CHƯƠNG 2. Tính chất của dãy I -hội tụ trong không gian
2.2. Tính chất của dãy I -hội tụ
Mục này dành cho việc trình bày khái niệm và các tính chất của dãy I-hội tụ. Chứng minh mối liên hệ giữa tính chất của dãy I-hội tụ với một số tính chất của các loại hội tụ khác. Trong mục này ta quy ước I là một ideal nào đó trên N.
Định nghĩa 2.2.1 ([5]). Cho (X, τ) là một không gian topo, {xk} ⊂ X, x ∈ X và Ux là họ gồm tất cả các lân cận của x. Khi đó, {xk} được gọi là I-hội tụ đến x ∈ X nếu với mọi U ∈ Ux, ta có
AU = {k ∈ N : xk ∈/ U} ∈ I.
Lúc này, ta ký hiệu I-limxk = x hoặc xk →I x, và x được gọi là điểm I-giới hạn của dãy {xk}.
Nhận xét 2.2.2 ([5]). Giả sử I là một ideal trên N. Khi đó,
1) Giả sử I là chấp nhận được, {xn} ⊂ X và x ∈ X. Khi đó, nếu
limxk = x, thì I-limxk = x;
2) Nếu I là ideal không tầm thường, thì khẳng định trên nói chung là không đúng.
Thật vậy, ta có
(1) Giả sử I là ideal chấp nhận được, limxk = x và U ∈ Ux. Khi đó, vì {xk} hội tụ đến x nên tập hợp
AU = {k ∈ N : xk ∈/ U}
là hữu hạn. Như vậy, theo Nhận xét 2.1.2 ta suy ra rằng AU ∈ I, do đó I-limxk = x.
(2) Giả sử I = {1} và (X, τ) là một không gian topo thô khác rỗng, nghĩa là τ = {∅, X}. Khi đó, vì I 6= ∅ và N ∈ I/ nên ta suy ra rằng I là một ideal không tầm thường của N. Bây giờ, ta xét dãy {xk} ⊂ X với xk = x với mọi k ∈ N. Khi đó,
◦ limxk = x.
Giả sử U là lân cận bất kỳ của x trong X. Khi đó, xk = x ∈ U với mọi k ∈ N. Suy ra limxk = x.
◦ {xk} không là dãy I-hội tụ đến x trong X.
Giả sử U = X, khi đó U là lân cận của x trong X. Hơn nữa, AU = {n∈ N :xn ∈/ U} = {n∈ N : x /∈ X} = ∅ ∈ I/ .
Như vậy, {xk} không là dãy I-hội tụ đến x.
Bổ đề 2.2.3 ([5]). Giả sử I là một ideal trên N, và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó,
1) I = ∅ khi và chỉ khi với mọi dãy hằng {xk = x : k ∈ N} không là I-hội tụ đến x ∈ X.
2) NếuN ∈ I, thì I = 2N, và mọi dãy trong X là I-hội tụ đến mọi điểm của X.
3) NếuI là ideal không tầm thường trênNvàX là không gian Hausdorff, thì mỗi dãy I-hội tụ có duy nhất một điểm I-giới hạn.
Chứng minh. (1) Điều kiện cần. Giả sử I = ∅ và {xk = x : k ∈ N} là một dãy hằng trong X. Khi đó, vì I = ∅ nên AU ∈ I/ với mọi lân cận U của x. Như vậy, {xk} không là dãy I-hội tụ đến x ∈ X.
Điều kiện đủ. Giả sử rằng với mọi dãy hằng {xk = x : k ∈ N} không là I-hội tụ đến x ∈ X. Ta chứng minh I = ∅. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng I 6= ∅. Khi đó, tồn tại A ∈ I. Bởi vì I là một ideal và ∅ ⊂ A nên
∅ ∈ I. Ta lấy x ∈ X và dãy hằng {xk = x : k ∈ N}. Bởi vì {xk} không là I-hội tụ đến x nên tồn tại lân cận U ∈ Ux sao cho
∅ = {k ∈ N : xk ∈/ U}∈ I/ , đây là một mâu thuẫn.
(2) Rõ ràng rằng I ⊂ 2N. Bây giờ, giả sử N ∈ I và A ∈ 2N. Khi đó, A ⊂N. Bởi vì N ∈ I và I là một ideal nên A ∈ I. Như vậy, 2N ⊂ I.
Tiếp theo, giả sử {xk} là một dãy trong X, x ∈ X và U ∈ Ux. Khi đó, {k ∈ N : xk ∈/ U} ∈ 2X = I.
Suy ra {xk} là dãy I-hội tụ đến x trong X.
(3) Giả sử I là ideal không tầm thường và X là không gian Hausdorff, I-limxk = x và I-limxk = y. Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên tồn tại U ∈ Ux và V ∈ Uy sao cho U ∩V = ∅. Mặt khác, vì I-limxk = x và I-limxk = y nên
AU = {k ∈ N : xk ∈/ U} ∈ I, AV = {k ∈ N :xk ∈/ V} ∈ I.
Bởi vì I là một ideal nên ta có AU ∪AV ∈ I. Mặt khác, vì {k ∈ N : xk ∈ X \(U ∩V)}
= {k ∈ N :xk ∈ (X \U)∪(X \V)}
⊂ {k ∈ N : xk ∈ X \U} ∪ {k ≤ n :xk ∈ X \V}
= AU ∪AV ∈ I.
Bởi vì I là một ideal trên N nên
{k ∈ N : xk ∈ X \(U ∩V)} ∈ I.
Hơn nữa, vì U ∩V = ∅ nên N ∈ I. Điều này mâu thuẫn với I không là ideal tầm thường.
Định lí 2.2.4 ([5]). Giả sử I là ideal không tầm thường trên N và (X, τ) là T0-không gian có ít nhất hai điểm. Khi đó,
1) I-hội tụ trên X trùng với hội tụ thông thường khi và chỉ khi I = If; 2) I-hội tụ trên X trùng với hội tụ thống kê khi và chỉ khi I = Iδ. Chứng minh. Ta lấy a, b ∈ X sao cho a 6= b. Bởi vì X là T0-không gian nên không giảm tổng quát ta giả sử rằng tồn tại U ∈ Ua sao cho b /∈ U.
(1) Điều kiện cần. Giả sử I-hội tụ trùng với hội tụ thông thường. Ta chứng minh If = I. Thật vậy,
• If ⊂ I.
Giả sử F ∈ If, khi đó F là tập con hữu hạn của N. Ta xác định dãy {xn} trong X như sau.
xk =
b, nếu k ∈ F; a, nếu k ∈ N\F.
Bởi vì xk 6= b chỉ hữu hạn phần tử nên hiển nhiên rằng {xk} hội tụ thông thường đến a. Mặt khác, theo giả thiết điều kiện cần, I-hội tụ trùng với
hội tụ thông thường nên {xk} là I-hội tụ đến a. Bởi vì b /∈ U nên F = {k ∈ N :xk ∈/ U}.
Như vậy, F ∈ I, và If ⊂ I.
• I ⊂ If.
Giả sử A ∈ I, ta chứng minh A ∈ If, nghĩa là A là tập con hữu hạn của N. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng A là tập vô hạn của N. Bởi vì I là ideal không tầm thường nên I 6= ∅ và N ∈ I/ . Nếu N \A là tập hữu hạn, thì theo chứng minh trên ta có If ⊂ I, kéo theo N\ A ∈ I. Bởi vì I là ideal nên
N = A∪(N\A) ∈ I.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng N \A là tập vô hạn. Bây giờ ta định nghĩa dãy {xk} như sau:
xk =
a nếu k ∈ N\A b nếu k ∈ A Khi đó,
◦ {xk} là dãy I-hội tụ đến a.
Thật vậy, giả sử W ∈ Ua, kéo theo U ∩ W ∈ Ua. Bởi vì b /∈ U nên b /∈ U ∩ W. Do đó,
{k ∈ N : xk ∈/ U ∩W} = A ∈ I. Mặt khác, vì I là ideal và
{k ∈ N : xk ∈/ W} ⊂ {k ∈ N : xk ∈/ U ∩W}
nên {k ∈ N : xk ∈/ W} ∈ I. Như vậy, {xk} là dãy I-hội tụ đến a trong X.
◦ {xk} không hội tụ thông thường đến a trong X.
Thật vậy, vì U là lân cận của a,A vô hạn vàxk = b /∈ U với mọik ∈ A. Điều kiện đủ. Giả sử rằng I = If và {x} là dãy trong X. Khi đó,
• Nếu {xk} hội tụ đến x, thì với với mọi V ∈ Ux ta có AV = {k ∈ N : xk ∈/ V}
là tập hữu hạn. Do đó, AV ∈ If = I, và {xk} là dãy I-hội tụ đến x.
• Nếu {xk} là dãy I-hội tụ đến x, thì với mọi V ∈ Ux ta có {k ∈ N : xk ∈/ V} ∈ I.
Bởi vì I = If nên AV hữu hạn. Như vậy, {xk} hội tụ đến x.
(2) Điều kiện cần. Giả sử rằng I-hội tụ trùng với hội tụ thống kê. Ta chứng minh rằng I = Iδ.
Thật vậy, giả sử A∈ Iδ, ta xét dãy {xk} như sau.
xk =
a nếu k ∈ N\A b nếu k ∈ A.
Khi đó,
◦ {xk} là dãy hội tụ thống kê đến a.
Giả sử V ∈ Ua, kéo theo V ∩U ∈ Ua. Ta có
AV = {k ∈ N : xk ∈/ V} ⊂ {k ∈ N : xk ∈/ U ∩V} = A ∈ Iδ. Do đó, δ(A) = 0, và {xk} là dãy hội tụ thống kê đến a.
◦ Bởi vì giả thiết điều kiện cần ta suy ra {xk} là dãy I-hội tụ đến a. Bởi vì U ∈ Ua nên ta có
A = {k ∈ N : xk ∈/ U} ∈ I.
Do đó, Iδ ⊂ I. Hơn nữa, vì nếu tồn tại A ∈ I \ Iδ. Khi đó, A và N\A là các tập vô hạn. Do đó, ta suy ra rằng I ⊂ Iδ.
Bổ đề 2.2.5 ([5]). Cho I là một ideal trên N, (X, τ) là một không gian
topo, {xn},{yn} ⊂ X và x ∈ X. Khi đó, nếu xn →I x và {n∈ N : xn 6= yn} ∈ I,
thì yn →I x, x ∈ X.
Chứng minh. Giả sử rằng xn
→I x ∈ X và U ∈ Ux. Khi đó, AU{n∈ N :xn ∈/ U} ∈ I.
Ta lấy n bất kỳ sao cho
n /∈ {n ∈ N : xn 6= yn} ∪ {n ∈ N : xn ∈/ U}.
Lúc này n /∈ {n ∈ N : yn ∈/ U}. Do đó,
{n ∈ N : yn ∈/ U} ⊂ {n ∈ N : xn 6= yn} ∪ {n ∈ N : xn ∈/ U} Hơn nữa, vì I là ideal trên N nên ta có
{n ∈ N : yn ∈/ U} ∈ I.
Như vậy, yn →I x.
Bổ đề 2.2.6 ([5]). Cho I ⊂ J là hai ideal trên N. Khi đó, nếu xn →I x trong không gian topo (X, τ), thì xn
→J x.
Chứng minh. Với mỗi U ∈ Ux, bởi vì {xn} là dãy I-hội tụ nên AU = {n∈ N : xn ∈/ U} ∈ I.
Bởi vì I ⊂ J nên ta suy ra rằng
AU = {n ∈ N : xn ∈/ U} ∈ J. Điều này chứng tỏ rằng xn
→J x.
Nhận xét 2.2.7 ([5]). 1) Ta gọi Γ là họ gồm tất cả các ideal chấp nhận được của N. Trên Γ ta xét quan hệ bao hàm. Khi đó, theo bổ đề Zorn ta suy ra rằng trong Γ, tồn tại một ideal cực đại J.
2) Nếu J là một ideal cực đại của N và A ⊂ N, thì A ∈ J hoặc A∈ N\ J.
3) Ta gọi Θ(I) là họ gồm tất cả các ideal cực đại của N chứaI. Khi đó, I = TJ ∈Θ(I)J.
Mệnh đề 2.2.8 ([5]). Cho dãy {xn} trong không gian topo (X, τ) và I là một ideal trên N. Khi đó, với mọi J ∈ Θ(I) ta có xn →I x khi và chỉ khi xn
→J x.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử xn →I x. Theo Nhận xét 2.2.7 ta suy ra I ⊂ J với mọi J ∈ Θ(I). Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.6, ta thu được xn →J x với mọi J ∈Θ(I).
Điều kiện đủ. Giả sử U ∈ Ux, khi đó vì xn →J x với mọi J ∈ Θ(I) nên với mọi J ∈ Θ(I) ta có
AU = {n ∈ N : xn ∈/ U} ∈ J.