Chương 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.2. Một số nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT
1.2.1. Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Habiba El Bouazzaoui (1988)
Trong [15], tác giả đã nghiên cứu thể chế dạy học THPT ở Maroc theo quan điểm của Didactic Toán. Tác giả đã nghiên cứu quan niệm của GV và HS về khái niệm HSLT và so sánh quan niệm của GV và HS. Để thực hiện được việc này, tác giả đã nghiên cứu sự tiến triển của các quan niệm trong lịch sử hình thành khái niệm tính liên tục của một hàm số và nghiên cứu những quan niệm trong các chương trình sách giáo khoa sử dụng ở Maroc từ năm 1945 đến 1976. Từ đó, so sánh những quan niệm ấy với những quan niệm của GV và HS.
Thành phần tham gia thực nghiệm là 6 trường trung học: 2 trường ở trung tâm thành phố và 4 trường ở ngoại ô, trong đó có 10 GV phụ trách giảng dạy 10 lớp này cùng với HS của họ, với số lượng là 311 em (cả nam và nữ) ở lớp trình độ năm thứ 6 và thứ 7, khi mà giải tích nói chung và sự liên tục nói riêng bắt đầu được giảng dạy.
Ngoài ra, tác giả bổ sung thêm 10 GV nữa để tăng thêm mẫu cho việc điều tra quan niệm của GV.
Để nghiên cứu quan niệm của HS, tác giả đã sử dụng ba biện pháp: một bộ câu hỏi điều tra, một cuộc tranh luận về bộ câu hỏi ấy và cuộc tiếp xúc với một số HS.
Về bộ câu hỏi điều tra
Tác giả đã đưa ra thử nghiệm bộ câu hỏi và nó được điều chỉnh 2 lần để có được bộ câu hỏi hoàn chỉnh gồm 26 câu hỏi thuộc 3 dạng: dạng thứ nhất gồm 10 câu hỏi liên quan đến đường cong biểu diễn của các hàm số (G1 đến G10), dạng thứ hai gồm 15 câu hỏi liên quan đến biểu thức giải tích của các hàm số (E11 đến E25) và câu hỏi cuối cùng E26 là “giải thích thế nào là một HSLT cho một HS lớp dưới (lớp 5), nghĩa là lúc chưa học khái niệm HSLT”.
Bộ câu hỏi điều tra
Với mỗi đồ thị dưới đây, hãy cho biết nó có biểu diễn một đồ thị hàm số liên tục trên (a; b) không? Hãy giải thích.
G10. Đồ thị dưới đây có biểu diễn một hàm số liên tục trên (a; b) không ? Hãy giải thích.
E11. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức: f x( ) x21. f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E12. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
'
2 '
( ) nê u 1
( ) nê u 1
f x x x
f x x x
f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E13. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức f (x) = E(x) ( E(x) là hàm phần nguyên của x). f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E14. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
2 '
'
( ) 1 nê u 1
( ) 2 nê u 2
f x x x
f x x x
f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E15. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
( ) ( )
2 nê 'u 2,
2 nê 'u 2
f x f x
x x
x x
f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E16. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
( ) 1 2 (2) 0 f x x f
f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E17. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
' '
( ) 2 nê u ( ) 4 nê u
f x x
f x x
f có liên tục trên không ? Tại sao ? E18. f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E19. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
' '
( ) 1 nê u ( ) 0 nê u
f x x
f x x
f có liên tục trên không ? Tại sao ? E20. f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E21. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
' '
( ) nê u
( ) 0 nê u
f x x x
f x x
f có liên tục trên không ? Tại sao ? E22.f có liên tục trên không ? Tại sao ? E23. f là hàm số xác định trên bởi công thức:
( ) 2 f x x f có liên tục trên không ? Tại sao ?
E23. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
1 '
( ) sin nê u 0
(0) 0
f x x
x f
f có liên tục tại 0 không ? Tại sao ?
E23. f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
sin '
( ) nê u 0
(0) 0
f x x x
x f
f có liên tục tại 0 không ? Tại sao ?
E26. Câu hỏi phỏng vấn: “Giả sử một học sinh lớp 5 nhìn thấy cuốn sách toán của bạn và hỏi:
một hàm số liên tục là gì ? Bạn trả lời như thế nào ? Viết câu trả lời vào phần cuối của bộ câu hỏi này”
(Chú ý: HS lớp 5 chưa học giải tích)
Chúng tôi chỉ chọn một số tiêu chuẩn mà tác giả đã sử dụng trong phân tích tiên nghiệm để trình bày, những tiêu chuẩn này hoặc thể hiện sự tương đương giữa HS Maroc và HS Việt Nam hoặc thể hiện sự khác biệt giữa hai chương trình và SGK.
1. Tiêu chuẩn chứng minh: “đường cong chỉ gồm một mảnh”
Trong phân tích tiên nghiệm, tác giả dự kiến một số câu trả lời thuộc kiểu tiêu chuẩn này như sau:
Hàm số liên tục vì:
- “đường cong liên tục”
- “người ta có thể vẽ đường cong mà không cần nhấc tay” (hình G1) - “đường cong không đứt đoạn” (hình G1)
- “đường cong chỉ gồm một mảnh” (hình G1) Hàm số không liên tục vì:
- “hyperbol không liền nhau” (hình G3, G6)
- “có một sự ngăn cách giữa hai đường cong” (hình G3, G6)
- “đường cong không được vẽ một cách liên tục” (hình G4, G7, G9) 2. Tiêu chuẩn chứng minh: “đường cong không có bước nhảy”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì:
- “đường cong không thể hiện một sự gián đoạn nào” (hình G1) - “đồ thị không có bước nhảy” (hình G1)
Hàm số không liên tục vì:
- “đồ thị có bước nhảy” (hình G3, G4)
- “đường cong có một vết đứt” (hình G2, G5) - “đường cong có một lỗ thủng” (hình G2, G5)
3. Tiêu chuẩn chứng minh: “đường cong không có điểm góc, cạnh”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì “đường cong không có điểm góc, cạnh”
Hàm số không liên tục vì:
- “nó bao gồm các đường thẳng và một đường cong” (hình G8) - “có một điểm góc, cạnh” (hình G8)
4. Tiêu chuẩn chứng minh: “một điểm không thuộc đường cong”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số không liên tục vì:
- “có một điểm không thuộc đường cong” (hình G2, G5) - “đường cong không đi qua một điểm” (hình G2, G5)
- “tồn tại một điểm x0( , )a b mà f (x0) không tồn tại” (hình G2, G5) 5. Tiêu chuẩn chứng minh: “hàm số xác định bởi nhiều công thức”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số không liên tục vì:
- “hàm số xác định từ hai cách khác nhau” (E12, E14) - “không chỉ có một công thức để tính các ảnh” (E12, E14) 6. Tiêu chuẩn chứng minh: “f (x0) tồn tại và
0
lim ( ) ( )0
x x f x f x
”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì:
-
0
, lim ( ) ( )0 x x
x f x f x
- “tồn tại f (x) và
0
lim ( ) ( )0
x x f x f x
”
Hàm số không liên tục vì:
- “f (1) = 0 nhưng không tồn tại
1
lim ( )
x
f x
” (E14) - “
0 0
lim ( ) ; lim ( )
x f x x f x
” (hình G6)
7.Tiêu chuẩn chứng minh: “các định lý tổng, tích,… các hàm số liên tục, các đa thức,…”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì:
- “là một hàm đa thức” (E23)
- “là tích của hai hàm đa thức” (E12)
8.Tiêu chuẩn chứng minh: “liên tục trên A và liên tục trên B nên liên tục trên AB”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì:
- “nếu x1, hàm số liên tục và x> 1, hàm số liên tục, Vậy hàm số liên tục trên ” (E12)
- “hàm số liên tục trên , hàm số liên tục trên \ , vậy hàm số liên tục trên ” (E19)
9.Tiêu chuẩn chứng minh: “liên tục trên B nên liên tục trên AB”
Lời giải được dự kiến: hàm số liên tục vì: “hàm số liên tục trên nên liên tục trên ” (E23)
10. Tiêu chuẩn chứng minh (định nghĩa Wierstrass theo và ):
“ 0, 0 sao cho x Df, xx0 f x( ) f x( 0) ” Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì:
“với x0, 0, 0 sao cho x Df, xx0 f x( ) f x( 0) ” Hàm số không liên tục vì: “ x0 ( ; );a b 0 sao cho với
0
, x Df, xx0 f x( ) f x( 0) ”
11.Tiêu chuẩn chứng minh: “hàm số xác định bởi nhiều công thức, mỗi công thức xét riêng biệt”
Ví dụ: “f (x) = x liên tục vì là hàm đa thức và f (x) = x2 liên tục vì là hàm đa thức”. Nhưng không có kết luận về hàm số trên . (E12)
12.Tiêu chuẩn chứng minh: “giới hạn bên phải khác giới hạn bên trái”
Ví dụ: “hàm số này không liên tục trên vì giới hạn bên phải khác giới hạn bên trái tại mỗi điểm thuộc ” (E23)
13.Tiêu chuẩn chứng minh: “vì xác định tại mọi điểm”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì:
- “các phần tử thuộc khoảng (a;b) có một ảnh” (hình G1) - “hàm số xác định ở mọi nơi” (E19, E23)
- “không có phần tử nào không có ảnh”
Hàm số không liên tục vì:
- “có một điểm tại đó hàm số không xác định” (hình G2, G5) - “hàm số không xác định trên khoảng (1; 2)” (E14)
- “hàm số không xác định ở mọi nơi”
14.Tiêu chuẩn chứng minh: “hàm số chẵn, lẻ hay đối xứng”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì:
- “đường cong đối xứng” (hình G3,G5) - “hàm số chẵn” (hình G3)
15. Tiêu chuẩn chứng minh: “kéo dài bằng sự liên tục”
Lời giải được dự kiến: Hàm số liên tục là vì: hàm số xác định bằng cách kéo dài liên tục
16. Tiêu chuẩn chứng minh: “vì khả vi”
Một số lời giải được dự kiến:
Hàm số liên tục vì nó khả vi.
Hàm số không liên tục vì nó không khả vi.
17. Tiêu chuẩn chứng minh: “các chứng minh khác”
18. Tiêu chuẩn chứng minh: “đáp án có – không, không chứng minh”
19. Tiêu chuẩn chứng minh: “bỏ phiếu trắng”
Trong các tiêu chuẩn đã được tác giả đưa ra, tiêu chuẩn 13 được sử dụng nhiều nhất ở cả 2 khối 6 và 7 (24,82%), nghĩa là HS cho rằng HSLT trên một khoảng bởi vì nó xác định tại mọi điểm trên khoảng ấy.
Tiêu chuẩn chứng minh 6 (sử dụng giới hạn) xuất hiện khá nhiều với tần số 12,38%. Tuy nhiên, HS khối 7 sử dụng tiêu chuẩn này nhiều hơn HS khối 6. Ngoài ra, các tiêu chuẩn 3 (đường cong không có bước nhảy), tiêu chuẩn 15 (kéo dài bằng sự liên tục) và tiêu chuẩn 5 (hàm số không liên tục vì nó xác định bởi nhiều công thức) xuất hiện nhiều hơn ở HS khối 7. Như vậy, quan niệm hình học Euler (thể hiện bởi tiêu chuẩn 5) xuất hiện ở HS.
Về phần các tiêu chuẩn chứng minh 19 (phiếu trắng), 7 (định lý), 11 (hàm số xác định bởi nhiều biểu thức coi như nhiều hàm số), 14 (hàm số chẵn, lẻ hay đối xứng), 10 (định nghĩa Wierstrass theo và ) được HS khối 7 sử dụng ít hơn so với HS khối 6. Từ đó ta thấy quan niệm Wierstrass (tiêu chuẩn 10) được HS chú ý đến.
Qua bộ câu hỏi điều tra, tác giả bổ sung thêm rằng:
- HS làm những câu hỏi liên quan đến đồ thị tốt hơn những câu hỏi liên quan đến biểu thức đại số.
- HS khối 7 làm bài tốt hơn HS khối 6.
- HS cùng một khối có sự khác biệt trong việc đưa ra các tiêu chuẩn chứng minh.
Cuộc tranh luận về bản câu hỏi điều tra
Để tìm hiểu thêm về các thông tin có thể bị mất đi trong quá trình trả lời câu hỏi trên giấy, tác giả tổ chức một cuộc tranh luận về bản câu hỏi điều tra ngay sau ngày thực nghiệm bản câu hỏi. Đa số các cuộc tranh luận diễn ra sôi nổi dưới sự điều khiển của nhà nghiên cứu và sự hỗ trợ từ phía GV. Các HS tham gia tích cực, bảo vệ quan điểm của họ trước mọi người.
Cuộc tranh luận tập trung vào các câu hỏi E17, 18, 19, 20 và các tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác định), 5 (giới hạn), 10 (định nghĩa Wierstrass theo và ), 4 (một điểm không thuộc đường cong).
HS khối 6 và khối 7 có chung một ý tưởng rằng: “xác định tại mọi điểm của khoảng” là một điều kiện đủ để một hàm số liên tục trên khoảng ấy. Một số HS cố gắng đưa ra ví dụ rằng một hàm số có thể xác định trên một khoảng nhưng không liên tục trên khoảng ấy. Qua những cuộc tranh luận tại lớp, một số kết luận được rút ra như sau:
Các điều sau đây là tương đương:
a. Đường cong liên tục
b. Đường cong không thể hiện một sự gián đoạn nào c. Người ta có thể vẽ đường cong không nhấc tay d. Đường cong không đứt đoạn
e. Đường cong không dừng lại
f. Đường cong không thể hiện sự nảy lên g. Đường cong chỉ gồm một mảnh thôi
h. Đường cong không thể hiện một cái dốc nào
Sự phủ định của các mệnh đề trên cũng dùng để chứng minh rằng một hàm số không liên tục trên một khoảng hay tại một điểm.
Cuộc tranh luận tại lớp góp phần giúp tác giả xếp loại các tiêu chuẩn chứng minh; nhận biết một số tiêu chuẩn là sai lầm, như tiêu chuẩn 1 và 2; những điều tương ứng với định nghĩa đã dạy ở lớp ít được HS sử dụng khi giải quyết các bài toán.
Về cuộc tiếp xúc cá nhân với HS
Có tất cả 50 HS được chọn phỏng vấn từ 10 lớp (trung bình mỗi lớp 5 em). HS được chọn là người thường dùng cách chứng minh đặc biệt. Vì tác giả muốn tìm hiểu rõ tại sao HS lại sử dụng đáp án đó. Ví dụ như một HS được chọn vì em này hầu như chỉ sử dụng tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác định) cho các câu trả lời, nghĩa là một HSLT trên một khoảng nếu nó xác định tại mọi điểm trên khoảng ấy. Hay một HS được chọn vì em thường dùng tiêu chuẩn 5 (liên tục vì f (x0) tồn tại và
0
lim ( ) ( )0
x x f x f x
) nhưng
thỉnh thoảng lại dùng tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác định tại mọi điểm).
Với những buổi tiếp xúc, tác giả đưa ra 5 câu hỏi Q1 đến Q5, trong đó Q1, Q2, Q3 được lấy trong bộ câu hỏi điều tra, câu hỏi Q4, Q5 liên quan đến các hàm số không bằng số.
Bộ câu hỏi phỏng vấn
Q1. Cho f là hàm số đi từ vào biểu diễn bởi đường cong sau đây. Hỏi f có liên tục trên không ?
Q2. Cho f là hàm số đi từ vào biểu diễn bởi đường cong sau đây.
1. f có liên tục trên không ?
(sau khi trả lời xong câu hỏi này, HS được hỏi tiếp câu 2) 2. miền xác định của f là gì ?
(sau khi trả lời xong câu hỏi này, HS được hỏi tiếp câu 3) 3. f có liên tục trên miền xác định của nó hay không ? Q3. Cho f là hàm số từ vào xác định bởi công thức:
f (x) = x2 – 1 nếu x< 1 f (1) = 1
f (2) = 3
f (x) = x + 4 nếu x3. 1. f có liên tục trên không ?
2. f có liên tục trên miền xác định của nó hay không ?
Q4. HS được cho một hình vẽ là hình vuông ABCD. Cho E là tập hợp các điểm nằm trên 2 cặp cạnh song song. Một ánh xạ đi từ E vào E được xác định với mỗi điểm M của E tương ứng với 1 điểm M’ (điểm M trên đoạn thẳng AD tương ứng với 1 điểm M’ trên cạnh BC). Hỏi ánh xạ này có liên tục hay không ?
Q5. Cho S là tập hợp các đoạn thẳng của mặt phẳng. HS được nhận hình vẽ có 2 đoạn thẳng S1, S2 bất kỳ. Bằng các đoạn thẳng của tập hợp S, người ta muốn tìm một đường nối giữa S1 và S2. Để vẽ đường ấy, ta chỉ dùng đoạn thẳng và tùy ý.
1. Em có thể cho ví dụ về một đường nối giữa S1 và S2 ? 2. Em hãy vẽ nó ra. (nếu HS trả lời “có” cho câu 1) 3. Nó có liên tục không ?
4. Làm thế nào cho nó gián đoạn ? (nếu đáp án “có” cho câu 3) 5. Làm thế nào cho nó liên tục ? (nếu đáp án “không” cho câu 3)
Một số HS có sự tiến triển trong quan niệm, tức là đi từ quan niệm sai lầm đến quan niệm đúng (tiêu chuẩn 13 đến tiêu chuẩn 1).Trái lại có một số HS lại thụt lùi trong quan niệm, nghĩa là đi từ quan niệm đúng đến một quan niệm sai lầm (HS sử dụng tiêu chuẩn 1 hay 10 trong bộ câu hỏi nhưng lại dùng 13 hay 11 trong cuộc tiếp xúc). Thông qua buổi tiếp xúc với HS, tác giả khẳng định rằng: HS lẫn lộn giữa miền xác định và miền liên tục của một hàm số, đặc biệt là HS khối 6 đồng nhất 2 miền này với nhau; đa số HS cho rằng “đường cong liên tục” là một đường cong mà các điểm liền kề nhau, không nhất thiết đường cong kéo dài vô hạn.
Như vậy, qua điều tra tác giả khẳng định rằng ở HS tồn tại những quan niệm về khái niệm tính liên tục đồng nhất với các quan niệm trong lịch sử hình thành khái niệm này, ngoại trừ quan niệm Baire (QSB). Đó là 6 quan niệm: quan niệm nguyên thủy (QNT), quan niệm hình học của Descartes (QHD), quan niệm hình học của Euler (QHE), quan niệm số của Cauchy (QSC), quan niệm số của Weierstrass (QSW) và quan niệm tôpô (QT). Họ cũng bày tỏ những quan niệm không xuất hiện trong lịch sử của khái niệm ấy. Đó là quan niệm thể hiện bởi tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác định tại mọi điểm), quan niệm thể hiện bởi tiêu chuẩn 4 (không liên tục vì một điểm không thuộc đường cong).
Ở mỗi HS tồn tại nhiều quan niệm về khái niệm tính liên tục và HS cho rằng tính liên tục có tính chất toàn thể hơn là tính địa phương. Quan niệm trội nhất ở HS là quan niệm thể hiện bởi tiêu chuẩn 13 (liên tục vì xác đinh tại mọi điểm), tiếp sau là quan niệm hình học của Descartes (QHD) và quan niệm số của Cauchy (QSC). Quan niệm số của Weierstrass (QSW) và quan niệm tôpô (QT) được giảng dạy nhưng xuất hiện rất ít trong các câu trả lời của HS.
Để nghiên cứu quan niệm của GV, tác giả thực hiện các biên pháp sau: thu thập những thông tin cá nhân liên quan đến GV, sau đó thu thập những dấu hiệu về những quan niệm GV đưa vào giảng dạy nhờ vào nghiên cứu giảng dạy khái niệm hàm số liên tục, cuối cùng các GV trả lời các câu hỏi Q2, Q4, Q5 lấy trong 5 câu hỏi đưa ra khi tiếp xúc với HS. Ở phần cuối cùng này cho phép xác định những quan niệm cá nhân của GV, những quan niệm mà họ biểu lộ khi giải quyết bài toán.
Trong giảng dạy, mỗi giáo viên chuyển tải nhiều quan niệm, nói chung là khoảng 3 đến 5 quan niệm được sắp xếp đi từ trực giác hình học đến số hóa, đó là: QNT, QHD, QSC, QSW và QT. Họ giảng dạy những định nghĩa chính thức trong trường hợp QSW và QT, nhưng họ bổ sung thêm những quan niệm khác về khái niệm tính liên tục để học sinh của họ có những quan niệm trực giác hơn. Các giáo viên chuyển tải hai quan niệm về hàm số liên tục không thể hiện trong sách giáo khoa chính thức là quan niệm trực giác theo ngôn ngữ thông thường QNT và QHD.
Đa số giáo viên biểu lộ các quan niệm riêng về tính liên tục của một hàm số:
QHD, QSC và quan niệm ngầm về định nghĩa tính liên tục của một hàm số trong trường hợp không gian mê-tric:
“> 0, >0 sao cho x Df : d(x, x0) <d(f(x), f(x0)) < ”;
một số ưu tiên cho một hoặc hai quan niệm trong khi những người khác sử dụng chúng hoàn toàn không phân biệt. Còn một số giáo viên chỉ biểu lộ một quan niệm riêng là QHD.
Ở GV tồn tại những quan niệm về khái niệm tính liên tục đồng nhất với các quan niệm trong lịch sử hình thành khái niệm này, ngoại trừ các QHE và QSB. Quan niệm thể hiện nhiều nhất ở các giáo viên là QHD. Đa số người dạy không quan tâm nhiều đến QSW nên không đủ khả năng tổng quát hóa quan niệm tôpô cho hàm số không