CHƯƠNG 3 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MÔ HÌNH NHỊ THỨC
3.5. Mô hình cây nhị phân hai bước
Chúng ta có thể mở rộng phân tích cho mô hình cây nhị phân hai bước như trong hình 3.3 dưới đây:
Ở đây giá cổ phiếu hiện tại là $20 và tại mỗi bước giá có thể tăng hay giảm 10%.
Giả sử rằng độ dài của một bước là 3 tháng và lãi suất phi rủi ro là 12%/năm.
Cũng như trên, xem xét một quyền chọn mua với giá thực hiện là $21.
Mục tiêu của phân tích này là tính toán giá quyền chọn tại nút đầu của cây. Điều này có thể được thực hiện bằng cách áp dụng liên tiếp các nguyên tắc đã được thiết lập ở phía trên. Hình 3.4 mô tả hình cây giống hình 3.3 với giá cổ phiếu
Giá cổ phiếu = $20
$22
$18
$24.2
$19.8
$16.2 Hình 3.3.Giá cổ phiếu trong cây nhị phân hai bước
phía trên và giá quyền chọn phía dưới mỗi nút. Dễ tính được giá quyền chọn tại nút cuối cùng của cây. Nó chính bằng lợi nhuận có được từ quyền chọn. Ở nút D giá cổ phiếu là 24.2 và giá quyền chọn là 24.2 - 21 = 3.2; tại nút E và F, quyền chọn là out of the money và giá trị của quyền chọn này bằng 0.
Tại nút C giá của quyền chọn bằng 0, vì nút C dẫn tới nút E hoặc nút F, và giá quyền chọn tại hai nút này đều bằng 0. Tính toán giá quyền chọn tại nút B bằng cách chú ý đến nhánh này của cây trong hình 3.4. Sử dụng những giả thiết ở trên, với u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, và p = 0.6523, thay vào công thức (3.4.2) được giá trị của quyền chọn tại nút B như sau:
0.12*0.25(0.6523*3.2 0.3477 *0) 2.0257
e− + =
Để tính toán giá quyền chọn tại nút A ban đầu, tập trung vào bước đầu tiên của cây. Giá trị của quyền chọn tại nút B là 2.0257 và tại nút C là 0. Do đó, công thức tính được giá trị của nút A như sau:
0.12*0.25(0.6523* 2.0257 0.3477 * 0) 1.2823
e− + =
Giá của quyền chọn là $1.2823.
Lưu ý: ví dụ này được xây dựng với u và d (tỉ lệ tăng và giảm giá) là như nhau tại mỗi nút của cây và với khoảng thời gian từ nút này tới nút kia là như nhau.
Giả thiết này dẫn đến xác suất trung lập rủi ro p, được tính bằng công thức (3.4.3), là như nhau cho toàn bộ các nút.
Tổng quát hóa: Tổng quát hóa trường hợp hai bước bằng cách xem xét tình huống trong hình 3.5. Giá cổ phiếu lúc đầu là S. Sau mỗi khoảng thời gian, giá có thể tăng u lần hoặc giảm d lần giá gốc. Giá của công cụ phái sinh được ghi chú trên cây. Giả sử rằng lãi suất phi lợi nhuận là r và khoảng thời gian từ nút này tới nút kia là 5t năm.
Giá cổ phiếu = $20 Giá quyền chọn=1.2823
$22 2,0257
$18 0.0
$24.2 3.2
$19.8 0.0
$16.2 0.0
A B
C
D
E
F
Hình 3.4. Giá cổ phiếu và công cụ phái sinh trong cây nhị phân hai bước
Ứng dụng công thức (3.4.2), ta có
[ (1 ) ]
r t
u uu ud
f =e− ∆ pf + −p f (3.5.1)
[ (1 ) ]
r t
d ud dd
f =e− ∆ pf + −p f (3.5.2)
[ (1 ) ]
r t
u d
f =e− ∆ pf + −p f (3.5.3) Thay công thức (3.5.1) và (3.5.2) vào (3.5.3), ta có:
2r t 2 uu 2 (1 ) ud (1 )2 dd
f =e− ∆ p f + p −p f + −p f (3.5.4) Điều này phù hợp với nguyên lý định giá trung lập rủi ro đã được đề cập trên đây. Các biến p2, 2p(1 − p), và (1 − p)2 là xác suất đạt tới các nút cao (nút D), trung bình (nút E) và thấp (nút F). Giá của công cụ phái sinh bằng với giá lợi nhuận kỳ vọng trong một môi trường không bị rủi ro tác động đến.
Nếu tổng quát hóa việc sử dụng cây nhị phân bằng cách thêm các bước thì nguyên tắc định giá trung lập rủi ro vẫn áp dụng được. Giá của công cụ phái sinh luôn bằng với giá lợi nhuận kỳ vọng trong một môi trường không bị rủi ro tác động đến, trừ đi lãi phi rủi ro.
Ví dụ với quyền chọn bán
Nguyên lý trên có thể áp dụng để định giá cho bất kỳ công cụ phái sinh nào phụ thuộc vào cổ phiếu có giá thay đổi theo kiểu nhị phân. Hãy xem xét trường hợp một quyền chọn bán châu Âu với thời hạn 2 năm, giá thực hiện là 52, chứng khoán cơ sở có giá hiện thời là 50. Giả thiết rằng có hai thời kỳ và mỗi thời kỳ giá cổ phiếu có thể tăng với tỉ lệ 20% hoặc giảm với tỉ lệ 20%, lãi suất phi rủi ro là 5%.
Sơ đồ hình cây được biểu diễn trong hình 3.6
Giá cổ phiếu S Giá quyền chọn f
u
Suf
2 uu
Suf
ud
Sudf
2 dd
Sdf
A B
C
D
E
d F Sdf
Hình 3.5. Giá cổ phiếu và công cụ phái sinh trong trường hợp tổng quát
Như vậy, ta có u = 1.2, d = 0.8, r = 0.05, T = 1. Giá trị của xác suất trung lập rủi ro p được tính bằng:
0.05*1 0.8
0.6282 1.2 0.8
erT d e p u d
− −
= = =
− −
Ta lại có giá cổ phiếu cuối cùng có thể đạt tới tại nút D là Su2 =50* (1.2)2 =72; tại nút E là Sud =50*1.2*0.8 48= ; tại nút F là Sd2 =50 *(0.8)2 =32. Khi đó ta có:
0; 52 48 4; 52 32 20
uu ud dd
f = f = − = f = − = Sử dụng công thức (3.5.4) ta tính được:
2*0.05*1(0.6282 * 0 2 *0.6282 *0.3718* 4 0.3718 * 20) 4.19232 2
f =e− + + =
Giá trị của quyền chọn bán là $4.1923.
Ta cũng có thể tính được kết quả này bằng cách sử dụng công thức (3.4.2) và lần ngược lại theo nút cây trong mỗi thời kỳ. Hình 3.6 biểu diễn giá quyền chọn mua trung gian đã được tính toán.