(LUẬN văn THẠC sĩ) về tính quy nghiệm của một lớp phương trình elliptic với dữ liệu độ đo

Toán tử tựa tuyến tính

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic tựa tuyến tính dạng divergence với dữ liệu độ đo.

Toán tử tựa tuyến tính A : Ω × R n → R n trong phương trình (1.1) là hàm Carathộdory, nghĩa là A(ã, ξ) đo được trờnΩ và A(x, ã) liờn tục trờn R n với x ∈ Ω hầu khắp nơi, thỏa mãn hai điều kiện:

|ξ − η| 2 , (1.3) với mọi (ξ, η) ∈R n × R n \ {(0, 0)} và x ∈ R n Trong đó 1 < p ≤ n, ν và ζ là các hằng số dương Với hai điều kiện này, ta thấy hA(x, ξ), ξi ' |ξ| p , ξ ∈R n

Một trong những dạng đặc biệt của phương trình trên là khi

Trong trường hợp này, phương trình (1.1) trở thành phương trình p-Laplace

−∆ p u = à trong Ω, u = 0 trên ∂Ω, trong đó toán tử p-Laplace ∆ p được định nghĩa bởi

Chú ý rằng từ (1.2) và tính liên tục của A theo biến ξ có thể suy ra được

Ánh xạ u 7→ −div(A(x, ∇u)) được xác định là một toán tử cưỡng bức, liên tục, bị chặn và đơn điệu trên không gian W 1,p (Ω) Toán tử này nhận giá trị trong không gian W −1,p 0 (Ω), với p 0 là liên hợp H¨older của p.

Hơn nữa, với mỗi à trong khụng gian W −1,p 0 (Ω), tồn tại duy nhất nghiệm yếu v ∈ W 0 1,p (Ω) của bài toán

(1.4) theo nghĩa phân phối, tức là ˆ

Ω hA(x, ∇v), ∇ϕidx = hà, ϕi, ∀ϕ ∈ W 0 1,p (Ω), với h., i là ký hiệu tích trong giữa W −1,p 0 (Ω) và W 0 1,p (Ω).

Độ đo Radon hữu hạn

Đầu tiên, ta định nghĩa M b (Ω) là không gian các độ đo Radon trên Ω với biến phân bị chặn, C b 0 (Ω) không gian các hàm bị chặn, liên tục trên Ωsao cho ´

Ω ϕdà hữu hạn với mọi ϕ ∈ C b 0 (Ω) và à ∈ M b (Ω) Phần dương, phần õm và biến phõn toàn phần của độ đo à trong M b (Ω) lần lượt được ký hiệu là à + , à − và |à|.

M 0 (Ω) là tập hợp gồm cỏc độ đo à trong M b (Ω) liờn tục tuyệt đối ứng với p-capacity, nghĩa là à(B) = 0 với mỗi tập Borel B ⊂ Ω thỏa món cap p (B, Ω) = 0.

M s (Ω) là tập hợp các độ đo trong M b (Ω) không dị ứng với p-capacity, nghĩa là tồn tại một tập Borel E ⊂ Ω với cap p (E, Ω) = 0 sao cho à(B) = à(E ∩ B) với mọi tập Borel B ⊂ Ω Định nghĩa 1.2.1 ([7]) cho biết rằng dãy à n trong M b (Ω) hội tụ về à trong M b (Ω) nếu lim n→+∞ ˆ.

Chỳ ý 1.2.2 ([7]) chỉ ra rằng nếu \( a_n \) là độ đo khụng õm, thì \( a_n \) hội tụ về \( a \) nếu và chỉ nếu \( a_n(\Omega) \) hội tụ về \( a(\Omega) \) và thỏa mãn điều kiện (1.5) với \( \phi \in C_c^\infty(\Omega) \) Đặc biệt, trong trường hợp \( a_n \leq 0 \), \( a_n \) hội tụ về \( a \) nếu và chỉ nếu thỏa mãn điều kiện (1.5) với \( \phi \in C^\infty(\Omega) \).

Chỳ ý 1.2.3 ([7]) Mỗi độ đo àtrong M b (Ω) tồn tại duy nhất cặp độ đo (à 0 , à s ), với à 0 trong M 0 (Ω) và à s trong M s (Ω), sao cho à = à 0 + à s , à là độ đo khụng õm, à 0 và à s cũng vậy.

Điều kiện p -capacity

Chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm p-capacity với điều kiện độ dày đồng nhất Để bắt đầu, cho p và p₀ là các số thực với 1 ≤ p ≤ n, trong đó p₀ là số liên hợp H¨older của p Chúng tôi định nghĩa p-capacity cap p(B, Ω) của tập B ⊆ Ω như sau.

• p-capacity của tập compact bất kỳ K ⊂ Ω được định nghĩa là cap p (K, Ω) = inf ˆ

, trong đó χ K là hàm đặc trưng trên tập K.

• p-capacity của tập mở bất kỳ U ⊆ Ω được định nghĩa là cap p (U, Ω) = sup cap p (K, Ω), K compact, K ⊆ U

• Kế tiếp, p-capacity của tập bất kỳ B ⊆ Ω được định nghĩa là cap p (B, Ω) = inf cap p (U, Ω), U mở, B ⊆ U

Một hàm u xác định trên Ω được gọi là liên tục capacity nếu với mọi ε > 0, tồn tại tập con B ⊆ Ω với cap p (B, Ω) < ε sao cho hạn chế của hàm u trên tập

Hàm u thuộc không gian W 1,p(Ω) có thể được biểu diễn dưới dạng hàm liên tục capacity, ngoại trừ một tập con có capacity bằng 0 Khi xem xét giá trị tại từng điểm của hàm u trong Ω, ta nhận thấy rằng với mọi tập con B của Ω, giá trị capacity được xác định bởi cap p(B, Ω) = inf.

Trong không gian R^n, phần bù của miền Ω được gọi là thỏa mãn điều kiện p-capacity uniform thickness với các hằng số r_0 và c_0 dương nếu tồn tại các hằng số này sao cho với mọi t nhỏ hơn hoặc bằng r_0 và mọi điểm x thuộc R^n không nằm trong Ω, thì điều kiện cap_p (B_t(x) ∩ R^n \ Ω, B_{2t}(x)) ≥ c_0 cap_p (B_t(x), B_{2t}(x)) luôn được thỏa mãn.

Miền thỏa mãn điều kiện Lipschitz hoặc điều kiện "uniform exterior corkscrew" có sự tồn tại của các hằng số c 0 và r 0 lớn hơn 0 Cụ thể, với mọi 0 < t ≤ r 0 và mọi điểm x thuộc R n \ Ω, sẽ tồn tại một điểm y trong B t (x) sao cho B t/c 0 (y) hoàn toàn nằm trong R n \ Ω.

Nghiệm renormalized

Với mỗi số nguyên k > 0, ta định nghĩa toán tử T k :R → R xác định bởi:

Ta biết toán tử này thuộc không gian Sobolev W 0 1,1 (Ω) với mỗi k > 0 và thỏa mãn

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm đo được ulà định nghĩa trên miền Ω hữu hạn hầu khắp nơi và điều kiện T k (u) thuộc W 0 1,1 (Ω) với mỗi k > 0 Theo định nghĩa 1.4.1, tồn tại duy nhất một hàm v : Ω → R n đo được, với divA(x, ∇T k (u)) = à k trong Ω theo nghĩa phân phối, trong đó à k là độ đo hữu hạn trong Ω.

∇T k (u) = χ {|u|≤k} v, hầu khắp nơi trong Ω, với mỗi k > 0 (1.7)

Hàm đo được u xác định trong Ω và hữu hạn hầu khắp nơi được gọi là nghiệm renormalized của (1.1) nếu T k (u) thuộc W 0 1,p (Ω) với k > 0 bất kỳ Hàmv được gọi là gradient của u, ký hiệu là ∇u, theo nghĩa phân phối.

|∇u| p−1 ∈ L r (Ω) với 0 < r < n−1 n và u có thêm tính chất sau: với k bất kỳ, tồn tại độ đo Radon không âm λ + k , λ − k ∈M 0 (Ω) trên các tập u = k và u = −k tương ứng, sao cho λ + k → à + s , λ − k → à − s và ˆ

Nếu \( a \in M_0(\Omega) \), thì phương trình (1.1) có duy nhất nghiệm được renormalized Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát \( a \in M_b(\Omega) \), bài toán về tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.1) vẫn còn là một vấn đề mở.

Hai mệnh đề dưới đây nêu rõ một số tính chất cơ bản của nghiệm renormalized Để hiểu rõ hơn về chứng minh chi tiết cho hai mệnh đề này, bạn có thể tham khảo tài liệu trong [1] hoặc [7].

Mệnh đề 1.4.3 ([1, 7]) Cho Ω là miền mở bị chặn trong R n Khi đó, tồn tại

C = C(n, p) sao cho nghiệm renormalized u của (1.1) với dữ liệu độ đo à hữu hạn: k∇uk

Mệnh đề 1.4.4 khẳng định rằng nếu \( a \in L^1(\Omega) \) và \( (u_k) \) là nghiệm renormalized của phương trình (1.1) với \( a_k \in L^{p-1}_p(\Omega) \) hội tụ yếu về \( a \) trong \( L^1(\Omega) \), thì tồn tại một dãy \( \{u_{k_0}\} \) hội tụ đến \( u \) trong \( L^s(\Omega) \) là nghiệm renormalized của (1.1) với dữ liệu độ đo \( a \), cho mọi \( s < \frac{(p-1)n}{n-1} \).

Không gian Lorentz

Định nghĩa 1.5.1 ([6]) Cho hai tham số 0 < s < ∞ và 0 < t ≤ ∞ Không gianLorentz L s,t (Ω) được định nghĩa là tập tất cả các hàm g đo được Lebesgue trên

Trong trường hợp t khác vô cực, không gian Marcinkiewicz L s,∞ (Ω) là không gian chứa tất cả các hàm g đo được Lebesgue trên Ω, thỏa mãn điều kiện kgk L s,∞ (Ω) = sup λ>0 λ |{x ∈ Ω : |g(x)| > λ}| 1 s < ∞ Khi t = ∞, không gian này được gọi là không gian L s yếu, với |B| là độ đo Lebesgue của tập B ⊂R n.

Chú ý rằng khis = t thìL s,s (Ω) = L s (Ω) là không gian Lebesgue cổ điển Hơn nữa, với1 < r < s < ∞, ta có liên hệ sau

Các toán tử cực đại

Định nghĩa 1.6.1 ([6]) Ta định nghĩa hàm cực đại bậc không nguyênM α ứng với độ đo hữu hạn à là toỏn tử được xỏc định bởi:

Nếu α = 0 thì M α = M 0 là hàm cực đại Hardy-Littlewood M, được định nghĩa như sau: với mỗi hàm f khả tích địa phương trong R n ,

|f(y)|dy, ∀x ∈R n , trong đó ký hiệuffl

B r (x) f(y)dy là trung bình tích phân của f theo biếny trên quả cầu B r (x), nghĩa là

Toán tử cực đại và toán tử cực đại bậc không nguyên có nhiều ứng dụng trong giải tích điều hòa và phương trình đạo hàm riêng Một trong những tính chất quan trọng của các toán tử này là tính bị chặn trên không gian L p (R n ) với 1 < p ≤ ∞ Cụ thể, tồn tại một hằng số C(n, p) > 0 sao cho kMgk L p ( R n ) ≤ C(n, p)kgk L p ( R n ) cho mọi g thuộc L p (R n ).

Bất đẳng thức không còn đúng khi p = 1 Tuy nhiên, trong trường hợp này, M được xác định là loại yếu (1, 1), tức là tồn tại một hằng số C(n) > 0 sao cho với mọi λ > 0 và g ∈ L 1 (R n), ta có điều kiện cần thiết.

Các kết quả cổ điển về tính bị chặn của các toán tử cực đại trong không gian Lorentz đã được chứng minh trong nhiều tài liệu tham khảo, như [6] và [12] Hai bổ đề dưới đây cung cấp thông tin chi tiết về tính bị chặn của toán tử cực đại trong không gian này, với chứng minh có thể tìm thấy trong tài liệu [6].

Bổ đề 1.6.2 ([6, 12]) Toán tử M là bị chặn từ L s (R n ) vào L s,∞ (R n ) , với s ≥ 1, nghĩa là tồn tại hằng số C > 0 sao cho:

Bổ đề 1.6.3 ([6, 12]) Toán tử M bị chặn trong không gian Lorentz L q,s (R n ) với q > 1, tức là tồn tại hằng số C > 0 sao cho: kMgk L q,s ( R n ) ≤ Ckgk L q,s ( R n ) , (1.12) với mọi g ∈ L q,s (R n )

Chúng ta có thể chứng minh tính bị chặn của toán tử cực đại bậc không nguyên M α Kết quả này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây, với chứng minh được tham khảo từ tài liệu [18] Để đơn giản, chúng ta ký hiệu {x ∈R n : M α f(x) > λ} thay cho {M α (f ) > λ}.

Mệnh đề 1.6.4 ([18]) Cho 0 ≤ α < n, ρ > 0 và x ∈R n Tồn tại hằng số C > 0 sao cho

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh rằng với0 ≤ α < nvà với mọif ∈ L 1 (R n ) , tồn tại hằng số C > 0 sao cho:

Thật vậy, với mỗi x ∈R n , từ định nghĩa của toán tử cực đại bậc không nguyên

Bất đẳng thức này dẫn đến

L 1 ( R n ) o Áp dụng Bổ đề 1.6.2 với s = 1 và λ = kf k − α n−α

Bằng cách thay đổi biến một cách phù hợp, chúng ta có thể áp dụng kết quả cho hàm λ 1 χ B ρ (x) f với mọi λ > 0 thay vì hàm f ∈ L 1 (R n ), từ đó suy ra bất đẳng thức quan trọng sau đây.

Mệnh đề được chứng minh xong.

Đánh giá gradient trong không gian Lorentz 20

Đánh giá địa phương bên trong

Giả sử à ∈ M b (Ω) và u ∈ W loc 1,p (Ω) là nghiệm của phương trỡnh (1.1) Với x 0 ∈ Ω cố định, 0 < 2R ≤ r 0 và quả cầu B 2R = B 2R (x 0 ) ⊂ Ω, giả sử w ∈ W 0 1,p (B 2R ) + u là nghiệm duy nhất của phương trình:

Trong chứng minh của định lý chính, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức quan trọng được gọi là bất đẳng thức “Hölder ngược” hay Bổ đề Gehring Chứng minh cho bất đẳng thức này có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo [8, Bổ đề 3.3] Lưu ý rằng bất đẳng thức này được đánh giá trên lân cận của điểm x₀ bên trong miền Ω, do đó không phụ thuộc vào giả thiết của miền Ω.

Bổ đề 2.1.1 ([8]) Cho u ∈ W loc 1,p (Ω) và w là nghiệm phương trình (2.1) Khi đó,tồn tại các hằng số Θ = Θ(n, p, α, β) > p và C = C(n, p, α, β) > 0 sao cho ta có đánh giá

Bổ đề tiếp theo đánh giá sự khác biệt giữa ∇uv và ∇w trên B 2R (x 0 ) Phát biểu và chứng minh của bổ đề này được tham khảo từ bài báo của Q.-H Nguyen và N.-C Phuc [11].

Bổ đề 2.1.2 ([11]) Cho u ∈ W loc 1,p (Ω) và w là nghiệm phương trình (2.1) và giả sử

3n − 2 2n − 1 < p ≤ 2 − 1 n Khi đó, tồn tại hằng số C = C(n, p, α, β) > 0 sao cho:

Chứng minh Công thức biến phân ứng với phương trình (1.1) có dạng ˆ

Ω ϕdà, với mọi ϕ ∈ W loc 1,p (Ω) Tương tự, công thức biến phân ứng với phương trình (2.1) có dạng ˆ

B 2R hA(x, ∇w), ∇ϕidx = 0, với mọi ϕ ∈ W loc 1,p (B 2R ) Khi đó, với mọi hàm thử ϕ ∈ W loc 1,p (B 2R ), trừ hai vế của các phương trình trên, ta có ˆ

Với mỗi số thực dương m, xét các hàm T m : R → R, được xác định bởi

T m (s) = max{−m, min{m, s}}, và hàm T h,m : R → R cho bởi:

0 nếu |s| ≤ h, với m > 2h > 0 (xem đồ thị các hàm số này trong Hình 2.1).

Hình 2.1: Đồ thị hàm số

Bằng tính toán trực tiếp, ta có thể dễ dàng kiểm tra ϕ ∈ W loc 1,p (B 2R ), do đó đẳng thức (2.3) thỏa mãn Từ đó dẫn đến tồn tại hằng số C > 0 sao cho ˆ

|u − w| −α g(u, w)dx ≤ Ck 1−α |à|(B 2R ), trong đó hàm g xác định bởi g(u, w) = |∇(u − w)| 2

Cho h → 0 trong bất đẳng thức trên ta thu được ˆ

Bây giờ ta đánh giá |u − w| −α g(u, w) trong L γ (B 2R ) với γ thích hợp Với k, λ > 0, xét hàm (k, λ) 7→ Φ(k, λ) xác định bởi Φ(k, λ) = |{x : |u − w| > k, |u − w| −α g(u, w) > λ} ∩ B 2R |.

Dễ thấy λ 7→ Φ(k, λ) là hàm giảm theo biến λ, do đó với mọi λ > 0 ta có Φ(0, λ) ≤ 1 λ ˆλ

|{x : |u − w| ≤ k, |u − w| −α g(u, w) > s} ∩ B 2R |ds. Áp dụng Bổ đề 1.6.2: với mọi số dương s và hàm f ∈ L s (Ω), ta có

|f (x)| s dx, ta suy ra được đánh giá sau đây Φ(0, λ) ≤ k −β ku − wk β L β (B 2R ) + 1 λ ˆ

≤ k −β ku − wk β L β (B 2R ) + Ck 1−α λ |à|(B 2R ), với mọi β > 0 Ta có thể đồng nhất hai số hạng ở vế phải bằng cách chọn k =

Từ đó suy ra bất đẳng thức sau λ 1−α+β β |{x : |u − w| −α g (u, w) > λ} ∩ B 2R | ≤ C|à|(B 2R ) 1−α+β β ku − wk β(1−α) 1−α+β

L β (B 2R ) , đúng với mọi λ > 0 Áp dụng bất đẳng thức H¨older và tính chất sau đây (xem

Bổ đề 3.2.1 ở chương tiếp theo hoặc sách [6]): với s > 1, K là tập con có độ đo dương củaΩ và hàm f ∈ L s,∞ (Ω): ˆ

|f(x)|dx ≤ s s − 1 |K | 1− 1 s kf k L s,∞ (Ω) , ta suy ra được với 0 < γ < 1−α+β β , ta có ˆ

Ta định nghĩa đại lượng M có dạng sau đây

|∇(u − w)||u − w| − α p Áp dụng bất đẳng thức Sobolev đối với hàm |u − w| p−α p , ta có ˆ

Sau đó, dùng bất đẳng thức H¨older và (2.5) ta có ˆ

Vế trái của bất đẳng thức (2.6) bị giới hạn bởi một số hạng là lũy thừa của đại lượng M, điều này cho thấy rằng chứng minh của bổ đề này dẫn đến việc đánh giá tính bị chặn của M Sử dụng một bất đẳng thức sơ cấp, ta có thể nhận thấy rằng

Định nghĩa củaM và bất đẳng thức trên dẫn đến

Chú ý rằng tham số β trong các đánh giá có thể được chọn sao cho thỏa mãn một số điều kiện nhất định Để áp dụng bất đẳng thức Sobolev (2.5), cần giả định một số yếu tố cụ thể.

Sau đó, ta áp dụng (2.4) với γ = 1/p, ta có ˆ

≤ CR n− n(1−α+β) pβ |à|(B 2R ) 1/p M p−α 1−α , (2.9) ở đây ta dùng (2.5) vào bất đẳng thức cuối Giả sử γ 0 := (p − α)n pn − α > 2 − p

2 (2.10) Áp dụng bất đẳng thức H¨older với số hai tham số tương ứng 2γ 2γ 0

Một lần nữa, các tham số được chọn phải thỏa mãn α < p

Kết hợp các đánh giá trong (2.7),(2.9),(2.11),(2.13) ta thu được đánh giá sau

(2.14) nếu các điều kiện (2.8), (2.10), (2.12) được thỏa mãn. Đặt α 0 = α p < 1/2, khi đó β = (1−α n−1 0 )n Bằng tính toán trực tiếp, ta có

Do đó nếu p > 3n − 22n − 1 , ta có thể chọn được

1/2 > α 0 > −1 + (2 − p)n n − p , sao cho tất cả các điều kiện (2.8), (2.10), (2.12) đều thỏa mãn Khi đó dễ thấy rằng

Dùng bất đẳng thức H¨older, từ (2.14) ta suy ra được

Kết hợp hai đánh giá (2.6) và (2.15), ta suy ra ˆ

Chúng ta có thể kiểm tra lũy thừa của bán kính R trong các số hạng bên phải bằng cách tính toán trực tiếp với các tham số đã chọn Điều này dẫn đến việc suy ra bất đẳng thức (2.2) Như vậy, bổ đề đã được chứng minh hoàn tất.

2.2 Đánh giá địa phương trên biên

Kết quả đánh giá trên biên được thực hiện giống như đánh giá bên trong miền Ω, với một số điều chỉnh dựa trên giả thiết về điều kiện p-capacity của miền Ω Giả thiết R n \ Ω thỏa mãn điều kiện uniformly p-thickness với các hằng số c 0 , r 0 > 0, cho mỗi điểm x 0 ∈ ∂Ω trên biên của Ω và 0 < R < r 0 /10, ta ký hiệu Ω 10R = Ω 10R (x 0 ) = B 10R (x 0 ) ∩ Ω Giả sử u ∈ W 0 1,p (Ω) là nghiệm của phương trình (1.1), ta định nghĩa w ∈ u + W 0 1,p (Ω 10R ) là nghiệm của phương trình tương ứng trên miền Ω 10R.

Chỳng ta mở rộng à và u bằng 0 trờn R n \ Ω và w bởi u trờn R n \ Ω 10R.

Bổ đề 2.2.1 ([8]) Cho w thỏa (2.16) và c 0 là hằng số như trong Định nghĩa 1.3.2 Khi đó, tồn tại hằng số Θ = Θ(n, p, α, β, c 0 ) > p và C = C(n, p, α, β, c 0 ) > 0 sao cho ta có đánh giá

Bổ đề 2.2.2 ([16]) Cho w thỏa (2.16) và c 0 là hằng số như trong Định nghĩa1.3.2 Khi đó, tồn tại hằng số Θ = Θ(n, p, α, β, c 0 ) > p và C = C(n, p, α, β, c 0 ) > 0 sao cho ta có đánh giá

Chứng minh Tồn tại m = m(d) và x 1 , ã ã ã , x m ∈ B 1/2 (0) sao cho

Với % > 0, cho B % (y) ⊂ B 10R (x 0 ) và kiểm tra được

3 (y), ∀i = 1, 2, , m, áp dụng (2.17), tồn tại Θ = Θ(n, p, α, β, c 0 ) và C = C(n, p, α, β, c 0 ) > 0 thỏa mãn

Dựa trên ý tưởng chứng minh của Bổ đề 2.2.2, ta có thể chứng minh được kết quả tổng quát hơn như sau.

Bổ đề 2.2.3 ([8]) Cho w thỏa (2.16) và c 0 là hằng số trong định nghĩa Khi đó, với 0 < θ 1 < θ 2 < 1 tồn tại hằng số Θ = Θ(n, p, α, β, c 0 ) > p và C = C(n, p, θ 1 , θ 2 , α, β, c 0 ) > 0 sao cho ta có đánh giá

Bổ đề 2.2.4 ([16]) Cho u ∈ W loc 1,p (Ω) và w là nghiệm của phương trình (2.16). Giả sử

3n − 2 2n − 1 < p ≤ 2 − 1 n Khi đó, tồn tại hằng số C = C(n, p, α, β, c 0 ) > 0 sao cho:

2.3 Kết quả chính quy nghiệm

Kết quả chính về tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic tựa tuyến tính trong không gian Lorentz được trình bày qua hai định lý quan trọng Đặc biệt, Định lý 2.3.2 là một bất đẳng thức dạng good-λ, được chứng minh dựa trên một dạng của bổ đề phủ Vitali, hay còn gọi là phân tích Calderón-Zygmund-Krylov-Safonov Bổ đề này sẽ được trình bày dưới đây.

Bổ đề 2.3.1 (xem [12]) Cho ε ∈ (0, 1), R ≥ R 1 > 0 và quả cầu Q = B R (x 0 ) với x 0 ∈ R n cố định Giả sử E ⊂ F ⊂ Q là hai tập đo được trong R n thỏa hai tính chất: i) |E| < ε|B R 1 |, ii) Với mọi x ∈ Q và r ∈ (0, R 1 ] nếu |E ∩ B r (x)| ≥ ε|B r (x)| thì B r (x) ∩ Q ⊂ F.

Khi đó, điều kiện |E| ≤ Cε|F| được áp dụng, với C là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào n Định lý 2.3.2 nêu rõ rằng cho miền Ω ⊂ R^n bị chặn và thỏa mãn điều kiện p-capacity uniform thickness với các hằng số c₀, r₀ > 0, giả sử a ∈ M_b(Ω).

Xét tập Q = B diam(Ω) (x 0 ), trong đó x 0 cố định trong Ω Khi đó, với u là nghiệm của phương trỡnh (1.1) với dữ liệu độ đo à, tồn tại cỏc hằng số Θ = Θ(n, p, α, β, c 0 ) > p, ε 0 = ε 0 (n, p, α, β) ∈ (0, 1),

C = C(n, p, α, β, c 0 , diam(Ω)/r 0 ) > 0, sao cho ta có đánh giá

Chứng minh Với ε > 0, λ > 0 và r 0 > 0, xét hai tập hợp có dạng

Chú ý rằng Q = B 2T 0 (x 0 ), với x 0 ∈ Ω, T 0 = diam(Ω) Ta cần chứng minh tồn tại Θ và C thỏa mãn (2.20), nghĩa là

Ta dùng Bổ đề 2.3.1 để chứng minh Định lý 2.3.2 Đầu tiên ta cần chứng minh:

|E λ,ε | ≤ Cε|B R 0 (0)|, ∀λ > 0, (2.21) trong đó R 0 = min{T 0 , r 0 } Thật vậy, ta có thể giả sử E λ,ε 6= ∅ (bởi vì nếu

E λ,ε =∅ thì (2.21) là hiển nhiên) Khi đó, tồn tại x 1 ∈ Q thỏa mãn

Cho γ 0 thỏa 2−p 2 ≤ γ 0 < (p−1)n n−1 < 1 như trong Bổ đề 2.1.2 Cho u là nghiệm renormalized của phương trình (2.1) Áp dụng Mệnh đề 1.4.3, ta có bất đẳng thức (1.8), dẫn đến

T 0 n−1 p−1 1 ,với T 0 = diam(Ω), (2.23) với bất kỳ γ ∈

Áp dụng Bổ đề 1.6.2 với s = 1, g = (∇u) γ 0 và t = ε − Θ 1 λ γ 0

R 0 n ε|B R 0 |, dẫn đến|E λ,ε | ≤ Cε|B R 0 |, vớiC phụ thuộc vào(T 0 /R 0 ) n , (2.21) được chứng minh. Tiếp theo ta chứng minh với mọi x ∈ Q, r ∈ (0, 2R 0 ] và λ > 0 ta có:

Thật vậy, lấyx ∈ Qvà0 < r ≤ 2R 0 , bằng phản chứng, ta giả sửB r (x)∩Ω∩F λ c 6=

∅ Ta cần chứng minh tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào n, p, α, β, γ 0 , c 0 sao cho:

Không mất tính tổng quát, giả sử E λ,ε ∩ B r (x) 6= ∅ Khi đó, tồn tại x 1 , x 2 ∈

M 1 (à)(x 2 ) ≤ (ε (p−1)γ 1 0 λ) p−1 (2.28) Với ρ > 0, đầu tiên ta có

Từ đó, kết hợp với (2.27), ta suy ra:

Chú ý rằng ta đã dùng (2.27) vào bất đẳng thức cuối.

Mặt khác, ta có thể thấy rằng:

Trước đó, với mọi λ > 0 và ε 0 thỏa ε −

∩ Q ∩ B r (x) với mọi ε ∈ (0, ε 0 ). Để chứng minh (2.26) ta xét hai trường hợp khi x nằm trong miền Ω, tức là

B 4r (x) ⊂ Ωvà trường hợp x nằm gần biên của miền Ω, nghĩa là B 4r (x) ∩ Ω c 6=∅. Trường hợp 1: B 4r (x) ⊂ Ω: Cho à 0 , λ + k , λ − k như trong Định nghĩa 1.4.2 Cho u k ∈ W 0 1,p (Ω) là nghiệm duy nhất của bài toán sau:

−div(A(x, ∇u k )) = à k trong Ω, u k = 0 trên ∂ Ω, với à k = χ {|u| 0 sao cho:

(2.30) Áp dụng Bổ đề 2.2.1 ta có:

, (2.31) bất đẳng thức thứ hai thu được bằng cách dùng bất đẳng thức H¨older với γ 0 > p − 1.

Với mọi m ≥ 2 và γ 0 < 1, ta dễ dàng kiểm tra được bất đẳng thức sau đây:

[M(|f i | γ 0 )] γ 1 0 , ∀f i ∈ L γ 0 (Ω), Áp dụng bất đẳng thức này với m = 3, ta được:

+ |{M(χ B 2r (x) |∇w k | γ 0 ) γ 1 0 > 3 − γ 1 0 ε − Θ 1 λ} ∩ B r (x)| (2.32) Áp dụng Bổ đề 1.6.2 với s = γ 0 cho hai số hạng đầu tiên ở vế phải của bất đẳng thức (2.32), ta suy ra được:

|∇u − ∇u k | γ 0 dx, và áp dụng Bổ đề 1.6.2 với s = Θ cho số hạng cuối cùng, ta được

Từ các bất đẳng thức này và (2.32), ta suy ra

Kết hợp các đánh giá (2.30), (2.31) và (2.33) ta thu được:

Cho k → ∞ trong bất đẳng thức này, ta suy ra:

Để ý rằng do |x − x 1 | < r nên ta có B 4r (x) ⊂ B 5r (x 1 ) Do đó:

Tương tự, do |x − x 1 | < r nên B 4r (x) ⊂ B 5r (x 2 ) Từ đó suy ra:

(p−1)γ 0 λ) p−1 (2.35) Áp dụng (2.34) và (2.35) với (2.27), (2.28) ta có:

≤ Cεr n nghĩa là có (2.26), chú ý rằng hằng số C phụ thuộc vào T 0 /r 0.

Trường hợp 2: B 4r (x) ∩ Ω c 6=∅ Lấy x 3 ∈ ∂Ω sao cho

Ta có thể dễ dàng kiểm tra được

B 4r (x) ⊂ B 10r (x 3 ). Áp dụng Bổ đề 2.2.4 với u k ∈ W loc 1,p (Ω) và w k là nghiệm của phương trình:

(2.36) với à = à k và B 2R = B 10r (x 3 ), cú hằng số C = C(n, p, α, β) > 0 thỏa món:

, (2.37) và với mọi ρ > 0 thỏa mãn B ρ (y) ⊂ B 10r (x 3 ), theo Bổ đề 2.2.2, ta có:

Tương tự chứng minh trong trường hợp 1, ta có thể thu được đánh giá (2.33) ứng với quả cầuB 10r (x 3 ):

Do B 4r (x) ⊂ B 10r (x 3 ), tương tự (2.31), ta có:

Chú ý rằng do γ 0 > p − 1 nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức H¨older để thu được bất đẳng thức thứ hai trong (2.40).

Trên quả cầu B 10r (x 3 ), dùng đánh giá (2.37) và (2.38) với (2.40) từ (2.39), sao cho ta có đánh giá:

Cho k → ∞ trong bất đẳng thức trên, ta thu được:

Lấy x 1 , x 2 giống trường hợp trước và định nghĩa của x 3 , do dist(x, Ω) ≤ 4r, nên ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng:

B 10r (x 3 ) ⊂ B 14r (x) ⊂ B 15r (x 2 ), và đánh giá theo sau:

Kết hợp các đánh giá trên, ta thu được

|E λ,ε ∩ B r (x)| ≤ Cεr n , trong đó hằng số C phụ thuộc T 0 /r 0

Cuối cùng, áp dụng Bổ đề 2.3.1 với E = E λ,ε , F = F λ , ta có

Định lý 2.3.3 chỉ ra rằng, với điều kiện 3n−2 2n−1 < p ≤ 2 − n 1 và Ω ⊂ R n là miền bị chặn có độ dày đồng nhất p-capacity, nếu à ∈ M b (Ω) và Q = B diam(Ω) (x 0) với x 0 ∈ Ω, thì tồn tại một hằng số Θ = Θ(n, p, α, β) > p Hơn nữa, u là nghiệm của phương trình (1.1).

0 < s < Θ và 0 < t ≤ ∞ ta có k∇uk L s,t (Q) ≤ Ck[M 1 (à)] p−1 1 k L s,t (Q) , trong đó hằng số C phụ thuộc n, p, α, β, s, t và diam(Ω).

Chứng minh Theo Định lý 2.3.2, tồn tại hằng số Θ > p, C > 0, 0 < ε 0 < 1 và nghiệm renormalized u của phương trỡnh (1.1) với dữ liệu độ đo àthỏa món với ε ∈ (0, ε 0 ), λ > 0 ta có:

Chúng ta chứng minh Định lý 2.3.3 cho trường hợp t 6= ∞ Trường hợp t = ∞ được chứng minh tương tự.

Từ (1.9), với 0 < s < Θ và 0 < t < ∞, cho ta: k(M(|∇u| γ 0 )) 1/γ 0 k t L s,t (Q) = s ˆ ∞ 0 λ t |{(M(|∇u| γ 0 )) 1/γ 0 > λ} ∩ Q| s t dλ λ (2.42) Bằng cách đổi biến, đặt λ = ε − Θ 1 w thì s ˆ ∞

Mặt khác, ta thấy rằng

Kết hợp với bất đánh giá (2.41), ta suy ra được:

0 λ t |{(M(|∇u| γ 0 )) 1/γ 0 > λ} ∩ Q| t s dλ λ + Cε − Θ t + (p−1)γ t 0 s ˆ ∞ 0 λ t |{(M 1 (à)) p−1 1 > λ} ∩ Q| t s dλ λ (2.45) Kết hợp các đánh giá (2.42), (2.43) và (2.45) ta có k(M(|∇u| γ 0 )) 1/γ 0 k t L s,t (Q) ≤ Cε t( 1 s − Θ 1 ) k(M(|∇u| γ 0 )) 1/γ 0 k t L s,t (Q)

> 0, có thể chọn ε ∈ (0, ε 0 ) đủ nhỏ trong bất đẳng thức trên, sao cho

Từ đó ta thu được: k(M(|∇u| γ 0 )) 1/γ 0 k L s,t (Q) ≤ Ck(M 1 (à)) p−1 1 k L s,t (Q)

Trong trường hợp s = ∞, ta có thể chứng minh tương tự.

Chương 3 Ứng dụng vào phương trình dạng Riccati Ở chương này, chúng tôi chứng minh lại một kết quả về sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình dạng Riccati trong không gian Lorentz Phương trình này được biết đến như phương trình Kardar-Parisi-Zhang trong vật lý

Chương này chứng minh sự tồn tại nghiệm cho lớp phương trình Jacobi-Hamilton thông qua định lý điểm bất động Schauder, áp dụng cho một toán tử liên tục trên tập lồi và đóng với ảnh là tập tiền compact Kết quả này được xem là ứng dụng của đánh giá gradient cho phương trình dạng divergence đã trình bày ở chương trước Tài liệu tham khảo bao gồm bài báo [17] và quyển sách [6].

3.1 Định lý điểm bất động Schauder

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số dạng của định lý điểm bất động Schauder, có thể tham khảo trong tài liệu [5] Định lý 3.1.1 nêu rằng nếu M là tập lồi, compact và không rỗng trong không gian Banach X, và T : M → M là ánh xạ liên tục, thì T sẽ có ít nhất một điểm bất động.

Hệ quả 3.1.2 ([5]) Giả sử M là tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của một không gian Banach X Giả sử T : M → M là toán tử compact Khi đó T có điểm bất động.

3.2 Chuẩn trong không gian Lorentz

Trong không gian Lebesgue yếu L s,∞ (Ω), k.k L s,∞ (Ω) được xác định như một tựa chuẩn Chúng tôi giới thiệu một chuẩn mới trong không gian này nhằm đảm bảo tính lồi của tập V λ, sẽ được định nghĩa trong phần sau Đối với s ∈ (1, ∞) và f ∈ L s,∞ (Ω), chúng tôi định nghĩa k|f |k L s,∞ (Ω) bằng sup.

Từ định nghĩa này, ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng k|.|k L s,∞ (Ω) là một chuẩn trong không gian L s,∞ (Ω).

Bổ đề 3.2.1 ([6]) Cho Ω ⊂R n và E ⊂ Ω sao cho |E| > 0 Với 0 < r < s < ∞ và f ∈ L s,∞ (Ω), ta có ˆ

|f (x)| r dx ≤ s s − r |E| 1− r s kfk r L s,∞ (Ω) (3.1) Chứng minh Áp dụng Bổ đề 1.6.2 với α > 0, ta có

Từ đó ta suy ra được:

Ta có đánh giá sau ˆ

Ta thu được bất đẳng thức (3.1) bằng cách chọn α 0 = |E| − 1 s kf k L s,∞ (Ω)

Trong không gian Lorentz L s,∞ (Ω), ta có thể chứng minh được tựa chuẩn k.k L s,∞ (Ω) và chuẩn k|.|k L s,∞ (Ω) là tương đương, thể hiện qua bổ đề bên dưới.

Bổ đề 3.2.2 ([6]) Cho Ω ⊂R n , với s ∈ (1, ∞) và f ∈ L s,∞ (Ω), ta có kfk L s,∞ (Ω) ≤ k|f |k L s,∞ (Ω) ≤ s s − 1 kf k L s,∞ (Ω) (3.2) Chứng minh Từ định nghĩa k|.|k L s,∞ (Ω) , với E ⊂ Ω sao cho |E| > 0, ta có k|f|k L s,∞ (Ω) ≥ |E| −1+ 1 s ˆ

Với α > 0, ta lấy E = {x ∈ Ω : |f (x)| > α} Áp dụng Bổ đề 1.6.2 với s = 1 ta có

Kết hợp với bất đẳng thức ở trên, ta được: k|f|k L s,∞ (Ω) ≥ |E| −1+ 1 s α|E| ≥ α|E| 1 s = α|{x ∈ Ω : |f (x)| > α}| 1 s

Lấy supremum với mọi α > 0 ở bất đẳng thức này, ta được: kfk L s,∞ (Ω) ≤ k|f |k L s,∞ (Ω)

Mặt khác, áp dụng Bổ đề 3.2.1, ta có

Từ đây ta suy ra bất đẳng thức còn lại của Bổ đề 3.2.2: k|f |k L s,∞ (Ω) ≤ s s − 1 kfk L s,∞ (Ω)

3.3 Sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình dạng Riccati Áp dụng các kết quả về đánh giá gradient của nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính trong không gian Lorentz, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm của lớp phương trình dạng Riccati

Cụ thể, chúng tôi xây dựng ánh xạ liên tục

T : V → V, T (v ) = u, trong đó u là nghiệm của phương trình sau

V là tập lồi, đóng và T(V) là tiền compact theo tôpô mạnh của W₀¹,¹(Ω) Chúng tôi áp dụng định lý điểm bất động Schauder để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.3) trong không gian Lorentz Đầu tiên, bằng cách áp dụng Định lý 2.3.3 trong Chương 2 và tính chất bị chặn của toán tử cực đại M₁, chúng tôi thu được hệ quả quan trọng, sẽ được sử dụng để chứng minh sự xác định của ánh xạ T trong Bổ đề 3.3.4.

Hệ quả 3.3.1 ([17]) Giả sử s−n sn ≤ p Khi đó, tồn tại một hằng số C > 0 sao cho, với u là nghiệm của phương trỡnh (1.1) với dữ liệu độ đo à ∈M0 (Ω) và với q > 0, ta có k|∇u| q k

Kết quả tồn tại nghiệm ở chương này thu được với n ≥ 3 và các tham số p, q thỏa mãn: