Chương 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.2. Một số nghiên cứu quan niệm của GV và HS THPT về khái niệm HSLT
1.2.2. Một số kết quả trong luận án tiến sĩ của Bridgers L. C (2007)
Luận án tiến sĩ thuộc khối Anh ngữ của Bridgers L. C (2007) được thực hiện tại đại học Syracuse, New York với đề tài “Khái niệm tính liên tục: Một nghiên cứu đối với giáo viên trung học và học sinh của họ”. Luận án này được thực hiện trong thể chế dạy học THPT ở New York và tác giả dựa trên quan điểm của trường phái Tâm lý học nhận thức.
Nghiên cứu này xoay quanh những mô hình và mô hình hoá quan niệm của GV và HS. Thành phần tham gia là 13 GV THPT giảng dạy giải tích thuộc 13 trường khác nhau cùng với 146 HS của họ.
Mục tiêu chính của luận án là tìm hiểu quan niệm của HS về tính liên tục dựa trên những kết quả đã biết; thiết lập cơ sở về quan niệm của GV về tính liên tục cả về tính sư phạm lẫn khái niệm toán học; điều tra về bản chất của mối quan hệ giữa GV và HS về tính liên tục.
Để thực hiện được điều này, đầu tiên tác giả tiến hành nghiên cứu tổng quan các các công trình liên quan đến đề tài. Một nghiên cứu chi tiết giúp tác giả định hướng nghiên cứu của mình cũng như tìm hiểu quan niệm của GV và HS dựa trên các kết quả đã có. Qua việc nghiên cứu này, những kết quả đã được làm rõ như: vai trò của biểu diễn hàm số, mối quan hệ giữa tính liên tục và tính liên thông, mối quan hệ giữa sự tồn tại và tính liên tục của hàm số, mối quan hệ giữa giới hạn và liên tục, việc sử dụng ngôn ngữ thông thường. Bên cạnh đó, tác giả nhận thấy một số kết quả chưa rõ ràng, đó là vai trò của máy tính đồ họa, mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm. Ngoài ra còn có một số vấn đề chưa được các tài liệu đề cập đến là: vai trò của miền xác định, hàm số liên tục hay rời rạc. Đó cũng là điều mà tác giả đặc biệt quan tâm và ông đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi 1: Bản chất quan niệm của GV về khái niệm liên tục là gì ?
Câu hỏi 2: Làm sao để người GV giải thích được lí do về sự liên tục của HS ?
Câu hỏi 3: Bản chất quan niệm của HS về khái niệm liên tục là gì ?
Câu hỏi 4: Bản chất của mối quan hệ giữa quan niệm của GV và HS về khái niệm tính liên tục
Để trả lời 4 câu hỏi trên, tác giả tiến hành điều tra 13 GV đến từ 13 trường khác nhau, trong đó chỉ có 10 GV tham gia cùng HS của họ, 3 GV còn lại được chọn để tăng thêm số lượng GV.Tất cả GV tham gia 2 cuộc phỏng vấn và 146 HS được chọn từ 10 lớp giải tích tham gia trả lời bảng hỏi. Tiếp đó, 12 HS được chọn từ 4 lớp (mỗi lớp 3 HS) để tham gia cuộc phỏng vấn chuyên sâu nhằm nghiên cứu rõ hơn về quan niệm của HS.Cuối cùng, 4 GV phụ trách 4 lớp trên tiếp tục tham gia cuộc phỏng vấn thứ 3.
Bảng câu hỏi điều tra quan niệm của HS gồm 8 câu hỏi liên quan đến các bài toán về tính liên tục.
Câu 1. Hàm số nào sau đây liên tục ? Giải thích câu trả lời của em trong từng trường hợp.
a) f x( )x2
b) 1
( ) , 0
f x x
x
c) ( ) 0, 0
, 0
f x x
x x
d) ( ) 1, 0
1, 0
f x x
x
e)
1, khi 1 3
( ) 2, khi 3 1, khi 3 5
x
f x x
x
f) ( ) 2, khi 3 1
2, khi 1 3 f x x
x
g) f x( ) 1x2, khi 1 x 1 h) f x( ) 2, khi 2 x 4
Câu 2. Hàm số nào sau đây liên tục ? Giải thích câu trả lời của em trong từng trường hợp.
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
Câu 3. Khoanh tròn vào những đáp án sao cho có thể điền được chúng vào dấu “…” để được một mệnh đề đúng: “Mỗi hàm số liên tục …”. Đối với các đáp án không được chọn, hãy giải thích tại sao ?
a) có đồ thị liên thông
b) có thể được biểu diễn bởi một công thức c) thì khả vi
d) có giới hạn tại mọi số thực
e) có giới hạn tại mọi điểm trên miền xác định f) xác định tại mọi số thực
Câu 4. Vẽ phác thảo đồ thị hai hàm số khác nhau thỏa bảng giá trị sau:
x y
Câu 5. Một thành phố có dân số là 1000 vào năm 2003 và có tỉ lệ gia tăng dân số là 5%/năm.
Hai HS vẽ hai đồ thị khác nhau mô tả cho bài toán này. Đồ thị nào tốt hơn ? Tại sao ?
Câu 6. Giả sử một đôi thỏ sống mãi và cứ mỗi tháng đôi thỏ này sinh ra một đôi thỏ mới. Sau đó đôi thỏ này lại tiếp tục sinh sản khi được hai tháng tuổi. Giả sử ta bắt đầu với một đôi thỏ sơ sinh. Dưới đây là biểu đồ mô tả số đôi thỏ vào mỗi tháng.
Hãy lập bảng và vẽ đồ thị mô tả bài toán này. Làm rõ kí hiệu sử dụng trong bảng và trên trục, chỉ ra thang sử dụng trong mô tả. Có bao nhiêu đôi thỏ trong tháng thứ 7.
Câu 7. Một hàm số xác định trên khoảng đóng [a; b] luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ? Tại sao ?
Câu 8. Jacob và Malloly vẽ đồ thị hàm số bằng máy tính. Khi họ nhìn thấy đồ thị và bảng giá trị thì họ không chắc là mình đã làm đúng hay không.
a) Đầu tiên, họ vẽ đồ thị hàm số 1
( ) 1
f x x
. Họ điền “y = ” được kết quả hiện ra như màn hình 1. Sau đó họ nhấn nút “đồ thị” thì được đồ thị hàm số hiện ra như màn hình 2. Họ không chắc đồ thị này có đúng không vì có đường thẳng đứng trong đồ thị, vì vậy họ nhìn vào bảng như trong màn hình 3. Hãy gải thích cho họ những gì họ nhìn thấy trong màn hình 2.
0 1 2 3
0 1 4 4
Tháng 1 Tháng 2 Tháng 3 Tháng 4 Tháng 5
Dân số Dân số
Năm Năm
b) Tiếp theo, họ vẽ đồ thị hàm số
2 9
( ) 3
f x x x
. Họ điền “y = ” được kết quả hiện ra như màn hình 1. Sau đó họ nhấn nút “đồ thị” thì được đồ thị hàm số hiện ra như màn hình 2. Họ không chắc đồ thị này có đúng không vì nó trông như một đường thẳng, vì vậy họ nhìn vào bảng như trong màn hình 3. Hãy giải thích cho họ những gì họ nhìn thấy trong màn hình 2.
Sau khi thu thập dữ liệu từ bảng hỏi, 12 HS tiếp tục được chọn dựa trên sự góp ý của GV của họ, tham gia cuộc phỏng vấn chuyên sâu gồm 6 câu hỏi.Trong suốt buổi phỏng vấn, HS giải thích thêm cách suy nghĩ cũng như phương pháp giúp họ đạt được những kết quả các bài toán trong bảng hỏi.
Câu 1. Em có thể cho tôi biết một ít về bản thân em ?
Em thích điều gì nhất về Toán ?
Em không thích điều gì nhất về Toán ?
Làm thế nào để so sánh được một lớp Toán giải tích với một lớp Toán khác mà em từng học?
Tại sao em quyết định theo học giải tích ?
Em nghĩ làm cách nào để mình làm vượt qua kì thi AP5 ?
Câu 2. Hãy nói cho tôi biết cách em giải các bài toán trong bảng hỏi.
Em sử dụng chiến lược nào?
Em nghĩ bài toán này như thế nào ?
Người phỏng vấn phát cho HS nhiệm vụ mới:
5AP: viết tắt của Advanced Placement, nghĩa là chương trình nâng cao
Màn hình 1 Màn hình 2 Màn hình 3
Màn hình 1 Màn hình 2 Màn hình 3
1. Jane nói rằng hàm số 1 ( )
f x x là hàm số gián đoạn vì nó có một lỗ hổng trên đồ thị tạix0. Jeremy phản đối. Cậu ấy nói rằng hàm số 1
( )
f x x là hàm số liên tục vì nó liên tục trên miền xác định của nó, nơi mà không chứa điểm x0. Vấn đề ở đây là gì và ai nói đúng.
Hãy giải thích để thuyết phục cả Jane và Jeremy.
2. Elizabeth và Scott phân công làm việc trong lớp học giải tích. Họ vẽ đồ thị hàm số ( ) 1
1 f x x
x
trên máy tính. Họ nhìn thấy đồ thị phía dưới và điều này khiến họ ngạc nhiên.
Hãy giải thích cho họ những gì mà họ nhìn thấy.
3. Sau đó, Elizabeth và Scott vẽ đồ thị hàm số
3 1
( ) 1
f x x x
trên máy tính. Họ nhìn thấy đồ thị phía dưới. Họ ngạc nhiên vì đồ thị trông giống một parabol . Nó có phải là parabol không ? Hãy giải thích đồ thị này cho họ.
4. Hãy phân loại các đồ thị dưới đây theo cách có ý nghĩa với em.
Câu 3. Yêu cầu HS làm các nhiệm vụ 1, 2 và 3 trong nhiệm vụ phỏng vấn nêu trên.
Em đang nghĩ điều gì ?
Làm sao để em làm được các bài toán này ?
Em muốn bắt đầu làm câu nào trước ?
Câu 4. Tôi có một số đồ thị ở đây (nhiệm vụ 4). Em có thể phân loại chúng theo cách có ý nghĩa với em.
Làm sao để em xác định các chiến lược phân loại ?
Em hãy ghi ra tên các chiến lược và số thứ tự của các đồ thị ứng với mỗi chiến lược đó.
Nếu HS gặp vấn đề khi phân loại đồ thị:
Điều gì về đồ thị đó khiến em không biết đặt nó ở chiến lược nào ? Nếu tính liên tục không được chú ý trong chiến lược đầu tiên
Em có thể thay đổi chiến lược như thế nào để việc phân loại xuất hiện tính liên tục.
Câu 5. Giả sử em đang nói chuyện với một người sẽ học giải tích vào năm kế tiếp. Em sẽ nói cho họ điều gì là quan trọng khi họ học về tính liên tục.
Câu 6. Em nói thế nào về phép vẽ phác đồ thị?
Em sử dụng nó thế nào ?
GV của em phát biểu nó thế nào ?
GV của em sử dụng nó thế nào ?
Về phía GV, họ tham gia các cuộc phỏng vấn: cuộc phỏng vấn đầu tiên gồm 10 câu hỏi tập trung vào những phương pháp GV sử dụng khi giảng dạy khái niệm liên
tục, nhận thức của GV về những khó khăn của HS khi học về khái niệm liên tục và nguồn gốc các tính toán của HS.
Cuộc phỏng vấn đầu tiên
Câu 1. Thầy (Cô) có thể cho tôi biết một ít về quá trình giảng dạy ?
Số năm giảng dạy ?
Số năm giảng dạy giải tích/giải tích AP ?
Câu 2. Thầy (Cô) có thể cho tôi biết một ít về HS trong lớp của mình ?
Có điều kiện đầu vào hay không ?
HS được chọn vào lớp học như thế nào ?
Câu 3. Làm cách nào để Thầy (Cô) giới thiệu chung nhất về khái niệm liên tục ?
Thầy (Cô) nghĩ rằng HS tiếp cận điều gì trong chương trình trước giải tích để chuẩn bị cho việc học khái niệm liên tục ?
Thầy (Cô) cung cấp cho HS tài liệu gì ?
Thầy (Cô) sử dụng ví dụ nào khi dạy học ?
Thầy (Cô) sử dụng phép ẩn dụ nào ?
Nếu phép thử bút chì không được chú trọng, hãy hỏi họ về điều đó.
Thầy (Cô) đưa ra loại bài tập nào ?
Có những ví dụ nào trong giáo trình ?
Câu 4. Thầy (Cô) nói thế nào về phép vẽ phác đồ thị?
Thầy (Cô) sử dụng nó thế nào ?
Thầy (Cô) nghĩ HS sử dụng nó thế nào ?
Câu 5. HS gặp khó khăn gì khi học khái niệm liên tục ?
Tại sao Thầy (Cô) nghĩ đó là khó khăn ?
Nếu họ không chú ý đến điều này, nhắc họ về mối liên hệ giữa liên tục và đạo hàm, liên tục và giới hạn.
Làm sao Thầy (Cô) xử lý những khó khăn này khi dạy học ? Câu 6. HS cần biết điều gì về khái niệm liên tục để có thể vượt qua:
kì thi AP ?
khóa học ?
Câu 7. Vấn đề nào trong chương trình giải tích gắn liền với khái niệm liên tục ?
Nếu họ không chú ý, hãy nhắc về Định lý cơ bản, Định lý giá trị trung bình, vẽ phác thảo đường cong.
Thầy (Cô) dạy HS thế nào về mối liên hệ giữa liên tục và đạo hàm ?
Câu 8. Thầy (Cô) có lời khuyên gì cho một GV sẽ giảng dạy giải tích vào năm sau để anh ta nắm bắt được khái niệm tính liên tục ?
Câu 9.Thầy (Cô) có thể nói về cách mà Thầy (Cô) sử dụng máy tính trong lớp học?
Thầy (Cô) có sử dụng máy tính thường xuyên không ? (bao nhiêu lần cho một khóa học trong một tháng)
Thầy (Cô) có sử dụng máy chiếu không ?
Thầy (Cô) có cung cấp thông tin đặc biệt về cách sử dụng máy tính không hay là HS đã biết cách sử dụng chúng rồi ?
HS của Thầy (Cô) sử dụng máy tính thế nào ? (trong lớp học hay ngoài lớp học)
Thầy (Cô) có sử dụng phần mềm vẽ đồ thị nào khác không ? (ví dụ như Maple, Derive, Mathematica, ứng dụng web)
Câu 10. Thầy (Cô) có nghĩ là sử dụng máy tính giúp ích hay cản trở HS hiểu được khái niệm liên tục ?
Làm sao để Thầy (Cô) giải quyết được mọi bài toán ?
Thầy (Cô) nghĩ làm sao HS giải quyết được các bài toán ?
Nếu không có ý kiến, hãy hỏi họ về việc vẽ đồ thị các hàm số:
2 1
1 4
( ) , ( ) , ( )
2 1
x x
f x f x f x
x x x
Cuộc phỏng vấn thứ hai gồm 4 câu hỏi tập trung vào bản chất của quan niệm toán học của GV về khái niệm liên tục.
Cuộc phỏng vấn thứ hai:
Câu 1. GV làm các bài toán có trong bảng hỏi và nhiệm vụ phỏng vấn của HS.Yêu cầu họ nói ra điều mà họ suy nghĩ.
Sau khi hoàn thành mỗi bài toán, yêu câu họ đưa ra câu trả lời có thể của HS (sau từng phần của bài toán, như sau câu 1 (a); 1(b);…)
Câu 2. Trong nhiệm vụ phỏng vấn 1 của HS
Nếu đồng ý với Jane, hãy hỏi dò họ về vai trò của miền xác định trong khái niệm liên tục.
Nếu đồng ý với Jeremy, hãy hỏi dò họ về vai trò củamiền xác định trong việc dạy/học khái niệm liên tục trong giải tích AP.
Câu 3. Trong nhiệm vụ phân loại
Nếu khái niệm liên tục không được sử dụng một cách rõ ràng trong việc phân loại, hãy hướng họ tới việc xem xét tính liên tục để phân loại.
Câu 4.Tại sao hàm số f x( )x2 liên tục tại x = 2 ?
Thầy (Cô) giải thích điều này cho HS như thế nào ?
Thầy (Cô) giải thích điều này cho một nhà toán học như thế nào ?
Ngay khi cuộc phỏng vấn của HS hoàn thành, tác giả phân tích dữ liệu và tiến hành cuộc phỏng vấn thứ ba gồm 7 câu hỏi dành cho 4 GV đã được chọn từ trước.
Cuộc phỏng vấn này giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn những câu trả lời mà HS của các GV này đã trình bày trong cuộc phỏng vấn.
Cuộc phỏng vấn thứ ba:
Câu 1. Mô tả lại cách mà phần lớn HS sử dụng để trả lờ trong bảng câu hỏi điều tra
Làm cách nào để Thầy (Cô) dự đoán những HS đã làm bảng hỏi liên quan đến những HS khác?
Câu 2. Đây là cách mà tôi phân loại công việc của HS.
Thầy (Cô) có ngạc nhiên về điều này không ?
Thầy (Cô) nghĩ rằng HS của mình đang nghĩ tới điều gì ? (dẫn chứng những câu trả lời đặc biệt)
Điều gì gây ra khó khăn với HS ?
Thầy (Cô) có thể dạy những vấn đề này như thê nào ?
Câu 3. Đưa ra một phân tích có sự so sánh về cách thức mà HS thực hiện.
Nếu có bất kì sự khác biệt nào, hãy hỏi tại sao Thầy (Cô) nghĩ HS của mình trả lời như vậy ? Câu 4. Đưa ra một sự so sánh dự đoán về cuộc phỏng vấn thứ hai của GV với biểu hiện thực tế của HS.
Thầy (Cô) nghĩ điều gì gây ra sự khác biệt này ?
Câu 5. Trong tương lai Thầy (Cô) có dạy khái niệm liên tục khác đi dự trên biểu hiện thực tế của HS không ?
Câu 6. Thầy (Cô) có lời khuyên nào cho một GV sẽ dạy giải tích lần đầu tiên về cách mà họ nắm bắt được khái niệm liên tục ?
Cho ví dụ về nhiệm vụ phỏng vấn của HS:
Câu 7. Đây là một số ví dụ mà HS đã làm trong nhiệm vụ phỏng vấn.
Thầy (Cô) có thể phân loại chúng không ? (nếu có sự nhầm lẫn, hãy phân biệt giữa phân loại với cho điểm)
Điểm mạnh và điểm yếu trong các câu trả lời là gì ?
Thầy (Cô) nghĩ rằng HS đang nghĩ điều gì ?
Có bất kì tác động sư phạm nào trong kết quả của HS không ?
Bài làm của HS khiến Thầy (Cô) ngạc nhiên không ?
Để trả lời câu hỏi 1, tác giả tổng hợp các nghiên cứu đã có của ông vào năm 2003 và của một số tác giả khác. Ngoài ra, tác giả lấy dữ liệu từ bảng câu hỏi điều tra và cuộc phỏng vấn HS. Những dữ liệu thu thập được giúp tác giả làm rõ mô hình khái
niệm mà HS sử dụng để giải các bài toán liên quan đến khái niệm liên tục mà họ đã trình bày trong bảng hỏi cũng như trả lời trong buổi phỏng vấn. Giống như các kết quả đã có, tác giả nhận thấy rằng HS giả sử rằng hàm số đã cho là liên tục; nhầm lẫn giữa khái niệm liên tục và khái niệm đạo hàm; nhầm lẫn giữa khái niệm hàm số xác định, hàm số liên tục và giới hạn tồn tại; không liên kết giữa liên tục và giới hạn. Trái ngược lại với các kết quả đã có, tác giả nhận thấy HS thích làm các bài toán về tính liên tục theo đồ thị và thành thạo trong việc sử dụng máy tính đồ hoạ giải bài toán liên quan đến điểm gián đoạn.
Để trả lời câu hỏi 2, tác giả phân tích dữ liệu từ cuộc phỏng vấn thứ nhất và thứ hai của GV.Trong cuộc phỏng vấn thứ nhất, GV được hỏi về cách mà họ dạy khái niệm liên tục, giáo trình họ giảng dạy, những ví dụ minh họa, điều này giúp tác giả nhận định được vai trò của khái niệm liên tục trong chương trình giải tích đối với mỗi GV. Trong suốt cuộc phỏng vấn thứ hai, GV làm việc với các nhiệm vụ được thiết kế cho HS và tác giả yêu cầu GV nói ra suy nghĩ của họ về các nhiệm vụ này. Từ đó, ông thu được một bức tranh sinh động về bản chất quan niệm của GV về khái niệm liên tục.
Kết quả các cuộc phỏng vấn là nguồn dữ liệu để tác giả trả lời câu hỏi 3.Trong cuộc phỏng vấn thứ nhất, GV được hỏi về việc xác định các dạng bài toán về khái niệm liên tục mà họ giao cho HS, điều này giúp tác giả nhận biết cách mà người GV nghĩ về cách lí giải của HS. Trong cuộc phỏng vấn thứ hai, khi người GV làm các nhiệm vụ phỏng vấn của HS, anh ta phải dự đoán rằng HS của mình sẽ trả lời các nhiệm vụ này ra sao. Từ đó, tác giả cố gắng tìm lời giải đáp cho cách mà người GV nghĩ về cách lí giải của HS. Trong cuộc phỏng vấn thứ ba, GV đưa ra lời giải thích cho một số câu trả lời của HS đã được tác giả lựa chọn trước. Điều này cung cấp cho tác giả cách mà GV nghĩ về HS của họ cách họ nghĩ HS của mình tiếp cận bài toán như thế nào.
Một phát hiện quan trọng là những GV cho rằng liên tục là quan trọng thì xem nó như là một khái niệm và một chủ đề khó khăn, trong khi đó những GV thấy liên tục không quan trọng thì xem nó như một thủ tục và một chủ đề dễ dàng. Ngoài ra, GV kết nối giữa sự liên thông và liên tục nhưng không liên hệ các vấn đề này với miền xác