CHƯƠNG 3 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MÔ HÌNH NHỊ THỨC
3.4. Mô hình quyền chọn cây nhị phân một bước
Giả sử giá cổ phiếu hiện tại là $20 và sau 3 tháng có thể lên đến $22 hoặc xuống đến $18. Giả thiết rằng cổ phiếu không trả cổ tức và định giá một quyền chọn châu Âu mua cổ phiếu này với giá $21 với thời gian đáo hạn là 3 tháng. Quyền chọn này sẽ có một trong hai giá trị sau 3 tháng nữa. Nếu giá cổ phiếu tăng lên
$22 thì giá của quyền chọn sẽ là $1; ngược lại nếu giá cổ phiếu giảm xuống $18 thì giá của quyền chọn bằng không. Điều này được minh họa trong hình sau:
Luận cứ để định giá quyền chọn này không phức tạp, giả định rằng nhà đầu tư không có cơ hội kinh doanh dựa vào chênh lệch giá. Chúng ta lập một danh mục đầu tư của cổ phiếu và quyền chọn sao cho giá danh mục đầu tư sau 3 tháng nữa được xác định cụ thể. Vì danh mục đầu tư không có rủi ro, cho nên lợi nhuận thu được phải bằng tỉ lệ lãi suất phi rủi ro. Điều này giúp giảm chi phí lập danh mục đầu tư và do đó giảm được giá của quyền chọn. Vì chỉ có hai loại chứng khoán (là cổ phiếu và quyền chọn) và chỉ có hai hệ quả, nên có thể đưa ra một danh mục đầu tư phi rủi ro.
Hãy xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một thế trường vị trong 5 cổ phiếu và một thế đoản vị trong một quyền chọn mua. Tính được giá của 5 để cho danh mục đầu tư này là phi rủi ro. Nếu giá cổ phiếu tăng từ 20 đến 22, thì giá toàn bộ cổ phiếu là 225 và giá của quyền chọn là 1, do vậy tổng giá trị của danh mục đầu tư là 225 − 1. Nếu giá của cổ phiếu giảm từ 20 xuống 18 thì giá của toàn bộ cổ phiếu là 185 và giá của quyền chọn là 0, do đó tổng giá trị của danh mục đầu tư là 185. Danh mục đầu tư là phi rủi ro nếu giá trị của 5 được chọn sao cho tổng giá trị của danh mục đầu tư không đổi bất kể giá cổ phiếu thay đổi thế nào, có nghĩa là:
225 − 1 = 185 5 = 0.25 Do đó, một danh mục đầu tư phi rủi ro là:
Thế trường vị: 0.25 cổ phiếu Thế đoản vị: 1 quyền chọn
Nếu giá cổ phiếu lên tới 22, giá trị của danh mục đầu tư là:
22 × 0.25 − 1 = 4.5
Giá cổ phiếu = $20
Giá cổ phiếu = $22 Giá quyền chọn = $1
Giá cổ phiếu = $18 Giá quyền chọn = $0 Hình 3.1. Minh họa sự thay đổi giá cổ phiếu
Nếu giá cổ phiếu giảm xuống 18, giá trị của danh mục đầu tư là:
18 × 0.25 = 4.5
Như vậy là dù giá cổ phiếu tăng hay giảm, giá trị của danh mục đầu tư luôn là 4.5 vào thời điểm đáo hạn.
Trong trường hợp không có cơ hội kinh doanh dựa vào chênh lệch tỷ giá thì danh mục đầu tư phi rủi ro phải có lãi suất phi rủi ro. Giả thiết trong trường hợp này lãi suất phi rủi ro là 12% một năm. Có nghĩa là giá trị hiện tại của danh mục đầu tư tương ứng với giá trị 4.5 sau 3 tháng là:
( ) 0.12*0.25
4.5*e−r T t− =4.5∗e− =4.367
Giá trị của cổ phiếu tại thời điểm hiện tại là 20. Giả sử giá quyền chọn được thể hiện bằng f. Do đó, giá trị của danh mục đầu tư hiện tại là:
20 × 0.25 − f = 4.367 suy ra: f = 0.633
Điều này chứng tỏ rằng nếu không có cơ hội kinh doanh dựa trên chênh lệch về tỷ giá thì giá trị hiện tại của quyền chọn phải là $0.633. Nếu giá trị của quyền chọn lớn hơn $0.633, chi phí lập danh mục đầu tư nhỏ hơn $4.367 và sẽ có lãi cao hơn lãi suất phi rủi ro. Nếu giá trị của quyền chọn nhỏ hơn $0.633, bán khống danh mục đầu tư là cách để vay một khoản tiền với lãi suất thấp hơn lãi suất phi rủi ro.
Tổng quát hóa: Có thể tổng quát hóa quan điểm trên bằng cách xem xét một cổ phiếu không trả cổ tức, giá cổ phiếu là S và một công cụ phái sinh với cổ phiếu có giá hiện thời là f . Thời điểm hiện tại là mốc thời gian. Giả thiết rằng công cụ phái sinh cho lợi nhuận vào thời điểm T , và rằng trong thời gian tồn tại công cụ phái sinh, giá cổ phiếu có thể tăng từ S lên Su hoặc giảm từ S xuống Sd ( giả sử:
u > 1; d < 1). Giá cổ phiếu tăng tỉ lệ thuận khi xu hướng đi lên là u - 1; giá giảm tỉ lệ thuận khi đi xuống là 1 - d . Nếu giá cổ phiếu tăng lên Su , giả thiết rằng lợi nhuận thu được từ công cụ phái sinh là fu; nếu giá cổ phiếu giảm xuống Sd , giả thiết rằng lợi nhuận thu được từ công cụ phái sinh là fd. Tình huống này được mô tả trong hình sau:
Vẫn như trên, xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một thế trường vị với 5 cổ phiếu và một thế đoản vị với một công cụ phái sinh. Tính toán giá trị của 5 sao cho danh mục đầu tư là phi rủi ro. Nếu giá cổ phiếu tăng thì giá trị của danh mục
u
Su f
d
Sd f S
f
Hình 3.2: Giá cổ phiếu và công cụ phái sinh trong cây nhị phân một bước
đầu tư vào thời điểm đáo hạn của công cụ phái sinh là:
Su∆ − fu
Nếu giá cổ phiếu giảm thì giá trị này trở thành:
Sd∆ − fd
Đặt hai đại lượng này bằng nhau:
u d
Su∆ − f =Sd∆ − f hay:
u d
f f Su Sd
∆ = −
− (3.4.1) Trong trường hợp này danh mục đầu tư là phi rủi ro và phải có lãi suất phi rủi ro.Công thức cho thấy 5 là tỉ lệ thay đổi trong giá công cụ phái sinh so với giá của chứng khoán khi thay đổi từ nút này sang nút kia tại thời điểm T.
Đặt r biểu diễn tỉ lệ lãi suất phi rủi ro, giá trị hiện tại của danh mục đầu tư là:
(Su∆ − f eu) −rT
Giá trị để lập danh mục đầu tư là: S∆ − f Kết quả là:
(Su∆ − f eu) −rT = ∆ −S f Thay 5 từ phương trình trên và đơn giản hóa, còn lại
[ (1 ) ]
rT
u d
f =e− pf + −p f (3.4.2) Trong đó:
erT d p u d
= −
− (3.4.3) Hai công thức trên giúp ta định giá một công cụ phái sinh sử dụng mô hình cây nhị phân một bước.
Xét lại ví dụ với số cụ thế đã xem xét ở trên, với
1.1; 0.9; 0.12; 0.25; d 1; u 0 u= d = r = T = f = f = Từ công thức trên, ta suy ra:
0.12*0.25 0.9
0.6523 1.1 0.9
p e −
= =
− Và ta có:
[ ]
0.12*0.25 0.6523*1 (1 0.6523) *0 0.633
f =e− + − =
Kết quả này cũng trùng với kết quả đã tính ở phần trước.
Sự không thích hợp trong cách tính lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu: Công thức định giá công cụ phái sinh ở trên không tính đến khả năng giá cổ phiếu tăng hay giảm. Ví dụ, theo công thức này thì khi xác suất giá cổ phiếu tăng là 0.5 hay 0.9 sẽ vẫn tính ra cùng một giá quyền chọn châu Âu. Điều này thật không hợp lý.
Giả định rằng khi giá cổ phiếu tăng thì đương nhiên giá trị của quyền chọn mua cổ phiếu đó tăng và giá trị quyền chọn bán giảm.
Lý do chủ yếu là chúng ta đã không định giá quyền chọn theo định nghĩa tuyệt
đối. Chúng ta tính toán giá trị của nó dựa trên giá của chứng khoán cơ sở. Khả năng giá tăng hay giảm đã được xem xét dựa trên giá cổ phiếu. Điều đó có nghĩa là chúng ta không cần xem xét đến thay đổi giá của quyền chọn khi đã định giá quyền chọn dựa trên giá cổ phiếu.
Định giá trung lập rủi ro (Risk-Neutral Valuation)
Mặc dù không cần phải giả định về xác suất tăng hay giảm giá cổ phiếu để rút ra được công thức (3.4.2) song cũng có thể coi biến p trong công thức (3.4.2) là xác suất giá cổ phiếu tăng. Do đó biến 1− p là xác suất giá cổ phiếu giảm và công thức
(1 )
u d
pf + − p f
là lợi nhuận kỳ vọng từ công cụ phái sinh. Theo cách hiểu biến p như vậy, công thức (3.4.2) cho thấy giá trị của công cụ phái sinh ở thời điểm hiện tại chính là giá trị kỳ vọng tương lai khấu trừ lãi phi rủi ro.
[ (1 ) ]
rT
u d
f =e− pf + − p f
Chúng ta lại xem xét số tiền thu vào kỳ vọng từ cổ phiếu khi xác suất giá cổ phiếu tăng là p. Giá cổ phiếu kỳ vọng tại thời điểm T, E S( )T được tính bằng:
( )T (1 )
E S = pSu+ − p Sd hay
( )T ( )
E S = pS u d− +Sd Thay p từ công thức (3.4.3) vào sẽ được
( )T rT
E S =Se (3.4.4) cho thấy giá cổ phiếu tăng trung bình tại lãi suất phi rủi ro. Như vậy giả định xác suất giá cổ phiếu tăng p tương đương với giả định lãi suất của cổ phiếu bằng lãi suất phi rủi ro.
Chúng ta sẽ xem xét một môi trường mà mọi người đều không bị các rủi ro ảnh hưởng đến, gọi tên là môi trường trung lập các rủi ro( risk-neutral world). Trong môi trường đó các nhà đầu tư không phải bồi thường rủi ro, và lãi suất kỳ vọng của tất cả mọi chứng khoán đều là lãi suất phi rủi ro. Công thức (3.4.4) cho thấy giả thiết giá cổ phiếu tăng với xác suất là p. Công thức (3.4.2) cho thấy giá trị của công cụ phái sinh là lợi nhuận kỳ vọng trong một môi trường trung lập các rủi ro khấu trừ lãi phi rủi ro.
Kết quả này là một ví dụ minh hoạ cho một nguyên tắc chung của định giá quyền chọn, gọi là nguyên tắc định giá trung lập rủi ro.
Xem xét lại ví dụ về cây nhị phân một bước. Để minh họa rõ hơn nguyên tắc định giá trung lập rủi ro, hãy xem xét lại ví dụ được mô tả trong hình (3.1). Giá của cổ phiếu hiện tại là $20 và sẽ có thể tăng lên $22 hoặc giảm xuống $18 sau thời hạn 3 tháng. Công cụ phái sinh được xem xét ở đây là quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá thực hiện là $21 và thời gian đáo hạn là 3 tháng. Lãi suất phi rủi ro là 12%/năm.
Chúng ta biểu diễn xác suất giá cổ phiếu tăng trong môi trường trung lập rủi ro là
p. Trong môi trường này tỉ suất lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu phải bằng lãi suất phi rủi
ro, 12%. Điều này có nghĩa là p thỏa mãn
( )T rT
E S =Se Tương đương với
0.12*0.25
22p+18(1− p) 20= e Hay
0.12*0.25
4p=20e −18 Khi đó, p phải bằng 0.6523.
Sau 3 tháng, xác suất để quyền chọn mua tăng giá lên 1 là 0.6523 và xác suất để giảm
giá xuống 0 là 0.3477. Giá trị kỳ vọng của quyền chọn mua này là 0.6523×1 + 0.3477 × 0 = 0.6523
Khấu trừ với lãi suất phi rủi ro thì giá trị của quyền chọn hiện tại là
0.12*0.25
0.6523e− =0.633
Giá trị này bằng giá trị đã tính ra lúc trước, biểu thị rằng giả thiết không kinh doanh dựa trên chênh lệch về tỷ giá và định giá trung lập rủi ro có cùng một kết quả.