CHƯƠNG 2. Tính chất của dãy I -hội tụ trong không gian
2.3. Tính chất của các tập I -mở, I -đóng
Mục này dành cho việc trình bày về tập I-mở, tập I-đóng và các tính chất của chúng. Nghiên cứu mối liên hệ giữa tập I-mở, tập mở dãy và tập mở; mối quan hệ giữa các tập I-đóng, tập đóng dãy và tập đóng.
Định nghĩa 2.3.1 ([5]). Cho I là một ideal trong N và (X, τ) là một không gian topo, U ⊂X. Khi đó,
1) U được gọi là I-đóng nếu với mọi dãy {xn} ⊂ U thỏa mãn xn
→I x, ta đều có x ∈ U;
2) U được gọi là I-mở nếu X \U là tập I-đóng.
Bổ đề 2.3.2 ([5]). Cho (X, τ) là không gian topo, U ⊂ X và I là một ideal không tầm thường trên N. Khi đó,
1) Nếu U là tập đóng, thì U là tập I-đóng;
2) Nếu U mở, thì U là tập I-mở.
Chứng minh. (1) Giả sử U là tập đóng, {xn} ⊂ U sao cho xn →I x. Ta phải chứng minh rằng x ∈ U. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng x /∈ U, kéo theo x ∈ X \U. Bởi vì U đóng nên X \U là mở, do đó X \U là lân cận mở của x trong X. Mặt khác, vì xn →I x nên ta suy ra
AX\U = {k ∈ N : xk ∈/ X \U} ∈ I.
Hơn nữa, vì {xn} ⊂ U nên AX\U = N, kéo theo N ∈ I. Như vậy, I là một ideal tầm thường, đây là một mâu thuẫn.
(2) Giả sử U là tập mở, khi đó X \U là tập đóng. Theo (1) ta suy ra X \U là tập I-đóng. Do đó, U là tập I-mở.
Định nghĩa 2.3.3 ([5]). Cho (X, τ) là một không gian topo, F ⊂X. Khi đó,
1) F được gọi là đóng dãy nếu không có dãy nào nằm trong F hội tụ đến điểm nằm ngoài F.
2) F được gọi là mở dãy nếu X \F là tập đóng dãy.
Bổ đề 2.3.4 ([5]). Cho I,J là hai ideal trên N sao cho I ⊂ J và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, nếu U là tập J-mở trong X, thì U cũng là tập I-mở trong X.
Chứng minh. Giả sử{xn} ⊂ X\U sao choxn →I x ∈ X. Khi đó, vìI ⊂ J nên theo Bổ đề 2.2.6 ta suy ra xn
→J x. Mặt khác, vì U là tập J-mở nên X \U là tập J-đóng. Điều này chứng tỏ rằng x ∈ X \U, và X \U là tập J-đóng. Do đó, U là tập I-mở.
Hệ quả 2.3.5 ([5]). Giả sử rằng {Iα : α ∈ A} là một họ các ideal trên N, (X, τ) là một không gian topo và U ⊂X. Khi đó, nếu U là tập Iα-mở với mọi α ∈ A, thì U là tập T
α∈AIα-mở.
Chứng minh. Bởi vì {Iα : α ∈ A} là họ gồm các ideal trên N nên ta suy ra T
α∈AIα cũng là một ideal trên N thỏa mãn T
α∈AIα ⊂ Iα với mọi α ∈ A.
Hơn nữa, bởi vì U là tập Iα-mở nên theo Bổ đề 2.3.4 ta suy ra rằng U là tập T
α∈AIα-mở.
Bổ đề 2.3.6 ([5]). Cho không gian topo (X, τ), A ⊂ X và I là một ideal trên N. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.
1) A là tập I-mở.
2) Với mọi dãy {xn} ⊂ X mà xn
→I x ∈ A ta đều có {n∈ N : xn ∈ A} ∈ I/ ; 3) Với mọi dãy {xn} ⊂ X mà xn
→I x ∈ A ta đều có
|{n ∈ N : xn ∈ A}| = ω.
Chứng minh. (1) ⇒(2). Giả sử rằng A là tập I-mở trong X, {xn} là một dãy trong X thỏa xn →I x ∈ A. Đặt
N0 = {n ∈ N : xn ∈ A}.
Nếu N0 ∈ I, thì N0 6= N. Do đó, A 6= X, kéo theo tồn tại a ∈ X \A. Bây giờ, ta xây dựng dãy {yn} trong X được định nghĩa như sau.
yn =
a nếu n ∈ N0 xn nếu n /∈ N0.
Theo Bổ đề 2.2.5, yn →I x. Bởi vì X \A là tập I-đóng và {yn} ⊂ X \A nên x∈ X \A, đây là một mâu thuẫn. Như vậy, N0 ∈ I/ .
Bởi vì ideal I là chấp nhận được nên rõ ràng ta có (2) ⇒ (3).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh (3) ⇒ (1). Giả sử rằng tập A không phải là tập I-mở trong X. Khi đó, X \A không phải là I-đóng. Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ X \A sao cho xn →I x ∈ A. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với khẳng định (3).
Bổ đề 2.3.7 ([5]). Giả sử J là một ideal cực đại của N và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó,A ⊂ X là tập J-mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ A và với mỗi dãy xn →J x, tồn tại E ∈ J sao cho xn ∈ A với mọi n /∈ E.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử rằng A ⊂ X là tập J-mở, x ∈ A và xn →J x ∈ A. Bởi vì J là ideal cực đại nên nhờ Bổ đề 2.3.6, ta suy ra
E = {n∈ N : xn ∈/ A} ∈ J. Do đó, xn ∈ A với mọi n /∈ E.
Điều kiện đủ. Giả sử rằng với mỗi x ∈ X và với mỗi dãy xn →J x, tồn tại E ∈ J sao cho xn ∈ A với mọin /∈ E. Ta chứng minh A là tập J-mở, nghĩa là cần chứng minh X \A là tập J-đóng.
Thật vậy, giả sử {zn} là dãy trong X \A với zn →J z ∈ X. Khi đó, nếu z ∈ A, thì theo giả thiết điểu kiện đủ ta suy ra tồn tại F ∈ J sao cho zn ∈ F với mọi n /∈ F. Bởi vì zn ∈/ A với mọi n ∈ N nên ta suy ra F = N, kéo theo N ∈ J. Điều này chứng tỏ J là ideal tầm thường, mâu thuẫn với J là ideal cực đại.
Định lí 2.3.8 ([5]). Cho J là một ideal cực đại của N và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, nếu U, V là hai tập con J-mở trênX, thìU ∩V là J-mở.
Chứng minh. Giả sử x là điểm bất kỳ trong U ∩ V và {xn} ⊂ X mà xn
→J x. Khi đó, Vì U, V là hai tập con J-mở của X nên tồn tại các tập E, F ∈ J sao cho xn ∈ U với mọi n /∈ E và xn ∈ V với mọi n /∈ F. Suy ra xn ∈ U ∩ V với mọi n /∈ E ∩ F. Bởi vì E, F ∈ J và J là một idean nên E∪F ∈ J. Như vậy, tồn tại E ∪F ∈ J sao cho
xn ∈ U ∩V với mọi n /∈ E∪ F. Theo Bổ đề 2.3.7 ta suy ra U ∩ V là tập J-mở trong X.