Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH LỒI
1.4. Dưới vi phân của hàm lồi
Tính khả vi của hàm lồi giữ vai trò quan trọng trong các bài toán tối ưu, các phương pháp tối ưu. Lớp hàm lồi có tính chất gần với tính khả vi mà các lớp hàm khác không có. Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, hàm f xác định trên D X và f : D R, f x .
Ta biết rằng trong trường hợp f khả vi tại x0 domf , thì tại lân cận của x0, f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó. Đối với hàm lồi , nói chung là không liên tục và không khả vi.
Định nghĩa 1.4.1. Đạo hàm theo phương d của f tại x0 X , ký hiệu f ' x ,d ,0 được xác định như sau
f x d f x
f ' x ,d0 lim 0 0 ,
0
nếu giới hạn tồn tại ( có thể hữu hạn hoặc bằng ).
Cho X là không gian định chuẩn. Ta nhắc lại; nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
R Jf( x ) : X0
Sao cho f( x )0 h f( x )0 Jf( x )h0 O( h ) 0, thì Jf( x )0 được gọi là đạo hàm Galeaux của f tại x .0 Ta dễ dàng chỉ ra rằng J f( x )h0 f ( x , h )' 0 với mọi h X .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Định nghĩa 1.4.2. Cho D là một tập lồi không rỗng của X và x0 D. Hướng d được gọi là hướng chấp nhận được của D tại x0 nếu tồn tại một số 0 sao cho x0 d D. Tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại x0 được ký hiệu là T D, x0 .
Nhận xét. Nếu f là hàm lồi chính thường trên X thì i) f ' x ,.0 là hàm thuần nhất dương trên X tức là với mọi 0, f ' x , d0 f ' x ,d0 ;
ii) Với mọi x domf thì f ' x ,.0 là dưới tuyến tính.
Chứng minh. i) Với mọi 0 ta có
f x d f x
f ' x , d0 lim 0 0
0
'
f x ' d f x
lim '
0 0
0
.f ' x ,d .0 ii) Lấy d ,d1 2 X ta có
f x d d f x
f ' x,d d lim
1 2
1 2 0
2 2
f x d x d f x
lim
1 2
0
1 1
2 2
2
f x d f x f x d f x
lim 1 2
0
f ' x,d1 f ' x,d .2
Vậy f ' x ,.0 là dưới tuyến tính.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Mệnh đề 1.4.3. Cho hàm f : X R là hàm lồi chính thường trên X khi đó f có đạo hàm theo phương tại mọi điểm x0 domf đồng thời:
f x d f x
f ' x ,d0 inf 0 0 .
0
Chứng minh. Lấy x0 domf , d X , đặt t f x0 dt . Khi đó
R R
: là hàm lồi chính thường trên R và 0 dom . Lấy 3 số t1 t2 t3 với t , t1 2 dom do là hàm lồi nên
t t t t
t t t
t t t t
3 2 2 1
2 1 3
3 1 3 1
; t t
t t t t
t t
2 1
2 1 3 1
3 1
;
t t
t t t t
t t
3 2
3 2 3 1
3 1
.
Suy ra t t t t t t
t t t t t t
2 1 3 1 3 2
2 1 3 1 3 2
.
Lấy t t
t dom là hàm không tăng khi giảm dần tới
0. Nếu t là điểm biên phải của dom thì t t
với mọi 0. Do vậy với t dom hàm có đạo hàm phải ' t
t t
' t ' t ,l lim
0 .
Hơn nữa với t , t1 2 dom và 0 t2 t1 ta có
t t t t t t
' t ' t
t t
1 1 2 1 2 2
1 2
2 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Suy ra ' t1 ' t2 ' t là hàm không giảm. Theo trên ta có dom
0 nên ' 0 là tồn tại và ' 0 f ' x ,d0 do đó f có đạo hàm theo phương d tại x0 và ' . là hàm không giảm nên
f x d f x
f ' x ,d0 inf 0 0
0
. Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.4.4. i) Tập K X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:
x K , 0, x K ;
ii) Tập K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K x0 là nón có đỉnh tại 0;
iii) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi và x, y K , , 0: x y K ;
iv) Nếu K là lồi đóng thì nó được gọi là nón lồi đóng;
v) Giao của tất cả các nón lồi có đỉnh tại 0 chứa tập A và điểm 0 là một nón lồi và gọi là nón lồi sinh bởi Aký hiệu KA .
Mệnh đề 1.4.5. Giả sử f là hàm thuần nhất dương trên X khi đó
i) Nếu f liên tục tại mọi điểm của U X thì f liên tục tại mọi điểm của nón KU sinh bởi điểm U có thể trừ điểm 0;
ii) Nếu f liên tục trong một lân cận của 0 thì f liên tục trên X.
Chứng minh. i) Lấy x0 0, x0 KU khi đó tồn tại 0: x0 U do f liên tục tại điểm x0 nên 0 lân cận V của x0 sao cho
f x f x0 x V . Như vậy 1V
là một lân cận của x0 và với mọi x 1V
ta có f x f x0 1 f x f x0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Vậy f liên tục tại x0 .
ii) Giả sử f liên tục tại lân cận W của 0, theo i) f liên tục tại mọi điểm của nón KW sinh bởi tập W ( có thể trừ điểm 0). Ta có KW X và tại điểm 0 ta đã giả thiết f liên tục. Vậy f liên tục trên X.
Định lý 1.4.6. Cho f : X R là hàm lồi chính thường trên X liên tục tại các điểm của tập U X . Khi đó,
i) Nếu tại d' X thỏa mãn x d' U mà f x ,d ' hữu hạn thì hàm f x ,.
liên tục tại mọi điểm của nón KU x sinh bởi tập U x ( có thể trừ điểm 0);
ii) Nếu f liên tục tại x thì f x ,. hữu hạn và liên tục trên X.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.4.5 ta chỉ cần chứng minh rằng f x,. liên tục tại mọi điểm của tập U x. Trước hết ta chỉ ra rằng f x ,. là hàm chính thường. Do f x,d nên x domf . Từ mệnh đề 1.4.3 ta nhận được
f ' x,d f x d f x d X .
Nếu d1 X : f ' x,d1 , theo Định lý 1.2.2.2: x d ' int domf . Do dó với 0 đủ nhỏ x d ' d ' d1 x d2 domf . Vì
x d ' 1 x d2 x d1
1 1 ,
Cho nên f x d ' 1 f x d2 f x d1
1 1 . Do đó
f ' x,d ' 1 f ' x,d2 f ' x,d1
1 1 (1.14) Do x d2 domf nên f ' x,d2 . Vì vậy từ (1.14) suy ra f ' x,d '
. Điều này mâu thuẫn với điều kiện f x,d ' . Do đó f ' x ,. là hàm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
chính thường. Nếu d1 U x thì f bị chặn trên bởi hằng số C trong một lân cận đủ nhỏ V của x d1. Khi đó,
f ' x,d f x d f x C f x d V x ;
suy ra f ' x,. hữu hạn và bị chặn trên tập V x; do đó, f ' x,. liên tục tại d1 (theo Định lý 1.2.1.3). Khẳng định i) được chứng minh.
ii) Do tính lồi nên nếu f liên tục tại 0 thì f liên tục trong một lân cận của 0.
Áp dụng Mệnh đề 1.4.5 ta nhận được khẳng định ii).
Mệnh đề 1.4.7. Tại mỗi x D ta có: T D, x là một nón lồi.
Chứng minh. Lấy tùy ý x D T D, x là một nón ( theo định nghĩa).
Cho u, v T D, x , 0 1; khi đó s,t 0 sao cho x su D, x tv D .
Do D lồi nên x su 1 tv D 0 1; .
Chọn t
t 1 s và t
r t 1 s . Khi đó 0 1; và r 0.
Ta có x r u 1 v x su 1 tv D .
Vậy u 1 v D , tức là T D, x lồi.
Mệnh đề 1.4.8. Cho f là một hàm lồi từ một tập con lồi không rỗngD X vào R và x D,d T D, x . Khi đó
i) f có đạo hàm theo hướng d khi và chỉ khi tập f x d f x
, 0, x d D bị chặn dưới và
f x d f x
f ' x,d inf , 0, x d D ;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ii) f ' x ,. là hàm thuần nhất dương, lồi khi domf ' x,. lồi.
Chứng minh. i) Đặt o : sup 0: x d D khi đó hàm f x d f x
g :
được xác định trên 0, 0 và nhận giá trị trong R do f lồi nên với mọi C* C* L X ,R : c 0, c C ,
C là nón X ta có 0f là lồi, vì vậy lấy tùy ý , ' 0, 0 với ' ta có f x d f x f x ' d f x
'
0 0 0 0
.
Hay 0g 0g ' do C đóng nên g g ' tức là hàm g không giảm trên 0, 0 . Ta có điều phải chứng minh.
ii) Tính thuần nhất dương của f ' x được suy từ định nghĩa.
Giả sử domf ' x,. lồi. Lấy tùy ý u,v domf ' x,d ,t 0 1, . Do f lồi, nên
f x tu 1 t v f x
f x u f x f x v f x
t 1 t
0 cho 0 . Do C đóng ta được
f ' x,tu 1 t v t.f ' x, u 1 t f ' x, v .
Hệ quả 1.4.9. f ' x,. là hàm thuần nhất dương lớn nhất xác định trên domf ' x,. có tính chất
f x d f x f ' x, d , d domf ' x,. ; 0; x d D .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.4.8 có f ' x, d f x d f x . Giả sử g : domf x,. R là hàm thuần nhất dương thỏa mãn g x, d f x, d f x d domf ' x,. , 0, x d D Khi đó g d là chặn dưới của tập
f x d f x
, 0, x d D . Áp dụng Mệnh đề 1.4.8 ta có g d f ' x,d .
Định nghĩa 1.4.10. Cho hàm f : X R là hàm lồi trên X. Dưới vi phân f tại x0 X , ký hiệu f x0 và được định nghĩa như sau
f x0 X : f x* f x0 , x x0 ; x X . Nếu tập f x0 ta nói rằng f khả vi dưới vi phân tại x0 .
Mệnh đề 1.4.11. Cho hàm f lồi chính thường trên X và x domf . Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương
i) x* f x0 ;
ii) f x0 f* x* x , x* 0 ; iii) f ' x ,d0 x ,d* d X .
Chứng minh. i) ii) x* f x0 khi đó
f x f x0 x , x* x0 x X ;
* *
x , x0 f x0 x , x f x ;
* * * *
x X
x , x0 f x0 sup x , x f x f x x X . Áp dụng bất đẳng thức Young - Fenchel (1.7) ta có
x , x* 0 f x0 f* x* .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Từ đó ta có x , x* 0 f* x* f x0 .
ii) iii) Giả sử có f* x* f x0 x , x* 0 . Khi đó d X và 0 áp dụng bất đẳng thức Young - Fenchel ta có
f x d f* x* x , x* d ,
Suy ra f x0 d x , x* d x , x* 0 f x0 ;
*
x , d *
f x d f x
0 0 x ,d
. Tức là f ' x ,d0 x ,d* d X .
iii) i) Giả sử f ' x ,d0 x ,d* d X . Lấy x X ,d x x0 khi đó theo Mệnh đề 1.4.7
x , x* x0 f x , x0 x0 f x0 x x0 f x0 ; x , x* x0 f x f x0 x* f x0 .
Sau đây ta chứng minh tính chất về dưới vi phân của tổng hai hàm lồi.
Định lý 1.4.12. i) Cho f , f1 2 là các hàm lồi chính thường trên X khi đó f x1 f x2 f f1 f2 x x X ;
ii) Nếu tại x0 domf1 domf2 một trong hai hàm là liên tục thì f x1 f x2 f f1 f2 x x X .
Chứng minh. i) Lấy x* f xi i 1 2, , ta có
* 1 2
i i i
x , z x f z f x i , , z X .
Từ đó, suy ra x1* x , z2* x f z1 f z2 f x1 f x2 , tức là x1* x2* f1 f2 x f x1 f2 x f1 f2 x .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ii) Giả sử f liên tục tại x domf2. Ta cần chứng minh f x1 f x2 f1 f2 x x X .
Trước hết ta chứng minh int epif1 . Thật vậy 0 tồn tại lân cận mở U của x0 sao cho f x1 f x0 x U .
Tập A x, X x R : f x1 0 , x U là tập mở chứa trong epif1 nên int epif1 . Lấy x* f1 f2 x . Xét các tập hợp C1 z, X x R : f x1 z f x1 ,
C2 z, X x R : x , z* f x2 z f x2 .
Khi đó C1 epif1 x, f x1 , C1 là lồi và int C1 . Tập C2 là lồi vì lấy
i i
z , C2 i 1 2, và 0 1, ta có
*
i x , zi f x2 zi f x2 i 1 2 . Do, f2 là lồi nên ta có
x , z* z f x z x z f x
1 1 2 1 1 2 1 1 2 2
Từ đó suy ra z ,1 1 1 z ,2 2 C2 C2 là lồi. Ta có C1 C2 vì nếu tồn tại z ,0 0 C1 C2 thì
x , z* 0 f x2 z0 f x2 f x1 z0 f x1 ; x , z* 0 f x1 z0 f x2 z0 f x1 f x2 . Điều này mâu thuẫn với x* f1 f2 x . Vậy C1 C2 .
Ta có C ,C1 2 lồi int C1 , C1 C2 nên theo định lý tách thứ nhất
* * R *
x1 X , , x ,1 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
sao cho,
* *
z , C z , C
sup x , z inf x , z .
1 2
1 1
(1.15) Rõ ràng 0 vì nếu 0 thì cận bên trong (1.15) bằng và cận dưới bằng . Hơn nữa 0 vì nếu 0 thì (1.15) có dạng
* *
z domf x z domf x
sup x , z inf x , z .
1 2
1 1 (1.16)
Mặt khác x1* 0 bởi vì 0 và x ,1* 0. Do đó,
* * *
z U x z domf x
x , x x sup x , z sup x , z
1
1 0 1 1 ,
suy ra * * *
z domf x z domf x
inf x , z x , x x sup x , z
2 1
1 1 0 1 .
Điều này mâu thuẫn với (1.16). Vậy 0 . Không giảm tính tổng quát ta giả sử 1 khi đó tập C1 và C2 được tách bởi siêu phẳng H z, x X x
R : x , z* 0 . Mặt khác từ (1.15) ta có
* * *
z X z X
sup x , z1 f x1 z f x1 inf x1 x , z f2 x z f2 x . Với z 0 thì các biểu thức ở cả hai vế trên đều bằng 0 do đó đặt
* * *
x2 x x1 ta được f x1 z f x1 x , z ,1* z X ; f x2 z f x2 x , z ,2* z X . Tức là xi* f xi i 1 2, ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét. Bằng phương pháp quy nạp ta có thể chứng minh định lý 1.4.12 trong trường hợp tổng quát.
Cho f , f ,..., f1 2 m là các hàm lồi chính thường trên X khi đó
i) x X : f x1 f2 x ... fm x f f1 f2 ... fm x ;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ii) Nếu tại
m
i i
x dom f
1
tất cả các hàm fi i 1, m liên tục (có thể trừ một hàm) thì f x1 f2 x ... fm x f f1 f2 ... fm x .
Mệnh đề 1.4.13. Cho hàm lồi f từ một tập lồi không rỗng D X vào R và
x D. Nếu f khả vi dưới vi phân tại x thì domf ' x,. T D, x . Chứng minh. Hiển nhiên domf ' x,. T D, x .
Giả sử d T D, x , 0 sao cho x d D và f x . Từ định nghĩa của dưới vi phân ta có
f x d f x x d x d d ,
f x d f x
d ,
Tức là d là lân cận dưới của tập
f x d f x
, x d D
0 .
Theo Mệnh đề 1.4.8 ta được d domf ' x,. .
Vậy , T D, x domf ' x,. domf ' x,. T D, x .
Mệnh đề 1.4.14. Cho f là một hàm lồi từ tập con lồi không rỗng D X vào R và x D, L x,R khi đó,
f x d f ' x,d , d T D, x .
Chứng minh. Do f khả vi dưới vi phân tại x nên ta có domf x,. T D, x . Theo định nghĩa của dưới vi phân có
f x d f x d , d T D, x ; 0; x d D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Theo Hệ quả 1.4.9 d f ' x,d , d T D, x ; Lấy tùy ý y D y x T D, x . Từ giả thiết và Mệnh đề 1.4.8 ta có
y x f ' x, y x f x y x f x f y f x . Vậy f x .