Chương 2: ĐỊNH LÝ FENCHEL- MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CỦA HÀM LỒI VÉCTƠ
2.3. Định lý Fenchel-Moreau mở rộng
Giả sử là ánh xạ đa trị từ không gian định chuẩn hữu hạn chiều vào . Ta nhắc lại rằng trên đồ thị của đối với được xác định là tập hợp
. Miền xác định của là tập
được gọi là lồi (resp., đóng) đối với nếu là lồi (resp.,đóng) trong . Đôi khi hàm véctơ là được đồng nhất với ánh xạ đa trị
Để mở rộng Định lý Fenchel- Moreau cho trường hợp véctơ, trước hết ta định nghĩa hàm liên hợp của hàm véctơ.
Định nghĩa 2.3.1. Giả sử . Ánh xạ liên hợp của được ký hiệu là , là một ánh xạ đa trị từ tới được xác định như sau:
Trong đó là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ vào
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Định nghĩa 2.3.2. Giả sử là ánh xạ đa trị từ đến Giả sử . Ánh xạ liên hợp cấp hai của , ký hiệu là ánh xạ đa trị từ vào được xác định như sau
Chú ý. Giả sử là ánh xạ đa trị từ đến với . Bởi tính đồng
nhất với ánh xạ tuyến tính được xác định như sau:
Ta thấy rằng là thu hẹp của trên tức là,
Trong phần còn lại của phần này ta giả sử thứ tự nón là đóng, lồi, nhọn và . Ta dễ dàng chứng minh các bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.3.3. Giả sử là ánh xạ đa trị từ vào với , khi ấy
(i) là đóng và lồi;
(ii) Nếu thì
Bổ đề 2.3.4. Giả sử là ánh xạ đa trị từ vào với . Khi đó là đóng và lồi.
Bổ đề 2.3.5. Giả sử f là hàm lồi véctơ từ tập lồi khác rỗng vào , và
giả sử ( ). Khi đó khi và chỉ khi
.
Bổ đề 2.3.6. Giả sử là hàm lồi véctơ từ tập lồi khác rỗng tới .
Khi ấy .
Chứng minh. Giả sử tùy ý. Theo bổ đề 2.1.6 Khi ấy theo Bổ đề 2.3.5 . Do đó, , khi ấy theo Bổ đề 2.3.3
. Giả sử ngược lại thì có sao cho
. Sử dụng định lý tách mạnh, ta có thể tìm được ( để
(2.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chọn bất kì và . Theo Bổ đề 2.3.5, là tập hợp đơn phân tử. với mỗi , ta xác định ánh xạ tuyến tính như sau:
Do (2.2) và bổ đề 2.1.5 (ii), ISup ( c )( )
x D
x = supx D (x) c. Khi đó ta có
f*(A0) + x c
D x
) (
sup = f*(A0) + ISup ( )(x)
D x
c
= Sup ( 0) ( ) ( )
x D
A x f x
+ ISup ( )(x)
D x
c
= Sup( ( 0)( ) ( )
x D
A x f x
+ ( )(x)
D x
c ) (theo Bổ đề 2.1.5 (iv)) Sup ( 0) ( ) ( ) c
x D
A x f x x
+ C (theo Bổ đề 2.1.5 (iv))
f*(A0 + c ) + C.
Khi đó tồn tại yc f*(A0 + c ) sao cho f*(A0) + x c
D x
) (
sup ≥ yc.
Giả sử tùy ý. Từ định nghĩa của , có
(
Do (1), điều này không thể vì và nhọn. Suy ra Chứng minh xong.
Giả sử Thì ta viết nếu
Bổ đề 2.3.7. Giả sử là hàm lồi từ tập lồi khác rỗng tới , và giả sử . Nếu tồn tại sao cho
với mọi dãy sao cho và
ta có
klim
® ¥
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Mặc dù các ánh xạ liên hợp cấp hai của các hàm véctơ có cấu trúc đa trị nhưng dưới điều kiện nhất định nào đó, nó có thể là các hàm đơn trị. Các điều kiện như vậy là tính lồi và tính đóng của các hàm. Hơn vậy, ta có định lý sau
Định lý 2.3.8. (Định lý Fenchel-Moreau mở rộng) Giả sử là hàm véctơ từ tập lồi khác rỗng tới . Khi ấy lồi, đóng khi và chỉ khi
Chứng minh ) Giả sử tùy ý. Chọn điểm . Theo Bổ đề 2.1.7, là liên tục tương đối tới . Do đó
(2.3) Giả sử là dãy tang hội tụ về 1. Đặt
Khi ấy và Theo bổ đề 2.1.6, Với
mỗi , đặt Theo bổ đề 2.3.5 Do đó,
(2.4) Lấy trong (2.4), theo (2.3) và bổ đề 2.3.7, ta có
cùng với bổ đề 2.3.3(ii) các bao hàm
∗ ∩ ∈ℒℝ ,ℝ − ∗ .
Vì vậy, theo Bổ đề 2.1.5(i), định nghĩa của các ánh xạ cấp 2 ta có
Cuối cùng, ta chỉ ra rằng
Thậy vậy, do chứng minh trên ta có Giả sử tùy ý.
Theo Bổ đề 2.3.6, Giả sử và , ta có
. Với mọi số tự nhiên , đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Hiển nhiên, và từ đó là lồi. Do
(2.5), , vì . Do vậy Cùng với
tính đúng của , ta suy ra Do đó . Do vậy
và
Suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.3.4.
Định lý được chứng minh.
Khi và , định lý này là Định lý Fenchel – Moreau nổi tiếng trong giải tích lồi.