Chương 3: Sử dụng phép đối xứng giải các bài toán hình học
3.3. Phép đối xứng và bài toán dựng hình
Bài toán dựng hình được phát biểu dưới dạng: “ Dựng một hình thỏa mãn các điều kiện (yêu cầu) sau ”
Giải bài toán dựng hình: là chỉ ra một số hữu hạn những phép dựng cơ
bản thực hiện theo thứ tự xác định để có được hình thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Nghiệm hình: Mỗi hình thỏa mãn các yêu cầu đặt ra của một bài toán
được gọi là nghiệm hình. Hai hình không bằng nhau cùng thỏa mãn các yêu cầu của bài toán được xem là hai nghiệm hình khác nhau.
Nếu bài toán không có yêu cầu về vị trí của hình cần dựng thì những hình bằng nhau thỏa mãn các yêu cầu của bài toán gọi là một nghiệm hình.
Nếu trong bài toán có yêu cầu về vị trí thì những hình bằng nhau nhưng có vị trí khác nhau thỏa mãn các yêu cầu của bài toán được xem là những nghiệm hình khác nhau .
Các bước giải bài toán dựng hình:
Thông thường giải bài toán dựng hình gồm 4 bước sau:
Bước 1: Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình thỏa mãn yêu cầu của bài toán, căn cứ vào hình
đó xét xem mối quan hệ giữa các yếu tố (điểm, đoạn thẳng, đường thẳng,
đường tròn, độ dài đoạn thẳng, các quan hệ song song, vuông góc ) của hình
đó để xác định xem dựng yếu tố nào trước, yếu tố nào sau. Bước này là bước quan trọng để đưa ra lời giải của bài toán.
Bước 2: Cách dựng:
Dựa vào phần phân tích trình bày lần lượt các phép dựng và thể hiện bằng hình vẽ các phép dựng đó.
Bước 3: Chứng minh:
Khi phép dựng đều đã được thực hiện. Dựa vào phép dựng lập luận để chứng tỏ rằng hình đã dựng thỏa mãn yêu cầu đặt ra của bài toán.
Bước 4: Biện luận:
Xét xem khi nào các phép dựng trong bước 2 dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn bài toán, hay nói cách khác là trả lời xem có bao nhiêu hình thỏa mãn bài toán.
3.3.2. Sử dụng phép đối xứng giải bài toán dựng hình
Có thể nói bước phân tích đóng vai trò quan trọng hàng đầu trong bài toán dựng hình. Có nhiều bài toán dựng hình sau khi phân tích phần còn lại hầu như là hiển nhiên. Có thể hình dung bước phân tích nhờ sơ đồ sau:
H H1 H2 Hn-1 Hn Để dựng được hình H ta phải dựng hình H1 Để dựng được hình H1 ta phải dựng hình H2
...
Để dựng được hình Hn-1 ta phải dựng hình Hn
Quá trình này dựng được khi Hn đã cho hoặc dễ dàng nhận được từ các yếu tố đã cho trong giả thiết nhờ các phép dựng cơ bản.
Nhờ tính chất bất biến của phép đối xứng ta có thể thấy được các mối liên hệ cần thiết đối với các hình Hi, Hj trong các mắt xích của bước phân tích.
Đó là vì hình cần dựng có thể quy về việc dựng một số điểm, ta thường tìm hai tập hợp chứa đồng thời điểm cần dựng, sau đó ta dựng các tập hợp điểm đó và
điểm cần dựng sẽ nằm trên giao của chúng (nhưng chưa chắc đã là tất cả).
Một trong số các tập hợp đó có thể nhận được nhờ sử dụng phép đối xứng.
3.3.3. Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng
Đề suất bài toán: Với bài toán dựng hình H có tính chất nào đó đã cho.
Sử dụng phép đối xứng Đ biến hình H thành hình H’ có tính chất ’ có được do chuyển các tính chất tương ứng qua Đ (nhờ tính chất bất biến của Đ) ta
x
y C
D I O'
O
A
B
nhận được bài toán dựng hình H’ có tính chất ’. Lúc đó nếu một trong hai bài toán giải được thì bài toán còn lại cũng giải được.
Xét một số trường hợp của bài toán: Sử dụng thao tác đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa bằng cách thay đổi các tập hợp điểm (hình này) bằng các tập hợp điểm khác (hình khác) nhờ sử dụng sự trợ giúp của phép đối xứng.
3.3.4. Mét sè vÝ dô VÝ dô 3.3.4.1:
Cho góc xOy và hai điểm A, B nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm C nằm trên Ox và điểm D nằm trên Oy sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
Ph©n tÝch:
Giả sử đã tìm được điểm C nằm trên Ox,
điểm D nằm trên Oy sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Gọi I là trung điểm đoạn AB.
Xét phép đối xứng tâm I:
§I : C D O O’
Ox O’x’
Cách dựng:
Dùng O’ = §I(O)
Dựng O’x’ //Ox cắt Oy tại D DI ∩ Ox = C
Tứ giác ABCD là hình bình hành cần dựng.
Chứng minh:
Ta có O’x’ là ảnh của Ox qua phép đối xứng tâm I. Suy ra I là trung điểm của CD và do I là trung điểm của AB nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
x
C y B
A2
A1
O
B' A
C' Biện luận:
Nếu A, B, D thẳng hàng thì bài toán vô nghiệm
Nếu A, B, D không thẳng hàng thì bài toán có một nghiệm hình.
VÝ dô 3.3.4.2:
Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Hãy tìm trên cạnh Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho ABC có chu vi nhá nhÊt.
Giải:
Ph©n tÝch:
Giả sử ta đã dựng được điểm B Ox, C Oy sao cho ABC có chu vi nhỏ nhÊt.
Gọi A1 = ĐOx(A), A2 = ĐOy(A), B1 = A1A2 ∩ Ox, C1 = A1A2 ∩ Oy Ta cã: AB + BC + CA = A1B + BC + CA2 ≥ A1A2 = A1B1 + B1C1 + A1C1 = AB1 + B1C1 + AC1 AB + BC + CA ≥ AB1 + B1C1 + AC1
Do ABC có chu vi nhỏ nhất nên B B1 , C C1 Cách dựng:
Dùng A1 = §Ox(A) Dùng A2 = §Oy(A) Dùng B = A1A2 ∩ Ox C = A1A2 ∩ Oy
Khi đó B, C là điểm cần dựng.
Chứng minh:
LÊy ®iÓm B’ bÊt kú thuéc Ox, C’ bÊt kú thuéc Oy
§Ox(A) = A1 , §Oy(A) = A2 , B = A1A2 ∩ Ox, C = A1A2 ∩ Oy
Ta cã: AB’ + B’C’ + AC’ = A1B’ + B’C’ + A2C’ ≥ A1B + BC + A2C = AB + BC + AC Do đó ABC có chu vi nhỏ nhất
Biện luận:
Nếu xOy 90 thì bài toán có 1 nghiệm hình
NÕu xOy ≥ 90 th×
A OA1 2 2xOy ≥ 180, nên A1A2 không cắt Ox, Oy hoặc chúng cắt tại O trong trường hợp A1A2 đi qua O
Với B, C Ox, Oy ta đều có:
AB + BC + CA = A1B + BC + CA2 ≥ A1O + A2O
ABC có chu vi nhỏ nhất khi B C O. Tức là ABC suy biến thành
đoạn OA. Do đó bài toán không có nghiệm hình.
Khai thác sâu bài toán:
Trong trường hợp đặc biệt ta thay xOy bởi ABC ( vì bài toán chỉ có nghiệm hình khi xOy 90 nên ABC phải nhọn) ta có bài toán mở rộng của bài toán trên như sau:
N P
M2
M1
H A
B M C
Bài toán:
Cho ABC nhọn, dựng MNP với 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh tương ứng của
ABC sao cho chu vi MNP nhá nhÊt.
Giải:
Giả sử M là điểm trên BC §AB : M M1 AM AM1
§AC : M M2 AM AM2 Theo bài toán trên MNP cã chu vi nhá nhÊt nÕu N, P
là giao điểm của M1M2 với AC và AB.
Khi đó MN + NP + MP = M1M2
AM1M2 là tam giác cân tại đỉnh A có: M AM1 2 2BAC (không đổi)
M1M2 nhỏ nhất nếu AM1, AM2 nhỏ nhất hay AM là ngắn nhất.
Vậy AM chính là đường cao của ABC.
VÝ dô 3.3.4.3:
Cho hai nửa đường thẳng OA, OB về cùng một phía đối với mặt phẳng (P) và O thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm trong (P) đường thẳng tạo với OA, OB các góc có tổng số đo nhỏ nhất.
Giải:
Ph©n tÝch:
Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn đầu bài, không giảm tổng quát ta có thể giả sử O d (vì nếu O d thỏa mãn yêu cầu bài toán thì đường thẳng d’ // d, O d’ cũng thỏa mãn bài toán).
d O
A
B
B' D
Xét phép đối xứng qua mp(P):
§P : B B’
Gọi D d, D ≠ O.
V× d (P) d = §P(d)
DOBDOB' Ta cã:
AODDOB AODDOB' AOB' (tính chất góc tam diện)
Dấu “=” xảy ra khi d mp(AOB’) Mà d (P) (gt) d = (P) ∩ (AOB’) Cách dựng:
Dùng B’ = §P(B) Dùng D = AB’ ∩ (P)
Đường thẳng d đi qua O, D là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Vì OD = (AOB’) ∩ (P) nên AODDOB AODDOB' AOB' Với d’ là đường thẳng bất kì thuộc (P), d’ ≠ d, d’ đi qua O
BOd B Od' '
AOd'd OB' AOd d OB' ' > AOB' Vậy góc AOB' là góc nhỏ nhất.
Biện luận:
Bài toán luôn có duy nhất một nghiệm hình.