CHƯƠNG 4 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES
4.2. Mô hình Black – Scholes ứng dụng trong thực tế
4.2.2. Lợi nhuận kỳ vọng và độ bất ổn
Lợi nhuận kỳ vọng à mà nhà đầu tư yờu cầu từ một loại cổ phiếu phụ thuộc vào độ rủi ro của cổ phiếu đó. Rủi ro càng cao thì lợi nhuận kỳ vọng càng lớn. Ngoài ra, lợi nhuận kỳ vọng cũng phụ thuộc vào lãi suất trong nền kinh tế. Lãi suất phi rủi ro càng cao thì lợi nhuận kỳ vọng cũng sẽ càng cao. Tuy nhiên, trong phạm vị nghiên cứu quyền chọn cổ phiếu, ta không nhất thiết phải đi sâu nghiên cứu các đặc tớnh của à. Nghiờn cứu cho thấy giỏ trị của quyền chọn cổ phiếu, khi được thể hiện qua giỏ trị của cổ phiếu cơ sở, khụng hề phụ thuộc vào à.
Giá trị trung bình của các tỉ suất lợi nhuận thu được trong nhiều năm không nhất thiết phải bằng với lợi nhuận bình quân năm trong giai đoạn đó, trừ khi tất cả các năm đều có tỉ suất lợi nhuận bằng nhau. Có thể thấy rất rõ điều này, qua ví dụ:
Giả sử ta đầu tư 100$ trong 5 năm, tỉ suất lợi nhuận mỗi năm là 15%, 20%, 30%, -20%, 25%. Trung bình số học của các mức tỉ suất lợi nhuận này là 14% (tính bằng cách lấy tổng năm giá trị chia cho 5). Lợi nhuận tính gộp liên tục sau 5 năm sẽ là:
100 * (1 0.14)+ 5 =192.54$
Tuy nhiên giá trị thực tế thu về sau 5 năm là
100 * 1.15* 1.20* 1.30* 0.80* 1.25 = 179.40$
tương đương với 1.794015− =1 0.124tức là 12.4%
Rõ ràng có độ lệch nhất định giữa lợi nhuận bình quân trong giai đoạn và bình quân lợi nhuận các năm.
b) Độ bất ổn (rủi ro)
Độ bất ổn của cổ phiếu, σ là thước đo mức độ không chắc chắn về lợi nhuận sẽ thu được từ cổ phiếu. σ có giá trị nhỏ hơn 1 và thường thể hiện theo giá trị phần trăm. Từ công thức (4.2.4), ta có thể đưa ra định nghĩa tương đối chính xác về độ bất ổn như sau:
Độ bất ổn của giá cổ phiếu là độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được từ cổ phiếu trong vòng một năm với lợi nhuận được tính gộp liên tục.
T
σ là số xấp xỉ gần đúng độ lệch chuẩn của biến động giá chứng khoán trong khoảng thời gian T. Như thế độ bất ổn của giá chứng khoán sẽ tăng tương ứng với căn bậc 2 của khoảng thời gian xem xét chứ không tăng tuyến tính.
c) Ước lượng độ bất ổn từ dữ liệu quá khứ
Độ bất ổn của giá cổ phiếu có thể ước lượng bằng cách sử dụng dữ liệu biến động giá trong quá khứ. Giá cổ phiếu thường được quan sát trong những khoảng thời gian cố định (chẳng hạn hàng ngày, hàng tuần, hoặc hàng tháng). Ta đặt:
1
n+ : là số quan sát
Si: là giá cổ phiếu ở cuối giai đoạn quan sát thứ i (i=0,1,…,n) τ : là độ dài của khoảng thời gian quan sát tính theo năm.
Và đặt:
1
ln i
i
i
u S
S−
=
Độ lệch chuẩn s của các ui được tính theo công thức sau:
2 1
1 ( )
1
n i i
s u u
n =
= −
− ∑
Hay
2 2
1 1
1 1
( )
1 1
n n
i i
i i
s u u
n = n =
= −
− ∑ − ∑
Với u là giá trị trung bình của các ui
Từ công thức (4.2.4) ta có độ lệch chuẩn của ui là σ τ . Do đó biến s là giá trị ước lượng của σ τ . σ có thể ước lượng theo σˆ với
ˆ s
σ = τ
Sai số chuẩn của phép ước lượng này có thể coi xấp xỉ σˆ 2n.
Để chọn được một giá trị phù hợp cho n không dễ. Thông thường càng nhiều dữ liệu thống kê thì kết quả tính toán càng chính xác, tuy nhiên σ có giá trị thay đổi
theo thời gian. Do đó dữ liệu quá cũ có thể không thích hợp đến kết quả dự báo tương lai. Để giải quyết vấn đề này, việc tính toán ở các nước Châu Âu và Mỹ thường sử dụng giá đóng cửa hàng ngày trong vòng 90 hoặc 180 ngày gần nhất.
Bên cạnh đó, việc tính toán thống kê cũng gặp phải vấn đề về việc lựa chọn tính và sử dụng tham số về độ bất ổn theo lịch thường hay theo số ngày giao dịch.
Ví dụ 4.2: Ước tính độ bất ổn
Bảng 4.1: Tính toán độ bất ổn-mô tả dữ liệu giao dịch CP trong 21 ngày liên tiếp.
Ngày Giá đóng cửa ($) Tương quan giá
1 i i
S
S− Lợi nhuận ngày
1
ln i
i i
u S
S−
=
0 20
1 201
8
2 197
8 0.98758 -0.01250
3 20 1.00629 0.00627
4 201
2 1.02500 0.02469
5 201
4 0.98781 -0.01227
6 207
8 1.03086 0.03040
7 207
8 1.00000 0.00000
8 207
8 1.00000 0.00000
9 203
4 0.99401 -0.00601
10 203
4 1.00000 0.00000
11 21 1.01205 0.01198
12 211
8 1.00595 0.00593
13 207
8 0.98817 -0.01190
14 207
8 1.00000 0.00000
15 201
4 1.01796 0.01780
16 213
8 1.00588 0.00587
17 213
8 1.00000 0.00000
18 211
4 0.99415 -0.00587
19 213
4 1.02353 0.02326
20 22 1.01149 0.01143
Trong ví dụ này: ∑ui =0.09531 và ∑ui2 =0.00333 Ta cũng tính được độ lệch chuẩn của lợi nhuận ngày là:
0.00333 0.95312
0.0123
19 − 380 =
Giả định một năm có 252 ngày giao dịch, τ =1 252, dữ liệu cho phép ước lượng độ bất ổn bình quân năm là 0.0123 252 0.195= . Như vậy, độ bất ổn ước tính là 19,5% một năm. Sai số chuẩn được tính như sau:
0.195
0.031 2* 20 = Tức là 3% một năm.
Những phân tích đã mô tả ở trên đều được thực hiện với giả thiết cổ phiếu được xem xét không trả cổ tức. Việc phân tích có thể điều chỉnh để tương thích trong trường hợp cổ phiếu có trả cổ tức. Lợi nhuận ui thu được trong khoảng thời gian theo dõi có ngày trả cổ tức là:
1
ln i
i
i
S D
u S−
= +
Trong đó D là lượng cổ tức thanh toán. Lợi nhuận thu được trong những khoảng thời gian theo dõi khác sẽ vẫn là:
1
ln i
i
i
u S
S−
=
Thuế là một yếu tố quan trọng cần xem xét trong xác định lợi nhuận thu được từ cổ phiếu xung quanh ngày giao dịch không hưởng cổ tức. Do vậy, sẽ tốt hơn nếu ta loại riêng ra dữ liệu trong những khoảng quan sát có ngày giao dịch hưởng cổ tức.