Chương 1. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC
2.1. Những quan niệm đặc trưng của khái niệm HSLT trong SGK Việt Nam hiện hành
2.1. Những quan niệm đặc trưng của khái niệm HSLT trong SGK Việt Nam hiện hành
Chúng tôi tổng hợp kết quả trong luận án tiến sĩ của tác giả Trần Anh Dũng (2013).
2.1.1. Giai đoạn ngầm ẩn
Giai đoạn ngầm ẩn được tính từ lớp 7 đến trước học kì 2 của lớp 11. Khái niệm liên tục xuất hiện ngầm ẩn không chỉ trong phạm vi môn Toán mà cả phạm vi môn Vật Lí. Khái niệm liên tục có hình thức thể hiện của một khái niệm tiền toán học và hoạt động như là công cụ ngầm ẩn trong các tình huống nghiên cứu đồ thị hàm số hay trong tình huống nghiên cứu về chuyển động trong vật lí.
Trong giai đoạn này, các quan niệm về khái niệm liên tục được thể hiện ngầm ẩn, đó là: quan niệm nguyên thủy (QNT), quan niệm hình học của Euler (QHE) và quan niệm hình học của Descartes (QHD).
Trong luận án của tác giả Trần Anh Dũng (2013), tác giả không đề cập đến sự tồn tại của quan niệm nguyên thủy (QNT) ở giai đoạn ngầm ẩn. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy QNT thể hiện ngầm ẩn thông qua những hiện tượng, trạng thái biến đổi một cách liên tục như vận tốc, đường đi, thời gian, nhiệt độ.
QHD được thể hiện ngầm ẩn qua hình ảnh liên tục của đồ thị hàm số (là một đường cong liền nét), các biểu tượng về sự biến thiên, mô tả hình ảnh về quãng đường đi của một chuyển động liên tục. Khái niệm liên tục luôn có đặc trưng tổng thể, hình
học và không có đặc trưng “địa phương”. Điều này được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ
“Vẽ đồ thị hàm số” bằng cách “xác định một số điểm rồi nối chúng lại bằng một đường cong liền nét”.
Chúng tôi còn nhận thấy QHE được các tác giả SGK thể hiện ngầm ẩn trong giai đoạn này thông qua một số loại hàm số được các tác giả đưa vào SGK và SBT là: hàm
số ; a; 2
y ax y y ax
x , hàm sốyax b ; yax2bxc; y axb ; hàm số được xác định bằng nhiều công thức và hàm số lượng giác cùng với đồ thị của chúng.
Một đặc điểm đáng chú ý là với loại hàm số được xác định bằng nhiều công thức đều có đồ thị liên tục trên . Ngoài ra, không có sự giải thích về sự gián đoạn của đồ thị hàm số y a
x tại điểm x = 0, đồ thị hàm số lượng giác tanx tại ( ) x2 k k và cotx tại xk (k ). Thêm nữa, tính liên thông của tập hợp số cũng không được nói đến cho dù tính chất này gắn liền với sự liên tục của đồ thị hàm số.
2.1.2. Giai đoạn tường minh
Khái niệm liên tục xuất hiện tường minh lần đầu tiên qua khái niệm HSLT.
Thuật ngữ “Hàm số liên tục” và định nghĩa của khái niệm này được đề cập trong mục
“Hàm số liên tục”, chương “Giới hạn” của SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
Hàm số liên tục được đưa vào sau giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số.
Trong chương trình Toán phổ thông hiện hành, khái niệm hàm số liên tục không có hình thức thể hiện của khái niệm cận toán học. Thời điểm đầu tiên xuất hiện thuật ngữ liên tục, cũng chính là thời điểm nó hiện diện dưới hình thức một khái niệm toán học.
Ý đồ số hóa khái niệm HSLT bằng một tiếp cận địa phương trên phương diện số được thể hiện rất rõ ngay ở phần mở đầu §8 về HSLT:
“Trong định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm, ta không giả thiết hàm số xác định tại điểm đó. Hơn nữa nếu hàm số xác định tại điểm được xét thì giới hạn (nếu có) và giá trị của hàm số tại điểm đó không nhất thiết phải bằng nhau.Tuy nhiên với những hàm số thường gặp như các hàm đa thức, các hàm phân thức hữu tỉ, các hàm số lượng giác…giới hạn và giá trị của hàm số tại mỗi điểm mà nó xác định là bằng nhau. Các hàm số có tính chất vừa nêu đóng vai trò quan
trọng trong Giải tích và trong các ngành toán học khác. Người ta gọi chúng là các hàm số liên tục.” [3, tr.168].
Ngay sau đó là định nghĩa HSLT tại một điểm được các tác giả thể hiện theo quan niệm số hóa của Cauchy (QSC) hay Weierstrass (QSW) thông qua giới hạn và được tiếp cận địa phương:
Định nghĩa: Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0( ; )a b . Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu
0
lim ( ) ( )0
x x f x f x
Hàm số f (x) không liên tục tại điểm x0 thì ta nói nó gián đoạn tại điểm x0. [3, tr.168].
Tiếp theo là các ví dụ và hoạt động được đưa vào nhằm minh họa việc xét tính liên tục bằng định nghĩa. Một ghi nhận quan trọng là các tiếp cận hình học đầu tiên đã được trình bày, với mục đích cho hình ảnh minh họa cho khái niệm “không liên tục”
hay “gián đoạn”
Đối với định nghĩa HSLT trên một khoảng, trên một đoạn được các tác giả tiếp cận tổng thể trên phương diện số:
Định nghĩa:
a) Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng J (J là khoảng hoặc hợp các khoảng). Ta nói hàm số f(x) liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc J.
b) Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] khi nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) và:
lim ( ) ( ); lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
Chú ý: tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [ ; ), ( ; ], [ ;a b a b a ) và (; ]b được định nghĩa tương tự như tính liên tục của hàm số trên một đoạn.[3, tr.169, 170].
Sau các định nghĩa HSLT trên một khoảng, trên một đoạn, một ví dụ về HSLT trên một đoạn được chứng minh theo định nghĩa cùng minh họa về đồ thị:
Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số f x( ) 1x2 trên [-1; 1].
Hình 2.1
Hàm số đã cho xác định trên đoạn [-1; 1]
Vì với x0 ( 1;1) ta có
0 0
2
lim ( ) lim 1 ( 0)
x x f x x x x f x
nên hàm số f (x) liên tục trên (-1; 1). Ngoài ra, ta có
2
1 1
lim ( ) lim 1 0 ( 1)
x f x x x f
Và 2
1 1
lim ( ) lim 1 0 (1)
x f x x x f
Do đó hàm số đã cho liên tục trên [-1; 1]. [3, tr.169].
Các tác giả đưa ra một ghi nhận mà trong đó chúng tôi thấy xuất hiện quan niệm hình học của Descartes (QHD):
“Qua các ví dụ đã xét, chẳng hạn ví dụ 3, ta thấy hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn có đồ thị là một đường “liền nét”. Trong ví dụ 2, hàm số f gián đoạn tại điểm x = -1; đồ thị của nó không phải là một đường liền nét.”[3, tr.169].
Sau định nghĩa HSLT trên một khoảng và một đoạn, một số tính chất của HSLT được đưa vào hoặc dưới dạng một nhận xét, hoặc dưới dạng một định lí, nhưng tất cả đều được thừa nhận, không chứng minh:
“Nhận xét: Từ định lí 1 và nhận xét sau định lí 1 trong §4 dễ dàng suy ra
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0)
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Ta thừa nhận định lí sau:
ĐỊNH LÍ 1: Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định của chúng.” [3, tr.170, 171].
Dựa vào các nhận xét và định lí trên, việc xét tính liên tục được quy về xem xét các phép toán đại số +, -, ×, : trên các hàm số đã biết, mà không phải dùng tới định nghĩa. Định nghĩa theo ngôn ngữ giới hạn chỉ được dùng đến khi xét tính liên tục tại
Hình 2.2
các điểm của hàm số cho bởi nhiều công thức, những điểm mà tại đó hàm số có sự thay đổi về biểu thức.
Tiếp theo là một nội dung quan trọng, định lí giá trị trung gian – cơ sở cho khái niệm hàm số liên tục tác động với cơ chế công cụ. Định lí giá trị trung gian được thừa nhận và được giải thích bằng cách tiếp cận trực quan, hình học qua hình ảnh đồ thị một HSLT trên đoạn [a; b].
Định lí 2 (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục): Cho hàm số liên tục trên [a;b], nếu ( ) ( )
f a f b thì với mọi số thực M nằm giữa f (a) và f (b), tồn tại ít nhất một điểm c( ; )a b sao cho f (c) = M.
Ý nghĩa hình học của định lí: nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và M là một số thực nằm giữa f (a) và f (b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f (x) ít nhất tại một điểm có hoành độc( ; )a b .[3, tr.171].
Sau định lí 2, một hệ quả và ý nghĩa hình học của nó được đưa vào:
Hệ quả: nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f a f b( ) ( )0 thì tồn tại ít nhất tại một điểm ( ; )
c a b sao cho f (c) = 0.
Ý nghĩa hình học của hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn
[a; b] và f a f b( ) ( )0 thì đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c( ; )a b .[3, tr.171].
Hình 2.3
Hình 2.4
Hệ quả này đóng vai trò lí thuyết cho kĩ thuật chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Hệ quả này cũng không được chứng minh. Tương tự như định lí 2, nó được giải thích bằng một tiếp cận trực giác, hình học.
Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm “Hàm số liên tục”:
Bảng 2.1: Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm hàm số liên tục (trích theo [3, tr.100-101-102])
Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật i Công nghệ i
T1: Chứng minh hàm số f (x) liên tục với mọi điểm x .
Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một biểu thức giải tích xác định với mọi số thực x.
1: Chứng minh đẳng thức:
0
0 0
lim ( ) ( );
x x f x f x x
1: Định nghĩa HSLT tại một điểm.
T2: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm x0.
Đặc trưng:
- Hàm số luôn được cho bằng hai biểu thức giải tích. Hàm số xác định với mọi số thực x.
- Điểm được yêu cầu xét tính liên tục là điểm biên của hai tập hợp hợp thành (hay điểm “nhảy”)
2:
Tính f (x0);
0
lim ( )
x x
f x
;
0
lim ( )
x x
f x
và so sánh các giá trị này.
Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn
0
lim ( )
x x
f x hay
0
lim ( ) ( )0 x x
f x f x
thì hàm số gián
đoạn tại điểm x0.
Nếu
0
lim ( ) ( )0
x x f x f x
thì hàm số liên tục tại điểm x0.
1: Định nghĩa HSLT tại một điểm.
T3: Chứng minh một hàm số liên tục trên khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng K.
Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một biểu thức vô tỉ có miền xác định là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng K.
3:
Nếu K = (a; b) chứng minh rằng
0
0 0
lim ( ) ( ), ( ; )
x x f x f x x a b
Nếu K = [a; b] chứng minh rằng
0
0 0
lim ( ) ( ), ( ; )
lim ( ) ( ); lim ( ) ( )
x x
x a x b
f x f x x a b
f x f a f x f b
Nếu K = [a; b) chứng minh rằng
1: Định nghĩa HSLT tại một điểm.
4: Định nghĩa HSLT trên khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
0
0 0
lim ( ) ( ), ( ; )
lim ( ) ( )
x x
x a
f x f x x a b
f x f a
T4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó hàm số f liên tục.
Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một biểu thức giải tích.
4:
- Tìm miền xác định Df của hàm số - Kết luận hàm số liên tục trên các khoảng, đoạn mà nó xác định.
2: Nhận xét về tính liên tục của các hàm số; tổng, hiệu, tích, thương, hàm đa thức, phân thức hữu tỉ trên tập xác định.
3: Định lí về tính liên tục của các hàm số lượng giác trên tập xác định.
T5: Chứng minh hàm số f (x) liên tục trên tập xác định của nó.
Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một hay hai biểu thức giải tích.
3 và 4 1, 2 và 4
T6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số:
( ) khi ( ) ( ) khi
g x x a
f x h x x a
liên tục trên .
Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng hai biểu thức giải tích như trên mà g(x) và h(x) đều là hàm đa thức hay hữu tỉ.
5:
Chứng minh HSLT trên (; )a và [ ;a ).
Tìm lim ( ); lim ( ); ( )
x a x a
f x f x f a
Giải hệ phương trình lim ( ) lim ( ) ( )
x a x a
f x f x f a
để tìm
m
1 và 2
T7: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b)
Đặc trưng: Hàm số f(x) luôn được cho bằng một biểu thức giải tích mà f(a).f(b) < 0.
6:
- Chứng minh f (x) liên tục trên [a ;b].
- Tính f (a).f (b), nếu f (a).f (b) < 0 thì kết luận phương trình có nghiệm trên (a; b).
- Nếu f (a).f (b) > 0 thì tìm cặp số α, β∈(a; b) mà f (α).f (β) < 0.
- 2, 3
- 5: Hệ quả c ủa định lý giá trị trung gian.
T8: Chứng minh phương trình f(x)
= 0 có ít nhất một nghiệm âm (dương) hay có ít nhất một nghiệm.
Đặc trưng: Hàm số luôn được cho là một đa thức f(x) mà hệ số không nguyên hoặc hệ số là tham số.
7: •Chứng minh f(x) liên tục trên Tùy theo câu hỏi sẽ kiểm chứng:
• Nếu f (0) và lim ( )
x f x
trái dấu thì phương trình có nghiệm âm.
• Nếu f (0) và lim ( )
x f x
trái dấu thì phương trình có nghiệm dương trái dấu thì phương trình có nghiệm.
- 2
- 6: Tính chất của giới hạn vô tận.
T9: Chứng minh tồn tại số c∈(a; b) mà f(c) = m với m nằm trong khoảng giữa f(a) và f(b).
Đặc trưng: Hàm số luôn được cho bằng một biểu thức giải tích.
8:
• Chứng minh f (x) liên tục trên [a; b]
• Tính f (a), f (b) và chứng minh m thuộc khoảng giữa f (a) và f (b)
• Kết luận
- 3
- 7: Định lý giá trị trung gian
Một số hợp đồng dạy học (HĐDH) (trích theo [3, tr.104-105]):
HĐDH1: Để vẽ đồ thị hàm số, HS chỉ cần xác định một số điểm rời rạc rồi nối lại bằng một đường liền nét.
HĐDH2: Để xét tính liên tục của hàm số f (x) tại điểm x0, HS chỉ cần kiểm tra đẳng thức:
0 0
lim ( ) lim ( ) ( )0
x x f x x x f x f x
bằng các phép toán đại số mà không cần xét đến tính chất của miền xác định của hàm số.
HĐDH3: Để tìm miền trên đó hàm số liên tục, HS chỉ cần tìm miền xác định của hàm số và kết luận hàm số liên tục trên miền xác định.