Các cơ sở toán học cho phân tích tin hiệu

PHẦN 3: CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TÍN HIỆU

3.1. Các cơ sở toán học cho phân tích tin hiệu

3.1.1.1. Không gian vector:

Một không gian vector E qua trường số thực R hoặc phức C, là một tập vector E, tương ứng với phép cộng và phép nhân vô hướng.

x, y  E là một tập hợp hoặc chuỗi gồm n phần tử x + y = (x1,x2,…)+(y1,y2,…) = (x1 + y1, x2 + y2,…) αx = α(x1,x2,…) = (αx1,αx2,…)

3.1.1.2. Vector trực chuẩn:

Vector trong không gian V đƣợc gán thêm độ dài ||v||.

Tính chất:

- ||v|| thực và dương.

- ||v||=0 chỉ khi v=0.

- ||αv||=|α|.||v|| với α  R.

- ||u + v|| ≤ ||u||.||v||.

Phân tích rời rạc:

(3.1) Phân tích liên tục:

(3.2)

3.1.1.3. Không gian con và tập sinh:

Một tập M đƣợc gọi là không gian con của E nếu:

. x,y  M thì x + y  M.

. x  M,α  C hoặc R thì αx  M.

27 Cho S  E, tập sinh của S là một không gian con của E bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong S.

Các không gian hữu hướng:

3.1.1.4. Tích trong:

Một tích trong trên không gian vector E ( qua C hoặc R ) là một giá trị phức

<.,.>, định nghĩa trên ExE với các tính chất sau:

<x + y,z> = <x,z> + <y,z>.

<x,αy> = α<x,y>.

<x,y>* = <y,x>.

<x,x> ≥ 0 và <x,x> = 0  x = 0.

Tích trong là tuyến tính.

Chuẩn của vector đƣợc định nghĩa từ tích trong: ||x|| = √<x,x>

Khoảng cách giữa hai vector x và y là hiệu chuẩn của chúng: ||x – y||.

Trong phân tích rời rạc

(3.3) Trong phân tích liên tục:

(3.4) 3.1.2. Trực giao và trực chuẩn:

Cho x, y  E, chúng đƣợc gọi là trực giao nếu và chỉ nếu <x,y> = 0.

Chúng thỏa mãn định lý Pythagor: ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2.

Một vector x đƣợc gọi là trực giao với tập vector S = {yi} nếu <x,yi>= 0, y.

Hai không gian con S1,S2,chúng đƣợc gọi là trực giao, nếu tất cả các vector của S1 là trực giao với tất cả các vector của S2.

Một tập vector {x1,x2,…} đƣợc gọi là trực giao nếu xi  xj, khi i  j.

Nếu các vector đƣợc chuẩn hóa để có chuẩn là L, thì chúng ta có hệ thống trực chuẩn, và chúng thỏa mãn điều kiện <xi,xj> = (i-j).

28 3.1.3. Không gian Hilbert:

Không gian vector đƣợc trang bị một tích trong đƣợc gọi là không gian tích trong đầy đủ. Một không gian tích trong đầy đủ gọi là không gian Hilbert.

Chúng ta quan tâm đến không gian Hilbert có thể chia đƣợc, bởi vì một không gian Hilbert chứa một cơ sở trực chuẩn đếm đƣợc nếu và chỉ nếu nó là chia đƣợc.

Cho một không gian Hilbert E và một không gian con S, bù trực giao của S kí hiệu S là {x  E|xS}. Giả sử S là một tập hợp đóng, nhƣ vậy nó chứa tất cả các chuỗi vector giới hạn.

Cho các vector y  E, tồn tại duy nhất v  S, và cũng tồn tại duy nhất wS sao cho y = v + w. Chúng ta có thể viết:

E = S  S

E là tổng trực tiếp của không gian con và bù trực giao của nó.

3.1.4. Cơ sở trực chuẩn:

3.1.4.1. Phương pháp trực giao hóa Grand – Smchidt:

Cho một tập các veetor độc lập tuyến tính {xi}  E, chúng ta có thể xây dựng một tập trực chuẩn {yi} với cùng tập sinh nhƣ sau:

Đặt:

Tập đệ qui:

k = 2,3, … (3.5) Trong đó:

Lúc đó {yi} là một cơ sở trực chuẩn của E.

3.1.4.2. Bất đẳng thức Bessel:

Nếu chúng ta có một hệ thống vector trực chuẩn {xi}  E thì y  E đều thỏa mãn bất đẳng thức Bessel:

(3.6)

29 Nếu ta có một hệ thống trực chuẩn đầy đủ trong E, thì ta có một cơ sở trực chuẩn trong E, và quan hệ Bessel trở thành đẳng thức, đƣợc gọi là đẳng thức Parseval.

3.1.4.3. Cơ sở trực chuẩn:

Một tập vector S ={xi} đƣợc gọi là cơ sở trực chuẩn khi có hai điều kiện sau:

- Tất cả các vector trong S là trực chuẩn.

- Nó là đầy đủ. Nghĩa là mỗi vector bất kỳ của không gian đều có thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S.

Một hệ thống trực chuẩn {xi} đƣợc gọi là một cơ sở trực chuẩn của E nếu với mỗi y E thì:

Định lý: Cho một hệ thống trực chuẩn {x1,x2,…,xn}  E, các điều kiện sau là tương đương:

- Tập các vector {x1,x2,…,xn} là một tập cơ sở.

- Nếu <xi,y> = 0 với i = 1, … thì y = 0.

- Tập sinh ({xi}) là trù mật trong E, đó là mỗi vector trong E là một giới hạn của chuỗi vector trong tập sinh ({xi}).

- Với y1,y2  E, thì , phương trình Parseval tổng quát.

3.1.5. Cơ sở tổng quát:

Một hệ thống , tạo nên một cặp cơ sở đồng trực giao của không gian Hilbert E nếu và chỉ nếu:

-

- Tồn tại các hằng số dương A,B,A~,B~ sao cho y  E thì

30 3.1.6. Đại số tuyến tính:

a) Giá trị riêng và vector riêng:

Đa thức đặc tính của ma trận A là D(x) =det(xI – A) nghiệm của đa thức này gọi là giá trị riêng li.

Vector p  0 thỏa Ap = l được gọi là vector riêng tương ứng với các giá trị riêng .

Nếu một ma trận có kích thước n x n, có n vector độc lập tuyến tính, thì nó có thể đƣợc chéo hóa và đƣợc viết:

A = TT-1

: ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng của A dọc theo đường chéo T: ma trận có các vector riêng là cột.

Vector riêng là quan trọng trong việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính. Giả sử rằng ma trận A có tập các vector riêng độc lập tuyến tính, vector x có thể đƣợc viết bằng một tổ hợp tuyến tính của các vector riêng thì:

b) Biến đổi tuyến tính:

Phép biến đổi X từ không gian V thành vector Y trong không gian W Nếu V=W thì T là toán tử tuyến tính. Và T phải thỏa:

- T(x+y)=T(x)+T(y).

- T(cx)=cT(x).

c) Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính:

- Các vector x1, x2…xn đƣợc gọi là độc lập tuyến tính - Ngƣợc lại, các vector là phụ thuộc tuyến tính.

- Nếu có vô hạn các vector x1, x2 … chúng là độc lập tuyến tính nếu với k  Z, thì x1, x2 …xk là độc lập tuyến tính.

- Một tập hợp con {x1,…,xn} của không gian vector E đƣợc gọi là cơ sở của E khi E = Span{x1,…xn} và x1, x2, …xn là độc lập tuyến tính. Lúc đó chúng ta gọi E có n chiều.

31 3.1.7. Xử lý tín hiệu:

3.1.7.1. Định nghĩa hàm Dirac:

Hàm Dirac (t) đƣợc định nghĩa:

(3.7)

3.1.7.2. Quá trình lấy mẫu:

a) Quá trình lấy mẫu:

Quá trình lấy mẫu là hết sức quan trọng trong xử lý tín hiệu rời rạc thời gian.

Gọi fT(t) là phiên bản mẫu của f(t), ta có:

(3.8) b) Định lý lấy mẫu:

Nếu F(t) là liên tục và băng thông hữu hạn đến m, thì nó có thể đƣợc định nghĩa duy nhất bởi mẫu lấy tại 2m. Tần số lấy mẫu nhỏ nhất để có thể khôi phục lại F(t) là S=2m. Khi đó:

(3.9)

Trong đó:

3.1.7.3. Xử lí tín hiệu liên tục:

a) Biến đổi Laplace:

Biến đổi Laplace:

(3.10) Biến đổi Laplace ngƣợc:

(3.11) Kí hiệu của cặp biến đổi Laplace:

f(t)  F(s)

32 Biến đổi Laplace với các ROC khác nhau thì tương ứng với các tín hiệu trong miền thời gian khác nhau.

b) Hệ thống bất biến thời gian tuyến tính:

Tích chập: cho f(t) và g(t) có biến đổi Laplace ngược tương ứng là F(s) và G(s) thì: f(t)*g(t)  F(s)G(s)

Với ROC chứa ROC của F(s) và G(s).

Sau khi lấy biến đổi Laplace, ta có:

(3.12)

Chúng ta có thể xem đầu vào và đầu ra có quan hệ với nhau qua một bộ lọc có đáp ứng xung là h(n), với h(n) là biến đổi Laplace ngƣợc của H(s).

3.1.7.4. Xử lý tín hiệu rời rạc:

a) Biến đổi Z:.

Biến đổi Z của một hàm F(n) đƣợc định nghĩa:

Với Z  C.

Biến đổi Z có các ROC khác nhau sẽ cho các tín hiệu khác nhau trong miền thời gian.

Trong ROC, cặp biến đổi tương ứng là

f(n)  F(Z), Z  ROC b) Tích chập - bộ lọc rời rạc:

Tích chập: cho f(n) và g(n) có biến đổi Z tươngứng là F(Z) và G(Z) thì:

f(n)*g(n)  F(Z)G(Z) Với ROC chứa ROC của F(Z) và G(Z).

Lấy biến đổi Z hai vế và dùng tính chất trễ, ta có hàm truyền là tỷ số của đầu vào và đầu ra (ở dạng biến đổi Z):

33

(3.13)

Nhƣ vậy, đầu ra và đầu vào có quan hệ bởi tích chập với bộ lọc thời gian rời rạc có đáp ứng xung là h(n), với h(n) là biến đổi Z ngƣợc của H(Z).

ROC phụ thuộc vào chúng ta muốn lấy nghiệm là nhân quả hay không nhân quả.

Một chuỗi gọi là nhân quả khi x(n) = 0, với n < 0.

Hệ thống là ổn định nếu và chỉ nếu ROC chứa vòng tròn đơn vị.

Một hệ thống có hàm truyền là phân số ổn định nếu và chỉ nếu các cực ở trong đường tròn đơn vị.