CHƯƠNG 2. Tính chất của dãy I -hội tụ trong không gian
2.4. Không gian I -Fréchet-Urysohn và không gian I -dãy
Mục này dành cho việc trình bày về không gian Fréchet-Urysohn , không gian I-Fréchet-Urysohn , không gian dãy, không gian I-dãy. Nghiên cứu tính di truyền lên không gian con, không gian thương, không gian tổng cũng như mối liên hệ của các không gian đó.
Định nghĩa 2.4.1 ([5]). Giả sử (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, 1) X được gọi là không gian Fréchet-Urysohn nếu với mỗi x ∈ A, tồn
tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →x.
2) X được gọi là không gian I-Fréchet-Urysohn nếu với mỗi x ∈ A, tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x.
Định nghĩa 2.4.2 ([5]). Cho (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, 1) X được gọi là không gian dãy nếu mọi tập con đóng dãy trong X đều
là tập đóng.
2) X được gọi là I-dãy nếu mỗi tập con I-đóng là đóng trong X. Định lí 2.4.3 ([5]). Đối với không gian topo (X, τ), các khẳng định sau là đúng.
1) Nếu I là ideal chấp nhận được và X là không gian Fréchet-Urysohn , thì X là không gian I-Fréchet-Urysohn ;
2) NếuX là không gian I-Fréchet-Urysohn , thìX là không gian I-dãy;
3) Không gian con của không gian I-Fréchet-Urysohn là không gian I-Fréchet-Urysohn .
Chứng minh. (1) Giả sử X là không gian Fréchet-Urysohn , A ⊂ X và x ∈ A. Khi đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn → x. Bởi vì I là ideal chấp nhận được nên nhờ Nhận xét 2.2.2 ta suy ra xn →I x. Như vậy, X là không gian I-Fréchet-Urysohn .
(2) Giả sử A là tập con I-đóng trong X. Ta chứng minh rằng A là tập con đóng trong X. Thật vậy, giả sử ngược lại A không đóng trong X. Khi đó, tồn tại x ∈ A\A. Bởi vì X là không gian I-dãy nên tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x. Mặt khác, vì A là tập đóng dãy nên ta suy ra x ∈ A. Điều này mâu thuẫn với x /∈ A. Như vậy, A đóng trong X.
(3) Giả sử Y là không gian con của không gian I-Fréchet-Urysohn (X, τ), A⊂ Y và x ∈ AY. Khi đó, vì
AY = Y ∩A
nên ta suy ra x ∈ A. Bởi vì X là I-Fréchet-Urysohn nên ta suy ra tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x trong X. Bây giờ để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng xn →I x trong Y. Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của x trong Y. Khi đó, tồn tại lân cận mở V của x trong X sao cho U = Y ∩ V. Bởi vì xn →I x trong X nên
{n ∈ N : xn ∈/ V} ∈ I.
Mặt khác, vì {xn} ⊂ A ⊂Y nên ta suy ra
{n ∈ N : xn ∈/ U} = {n ∈ N : xn ∈/ V} ∈ I.
Như vậy, xn
→I x trong Y.
Định lí 2.4.4 ([5]). Giả sử I và J là hai ideal của N thỏa mãn I ⊂ J. Khi đó, nếu X là không gian I-Fréchet-Urysohn , thì X là không gian J-Fréchet-Urysohn .
Chứng minh. Giả sử rằng A ⊂ X và x ∈ A. Khi đó, vì X là không gian I-Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x. Kết hợp
với I ⊂ J, ta suy ra với mọi lân cận U của x trong X ta có {n∈ N : xn ∈/ U} ∈ I ⊂ J.
Điều này chứng tỏ rằng tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →J x. Như vậy, X là không gian J-Fréchet-Urysohn .
Bổ đề 2.4.5 ([5]). Giả sử (X, τ) là một không gian dãy. Khi đó, 1) Mỗi tập con I-đóng là đóng dãy;
2) Mỗi tập con I-mở là mở dãy.
Chứng minh. (1) Giả sửF là tập conI-đóng và{xn} ⊂ F sao cho xn → x trong X. Khi đó, theo Nhận xét 2.2.2(1) ta suy ra xn →I x. Bởi vì F là tập I-đóng nên x ∈ F, do đó F là tập đóng dãy.
(2) Giả sử rằng U là tập I-mở. Khi đó, X \U là tập I-đóng. Theo (1) ta suy ra X \U là tập đóng dãy, do đó U là tập mở theo dãy.
Bổ đề 2.4.6 ([5]). Không gian topo (X, τ) là I-dãy khi và chỉ khi mỗi tập con I-mở là mở trong X.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là không gian I-dãy và U là tập I-mở của X. Ta cần chứng minh rằng U là tập mở. Thật vậy, vì U là tập I-mở nên X \U là tập I-đóng. Bởi vì X là không gian I-dãy nên X \U là tập đóng. Do đó, U là tập mở trong X.
Điều kiện đủ. Giả sử mỗi tập I-mở trong X là mở. Ta cần chứng minh rằng X là không gian I-dãy. Thật vậy, giả sử U là tập I-đóng trong X. Khi đó, X \U là tập I-mở trong X. Theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra X \U là mở trong X. Do đó, U là tập đóng trong X.
Bổ đề 2.4.7 ([5]). Cho I,J là hai ideal trên N sao cho I ⊂ J và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, nếu X là không gian I-dãy, thì X cũng là không gian J-dãy.
Chứng minh. Giả sử U ⊂ X là tậpJ-mở. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.6 ta suy ra U cũng là tập I-mở. Hơn nữa, vì X là không gian I-dãy nên U là tập mở trong X. Bởi thế, X là một không gian J-dãy.
Định lí 2.4.8 ([5]). Mọi không gian dãy là không gian I-dãy.
Chứng minh. Giả sử (X, τ) là không gian dãy và U là tập I-đóng trong X. Khi đó, theo Bổ đề 2.4.5 ta suy ra U là tập đóng dãy. Mặt khác, vì X là không gian dãy nên U là tập đóng trong X. Như vậy, X là không gian dãy.
Định lí 2.4.9 ([5]). Không gian I-dãy là di truyền lên không gian con I-đóng và di truyền lên không gian con I-mở.
Chứng minh. Giả sử (X, τ) là không gian I-dãy và Y ⊂ X. Khi đó, (1) Nếu Y là tập con I-mở của X, thì do X là không gian I-dãy nên theo Bổ đề 2.4.5 ta suy ra Y mở trong X. Ta chứng minh rằng Y là không gian I-dãy.
Giả sử U là tập con I-mở trong Y. Khi đó, vì X là không gian I-dãy nên theo Bổ đề 2.4.6, để chứng minh U mở trong Y ta chỉ cần chứng minh rằng U là tập I-mở trong X. Thật vậy,
◦ Nếu U = Y, thì do Y là tập I-mở trong X nên ta suy ra U là tập I-mở trong X.
◦ Nếu U 6= Y, thì tồn tại y ∈ Y \U. Bây giờ, giả sử rằng x ∈ U và dãy {xn} ⊂ X sao cho xn →I x. Bởi vì Y mở trong X và x ∈ Y nên
{n ∈ N : xn ∈/ Y} ∈ I.
Với mọi n ∈ N, ta đặt
yn =
xn nếu xn ∈ Y y nếu xn ∈/ Y.
Khi đó,
{n ∈ N : xn 6= yn} = {n ∈ N : xn ∈/ Y} ∈ I.
Nhờ Bổ đề 2.2.5, ta suy ra rằng yn →I x. Mặt khác, vì y /∈ U nên
|{n ∈ N : xn ∈/ U}| = |{n ∈ N : yn ∈/ U}|.
Do đó, theo Bổ đề 2.3.6 ta suy ra U là tập I-mở.
(2) Nếu Y là tập con I-đóng của X, thì theo Bổ đề 2.4.5 ta suy ra Y đóng trong X. Ta chứng minh rằng Y là không gian I-dãy.
Giả sử F là tập con I-đóng trong Y. Khi đó, vì X là không gian I-dãy nên theo Bổ đề 2.4.6, để chứng minh F mở trong Y ta chỉ cần chứng minh rằng F là tập I-đóng trong X.
Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ F thỏa mãn xn
→I x trong X. Bởi vì Y là đóng nên ta có x ∈ Y. Như vậy, xn →I x trong Y. Bởi vì F là tập I-đóng trong Y nên ta suy ra x ∈ F. Do đó, F là tập I-đóng của Y.
Định lí 2.4.10 ([5]). Giả sử I là một ideal chấp nhận được và (X, τ) là một không gian topo. Khi đó, X là không gian I-Fréchet-Urysohn khi và chỉ khi mọi không gian con của X đều là không gian I-dãy.
Chứng minh. Điều kiện cần. GIả sử X là không gian I-Fréchet-Urysohn . Khi đó, theo Định lí 2.4.3 (3) ta suy ra mọi không gian con của X là I-Fréchet-Urysohn . Lại theo Định lí 2.4.3 (2) ta suy ra mọi không gian con của X là không gian I-dãy.
Điều kiện đủ. Giả sử mọi không gian con của X đều là không gian I-dãy. Ta chứng minh X là không gian I-Fréchet-Urysohn . Thật vậy, giả sử A ⊂ X và x ∈ A. Khi đó,
◦ Nếu x ∈ A, thì ta lấy xn = x với mọi n∈ N. Khi đó, ta thu được dãy {xn} ⊂ A. Bởi vì I là ideal chấp nhận được nên ta có
{n∈ N : xn ∈/ U} = ∅ ∈ I.
Như vậy, xn →I x trong X.
◦ Nếu x /∈ A, thì x ∈ A\A, kéo theo A không đóng trong X. Bây giờ, ta đặt Y = A∪ {x}, khi đó Y là không gian con của X. Bởi vì A ⊂ Y và A không đóng trong X nên A không đóng trong Y. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng A đóng trong Y. Khi đó, tồn tại F đóng trong X sao cho
A = Y ∩F = (A∪ {x})∩F = (A∩F)∪({x} ∩F). (2.1) Nhờ (2.1) ta suy ra A ⊂ F, kéo theo x ∈ A ⊂ F = F. Do đó, từ (2.1) ta có A = A∪ {x}, đây là một mâu thuẫn.
Bởi giả thiết ta suy ra Y là không gian I-dãy. Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ A sao cho xn →I x.
Như vậy, X là không gian I-Fréchet-Urysohn .
Định lí 2.4.11 ([5]). Giả sử {(Xα, τα)}α∈Λ là họ gồm các không gian topo và X = Lα∈ΛXα. Khi đó,
1) Nếu (Xα, τα) là không gian I-Fréchet-Urysohn với mọi α ∈ Λ, thì X cũng là không gian I-Fréchet-Urysohn ;
2) Nếu(Xα, τα) là không gian I-dãy với mọiα ∈ Λ, thìX cũng là không gian I-dãy.
Chứng minh. (1) Giả sử A ⊂ X và x ∈ A. Khi đó, tồn tại α ∈ Λ sao cho x ∈ Xα. Trước tiên ta chứng minh rằng
Xα ∩A= Xα∩ AXα. (2.2)
◦ Ta có Xα∩AXα là tập đóng nhỏ nhất trong Xα chứa Xα∩A. Bởi vì A đóng trong X chứa A nên Xα∩A là tập đóng trong Xα chứa Xα∩A. Do đó,
Xα∩AXα ⊂ Xα∩A. (2.3)
◦ Xα∩AXα là tập đóng trong Xα nên tồn tại F đóng trong X sao cho Xα∩AXα = Xα∩F.
Bởi vì Xα∩A ⊂ Xα nên ta có
Xα∩A ⊂ Xα∩ AXα = Xα∩F.
Suy ra Xα ∩ A ⊂ F, kéo theo Xα∩A ⊂ F = F. Mặt khác, vì Xα đóng trong X nên
Xα∩A ⊂ Xα = Xα. Do đó, ta có
Xα ∩A ⊂Xα∩F = Xα ∩FXα. (2.4) Nhờ (2.3) và (2.4) ta suy ra (2.2) là đúng.
Tiếp theo, bởi vì
x ∈ Xα ∩A= Xα∩ AXα
và Xα là không gian I-Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {xn} ⊂ Xα ∩A sao cho xn →I x trong Xα. Bởi vì {xn} ⊂ A nên để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng xn →I x trong X.
Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của x trong X. Khi đó, vì Xα mở trong X nên U ∩Xα là lân cận mở của x trong Xα. Mặt khác, vì xn →I x trong Xα nên tồn tại m ∈ N sao cho
{n∈ N :xn ∈/ U ∩Xα} ∈ I.
Hơn nữa, vì {xn} ⊂ Xα nên ta có
{n ∈ N : xn ∈/ U} = {n∈ N :xn ∈/ U ∩Xα} ∈ I.
Điều này chứng tỏ rằng xn →I x trong X.
(2) Giả sử F là tập con I-đóng trong X. Khi đó, với mỗi α ∈ Λ, ta có
• F ∩Xα là I-đóng trong X.
Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ F ∩ Xα sao cho xn →I x trong X. Bởi vì Xα đóng trong X nên theo Bổ đề 2.3.2 ta suy ra Xα là I-đóng trong X. Mặt khác, vì {xn} ⊂ Xα và xn →I x trong X nên x ∈ Xα. Hơn nữa, vì {xn} ⊂ F, xn →I x trong X và F là tập I-đóng nên x ∈ F. Như vậy, x ∈ F ∩ Xα, do đó F ∩Xα là tập I-đóng trong X.
• F ∩Xα là I-đóng trong Xα.
Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ F ∩Xα sao cho xn →I x trong Xα và U là lân cận bất kỳ của x trong Xα. Khi đó, tồn tại lân cận V của x trong X sao cho U = Xα∩V. Bởi vì F ∩Xα ⊂ Xα nên
{n ∈ N : xn ∈/ V} = {n∈ N : xn ∈/ U} ∈ I.
Do đó, xn →I x trong X. Bởi vì F ∩ Xα đóng trong X nên ta suy ra x ∈ F ∩Xα. Bởi thế, F ∩Xα là tập I-đóng trong Xα. Hơn nữa, vì Xα là không gian I-dãy nên F ∩Xα là tập đóng trong Xα.
Như vậy, F ∩ Xα là đóng trong Xα với mọi α ∈ Λ. Theo định nghĩa topo tổng ta suy ra F đóng trong X. Do đó, X là không gian I-dãy.
Bổ đề 2.4.12 ([5]). Dãy I-hội tụ bất biến qua ánh xạ liên tục.
Chứng minh. Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ liên tục từ không gian topo (X, τ) vào không gian topo (Y, σ), xn →I x trong X. Ta chứng minh rằng f(xn) →I f(x) trong Y.
Thật vậy, giả sử U là lân cận bất kỳ của f(x) trong Y. Khi đó, vì f là ánh xạ liên tục nênf−1(U)là lân cận của xtrong X. Mặt khác, vì xn →I x trong X nên
{n ∈ N : xn ∈/ f−1(U)} ∈ I. Hơn nữa, vì
{n ∈ N : xn ∈/ f−1(U)} = {n ∈ N : f(xn) ∈/ U}
nên ta suy ra rằng
{n∈ N : f(xn) ∈/ U} ∈ I.
Do đó, f(xn) →I f(x) trong Y, và f bảo toàn dãy I-hội tụ.
Định lí 2.4.13 ([5]). Giả sử f : (X, τ) → (Y, σ) là ánh xạ liên tục và (X, τ) là không gian I-dãy. Khi đó, f bảo toàn I-dãy hội tụ.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.4.12 ta suy ra và f bảo toàn dãy I-hội tụ. Bây giờ, giả sử rằng f bảo toàn dãy I-hội tụ. Ta chứng minh rằng f liên tục.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng f không liên tục. Khi đó, tồn tạiU ∈ σ sao cho f−1(U) ∈/ τ, kéo theo X \f−1(U) không đóng trong X. Bởi vì X là không gian I-dãy nên ta suy ra X\f−1(U) không là tập I-đóng trong X. Do đó, tồn tại {xn} ⊂ X\f−1(U) sao choxn →I x nhưng x /∈ X\f−1(U). Suy ra x ∈ f−1(U), kéo theo f(x) ∈ U. Mặt khác, vì f bảo toàn I-dãy nên f(xn) →I f(x) trong Y. Hơn nữa, vì U mở nên theo Bổ đề 2.3.2, U là tập I-mở, kéo theo X \U là tập I-đóng. Bởi vì {f(xn)} ⊂ X \U nên ta suy ra f(x) ∈ X \U. Điều này mâu thuẫn với f(x) ∈ U. Như vậy, f là ánh xạ liên tục.
Định lí 2.4.14 ([5]). Không gian thương của một không gian I-dãy là không gian I-dãy.
Chứng minh. Giả sử(X, τ) là một không gian topo,(X∗, τ∗) là không gian thương của X và A ⊂ X∗ là tập I-mở trong X∗. Ta chứng minh rằng A mở trong X∗. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng A không là tập mở trong X∗. Khi đó, nhờ định nghĩa không gian thương ta suy ra π−1(A) không mở trong X, kéo theo X\π−1(A) không đóng trong X. Bởi vì X là không gian I-dãy nên X \π−1(A) không là tập I-đóng trong X. Do đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ X \π−1(A) sao cho
xn →I x ∈ π−1(A)
trong X. Mặt khác, vì π là liên tục nên nhờ Bổ đề 2.4.12, ta suy ra π(xn) →I π(x) ∈ A.
Như vậy, tồn tại dãy {π(xn)} ⊂ X∗ \A sao cho π(xn) →I π(x) ∈ A.
Điều này chứng tỏ rằng X∗ \A không là tập I-đóng. Do đó, A không là tập I-mở, đây là một mâu thuẫn.