Chương 2: ĐỊNH LÝ FENCHEL- MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CỦA HÀM LỒI VÉCTƠ
2.1. Các khái niệm cơ bản
Để dễ trình bày, trong chương này ta chỉ xét trường hợp hữu hạn chiều . Trong trường hợp không gian vô hạn chiều các kết quả nói chung vẫn đúng. Nhưng việc trình bày phức tạp hơn.
Cho là tập hợp khác rỗng. Ta nhắc lại, được gọi là nón nếu . Một nón được gọi là nhọn nếu . Một nón lồi xác định trên được xác đinh bởi
.
Khi ta sẽ viết nếu . Từ đó ta luôn giả thiết là không gian được sắp thứ tự bởi một nón lồi .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử là tập hợp khác rỗng và giả sử . Ta nói rằng
(i) a là điểm hữu hiệu lý tưởng (hoặc cực tiểu lý tưởng ) của đối với
nếu .
Tập hợp các điểm hữu hiệu lý tưởng của được kí hiệu IMin ; (ii) a là điểm hữu hiệu pareto (hoặc cực tiểu pareto) của đối với nếu
.
Tập các điểm hữu hiệu pareto của A được kí hiệu Min( ).
Định nghĩa 2.1.2. Khi là nhọn và IMin là khác rỗng thì IMin là một tập hợp gồm một phần tử và Min( ) = IMin . Các khái niệm của Max và IMax là xác định tương tự. Dễ thấy – Min = Max .
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử là tập hợp khác rỗng và giả sử . Ta nói rằng là bị chặn trên của đối với nếu Tập hợp các cận trên của được kí hiệu Ub ).
Khi Ub , ta nói rằng là bị chặn trên. Khái niệm cận dưới được định nghĩa tương tự. Tập hợp các cận dưới của được kí hiệu Lb ).
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử là tập khác rỗng và giả sử . Ta nói rằng i) là điểm cận trên bé nhất lý tưởng của đối với nếu
Tập hợp các điểm cận trên lý tưởng của được kí hiệu ISup ; ii) là điểm cận trên đúng của đối với nếu
Tập hợp các điểm cận trên đúng của được ký hiệu Sup(A|C).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chú ý. Nếu khác rỗng thì . Thêm vào đó, nếu trận tự nón là nhọn, là một tập hợp đơn phân tử.
Trong phần tiếp theo, nếu không có sự nhầm lẫm ta bỏ qua cụm từ ‘đối với và kí hiệu trong các khái niệm trên. Ta liệt kê một số các tính chất của cận trên đúng mà sẽ được sử dụng ở phần sau.
Bổ đề 2.1.5. Giả sử nón là đóng, lồi và nhọn.
(i) Giả sử là khác rỗng.
Nếu thì
(trong đó là bao lồi đóng của );
(ii) Giả sử là khác rỗng và bị chặn trên thì với mọi ta có
(trong đó );
(iii) Giả sử khác rỗng. Khi đó nếu và chỉ nếu là giới hạn trên. Ta có
(iv) Giả sử là khác rỗng, thì (a) Nếu , thì
(b) Nếu, thêm vào đó
thì .
Giả sử f là hàm véctơ từ tập khác rỗng tới và giả sử .
Ta nói rằng là liên lục tương đối trên tại x nếu với mọi lân cận của
tồn tại lân cận của sao cho .
được gọi là liên tục tương đối trên tại mọi . Trên đồ thị của (đối với trận tự nón ) được xác định như tập
được gọi là đóng (đối với ) nếu là đóng trong . Bây giờ giả sử là khác rỗng và lồi. Ta đã gọi được gọi là lồi (đối
với ) nếu với mọi ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Vi phân dưới của tại được xác đinh là tập hợp.
Các hàm lồi véctơ có tính chất hay như các hàm lồi vô hướng. Ta nhắc lại một số kết quả mà sẽ được dùng ở phần tiếp theo.
Bổ đề 2.1.6. Giả sử nón thứ tự là đóng, lồi và nhọn. Giả sử là hàm lồi véctơ từ tập lồi khác rỗng đến thế thì với mọi
.
Ta có bổ đề sau đây
Bổ đề 2.1.7. Giả sử nón thứ tự là đóng, lồi và nhọn với . Giả sử là hàm lồi véctơ đóng từ tập lồi khác rỗng tới ,
và giả sử tùy ý. là liên tục tương đối tới trong đó,
.