanC (1.2.11g) h) cotA
2 = 1 (1.2.11i) l) cotAcotB+ cotBcotC+ cotCcotA= 1 (1.2.11j) m) tan 2A+ tan 2B+ tan 2C = tan 2Atan 2Btan 2C (1.2.11k)
CC H THÙC LìẹNG Cè BN TRONG TAM GIC
Mực n y tôm tự mởt số hằ thực lữủng cỡ bên trong tam giác chứng minh các kết quả sau đây Tứ Ơy và sau ta sẽ sử dụng các khẳng định sau đây.
•a, b, c lƯn lữủt l ở d i cĂc cÔnh BC, CA, AB cừa tam giĂcABC;
•p, S (hay S ABC ) lƯn lữủt l nỷa chu vi, diằn tẵch cừa tam giĂcABC, p= a+b+c
•r, R lƯn lữủt l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi, ngoÔi tiáp cừa tam giĂc ABC;
•m a , h a , l c , r a lƯn lữủt l ở d i ữớng trung tuyán, ữớng cao, ữớng phƠn giĂc v ữớng trỏn b ng tiáp ựng vợi cÔnh BC (hay ¿nh A) cừa tam giĂc ABC;
Trong tam gi¡cABC ta câ ành lẵ h m số sin: a sinA = b sinB = c sinC = 2R (1.3.1) ành lẵ h m số cosin: a 2 =b 2 +c 2 −2bccosA;b 2 =a 2 +c 2 −2accosB;c 2 =a 2 +b 2 −2accosC (1.3.2)
2ab (1.3.3) Cổng thực ữớng trung tuyán: m 2 a = 2(b 2 +c 2 )−a 2
4 (1.3.4) ành lẵ h m số tang: a−b a+b tanA−B 2 tanA+B 2
2 (1.3.5) ành lẵ vã hẳnh chiáu: a=b.cosC+c.cosB =r cotB
CĂc cổng thực tẵnh diằn tẵch tam giĂc:
Tứ Ơy ta cõ cĂc hằ quÊ sau Ơy: h a = 2p p(p−a)(p−b)(p−c) a , (1.3.8)
BĂn kẵnh ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc:
BĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc: r= (p−a) tanA
BĂn kẵnh ữớng trỏn b ng tiáp tam giĂc: r a =ptanA
Cổng thực ữớng phƠn giĂc: l a 2bccosA
Ta cõ mởt số hằ quÊ ỡn giÊn sau Ơy: a+b+c= 2p; (1.3.14) ab+bc+ca=p 2 + 4Rr+r 2 ; (1.3.15) abc= 4pRr (1.3.16)
Thêt vêy, ¯ng thực Ưu tiản l hiºn nhiản Tứ hai cổng thực tẵnh diằn tẵch tam giĂc ABC trong (1.3.7): S ∆ABC =pr= abc
4R ta suy raabc = 4pRr M°t khĂc, cụng tứ (1.3.7) ta cõ
S 2 =p 2 r 2 =p(p−a)(p−b)(p−c)⇔ pr 2 =p 3 −(a+b+c)p 2 + (ab+bc+ca)p−abc
⇔ pr 2 =p 3 −2p 3 + (ab+bc+ca)p−4pRr
Do â ab+bc+ca=p 2 + 4Rr+r 2
TNH CHT NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA
Phương trình bậc ba có dạng ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, trong đó a, b, c, d là các hệ số thực Phương trình này có ba nghiệm x1, x2, x3, có thể là nghiệm thực hoặc nghiệm phức Để tìm nghiệm của phương trình bậc ba, cần áp dụng các phương pháp giải như phương pháp Cardano hoặc sử dụng công thức nghiệm Các nghiệm này thỏa mãn các tính chất nhất định liên quan đến hệ số của phương trình.
T 3 =x 1 x 2 x 3 =−c (1.4.2c) Êo lÔi, náu ba số phực x 1 , x 2 , x 3 thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt (1.4.2a),(1.4.2b),(1.4.2c) thẳ chúng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba x 3 +ax 2 +bx+c= 0.
Chứng minh rằng với ba nghiệm \( x_1, x_2, x_3 \) của phương trình bậc ba, ta có thể phân tách nó thành tích của ba yếu tố như sau: \( x^3 + ax^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \).
So sĂnh cĂc hằ số cừa ỗng nhĐt thực, ta i án cĂc tẵnh chĐt (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c).
Tứ ba tẵnh chĐt cỡ bÊn (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) kết hợp với các tẵnh chĐt ối xựng cừa nghiằm, cho phép suy ra các kát quÊ dữợi Ơy Các kát quÊ này rất có ích cho việc nghiệm cựu phương trình bậc ba và chứng minh các hằng thực trong tam giác, hướng tròn.
Mằnh ã 1.2 Vợi cĂc kẵ hiằu nhữ trản, ta cõ a) T 4 = 1 x1
Mằnh ã 1.3 Ta cõ a) T 9 =x 3 1 +x 3 2 +x 3 3 =−a 3 + 3ab−3c; (1.4.4a) b) T10 = (x1+x2−x3)(x2+x3 −x1)(x3+x1−x2) =a 3 −4ab+ 8c; (1.4.4b) c) T 11 = (x 1 +x 2 )(x 2 +x 3 )(x 3 +x 1 ) = −ab+c; (1.4.4c) d) Vợi mồi số thỹc k, l, ta cõ
T 12 = (k+lx 1 )(k+lx 2 )(k+lx 3 ) = k 3 −k 2 la−kl 2 b−l 3 c (1.4.4d) Chùng minh a) Ta câ
Hằ quÊ 1.4 Tứ (1.4.4d) ta suy ra hằ quÊ quan trồng thữớng ữủc sỷ dửng º tẳm ra cĂc hằ thực mợi trong tam giĂc nhữ sau:
Mằnh ã 1.5 Ta cõ a) T13 =x 2 1 x 2 2 +x 2 2 x 2 3 +x 2 3 x 2 1 =b 2 −2ac; (1.4.5a) b) T 14 =x 4 1 +x 4 2 +x 4 3 =a 4 −4a 2 b+ 2b 2 +ac (1.4.5b)
Mằnh ã 1.6 Ta cõ a)T 15 = x 1 +x 2 x 3 + x 2 +x 3 x 1 + x 3 +x 1 x 2 = ab c −3 (1.4.6a) b)T 16 = 1 x 1 +x 2 + 1 x 2 +x 3 + 1 x 3 +x 1 = a 2 +b c−ab (1.4.6b) c)T 17 = x 1 x 2 +x 3 + x 2 x 3 +x 1 + x 3 x 1 +x 2 = a 3 −2ab+ 3c ab−c (1.4.6c) d)T 18 = x1x2 x 3 +x2x3 x 1 +x3x1 x 2 = 2a− b 2 c (1.4.6d) e)T 19 = 1 x 1 x 2 + 1 x 2 x 3 + 1 x 3 x 1 = a c (1.4.6e) f)T 20 = x1 x 2 x 3 + x2 x 3 x 1 + x3 x 1 x 2 = 2b−a 2 c (1.4.6f) g)T 21 = 1 x 2 1 + 1 x 2 2 + 1 x 2 3 = b 2 c 2 − 2a c (1.4.6g)
Vẳ T(x 1 , x 2 , x 3 ) l a thực ối xựng thuƯn nhĐt bêc 6 nản ta cõ thº phƠn tẵch theo cĂc a thùc èi xùng cì sð T 1 =x 1 +x 2 +x 3 ;T 2 =x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 ;T 3 =x 1 x 2 x 3 nh÷ sau
Do T(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 −x 2 ) 2 (x 2 −x 3 ) 2 (x 3 −x 1 ) 2 cõ bêc cao nhĐt ối vợi tứng bián x 1 , x 2 , x 3 l 4nản a 1 =a 2 = 0 Khi õ ta cõ
T(x 1 , x 2 , x 3 ) = a 3 T 1 2 T 2 2 +a 4 T 2 3 +a 5 T 1 3 T 3 +a 6 T 3 2 +a 7 T 1 T 2 T 3 º tẳm cĂc hằ sốa 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 ta cho(x 1 , x 2 , x 3 )lƯn lữủt nhên cĂc giĂ trà(0,1,−1),(0,1,1),
Suy ra a 4 = −4 Tữỡng tỹ vợi cĂc trữớng hủp cỏn lÔi, ta ữủc a 3 = 1, a 5 = −4, x 6 −27, a 7 = 18 Khi â
Mằnh ã 1.8 Náu phữỡng trẳnh bêc ba ax 3 +bx 2 +cx+d = 0(a6= 0) cõ hai nghiằm thỹc phƠn biằt x 1 , x 2 thẳ x 1 x 2 ≥ 4ac−b 2
Chựng minh GiÊ sỷ x 1 , x 2 l hai nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh bêc ba  cho Khi õ ta câ ax 3 1 +bx 2 1 +cx 1 +d= 0; ax 3 2 +bx 2 2 +cx 2 +d= 0.
Trứ hai vá cừa phữỡng trẳnh trản, ta ữủc a(x 3 1 −x 3 2 ) +b(x 2 1 −x 2 2 ) +c(x 1 −x 2 ) = 0.
Vẳ x 1 , x 2 l hai nghiằm phƠn biằt nản chia hai vá cừa phữỡng trẳnh trản cho x 1 −x 2 ,ta ữủc a(x 2 1 +x 1 x 2 +x 2 2 ) +b(x 1 +x 2 ) +c= 0.
Theo giÊ thiát x 1 , x 2 l tỗn tÔi nản ta cõ ∆ = b 2 − 4a(c− ax 1 x 2 ) ≥ 0, tực l x 1 x 2 ≥ 4ac−b 2
Hằ quÊ 1.9 a) Náu phữỡng trẳnh bêc ba ax 3 +b 2 +cx+d = 0(a 6= 0) cõ ba nghiằm thỹc phƠn biằt thẳ
4a 2 b−12ac+ 3b 2 ≥0. b) Náu phữỡng trẳnh bêc ba x 3 +ax 2 +bx+c = 0 cõ ba nghiằm thỹc phƠn biằt thẳ x 1 x 2 ≥ 4b−a 2
Chựng minh a) Vẳ ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba l thỹc phƠn biằt nản x 1 x 2 ≥ 4ac−b 2
4a 2 Cởng cĂc bĐt ¯ng thực trản ta ữủc x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 ≥34ac−b 2
4a 2 ⇔4a 2 b−12ac+ 3b 2 ≥0. b) GiÊ sỷ x 1 , x 2 , x 3 l hai nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh bêc ba x 3 +ax 2 +bx+c= 0 Khi â x 3 1 +ax 2 1 +bx 1 +c= 0; x 3 2 +ax 2 2 +bx 2 +c= 0.
Trứ theo vá hai phữỡng trẳnh trản ta ữủc
Vẳ x 1 , x 2 l hai nghiằm phƠn biằt nản chia hai vá cừa phữỡng trẳnh trản cho x 1 −x 2 ,ta ữủc
Theo giÊ thiát x 1 , x 2 tỗn tÔi nản ta cõ ∆ =a 2 −4(b−x 1 x 2 )≥0, tực l x1x2 ≥ 4b−a 2
4 Chùng minh t÷ìng tü ta câ x 2 x 3 ≥ 4b−a 2
4 Cởng 3 bĐt ¯ng thực trản ta ữủc x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 ≥3.4b−a 2
4 ⇔3a 2 + 4a−12b ≥0. ành lỵ 1.10 (ành lẵ Sturm vã nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba) Phữỡng trẳnh x 3 +ax 2 + bx+c= 0 (vợi cĂc hằ số thỹc a, b, c) cõ ba nghiằm thỹc x 1 , x 2 , x 3 khi v ch¿ khi
Chứng minh rằng với phương trình bậc ba \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) (với các hệ số thực a, b, c), có ba nghiệm thực \( x_1, x_2, x_3 \) thỏa mãn bất đẳng thức \( (x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^2 - 4a^3c + a^2b^2 + 18abc - 4b^3 - 27c^2 \geq 0 \) cho mọi hệ số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện thiết yếu.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét bất đẳng thức Ngữủc lÔi, giÊ sỷ −4a 3 c+a 2 b 2 + 18abc−4b 3 −27c 2 ≥0 trong trường hợp phương trình bậc ba x 3 +ax 2 +bx+c= 0, với các hệ số thực a, b, c Phương trình này có ba nghiệm phân biệt, bao gồm một nghiệm thực x1 và hai nghiệm phức x2 = A + Bi, x3 = A − Bi, với B khác 0 Chúng ta sẽ phân tích các điều kiện cần thiết để bất đẳng thức này được thỏa mãn.
0;x 1 x 2 x 3 =−c > 0.
Phương trình bậc ba \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\) có ba nghiệm thực nếu và chỉ nếu các điều kiện (1.4.8) và (1.4.9) được thỏa mãn, với \(x_1 \leq 0\) và \(x_3 + ax_2 + bx + c < 0\) Điều này dẫn đến việc các nghiệm của phương trình phải là các số dương Hình 1.12 minh họa rằng ba nghiệm của phương trình bậc ba sẽ tạo thành các đỉnh của một tam giác khi điều kiện (1.4.10) \(a^3 - 4ab + 8c > 0\) được đáp ứng Chúng ta sẽ chứng minh điều này theo (1.3.11).
Náu cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh x 3 +ax 2 +bx+c= 0 l ở d i ba cÔnh cừa tam giĂc thẳ chúng l nhỳng số thỹc dữỡng v thọa mÂn bĐt ¯ng thực tam giĂc
Suy ra (x 1 +x 2 −x 3 )(x 2 +x 3 −x 1 )(x 3 +x 1 −x 2 ) = a 3 −4ab+ 8c > 0 iãu n y chựng tọ (1.4.8), (1.4.9) v (1.4.10) thọa mÂn.
Ngữủc lÔi, ta cõ (1.4.8) v (1.4.9) suy ra nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc bax 3 +ax 2 +bx+c0 l nhúng sè thüc d÷ìng.
Theo điều kiện x 1 + x 2 − x 3 ≤ 0, có một bất đẳng thức thực cần thỏa mãn là x 1 + x 3 − x 2 ≤ 0 Từ hai bất phương trình này, ta suy ra x 1 ≤ 0, dẫn đến mâu thuẫn trong các giá trị của biến Điều này chứng tỏ rằng ba nghiệm thực của phương trình bậc ba x 3 + ax 2 + bx + c = 0 phải nằm trong một tam giác Kết luận cho thấy rằng các nghiệm này phải nằm trong ba cạnh của tam giác.
MÈI LIN H GIÚA CC NGHIM CÕA MËT SÈ PH×ÌNG TRNH BC
SÈ PH×ÌNG TRNH BC BA
Trong mối liên hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc ba, nếu biết ba nghiệm của phương trình, ta có thể xây dựng được một phương trình bậc ba mới thông qua các nghịch đảo, tổng, và các bậc phương của các nghiệm đó Những mối quan hệ này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của phương trình bậc ba và cách mà các nghiệm liên kết với nhau.
Mằnh ã 1.13 Náux 1 , x 2 , x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) vợic6= 0 thẳ 1 x 1 , 1 x 2 , 1 x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 +b ct 2 +a ct+1 c = 0 (1.5.1)
Chựng minh Vẳ c 6= 0 nản (1.4.1) khổng cõ nghiằm x = 0 Thay x = 1 t v o phữỡng trẳnh (1.4.1) ta ữủc 1 t 3 +a1 t 2 +b1 t +c= 0,tữỡng ữỡng vợi (1.5.1).
Vẵ dử Cho phữỡng trẳnh bêc ba x 3 +x 2 −3x−2 = 0.
Ta cõ thº kiºm tra ữủc phữỡng trẳnh bêc ba 2x 3 + 3x 2 −x −1 = 0 cõ ba nghiằm l
2 Thayx= 1 t v o phữỡng trẳnh x 3 +x 2 −3x−2 = 0,ta ữủc 1 t
Vêy phữỡng trẳnh ban Ưu cõ ba nghiằm phƠn biằt l 2
Mằnh ã 1.14 Náux 1 , x 2 , x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) thẳx 1 +x 2 , x 2 +x 3 , x 3 + x 1 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 + 2at 2 + (a 2 +b)t+ (ab−c) = 0 (1.5.2)
Chựng minh GiÊ sỷ x1, x2, x3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) °t t1 =x1+x2, t2 x2+x3, t3 =x3+x1.Tứ (1.4.2a)-(1.4.2c) ta cõ
Theo ành lẵ Vi±te Êo vã nghiằm cừa phữỡng trẳnh, t 1 =x 1 +x 2 , t 2 =x 2 +x 3 , t 3 =x 3 +x 1 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.5.2).
Vẵ dử Nghiằm cừa phữỡng trẳnh 3x 3 + 3x 2 −x−1 = 0ữủc suy ra tứ nghiằm cừa phữỡng trẳnh x 3 + 2x 2 +2
Sỷ dửng cổng thực nghiằm bêc hai, ta suy ra phữỡng trẳnh trản cõ 3 nghiằm phƠn biằt x 1 = 0, x 2 = −3 +√
Nhên thĐy, cĂc hằ số cừa phữỡng trẳnh trản lƯn lữủt l 1, a= 1, b= 1
3. CĂc hằ số cừa phữỡng trẳnhx 3 + 2x 2 +2
3 =a 2 +b, c 1 0 = ab−c Gồi x 1 , x 2 , x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh x 3 +x 2 −1
Vêy phữỡng trẳnh 3x 3 + 3x 2 −x−1 = 0 cõ 3 nghiằm phƠn biằt l −√
Nhên x²t 1.15 Vợi 2a =a 1 , a 2 +b= b 1 ,−c=c 1 , náu x 1 , x 2 , x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh x 3 +a 1 x 2 +b 1 x+c 1 = 0 thẳ t 1 = −x 1 +x 2 +x 3
2 , t 3 = x 1 +x 2 −x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 +at 2 +bt+c= 0 2
Mằnh ã 1.16 Náu x 1 , x 2 , x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) thẳ x 2 1 , x 2 2 , x 2 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −(a 2 −2b)t 2 + (b 2 −2ac)t−c 2 = 0 (1.5.3)
Chựng minh GiÊ sỷx 1 , x 2 , x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) °tt i =x 2 i , i= 1,2,3.
Tứ cĂc tẵnh chĐt 5,13 v 3 ta cõ
Theo ành lẵ Vi±te Êo vã nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 1 , t 2 , t 3 phÊi l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.5.3), ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 1.17 Náu x1, x2, x3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) thẳ x1x2, x2x3, x3x1 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 −bt 2 +act−c 2 = 0 (1.5.4)
Chựng minh GiÊ sỷ x1, x2, x3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) °t t1 = x1x2, t2 x2x3, t3 =x3x1 Tứ (1.4.2a)-(1.4.2c) ta cõ
Theo ành lẵ Vi±te Êo, x 1 x 2 , x 2 x 3 , x 3 x 1 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.5.4).
Mằnh ã 1.18 Náu x 1 , x 2 , x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) thẳ t 1 =x 1 (x 2 +x 3 ), t 2 =x 2 (x 3 +x 1 ), t 3 =x 3 (x 1 +x 2 ) l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −2bt 2 + (b 2 +ac)t+ (c 2 −abc) = 0 (1.5.5)
Chựng minh GiÊ sỷ x 1 , x 2 , x 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4.1) Tứ tẵnh chĐt 1, 2, 3 ta câ
Theo ành lẵ Vi±te Êo vã nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba, ta cõ t 1 =x 1 (x 2 +x 3 ), t 2 =x 2 (x 3 +x 1 ), t 3 =x 3 (x 1 +x 2 ) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.5.5).
PH×ÌNG TRNH BC BA V H THÙC LìẹNG TRONG TAM GIC
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một số phương trình bậc ba và các hệ số chứa nó, bao gồm chu vi p, bán kính hướng tròn ngoài tiếp R và bán kính hướng tròn nội tiếp r Các yếu tố của tam giác như cạnh, hướng cao, hướng trung tuyến, bán kính hướng tròn bên ngoài, bán kính hướng tròn nội tiếp và các hình lục giác của các góc sẽ được phân tích Từ đó, kết hợp với các tính chất của phương trình bậc ba nêu trong chương 1, chúng tôi suy ra một số hệ thực liên quan đến các yếu tố này Nội dung bài viết này sẽ tham khảo từ [2].
PH×ÌNG TRNH BC BA V CC H THÙC LIN QUAN N CC ×ÍNG CÕA TAM GIC
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo cÔnh tam giĂc
Mằnh ã 2.1 a) a, b, c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −2pt 2 + (p 2 + 4Rr+r 2 )t−4pRr = 0 (2.1.1) b) 1 a,1 b,1 c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 + 4Rr+r 2
Chựng minh a) Theo ành lẵ Vi±te, a, b, c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh x 3 −(a+b+c)x 2 + (ab+bc+ca)x−abc = 0.
Tứ (1.3.14)-(1.3.16) ta suy ra kát quÊ. b) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.1), ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.2 a) a+b, b+c, c+a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −4pt 2 + (5p 2 + 4Rr+r 2 )t−2p(p 2 + 2Rr+r 2 ) = 0 (2.1.3) b) 1 a+b, 1 b+c, 1 c+a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 5p 2 + 4Rr+r 2
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.1.1), Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.3) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.3 a) a 2 , b 2 , c 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −2(p 2 −4Rr−r 2 )t 2 + [(p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 −16p 2 Rr]t−16p 2 R 2 r 2 = 0 (2.1.5) b) 1 a 2 , 1 b 2 , 1 c 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − (p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 −16p 2 Rr
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.16 cho phữỡng trẳnh (2.1.1), Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.5) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.4 a) ab, bc, ca l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −(p 2 + 4Rr+r 2 )t 2 + 8p 2 Rrt−16p 2 R 2 r 2 = 0 (2.1.7) b) 1 ab, 1 bc, 1 ca l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 1 2Rrt 2 +p 2 + 4Rr+r 2
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.17cho phữỡng trẳnh (2.1.1), Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.7) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.5 a) CĂc giĂ trà a(b+c), b(c+a), c(a+b) l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 −2(p 2 + 4Rr+r 2 )t 2 + [(p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 + 8p 2 Rr]t−8p 2 Rr(p 2 + 2Rr+r 2 ) = 0 (2.1.9) b) 1 a(b+c), 1 b(a+c), 1 c(a+b) l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − (p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 + 8p 2 Rr
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.18 cho phữỡng trẳnh (2.1.1), Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.9) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.6 a) (a+b)(b+c),(b+c)(c+a),(c+a)(a+b)l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 −(5p 2 + 4Rr+r 2 )t 2 + 8p 2 (p 2 + 2Rr+r 2 )t−4p 2 (p 2 + 2Rr+r 2 ) 2 = 0 (2.1.11) b) a 2 b 2 , b 2 c 2 , c 2 a 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −[(p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 −16p 2 Rr]t 2 + 32p 2 R 2 r 2 (p 2 −4Rr−r 2 )t−256p 4 R 4 r 4 = 0 (2.1.12) c) 1
(c+a) 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.17 cho phữỡng trẳnh (2.1.3), Mằnh ã 1.16 cho phữỡng trẳnh (2.1.7) v Mằnh ã 1.16 cho phữỡng trẳnh (2.1.4) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.7 a) x=p−a, y =p−b, z =p−c l nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 −pt 2 +r(4R+r)t−pr 2 = 0 (2.1.14) b) 1 x = 1 p−a,1 y = 1 p−b,1 z = 1 p−c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 4R+r pr t 2 + 1 r 2 t− 1 pr 2 = 0 (2.1.15)
Chựng minh a) Thay t =p−(p−t) v o phữỡng trẳnh (2.1.1) ta ữủc
Ta °t p−t=T Khi õ phữỡng trẳnh trản trð th nh
Khai triºn v thu gồn, ta ữủc phữỡng trẳnh
Vẳ a, b, c l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1.1) nản x =p−a, y =p−b, z =p−c l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1.14). b) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.14), ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.8 a) x 2 = (p−a) 2 , y 2 = (p−b) 2 , z 2 = (p−c) 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 −(p 2 −8Rr−2r 2 )t 2 +r 2 [(4R+r) 2 −2p 2 ]t−p 2 r 4 = 0 (2.1.16) b) 1 x 2 = 1
(p−a) 2 , 1 y 2 = 1 (p−b) 2 , 1 x 2 = 1 (p−c) 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − (r+ 4R) 2 −2p 2 p 2 r 2 t 2 +p 2 −8Rr−2r 2 p 2 r 4 t− 1 p 2 r 4 = 0 (2.1.17)
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.16 cho phữỡng trẳnh (2.1.14)v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.16) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.9 a) xy= (p−a)(p−b), yz = (p−b)(p−c), zx= (p−c)(p−a) l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 −r(4R+r)t 2 +p 2 r 2 t−p 2 r 4 = 0 (2.1.18) b) 1
(p−c)(p−a) hay 1 xy, 1 yz, 1 zx l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 − 1 r 2 t 2 +4R+r p 2 r 3 t− 1 p 2 r 4 = 0 (2.1.19)
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.17 cho phữỡng trẳnh (2.1.14) v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.18) ta ữủc kát quÊ.
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo ữớng cao tam giĂc 22
Mằnh ã 2.10 a) h a , h b , h c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 + 4Rr+r 2
R = 0 (2.1.20) b) 1 h a , 1 h b , 1 h c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 1 rt 2 +p 2 + 4Rr+r 2
2p 2 r 2 = 0 (2.1.21) Chựng minh a) Vẳ a l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1.1) nản ta cõ a 3 −2pa 2 + (p 2 + 4Rr+r 2 )a−4pRr = 0
Tứ cổng thực tẵnh diằn tẵch tam giĂc S = 1
2ah a =pr ta suy ra a = 2pr h a Thay a= 2pr h a v o phữỡng trẳnh trản ta cõ
⇔(2pr) 3 −2p(2pr) 2 h a + 2pr(p 2 + 4Rr+r 2 )h 2 a −4pRrh 3 a = 0
R = 0. iãu n y chựng tọ h a l nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 − p 2 + 4Rr+r 2
Tữỡng tỹ, h a , h b cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản Tực l h a , h b , h c l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.3.1). b) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.20), ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.11 a) h 2 a , h 2 b , h 2 c l nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −
R 2 = 0 (2.1.22) b) 1 h 2 a , 1 h 2 b , 1 h 2 c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −4Rr−r 2
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.16 cho phữỡng trẳnh 2.1.20) v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.22) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.12 a) h a h b , h b h c , h c h a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 2p 2 r
R 2 = 0 (2.1.24) b) 1 h a h b , 1 h b h c , 1 h c h a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 + 4Rr+r 2
4p 4 r 4 = 0 (2.1.25)Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.17cho phữỡng trẳnh (2.1.20) v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.1.24) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.13 a) h a +h b , h b +h c , h c +h a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 + 4Rr+r 2
R 2 (p 2 + 2Rr+r 2 ) = 0 (2.1.26) b) 1 h a + 1 h b , 1 h b + 1 h c , 1 h c + 1 h a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 − 2 rt 2 +5p 2 + 4Rr+r 2
4p 2 r 3 = 0 (2.1.27) c) h a h b +h b h c , h b h c +h c h a , h c h a +h a h b l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 − 4p 2 r
R 3 = 0 (2.1.28) d) 1 h a h b + 1 h b h c , 1 h b h c + 1 h c h a , 1 h c h a + 1 h a h b l nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 − p 2 + 4Rr+r 2
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.14 cho cĂc phữỡng trẳnh (2.1.20), (2.1.21), (2.1.24) v (2.1.25) ta ữủc kát quÊ.
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo ữớng trung tuyán 24
Trong mửc n y, ngo i cĂc kẵ hiằu cĂc ữớng trung tuyán ta cỏn dũng thảm cĂc kỵ hiằu α=−3
4 p 2 R 2 r 2 Mằnh ã 2.14 a) CĂc giĂ trà m 2 a , m 2 b , m 2 c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 +αt 2 +βt+γ = 0 (2.1.30) b) 1 m 2 a , 1 m 2 b , 1 m 2 c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 + β γt 2 +α γt+ 1 γ = 0 (2.1.31)
Chựng minh a) Ta chựng minh Mằnh ã trản theo ành lẵ Vi±te Êo.
Theo cổng thực ữớng trung tuyán, ta cõ m 2 a = 2(b 2 +c 2 )−a 2
M theo hằ thực (2.1.46) a 2 +b 2 +c 2 = 2(p 2 −r 2 −4Rr),nản m 2 a +m 2 b +m 2 c = 3
Tứ hằ thực (2.1.47) ta suy ra m 2 a m 2 b +m 2 b m 2 c +m 2 c m 2 a = 3
Trong bài viết này, chúng ta xem xét biểu thức toán học 64[−4(a² + b² + c²)³ + 18(a² + b² + c²)(a²b² + b²c² + c²a²)−27a²b²c²] Theo các công thức (1.3.16), (2.1.46) và (2.1.47), ta có abc = 4pRr, a² + b² + c² = 2(p² − 4Rr − r²), và a²b² + b²c² + c²a² = (p² + 4Rr + r²)² − 16p²Rr Đặc biệt, m²a m²b m²c = −γ Dựa vào hình học của tam giác, chúng ta có thể áp dụng các công thức này để thu được kết quả cụ thể từ phương trình (2.1.30).
Mằnh ã 2.15 a) m 2 a +m 2 b , m 2 b +m 2 c , m 2 c +m 2 a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 + 2αt 2 + (α 2 +β)t+αβ−γ = 0 (2.1.32) b) m 4 a , m 4 b , m 4 c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −(α 2 −2β)t 2 + (β 2 −2αγ)t−γ 2 = 0 (2.1.33) c) m 2 a m 2 b , m 2 b m 2 c , m 2 c m 2 a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −βt 2 +αγt−γ 2 = 0 (2.1.34)
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.14, 1.16 v 1.17 v o phữỡng trẳnh (2.1.30) ta ữủc kát quÊ.
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo ữớng phƠn giĂc 26
Trong mửc n y, ngo i cĂc kỵ hiằu l a , l b , l c ta cƯn thảm λ=−(p 2 +r 2 + 4Rr) 2 p 2 +r 2 + 2Rr + 2Rr
Mằnh ã 2.16 a) Bẳnh phữỡng cĂc ữớng phƠn giĂc l a 2 , l 2 b , l 2 c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh t 3 +λt 2 +àt+ω = 0 (2.1.35) b) 1 l 2 a , 1 l 2 b , 1 l c 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 + à ωt 2 + λ ωt+ 1 ω = 0 (2.1.36)
Chựng minh a) Ta chựng minh bơng ành lẵ Viet± Êo, tực l chựng minh l 2 a +l b 2 +l 2 c =−λ;l 2 a l 2 b +l 2 b l 2 c +l 2 c l 2 a =à;l 2 a l b 2 l 2 c =−ω.
Tứ cổng thực ữớng phƠn giĂc ta cõ l 2 a = 4bcp(p−a)
p dửng cĂc hằ thực (1.3.16), (2.1.48) v (2.1.49) v o cổng thực trản ta cõ l 2 a +l b 2 +l 2 c = 2p.4pRr.
Tứ cổng thực ữớng phƠn giĂc v (2.1.43) v (1.3.16), ta cõ l a 2 l 2 b l 2 c = 64a 2 b 2 c 2 p 2 S 2
M°t khĂc, theo cĂc hằ thực (2.1.62), (2.1.66), (2.1.67), °t
Theo ành lẵ Vi±te Êo, l a 2 , l 2 b , l c 2 l cĂc nghiằm cừa (2.1.35). b) p dửng Mằnh ã 1.13 v o phữỡng trẳnh (2.1.35), ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.17 đưa ra các phương trình bậc ba với các nghiệm liên quan đến các biến l a, l b, l c Cụ thể, phương trình (2.1.37) có dạng t^3 + 2λt^2 + (λ^2 + a)t + (λa - ω) = 0, trong khi phương trình (2.1.38) là t^3 - (λ^2 - 2a)t^2 + (a^2 - 2λω)t - ω^2 = 0 Cuối cùng, phương trình (2.1.39) được biểu diễn dưới dạng t^3 - at^2 + λωt - ω^2 = 0 Chứng minh cho thấy rằng việc áp dụng các Mằnh ã 1.14, 1.16 và 1.17 cho các phương trình này dẫn đến kết quả chính xác.
Hằ thống b i têp cĂc hằ thực vã cĂc ữớng cừa tam giĂc
Hằ thực vã cĂc cÔnh cừa tam giĂc
B i 2.1 Chựng minh trong tam giĂc ABC ta luổn cõ
•ab 2 c+abc 2 +a 2 bc= 8p 2 Rr; 1 ab 2 c+ 1 abc 2 + 1 a 2 bc = p 2 + 4Rr+r 2
•ab(b+c)(c+a) +bc(c+a)(a+b) +ca(a+b)(b+c) = (p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 + 8p 2 Rr;
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.1.2), (2.1.3), , (2.1.13) ta ữủc kát quÊ.
GiÊi a) CĂch 1 p dửng (1.4.3b) cho phữỡng trẳnh (2.1.3) ho°c (1.4.3c) cho phữỡng trẳnh (2.1.1) ta ữủc hằ thực cƯn chựng minh.
CĂch 2 Sỷ dửng cĂc hằ thực (1.3.15) v (2.1.46) ta cõ
Vêy (2.1.50) ữủc chựng minh. b) Chùng minh t÷ìng tü c¥u a).
GiÊi a) p dửng (1.4.4a) v o phữỡng trẳnh (2.1.1) ta ữủc kát quÊ.
Sau Ơy ta trẳnh b y mởt cĂch chựng minh khĂc Tứ hơng ¯ng thực Ôi số v cĂc hằ thùc (1.3.14), (2.1.43) ta suy ra a 3 +b 3 +c 3 = (a+b+c) 3 −3(a+b)(b+c)(c+a) = (2p) 3 −3.2p(p 2 + 2Rr+r 2 )
= 2p(p 2 −6Rr−3r 2 ). b) p dửng (1.4.3b) cho phữỡng trẳnh (2.1.5), ta cõ a 4 +b 4 +c 4 = 4(p 2 −r 2 −4Rr) 2 −2[(p 2 +r 2 + 4Rr) 2 −16p 2 Rr]
B i 2.4 Chùng minh a(b−c) 2 +b(c−a) 2 +c(a−b) 2 = 2p(p 2 −14Rr+r 2 ) (2.1.54) GiÊi p dửng hằ thực (1.3.14), (2.1.46),(1.3.16),(2.1.52) ta cõ
2 +ac 2 +ba 2 +ca 2 +cb 2 −6abc+a 3 +b 3 +c 3 −(a 3 +b 3 +c 3 )
B i 2.5 (Ôi hồc DƠn lêp Hũng Vữỡng, Ban B, 2000) Chựng minh rơng
GiÊi X²t ph²p bián ời y =t 2 +p 2 + 4Rr+r 2 XƠy dỹng phữỡng trẳnh bêc ba cõ hằ số tỹ do l 4p 2 (p 2 + 2Rr+r 2 ) 2 nhên y 1 =a 2 +p 2 + 4Rr+r 2 ;y 2 =b 2 +p 2 + 4Rr+r 2 ;y 3 =c 2 +p 2 + 4Rr+r 2 l m ba nghiằm Khi õ, theo (1.4.2c) ta cõ
Thêt vêy, vẳ a,b,c l ba nghiằm cừa (2.1.1) nản ta cõ
( t 3 −2pt 2 + (p 2 +r 2 + 4Rr)t−4Rrp= 0 t 3 + (p 2 +r 2 + 4Rr)t−yt= 0.
Suy ra 2pt 2 −yt+ 4Rrp= 0 Thay t 2 =y−p 2 −r 2 −4Rr v o phữỡng trẳnh trản ta cõ t= 2py−4Rrp−2r 2 p−2p 3 y
Tiáp tửc, thay t = 2py−4Rrp−2r 2 p−2p 3 y v oy=t 2 +p 2 + 4Rr+r 2 ta ữủc
GiÊ sỷ y 1 , y 2 , y 3 l ba nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba trản Khi õ y 1 y 2 y 3 = 4p 2 (p 2 + 2Rr+r 2 ) 2 Vêy hằ thực (2.1.56) ữủc chựng minh xong.
B i 2.7. a) ab c +bc a + ca b = (p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 −16p 2 Rr
4pRr (2.1.57) b) (b+c) 2 bc +(c+a) 2 ca + (a+b) 2 ab = p 2 + 10Rr+r 2
GiÊi a) p dửng (1.4.6d) v o phữỡng trẳnh (2.1.1) ta cõ kát quÊ. b) p dửng (1.4.6a) v o (2.1.1) ta ữủc a+b c + b+c a + a+c b = p 2 −2Rr+r 2
B i 2.8 Chựng minh rơng trong mởt tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực sau
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt v o cĂc phữỡng trẳnh (2.1.14), (2.1.15), , (2.1.19) ta ữủc cĂc ¯ng thực trản.
GiÊi p dửng (1.4.4a) v o phữỡng trẳnh (2.1.14), ta cõ kát quÊ.
Vêy (2.1.66) ữủc chựng minh. b) Theo (2.1.66) ta câ a 2 p−a+ b 2 p−b + c 2 p−c + (a+b+c) = a 2 p−a+a+ b 2 p−b +b+ c 2 p−c +c
Vêy a 2 p−a + b 2 p−b + c 2 p−c =p4R−2r r −(a+b+c) = p4R−2r r −2p= 4p(R−r) r c) p dửng (1.4.4c) v o phữỡng trẳnh (2.1.15), ta cõ kát quÊ. d) p dửng (1.4.6d) v o phữỡng trẳnh (2.1.14), ta cõ kát quÊ.
GiÊi a) p dửng (1.4.6f) v o phữỡng trẳnh (2.1.14) ta cõ kát quÊ. b) Theo (2.1.70) v (2.1.63) ta câ p−a (p−b)(p−c) + p−b
(p−a)(p−b) = 2(4R+r) pr Vêy (2.1.71) ữủc chựng minh.
Hằ thực vã cĂc ữớng cao
B i 2.12 Chựng minh rơng trong mởt tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực sau:
•(h a +hb)(hb+hc) + (hb+hc)(hc+ha) + (hc+ha)(ha+hb) p 2 + 4Rr+r 2
•(h a +hb)(hb+hc)(hc+ha) = p 2 r
R 2 (p 2 −4Rr−r 2 );hah 2 b hc+hah b h 2 c +h 2 a h b hc= p 2 r 2 (p 2 + 4Rr+r 2
•(h a h b +h b hc)(h b hc+hcha) + (h b hc+hcha)(hcha+hah b )
+ (hcha+hah b )(hah b +h b hc) = p 2 r 2 (5p 2 + 4Rr+r 2
•(h a h b +h b hc)(h b hc+hcha)(hcha+hah b ) = 2p 4 r 3 (p 2 + 2Rr+r 2
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.1.20), (2.1.21), , (2.1.29) ta ữủc kát quÊ.
GiÊi a) Suy ra tứ phữỡng trẳnh (2.1.73) v (2.1.74). b) p dửng (1.4.4a) v o phữỡng trẳnh (2.1.20) ta cõ kát quÊ.
GiÊi Ta cõ thº Ăp dửng (1.4.3d) v o phữỡng trẳnh (2.1.20) º chựng minh Sau Ơy ta trẳnh b y c¡ch chùng minh kh¡c.
Gi£i Theo (2.1.43) v (2.1.78) ta câ h a +h b a+b +h b +h c b+c + h c +h a c+a p 2 r(p 2 + 2Rr+r 2 )
(2.1.85) GiÊi CĂch 1 Tứ (1.3.14)v (2.1.40) ta cõ
So sĂnh hai kát quÊ trản ta cõ (2.1.85).
CĂch 2 Theo cổng thực tẵnh diằn tẵch2S =ah a =bh b =ch c ta cõ
Hằ thực vã cĂc ữớng trung tuyán
B i 2.17 Chựng minh rơng trong mởt tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực sau: m 2 a +m 2 b +m 2 c =−α; (2.1.86) m 2 a m 2 b +m 2 b m 2 c +m 2 c m 2 a =β; (2.1.87) m 2 a m 2 b m 2 c =−γ;
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) v o phữỡng trẳnh (2.1.30), (2.1.31), , (2.1.34) ta ữủc kát quÊ.
Hằ thực vã cĂc ữớng phƠn giĂc
B i 2.18 Chựng minh rơng trong mởt tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực sau: l a 2 +l 2 b +l c 2 =−λ;l 2 a l b 2 +l 2 b l c 2 +l 2 c l a 2 =à;l a 2 l 2 b l 2 c =−ω;
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.1.35), (2.1.36), , (2.1.39) ta ữủc kát quÊ.
1 a +1 b l c = 2√ p rp−a bc + rp−b ca + rp−c ab
GiÊi Ta cõ cổng thực ữớng phƠn giĂc l a = 2 b+c pbcp(p−a).Suy ra
1 b + 1 c l a = b+c bc l a = 2 pbcp(p−a) bc = 2√ p rp−a bc
1 a +1 b l c = 2√ p rp−c ab Cởng cĂc vá ba ¯ng thực trản ta ữủc kát quÊ.
PH×ÌNG TRNH BC BA V CC H THÙC LIN QUAN N BN KNH CC ×ÍNG TRÁN NËI, NGOI V BNG TIP
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo bĂn kẵnh ữớng trỏn
ữớng trỏn b ng tiáp tam giĂc
Trong mửc n y, ta kẵ hiằu r a , r b , r c lƯn lữủt l bĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn b ng tiáp tữỡng ựng vợi cĂc cÔnh a, b, c cừa tam giĂcABC.
Mằnh ã 2.19 a) r a , r b , r c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −(4R+r)t 2 +p 2 t−p 2 r = 0 (2.2.1) b) 1 r a , 1 r b , 1 r c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 1 rt 2 + 4R+r p 2 r t− 1 p 2 r = 0 (2.2.2)
Chựng minh a) Theo cổng thực tẵnh diằn tẵch tam giĂc ABC, ta cõ
(p −a)r a = pr hay 1 x = 1 p−a = r a pr Vẳ 1 x = 1 p−a l nghiằm cừa (2.1.15) nản thay 1 p−a = r a pr v o (2.1.15) ta ữủc r a pr
Tữỡng tỹ vợi r b , r c ta cõr a , r b , r c l nghiằm cừa (2.2.1). b) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.2.1) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.20 a) r a 2 , r b 2 , r 2 c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −[(4R+r) 2 −2p 2 ]t 2 + [p 4 −2p 2 r(4R+r)]t−p 4 r 2 = 0 (2.2.3) b) 1 r a 2 , 1 r b 2 , 1 r c 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −2r(4R+r) p 2 r 2 t 2 +(4R+r) 2 −2p 2 p 4 r 2 t− 1 p 4 r 2 = 0 (2.2.4)
Chựng minh p dửng Mằnh ã 1.16 lƯn lữủt v o cĂc phữỡng trẳnh (2.2.1) v (2.2.2) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.21 a) r a r b , r b r c , r c r a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −p 2 t 2 +p 2 r(4R+r)t−p 4 r 2 = 0 (2.2.5) b) 1 r a r b , 1 r b r c , 1 r c r a l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −4R+r p 2 r t 2 + 1 p 2 r 2 t− 1 p 4 r 2 = 0 (2.2.6)
Chứng minh rằng các biểu thức \( r_a + r_b \), \( r_b + r_c \), \( r_c + r_a \) là các nghiệm của phương trình bậc ba \( t^3 - 2(4R+r)t^2 + [(4R+r)^2 + p^2]t - 4Rp^2 = 0 \) Đồng thời, các biểu thức \( r_a r_b + r_b r_c \), \( r_b r_c + r_c r_a \), \( r_c r_a + r_a r_b \) là các nghiệm của phương trình \( t^3 - 2p^2 t^2 + [p^4 + p^2 r(4R+r)]t - 4p^4 Rr = 0 \) Ngoài ra, các biểu thức \( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} \), \( \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} \), \( \frac{1}{r_c} + \frac{1}{r_a} \) cũng là các nghiệm của phương trình \( t^3 - 2rt^2 + p^2 + 4Rr + r^2 \frac{p^2}{r^2} t - 4R \frac{p^2}{r^2} = 0 \) Cuối cùng, các biểu thức \( \frac{1}{r_a r_b} + \frac{1}{r_b r_c} \), \( \frac{1}{r_b r_c} + \frac{1}{r_c r_a} \), \( \frac{1}{r_c r_a} + \frac{1}{r_a r_b} \) cũng là các nghiệm của phương trình bậc ba \( t^3 - 2(4R+r) p^2 r t^2 + \ldots \).
Chứng minh rằng áp dụng Mạnh 1.14 và 1.18 cho phương trình (2.2.1) cho phép ta rút ra kết quả a) và b) Đối với phương trình (2.2.2), áp dụng Mạnh 1.14 cũng mang lại kết quả k Phần d) có thể được suy ra bằng cách áp dụng Mạnh 1.14 vào phương trình (2.2.6) hoặc Mạnh 1.18 vào phương trình (2.2.5).
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo bĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn nởi, ngoÔi tiáp tam giĂc
cĂc ữớng trỏn nởi, ngoÔi tiáp tam giĂc
Mằnh ã 2.23 a) r−a, r−b, r−cl cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 + (2p−3r)t 2 + (p 2 + 4r 2 + 4Rr−4pr)t−r(2r 2 +p 2 −4pR+ 4Rr−2pr) = 0 (2.2.11) b) 1 r−a, 1 r−b, 1 r−c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 + 4r 2 + 4Rr−4pr r(2r 2 +p 2 −4pR+ 4Rr−2pr)t 2 − 2p−3r r(2r 2 +p 2 −4pR+ 4Rr−2pr)t
Chựng minh a) Trong phữỡng trẳnh (2.1.1), thay t=r−(r−t) ta ữủc
[r−(r−t)] 3 −2p[r−(r−t)] 2 + (p 2 +r 2 + 4Rr)[r−(r−t)]−4prR= 0. º cho gồn, °t r−t=T Khi õ ta nhên ữủc phữỡng trẳnh
Khai triºn cĂc hơng ¯ng thực v thu gồn, ta ữủc phữỡng trẳnh
T 3 + (2p−3r)T 2 + (p 2 + 4r 2 + 4Rr−4pr)T −r(2r 2 +p 2 −4pR+ 4Rr−2pr) = 0.
Vẳ a, b, c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1.1) nản (r−a),(r−b),(r−c) l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2.11). b) p dửng Mằnh ã 1.13 v o phữỡng trẳnh (2.2.11) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.24 a) R−a, R−b, R−c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 + (2p−3R)t 2 + (p 2 −4pR+ 3R 2 + 4Rr+r 2 )t
R−c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −4pR+ 3R 2 + 4Rr+r 2
Chựng minh a) Trong phữỡng trẳnh (2.1.1) thay t bði R−(R−t)ta ữủc
[R−(R−t)] 3 −2p[R−(R−t)] 2 + (p 2 + 4Rr+r 2 )[R−(R−t)]−4pRr = 0. º cho gồn, °t R−t=T.Khi õ ta thu ữủc phữỡng trẳnh
Khai triºn cĂc hơng ¯ng thực v thu gồn, ta ữủc phữỡng trẳnh
T 3 + (2p−3R)T 2 + (p 2 −4pR+ 3R 2 + 4Rr+r 2 )T −R(p 2 −2pR−4pr+R 2 + 4Rr+r 2 ) = 0.
Vẳ a, b, c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1.1) nản R−a, R−b, R−c l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2.13). b) p dửng Mằnh ã 1.13 v o phữỡng trẳnh (2.2.13) ta ữủc kát quÊ.
Hằ thống b i têp cĂc hằ thực vã bĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn b ng tiáp, nởi, ngoÔi tiáp cừa tam giĂc
b ng tiáp, nởi, ngoÔi tiáp cừa tam giĂc
Hằ thực chựa bĂn kẵnh ữớng trỏn b ng tiáp
B i 2.20 Chựng minh rơng trong mởt ữớng trỏn b ng tiáp tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực sau:
=p 4 +p 2 r(4R+r); (rarb+rbrc)(rbrc+rcra)(rcra+rarb) = 4p 4 Rr;
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.2.1), (2.2.2), , (2.2.6) ta ữủc kát quÊ.
GiÊi Do x+y+z = (p−a) + (p−b) + (p−c) =p nản theo (2.1.62) ta cõ
M theo (2.2.15) ta câ r a +r b +r c r = 4R+r r Vêy (2.2.24) ữủc chựng minh.
B i 2.22. a) S=√ rr a r b r c (2.2.25) b) (r−r a )(r−r b )(r−r c ) = −4Rr 2 (2.2.26) c) 4R(r a r b +r b r c +r c r a ) = (r a +r b )(r b +r c )(r c +r a ) (2.2.27) Gi£i a) C¡ch 1 Düa v o (2.2.17) ta câ
S=pr=p p 2 r 2 =p r(p 2 r) = √ rr a r b r c CĂch 2 Tứ cổng thực diằn tẵch ta cõ
Suy ra rr a r b r c = S 4 p(p−a)(p−b)(p−c) =S 2 Vêy S =√ rrarbrc. ¯ng thực (2.2.25) ữủc chựng minh. b) Do ra.rb, rc l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2.1) nản ta cõ f(t) = t 3 −(4R+r)t 2 +p 2 t−p 2 r = (t−ra)(t−rb)(t−rc).
Thay t=r v o ¯ng thực trản ta ữủc (2.2.26). c) Düa v o (2.2.16) v (2.2.20) ta câ (2.2.27).
GiÊi p dửng (1.4.4a) v o phữỡng trẳnh (2.2.1) ta cõ (2.2.28).
GiÊi a) Suy ra tứ (2.1.75) v (2.2.18). b) Theo (2.2.23) ta câ
1 r a 2 + 1 r 2 b + 1 r 2 c = (p 2 −8Rr−2r 2 ) p 2 r 2 M°t kh¡c, theo (2.1.80) ta l¤i câ
GiÊi p dửng (1.4.6a) v o phữỡng trẳnh (2.2.1) ta cõ r b +r c r a +r c +r a r b + r a +r b r c = 4R r −2.
(ra−rb) 2 r a r b +(rb−rc) 2 r b r c +(rc−ra) 2 r c r a ra r b −2 + rb r a
= ra+rc r b + ra+rb r c +rb+rc r a −6 4R r −2
Vêy ¯ng thực (2.2.32) ữủc chựng minh. b) p dửng (1.4.6f) v o phữỡng trẳnh (2.2.1) ta cõ (2.2.33).
GiÊi a) CĂch 1 Vẳr a , r b , r c l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2.1) nản phƠn tẵch ra thứa số ta ữủc f(t) = t 3 −(4R+r)t 2 +p 2 t−p 2 r = (t−r a )(t−r b )(t−r c ).
LĐy Ôo h m hai vá ta cõ f 0 (t) = 3t 2 −2(4R+r)t+p 2 = (t−rb)(t−rc) + (t−rc)(t−ra) + (t−ra)(t−rb). Chia hai vá cho f(t), suy ra f 0 (t) f(t) = 3t 2 −2(4R+r)t+p 2 f(t) = 1 t−r a + 1 t−r b + 1 t−r c
CĂch 2 Vẳ r a , r b , r c l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2.1) nản phƠn tẵch ra thứa số ta ữủc f(t) = t 3 −(4R+r)t 2 +p 2 t−p 2 r = (t−r a )(t−r b )(t−r c ).
Vêy (2.2.34) ữủc chựng minh. b) Vẳ r a , r b , r c l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.2.1) nản phƠn tẵch ra thứa số ta ữủc f(t) = t 3 −(4R+r)t 2 +p 2 t−p 2 r = (t−r a )(t−r b )(t−r c ).
2Rr 2 Vêy ¯ng thực (2.2.35) ữủc chựng minh.
Hằ thực vã bĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn nởi, ngoÔi tiáp tam giĂc
B i 2.29 Chựng minh rơng trong mởt ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực sau: (r−a) + (r−b) + (r−c) = 3r−2p;
1 r−a + 1 r−b + 1 r−c = p 2 + 4r 2 + 4Rr−4pr r(2r 2 +p 2 −4pR+ 4Rr−2pr); 1
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.2.11), (2.2.12) ta ữủc kát quÊ.
(r−b)(r−a) = 2p 2 +r 2 −8Rr−4pr r(2r 2 +p 2 −4pR+ 4Rr−2pr). GiÊi p dửng (1.4.6f) v o phữỡng trẳnh (2.2.11), ta ữủc kát quÊ.
B i 2.31 Chựng minh rơng trong mởt ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực sau:
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.2.13), (2.2.14) ta ữủc kát quÊ.
GiÊi p dửng (1.4.3b) v o phữỡng trẳnh (2.2.13) ta ữủc kát quÊ.
R(p 2 −2pR−4pr+R 2 + 4Rr+r 2 ).GiÊi p dửng (1.4.6f) v o phữỡng trẳnh (2.2.13), ta ữủc kát quÊ.
2.3 PH×ÌNG TRNH BC BA V CC H THÙC
V CC GÂC CÕA TAM GIC
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo h m sin cĂc gõc
Mằnh ã 2.25 a) sinA,sinB,sinC l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p
2R 2 = 0 (2.3.1) b) 1 sinA, 1 sinB, 1 sinC l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −p 2 + 4Rr+r 2
Chựng minh a) Do a, b, cl cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1.1) nản ta cõ a 3 −2pa 2 + (p 2 + 4Rr+r 2 )a−4pRr = 0.
Thay a= 2RsinA tứ ành lẵ h m số sin v o phữỡng trẳnh trản ta ữủc
(2RsinA) 3 −2p(2RsinA) 2 + (p 2 + 4Rr+r 2 )(2RsinA)−4pRr = 0
Vêy sinA l nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p
Tữỡng tỹ, sinA,sinB cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba (2.3.1). b) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.1) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.26 a) sinA+ sinB,sinB+ sinC,sinC+ sinA l cĂc nghiằm cừa t 3 − 2p
4R 3 = 0 (2.3.3) b) 1 sinA+ sinB, 1 sinB+ sinC, 1 sinC+ sinA l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − R(5p 2 + 4Rr+r 2 ) p(p 2 + 2Rr+r 2 ) t 2 + 8R 2 p 2 + 2Rr+r 2 t− 4R 3 p(p 2 + 2Rr+r 2 ) = 0 (2.3.4)
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.3.1) v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.3) ta ữủc kát quÊ.
1 sinC + 1 sinA l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 + 4Rr+r 2 pr t 2 +
Chựng minh p dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.3.2) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.28 a) sin 2 A,sin 2 B,sin 2 C l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −4Rr−r 2
16R 4 t−p 2 r 2 4R 4 = 0 (2.3.6) b) 1 sin 2 A, 1 sin 2 B, 1 sin 2 C l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − (p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 −16p 2 Rr
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.16 cho phữỡng trẳnh (2.3.1), Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.6) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.29 a) sinAsinB,sinBsinC,sinCsinA l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 + 4Rr+r 2
4R 4 = 0 (2.3.8) b) 1 sinAsinB, 1 sinBsinC, 1 sinCsinA l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 2R r t 2 +R 2 (p 2 +r 2 + 4Rr) p 2 r 2 t− 4R 4 p 2 r 2 = 0 (2.3.9)
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.18 cho phữỡng trẳnh (2.3.1) v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.8) ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 2R−r
, 1 sin 2 C 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −8Rr+r 2 r 2 t 2 +8R(2R−r) r 2 t−16R 2 r 2 = 0 (2.3.11)
Chựng minh a) Vẳ cosA = 1−2 sin 2 A
2 nản trong phữỡng trẳnh (2.3.15) thay t bði 1−2t ta ữủc
Rút gồn, ta ữủc (2.3.10). b) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.10 ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −2R−r
(2.3.12) Chựng minh p dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.3.10) ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −8Rr+r 2
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −8R(2R−r) r 2 t 2 + 16R 2 (p 2 −8Rr+r 2 ) r 4 t− 256R 4 r 4 = 0 (2.3.14)
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.17 cho phữỡng trẳnh (2.3.10) v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.13) ta ữủc kát quÊ.
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo h m cổsin cĂc gõc 49
Mằnh ã 2.33 a) cosA,cosB,cosC l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −R+r
4R 2 = 0 (2.3.15) b) Vợi tam giĂc ABC khổng vuổng thẳ 1 cosA, 1 cosB, 1 cosC l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −4R 2 +r 2 p 2 −(2R+r) 2 t 2 + 4R(R+r) p 2 −(2R+r) 2 t− 4R 2 p 2 −(2R+r) 2 = 0 (2.3.16)
Chựng minh Theo ành lẵ h m số sin ta cõ a = 2RsinA= 2R√
1−cos 2 A Tứ (1.3.11) ta suy ra p−a=rcot A
⇔p 2 = 4R 2 (1−cosA)(1 + cosA) + 4Rr(1 + cosA) +r 2 1 + cosA
⇔p 2 (1−cosA) = 4R 2 (1−cosA) 2 (1 + cosA) + 4Rr(1−cos 2 A) +r 2 (1 + cosA)
Do õcosAl nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.3.15) Tữỡng tỹ, ta cụng cõcosB,cosCl nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.3.15). b) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.15) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.34 a) cosA+ cosB,cosB+ cosC,cosC+ cosAl cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −2(R+r)
4R 3 (p 2 + 2Rr+r 2 ) = 0 (2.3.17) b) 1 cosA+ cosB, 1 cosB+ cosC, 1 cosC+ cosA l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − R(p 2 + 8Rr+ 5r 2 ) r(p 2 + 2Rr+r 2 ) t 2 + 8R 2 (R+r) r(p 2 + 2Rr+r 2 )t− 4R 3 r(p 2 + 2Rr+r 2 ) = 0 (2.3.18)
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.3.15) v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.17) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.35 a) cosAcosB,cosBcosC,cosCcosA l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −4R 2 +r 2
16R 4 = 0 (2.3.19) b) Vợi tam giĂc ABC khổng vuổng thẳ 1 cosAcosB, 1 cosBcosC, 1 cosCcosA l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 4R(R+r) p 2 −(2R+r) 2 t 2 +4R 2 (p 2 −4R 2 +r 2
[p 2 −(2R+r) 2 ] 2 = 0 (2.3.20)Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.17 cho phữỡng trẳnh (2.3.15) v Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.19) ta ữủc kát quÊ.
Mằnh ã 2.36 a) cos 2 A,cos 2 B,cos 2 C l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −6R 2 + 4Rr−p 2 +r 2
(2.3.21) b) Vợi tam giĂc ABC khổng vuổng thẳ 1 cos 2 A, 1 cos 2 B, 1 cos 2 C l cĂc phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −(p 2 −4R 2 +r 2 ) 2 −4R(R+r)[p 2 −(2R+r) 2 ]
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.16 cho phữỡng trẳnh (2.3.15) v Mằnh ã 1.13 ta cõ (2.3.21) ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −4R+r
, 1 cos 2 C 2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −p 2 + (4R+r) 2 p 2 t 2 + 8R(4R+r) p 2 t− 16R 2 r 2 = 0 (2.3.24)
Chùng minh a)Ta câ sin 2 A
2 nản trong phữỡng trẳnh (2.3.10) thay t bði 1−t v ỡn giÊn biºu thực ta ữủc phữỡng trẳnh (2.3.23). b) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.23) ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 4R+r
GiÊi p dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.3.23) ta ữủc kát quÊ.
Phữỡng trẳnh bêc ba cõ nghiằm l cĂc yáu tố theo h m tang ho°c cổtang cĂc gõc
Mằnh ã 2.39 cotA,cotB,cotC l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −4Rr−r 2
Chùng minh Ta câ cotA
Kát hủp vợi cĂc cổng thực a= 2RsinA, p−a =rcotA ta cõ p=a+ (p−a) = 2RsinA+rcotA⇔ p= 2R
Bẳnh phữỡng hai vá v qui ỗng mău ta ữủc
(p−rcotA) 2 (1 + cot 2 A) = 4R 2 + 4Rr(1 + cot 2 A) +r 2 (1 + cot 2 A) 2
Khai triºn v thu gồn, ta ữủc phữỡng trẳnh cot 3 A− p 2 −4Rr−r 2
Vêy cotA l nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba (2.3.30) Tữỡng tỹ,cotB,cotC l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba (2.3.30).
Mằnh ã 2.40 Náu tam giĂc ABC khổng phÊi l tam giĂc vuổng thẳ tanA,tanB,tanC l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 2pr p 2 −(2R+r) 2 t 2 + p 2 −4Rr−r 2 p 2 −(2R+r) 2 t− 2pr p 2 −(2R+r) 2 = 0 (2.3.27)
Chùng minh Do tanA = 1 cotA nản Ăp dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.26) ta cõ (2.3.27).
Mằnh ã 2.41 a) cotA+ cotB,cotB + cotC,cotC+ cotA l cĂc nghiằm cừa t 3 − p 2 −4Rr−r 2 pr t 2 +
# t−2R 2 pr = 0 (2.3.28) b) cot 2 A,cot 2 B,cot 2 C l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −
(2.3.29) c) cotAcotB,cotBcotC,cotCcotA l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −t 2 + (p 2 −4Rr−r 2 )[p 2 −(2R+r) 2 ]
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng cĂc Mằnh ã 1.14, 1.16, 1.17 cho phữỡng trẳnh (2.3.26 ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 4R+r p t 2 +t− r p = 0 (2.3.31) b) tanA
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −2(4R+r) p t 2 +
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 −t 2 + 4Rr+r 2 p 2 t− r 2 p 2 = 0 (2.3.33)
Chùng minh a) Theo (1.3.11) ta câ r a = ptanA
2 v o phữỡng trẳnh (2.2.1) ta ữủc p 3 tan 3 A
2, l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.3.31). b) p dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.3.31) ta ữủc kát quÊ. c) p dửng Mằnh ã 1.17 cho phữỡng trẳnh (2.3.31) ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p rt 2 +4R+r r t−p r = 0 (2.3.34) b) cotA
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 2p r t 2 +p 2 + 4Rr+r 2 r 2 t−4Rp r 2 = 0 (2.3.35) c) cotA
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 4R+r r t 2 + p 2 r 2 t−p 2 r 2 = 0 (2.3.36)
Chựng minh LƯn lữủt Ăp dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.31), Mằnh ã 1.14 v Mằnh ã 1.17 cho phữỡng trẳnh (2.3.34) ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − (4R+r) 2 −2p 2 p 2 t 2 +p 2 −8Rr−2r 2 p 2 t− r 2 p 2 = 0 (2.3.37) b) tan 2 A
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 2
Chựng minh a) p dửng Mằnh ã 1.16 cho phữỡng trẳnh (2.3.31) ta ữủc kát quÊ. b) p dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.3.37) ta ữủc kát quÊ.
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − p 2 −8Rr−2r 2 r 2 t 2 +(4R+r) 2 −2p 2 r 2 t− p 2 r 2 = 0 (2.3.39) b) cot 2 A
2 l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh bêc ba t 3 − 2(p 2 −8Rr−2r 2 ) r 2 t 2 +
Chựng minh a) p dửng Mằnh ã 1.13 cho phữỡng trẳnh (2.3.38) ta ữủc kát quÊ. p dửng Mằnh ã 1.14 cho phữỡng trẳnh (2.3.39) ta ữủc kát quÊ.
Hằ thống b i têp mởt số hằ thực lữủng giĂc trong tam giĂc
Hằ thực lữủng giĂc chựa h m sin cĂc gõc
B i 2.34 Chựng minh rơng trong tam giĂc ABC ta cõ cĂc ¯ng thực lữủng giĂc sau:
•(sinA+ sinB)(sinB+ sinC) + (sinB+ sinC)(sinC+ sinA)
+ (sinC+ sinA)(sinA+ sinB) = 5p 2 + 4Rr+r 2
•(sinA+ sinB)(sinB+ sinC)(sinC+ sinA) = p(p 2 + 2Rr+r 2 )
• 1 sinA+ sinB + 1 sinB+ sinC + 1 sinC+ sinA = R(5p 2 + 4Rr+r 2 ) p(p 2 + 2Rr+r 2 ) ;
(sinC+ sinA)(sinA+ sinB) = 8R 2 p 2 + 2Rr+r 2 ;
•sin 2 Asin 2 B+ sin 2 Bsin 2 C+ sin 2 Csin 2 A= (p 2 + 4Rr+r 2 )−16p 2 Rr
• 1 sin 2 A + 1 sin 2 B + 1 sin 2 C = (p 2 + 4Rr+r 2 ) 2 −16p 2 Rr
• 1 sin 2 Asin 2 B + 1 sin 2 Bsin 2 C + 1 sin 2 Csin 2 A = 2R 2 (p 2 −4Rr−r 2 ) p 2 r 2 ; (2.3.48)
•sinAsin 2 BsinC+ sinAsinBsin 2 C+ sin 2 AsinBsinC = p 2 r
• 1 sinAsin 2 BsinC + 1 sinAsinBsin 2 C + 1 sin 2 AsinBsinC = R 2 (p 2 +r 2 + 4Rr) p 2 r 2
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.3.1), (2.3.2), ,(2.3.9) ta ữủc kát quÊ.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá hai tam giác ABC và A'B'C' có mối liên hệ với nhau Chứng minh rằng chu vi của chúng bằng nhau khi điều kiện sinA + sinB + sinC = sinA' + sinB' + sinC' được thỏa mãn Theo công thức (2.3.41), chúng ta có sinA + sinB + sinC = p.
R. Hỡn nỳa, theo giÊ thiát suy ra2p= 2p 0 ⇔sinA+ sinB+ sinC = sinA 0 + sinB 0 + sinC 0
GiÊi a) Suy ra tứ cổng thực (1.2.11b) v hằ thực (2.3.43) b) Sỷ dửng cổng thực gõc nhƠn ba (1.2.7a) v cĂc hằ thực (2.3.41), (2.3.55) ta cõ sin 3A+ sin 3B + sin 3C= 3(sinA+ sinB+ sinC)−4(sin 3 A+ sin 3 B + sin 3 C)
Chựng minh a) Tứ ¯ng thực (2.3.46) suy ra asinA+bsinB+csinC = 2R(sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C) = 2R.p 2 −4Rr−r 2
R b) Tứ ành lẵ h m số sin v hằ thực (1.3.15) ta cõ asinB+bsinC+csinC =a b
2R c) Theo ành lẵ h m số sin v (2.3.50) ta cõ acosA+bcosB+ccosC = 2RsinAcosA+ 2RsinBcosB + 2RsinCcosC
Chựng minh a) Tứ ành lẵ h m sin v hằ thực (2.1.52) ta cõ a 3 +b 3 +c 3 = 2p(p 2 −6Rr−3r 2 )⇔(2RsinA) 3 + (2RsinB) 3 + (2RsinC) 3 = 2p(p 2 −6Rr−3r 2 )
Vêy (2.3.55) ữủc chựng minh. b) p dửng (1.4.5b) v o phữỡng trẳnh (2.3.1) ta cõ sin 4 A+ sin 4 B+ sin 4 C
B i 2.39. sinA+ sinB sinC + sinB+ sinC sinA + sinC+ sinA sinB = p 2 −2Rr+r 2
Chựng minh p dửng (1.4.6a) v o phữỡng trẳnh (2.3.1) ta cõ sinA+ sinB sinC +sinB+ sinC sinA +sinC+ sinA sinB −p R p 2 + 4Rr+r 2
Hằ thực lữủng giĂc chựa bẳnh phữỡng h m sin cĂc nỷa gõc
B i 2.40 Chựng minh rơng trong mởt tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực lữủng giĂc sau:
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.3.10), (2.3.11), ,(2.3.14) ta ữủc kát quÊ.
4R.¯ng thực n y hiºn nhiản úng.
Vêy (2.3.62) ữủc chựng minh. b) p dửng (1.4.3b) v o phữỡng trẳnh (2.3.10) ta cõ sin 4 A
GiÊi Tứ (2.3.65) v (2.3.60) ta thĐy rơng 2.3.64) tữỡng ữỡng vợi R+r
4R.¯ng thực n y hiºn nhiản úng Vêy (2.3.64) ữủc chựng minh.
Hằ thực lữủng giĂc chựa cổsin cĂc gõc
B i 2.43 Chựng minh rơng trong tam giĂc ABC ta luổn cõ cĂc ¯ng thực lữủng giĂc sau:
•(cosA+ cosB)(cosB+ cosC) + (cosB+ cosC)(cosC+ cosA)
+ (cosC+ cosA)(cosA+ cosB) = p 2 + 8Rr+ 5r 2
•(cosA+ cosB)(cosB+ cosC)(cosC+ cosA) = r
•cosAcos 2 BcosC+ cos 2 AcosBcosC+ cosAcosBcos 2 C= (R+r)[p 2 −(2R+r) 2 ]
• 1 cosAcos 2 BcosC + 1 cos 2 AcosBcosC + 1 cosAcosBcos 2 C = 4R 2 (p 2 −4R 2 +r 2
•cos 2 Acos 2 B+ cos 2 Bcos 2 C+ cos 2 Ccos 2 A
• 1 cos 2 Acos 2 B + 1 cos 2 Bcos 2 C + 1 cos 2 Ccos 2 A = 8R 2 (6R 2 + 4Rr−p 2 +r 2 )
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.3.15), (2.3.16), ,(2.3.22) ta ữủc kát quÊ.
GiÊi a) Tứ (2.3.43 v (2.3.67) suy ra sin 2Asin 2Bsin 2C = 8.sinA.cosA.sinB.cosB.sinC.cosC
R 4 b) Sỷ dửng cổng thực bián ời lữủng giĂc v hằ thực (2.3.71) ta cõ sin 4A+ sin 4B+ sin 4C = 2 sin 2(A+B) cos 2(A−B) + 2 sin 2Ccos 2C
=−2 sin 2C(cos 2(A−B)−cos 2(A+B)) = −4 sin 2Csin 2Asin 2B
GiÊi a) Sỷ dửng cĂc ¯ng thực (2.3.65) v (2.3.69) ta ữủc cos 3 A+ cos 3 B+ cos 3 C
= (cosA+ cosB+ cosC) 3 −3(cosA+ cosB)(cosB+ cosC)(cosC+ cosA)
4R 3 b) Theo hằ thực (2.3.70) ta cõ cos 2A+ cos 2B+ cos 2C = (2 cos 2 A−1) + (2 cos 2 B −1) + (2 cos 2 C−1)
R 2 c) Tứ hằ thực (2.3.73), (2.3.67) v cổng thực gõc nhƠn ba (1.2.7b) ta cõ cos 3A+ cos 3B + cos 3C= 4(cos 3 A+ cos 3 B+ cos 3 C)−3(cosA+ cosB+ cosC)
GiÊi a) Cởng vá theo vá 3 ỗng nhĐt thực cos(A−B) = cosAcosB + sinAsinB, cos(B−C) = cosBcosC+ sinBsinC, cos(C−A) = cosCcosA+ sinCsinA. ta ữủc cos(A−B) + cos(B−C) + cos(C−A) = cosAcosB+ sinAsinB+ cosBcosC+ sinBsinC
Tứ (2.3.42) v (2.3.66) ta cõ sinAsinB+ sinBsinC+ sinCsinA= p 2 + 4Rr+r 2
4R 2 Suy ra cos(A−B) + cos(B−C) + cos(C−A) = p 2 + 4Rr+r 2
= 1−(cosA+ cosB+ cosC) + (cosAcosB+ cosBcosC+ cosCcosA)−cosAcosBcosC
Hằ thực chựa bẳnh phữỡng cổsin cĂc nỷa gõc
B i 2.47 Chựng minh rơng trong mởt tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực lữủng giĂc sau:
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.3.23), (2.3.24),(2.3.25) ta ữủc kát quÊ.
GiÊi Theo cổng thực ữớng phƠn giĂc (1.3.13) v cĂc cổng thực (2.1.43), (1.3.16), (2.3.80) ta câ l a l b l c 2bccosA
GiÊi p dửng (1.4.3b) v o phữỡng trẳnh (2.3.23) ta cõ kát quÊ.
Hằ thực lữủng giĂc chựa tang ho°c cổtang cĂc gõc
B i 2.50 Trong tam giĂc ABC ta cõ cĂc ¯ng thực lữủng giĂc sau:
•(cotA+ cotB)(cotB + cotC) + (cotB+ cotC)(cotC+ cotA)
+ (cotC+ cotA)(cotA+ cotB) p 2 −4Rr−r 2
•(cotA+ cotB)(cotB + cotC)(cotC+ cotA) = 2R 2 pr ;
•cot 2 Acot 2 B + cot 2 Bcot 2 C+ cot 2 Ccot 2 A= 1− (p 2 −4Rr−r 2 )(p 2 −(2R+r) 2 )
•cotAcot 2 BcotC+ cotAcotBcot 2 C+ cot 2 AcotBcotC = (p 2 −4Rr−r 2 )[p 2 −(2R+r) 2 ]
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.3.26), (2.3.27), ,(2.3.30) ta ữủc kát quÊ.
B i 2.51. a) cotA+ cotB + cotC = sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C
2 sinAsinBsinC (2.3.87) b) cot 3 A+ cot 3 B+ cot 3 C = (p 2 −4Rr−r 2 ) 3 −48p 2 R 2 r 2
(2R+r) 2 −p 2 (2.3.89) Chựng minh a) p dửng (1.4.6f) v o phữỡng trẳnh (2.3.1) ta ữủc sin 2 A+ sin 2 B+ sin 2 C
2 sinAsinBsinC = sinA sinBsinC + sinB sinAsinC + sinC sinAsinB = p 2 −4Rr−r 2 pr
So sĂnh vợi (2.3.83) ta suy ra kát quÊ. b) p dửng (1.4.4a) v o phữỡng trẳnh (2.3.26) ta cõ kát quÊ. c) Sỷ dửng cổng thực cot 2α= cos 2α sin 2α = cos 2 α−sin 2 α
2(cotα−tanα) v cĂc hằ thực (2.3.83), (2.3.84) ta cõ cot 2A+ cot 2B + cot 2C = 1
2[cotA+ cotB+ cotC−(tanA+ tanB+ tanC)]
(2R+r) 2 −p 2 Vêy ta cõ ữủc kát quÊ.
B i 2.52. cotA+ cotB cotC + cotB + cotC cotA + cotC+ cotA cotB = p 2 −4Rr−r 2 p 2 −(2R+r) 2 −3 (2.3.90) GiÊi p dửng (1.4.6a) v o phữỡng trẳnh (2.3.26) ta ữủc kát quÊ.
[p 2 −(2R+r) 2 ] 2 (2.3.91)GiÊi p dửng (1.4.3b) v o phữỡng trẳnh (2.3.27) ta ữủc kát quÊ.
Hằ thực lữủng giĂc chựa tang hay cổtang cĂc nỷa gõc
B i 2.54 Chựng minh rơng trong mởt tam giĂc ta cõ cĂc ¯ng thực lữủng giĂc sau:
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.3.31), (2.3.34), ,(2.3.36) ta ữủc kát quÊ.
2 = 3 + cosA+ cosB+ cosC sinA+ sinB+ sinC (2.3.98) b) atanA
GiÊi a) Theo cĂc hằ thực (2.3.41), (2.3.65) v (2.3.92) ta cõ
¯ng thực n y hiºn nhiản úng Vêy ta cõ kát quÊ. b) Theo bĐt ¯ng thực (2.3.58) v ành lẵ h m số sin ta cõ atan A
Hằ thực lữủng giĂc chựa bẳnh phữỡng h m tang/cổtang cĂc nỷa gõc
B i 2.56 Chựng minh cĂc ¯ng thực lữủng giĂc sau:
GiÊi p dửng (1.4.2a), (1.4.2b), (1.4.2c) lƯn lữủt cho cĂc phữỡng trẳnh (2.3.37), (2.3.39) ta ữủc kát quÊ.
Chựng minh p dửng (1.4.3b) v o phữỡng trẳnh (2.3.39) ta ữủc kát quÊ.
CC BT NG THÙC TRONG
Dỹa v o cĂc kát quÊ Â biát trong cĂc chữỡng trữợc, chữỡng n y trẳnh b y hằ thống cĂc bĐt ¯ng thực trong tam giĂc Chữỡng n y văn dũng cĂc kỵ hiằu nhữ Â giợi thiằu trong cĂc chữỡng trữợc Nởi dung cừa chữỡng ữủc tham khÊo tứ internet v cĂc t i liằu.
BT NG THÙC V CC ×ÍNG CÕA TAM GIC
BĐt ¯ng thực vã cĂc cÔnh cừa tam giĂc
B i 3.1. ab+bc+ca≤a 2 +b 2 +c 2 0 Theo bĐt ¯ng thực Cauchy cho ba sè d÷ìng ta câ tanA+ tanB+ tanC ≥3√ 3 tanAtanBtanC.
Theo (2.3.84) v (2.3.85) ta cõ tanA+ tanB+ tanC = tanAtanBtanC nản bĐt ¯ng thực trản trð th nh tanA+ tanB+ tanC ≥3√ 3 tanAtanBtanC
⇔(tanA+ tanB+ tanC) 3 ≥27(tanA+ tanB+ tanC)
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. b) Do tam giĂcABC nhồn nảntanA >0,tanB >0,tanC >0.Theo bĐt ¯ng thực (3.2.33) ta câ tanAtanBtanC = tanAtanBtanC ≥3√
Theo bĐt ¯ng thực Cauchy cho ba số dữỡng v bĐt ¯ng thực trản ta cõ tan 8 A+ tan 8 B+ tan 8 C ≥3 3
√ tan 8 Atan 8 Btan 8 C ≥9 tan 2 Atan 2 Btan 2 C.
B§t ¯ng thùc chùa sin A
2R p dửng bĐt ¯ng thực Euler R ≥2r ta cõ
2 = r 4R. p dửng bĐt ¯ng thực Euler R ≥2r ta cõ r
B§t ¯ng thùc cuèi óng theo b§t ¯ng thùc Euler. e) Theo (2.3.63) ta câ sin 4 A
B§t ¯ng thùc n y óng theo b§t ¯ng thùc Euler R ≥ 2r v b§t ¯ng thùc Gerretsen p 2 ≤4R 2 + 4Rr+ 3r 2
Vêy cĂc bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
2 ≤sinAsinB+ sinBsinC+ sinCsinA. b) sin 3 A+ sin 3 B+ sin 3 C ≤(sinA+ sinB+ sinC) sin 2 A
2 R. B§t ¯ng thùc cuèi óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6).
4R 2 ⇔18Rr ≤p 2 +r 2 + 4Rr ⇔14Rr ≤p 2 +r 2 B§t ¯ng thùc cuèi óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6). b) Theo (2.3.41), (2.3.55), (2.3.58) ta câ sin 3 A+ sin 3 B+ sin 3 C ≤(sinA+ sinB+ sinC) sin 2 A
B§t ¯ng thùc cuèi óng theo b§t ¯ng thùc Gerretsen. c) Theo (2.3.67) v (2.3.60) ta câ cosAcosBcosC ≤sinA
B§t ¯ng thùc cuèi óng theo b§t ¯ng thùc (3.1.6).
Vêy cĂc bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
Gi£i Theo (2.3.47) v (2.3.86) ta câ cot 2 A+ cot 2 B+ cot 2 C+ 3 = 1 sin 2 A + 1 sin 2 B + 1 sin 2 C v
2 sinAsinBsinC = sinA+ sinB + sinC sinAsinBsinC
(3.2.39)⇔ 1 sin 2 A + 1 sin 2 B + 1 sin 2 C ≥ 1 sinBsinC + 1 sinCsinA + 1 sinAsinB. BĐt ¯ng thực n y úng vẳ a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+cavợi mồi a, b, c.
Gi£i Theo (2.3.59) ta câ sin 2 A
R óng theo b§t ¯ng thùc Euler.
B§t ¯ng thùc cuèi óng theo b§t ¯ng thùc Gerretsen.
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
⇔2≤ R r óng theo b§t ¯ng thùc Euler.
⇔16Rr−5r 2 ≤p 2 ≤5R 2 + 4Rr−r 2 B§t ¯ng thùcp 2 ≥16Rr−5r 2 l b§t ¯ng thùc Gerretsen.
B§t ¯ng thùcp 2 +r 2 ≤5R 2 + 4Rr l b§t ¯ng thùc (3.1.6).
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
B§t ¯ng thùc chùa cos A
Gi£i a) Theo (2.3.78) ta câ cos 2 A
2R l hiºn nhiản Theo bĐt ¯ng thực Euler ta cõ 4R+r
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. b) cosA
Khai côn hai vá ta ữủc cosA
2 l nhỳng gõc nhồn nản 0