Chương 3: Sử dụng phép đối xứng giải các bài toán hình học
3.4. Phép đối xứng và bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích: là bài toán đi tìm một tập hợp điểm (hay một hình) có chung một tính chất nào đó cho trước.
Giải bài toán quỹ tích: là ta đi chứng minh liên tiếp một số mệnh đề toán học nào đó nhưng khác với bài toán chứng minh đơn thuần, trong phần lớn các bài toán quỹ tích trước tiên ta phải tìm ra được cái cần chứng minh, tức là quỹ tÝch cÇn t×m.
Chứng minh quỹ tích: sau khi tìm hiểu kĩ bài toán, các yếu tố đặc trưng của bài toán, bước đoán nhận quỹ tích giúp ta hình dung được hình dạng, vị trí, kích thước của quỹ tích và đi đến dự đoán quỹ tích K của điểm M có tính chất là hình H. Để chứng minh mệnh đề này ta thường chứng minh hai phÇn:
+ K là tập con của H, nghĩa là mọi điểm có tính chất đều nằm trên hình H (đảm bảo tính chất không thiếu của quỹ tích): gọi là phần thuận
+ H là tập con của K tức là mọi điểm thuộc H đều có tính chất (đảm bảo tính chất không thừa của quỹ tích): gọi là phần đảo.
Giới hạn quỹ tích: Trong khi chứng minh phần thuận của nhiều bài toán quỹ tích ta thường tìm được hình H’ chứa các điểm M có tính chất . Nhưng do những điều kiện hạn chế khác của bài toán, tập các điểm M cần tìm chỉ là một tập con thực sự H của H’. Khi đó ta cần phải tiến hành giới hạn quỹ tích
để loại bỏ đi những điểm không thuộc quỹ tích cần tìm từ hình H’ để có được h×nh H.
Biện luận quỹ tích: Khi một số bài toán chưa được xác định hoàn toàn (bởi vị trí, kích thước hoặc bài toán có tham số ) thì ta phải biết cách tiến hành biện luận quỹ tích, tức là cần phải đề cập đến tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán quỹ tích.
3.4.2. Sử dụng phép đối xứng giải bài toán quỹ tích Cho hình H và phép đối xứng f.
Tập hợp H’ = f(H) = M’ = f(M) / M H gọi là ảnh của H qua phép đối xứng f. Khi M chạy khắp H thì M’ chạy khắp H’ và ngược lại ta cũng có H = f-1(H’) = M / f(M) = M’, M’ H’.
Vậy nếu N là ảnh của M qua phép đối xứng f : N = f(M) thì:
M có tính chất N có tính chất ’ (’ được quy định bởi và f).
Hay quỹ tích các điểm N có tính chất ’ là hình H’ thì quỹ tích các điểm M có tính chất là hình f-1(H’).
Vậy có thể dùng phép đối xứng f chuyển bài toán tìm quỹ tích các điểm M có tính chất thành bài toán tìm những điểm N có tính chất ’ (N= f(M))
được quy định bởi f và sao cho quỹ tích mới này là quỹ tích cơ bản hoặc tìm
được dễ dàng hơn.
3.4.3. Sáng tạo bài toán quỹ tích nhờ phép đối xứng
Xuất phát từ bài toán cơ bản () của M hay bài toán quỹ tích tìm những
điểm M có tính chất đã giải được và quỹ tích là () bằng phép đối xứng f hoặc tích của các phép đối xứng biến điểm M thành M’ rồi chuyển tính chất của điểm M thành tính chất ’ của điểm M’ sao cho:
M cã tÝnh chÊt M’ cã tÝnh chÊt ’
Lúc đó chúng ta sẽ được bài toán quỹ tích mới là: “tìm quỹ tích những
điểm M’ có tính chất ’ ” mà kết quả quỹ tích của M’ là f().
3.4.4. Mét sè vÝ dô VÝ dô 3.4.4.1:
Cho đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm thay đổi trên
đường tròn. Trên tia AC lấy điểm D đối xứng với điểm A qua C. Vẽ hình bình hành ADBE. Tìm quỹ tích điểm E khi C thay đổi trên đường tròn.
E
O B
A
C
D Giải:
Gọi O là trung điểm đoạn AB.
Do ADBE là hình bình hành nên O cũng là trung điểm đoạn DE.
Xét phép đối xứng tâm O:
§O : D E XÐt ABD cã:
BC AD CA CD
BC vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác ABD cân đỉnh B.
Do đó khi C thay đổi trên đường tròn (O) thì quỹ tích điểm D là đường tròn (B, AB) trừ điểm A và điểm A’ = ĐB(A).
Quỹ tích điểm E là đường tròn ảnh của đường tròn (B,AB) trong phép đối xứng tâm ĐO, trừ ra điểm B và điểm B’ = ĐA(B) (chính là đường tròn tâm A bán kính AB).
VÝ dô 3.4.4.2:
Cho 2 điểm B, C cố định trên đường tròn (O) và điểm A thay đổi trong
đường tròn đó. Tìm quỹ tích trực tâm H của ABC.
Giải:
+ Gọi H’ = ĐBC(H) H’ (O).
VËy §BC : H’ H (O) (O’)
H (O’) = §BC(O)
O' H
H' O
B C
A
C' B'
+ Khi A B hoặc A C thì
ABC không tồn tại
Trường hợp A B thì H C’
(CC’ là đường kính của (O’)).
ThËt vËy:
A B thì AB là tiếp tuyến của (O) tại B
OB AB mà OB // O’C
(do tứ giác BOCO’ là hình thoi)
AB O’C hay AB CC’ (1) Do B nằm trên đường tròn (O’) đường kính CC’ nên BC BC’ (2)
Từ (1) và (2) C’ là trực tâm ABC hay BBC
Tương tự khi A C thì H B’ ( BB’ là đường kính của (O’)).
Vậy quỹ tích điểm H là đường tròn (O’) bỏ đi 2 điểm B’, C’ với BB’, CC’ là
đường kính của (O’) trong đó (O’) là ảnh của (O) qua ĐBC.
VÝ dô 3.4.4.3:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là hai điểm chuyển động trên hai đoạn thẳng AC và B’D’ sao cho AM = D’N, tìm tập hợp trung điểm của đoạn MN.
Giải:
Gọi H, K lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai mặt BCC’B’
và ADD’A’ của hình hộp.
Xét phép đối xứng trục HK:
§HK : A D’
C B’
AC B’D’
H
K
B C
C'
D
A' D'
B'
A
N
M
Gọi N’ = ĐHK(N) khi đó ta có:
' nằm giữa A và C
' '
N
AN D N
M N’ hay M’ = §HK(N)
Như vậy M và N là hai điểm tương ứng với nhau qua phép đối xứng trục ĐHK. Do đó khi M, N chuyển động thì trung điểm của nó chuyển động trên trục HK.
Giới hạn quỹ tích:
Khi M A thì N D’ và I K Khi M C thì N B’ và I H
Vậy quỹ tích trung điểm của MN là đoạn HK.
VÝ dô 3.4.4.4:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Với mỗi điểm M bất kì trong không gian ta gọi M1 là điểm đối xứng với M qua (P), M2 là điểm đối xứng với M1 qua mặt phẳng (Q) và M3 là điểm đối xứng với M2 qua (P). Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MM .
Giải:
Xét Đ(P): M M1, MM1 (P) tại I Đ(Q): M1 M2, M1M2 (Q) tại J Đ(P): M2 M3, M2M3 (P) tại K VËy ta thÊy : §(P) : M1 M
M2 M3 Do đó M1M2 MM3
Nên J J’ là trung điểm của MM3. Vì J (Q) nên J’ Đ(P)(Q)
Vậy quỹ tích trung điểm MM3 là ảnh của mặt phẳng (Q) qua phép đối xứng
§(P).