Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Từ M, N, P, Q lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA ta vẽ các đường thẳng vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng. Chứng minh các đường thẳng này đồng quy.
Bài 2. Cho hai đường tròn tâm O. Một đường tròn tâm O’ cắt đường tròn nhỏ tại hai điểm A, B và cắt đường tròn lớn tại 2 điểm C, D. Chứng minh rằng nếu
đường thẳng AD đi qua tâm O, thì đường thẳng BC cũng đi qua O.
Bài 3. Cho hình tứ diện ABCD có AB CD, góc ACBADB, diện tích của thiết diện đi qua cạnh AB và trung điểm cạnh CD bằng S, cạnh CD = a. Tìm thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 4. Cho đường thẳng d và hai đường tròn (O), (O’) nằm về hai phía đối với d. Hãy dựng hình vuông ABCD sao cho đường chéo BD nằm trên d, đỉnh A và C lần lượt trên (O) và (O’).
Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn. Điểm M di chuyển trên đường thẳng BC, vẽ trung trực của các đoạn thẳng BM, CM cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 6. Cho góc xOy là góc nhọn, A là một điểm nằm trong góc đó. Hãy dựng
đường thẳng d qua A và d cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho AB = AC.
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và CD. K, L lần lượt là hai điểm di động trên AC và BD sao cho AK BL
AC BD. Tìm quỹ tích trung điểm của KL.
I
N
P Q
M
O A
D
B
C O'
D
B C A
O O'
HƯớNG DẫN GIảI BàI TậP Bài 1. HD:
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD nên: OM AB,
ON BC, OP DC, OQ AD.
Gọi I là tâm hình bình hành MNPQ.
Xét phép đối xứng tâm I:
§I: O O’
M P N Q
ĐI biến đường thẳng OM thành đường thẳng qua P và vuông góc với AB.
Đường này phải qua O’ = ĐI(O).
Tương tự ta cũng có các đường thẳng còn lại lần lượt qua N, M, Q và vuông góc với các đường thẳng đối diện cũng đi qua O’ đpcm.
Bài 2. HD:
Rõ ràng OO’ là đường trung trực của AB và cũng là đường
trung trùc cua CD.
§OO’: A B D C Do đó nếu AD cắt trục
đối xứng tai O thì BC cũng cắt trục đó tại O.
A
B
D
C
E
d B
D
A
C O'' O
O' Bài 3. HD:
Vì AB CD nên theo định lý ba đường vuông góc thì CD vuông góc với hình chiếu của AB lên mặt phẳng (BCD).
Giả sử BE là hình chiếu của AB lên mặt phẳng (BCD),
BE ∩ CD = E.
AB CD
BE CD
CD (ABE)
Kết hợp giả thiết: ACB ADB
C và D đối xứng nhau qua mp(ABE)
mp(ABE) đi qua trung điểm của CD EC = ED
Vậy Đ(ABE) biến tứ diện ABEC thành tứ diện ABED VABEC = VABED
VABCD = 2VABEC = 1
2. .3 SABE.CE = 1 aS 2. . .
3 2 3
S a
Bài 4. HD:
Ph©n tÝch:
Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán.
§d: A C (O) (O”) A (O) C (O”)
Mặt khác: AC là đường kính của
đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Từ đó ta có cách dựng:
Dùng (O”) = §d((O))
N
Q P
I H
K
C A
B M
Dùng C = (O’) ∩ (O”) Dùng A = §d(C)
Dựng đường tròn đường kính AC cắt d tại B, D ta được hình vuông ABCD cần dùng.
Bài 5. HD:
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
+ Giả sử: M ≠ H
Gọi N = ĐPQ(M) ; K = MN ∩ AH.
Do tính chất đối xứng trục
PB = PM = PN
B, M, N nằm trên đường tròn tâm P bán kính PB.
Từ đó suy ra:
1
BNK 2BPM BPI PAK (do AH // PI)
Suy ra N, B, C, K cùng thuộc một đường tròn
Tương tự ta cũng có N, A, C, K cũng thuộc một đường tròn
+ Khi M H N K. Hay MN là đường thẳng vuông góc với PQ tại M luôn
đi qua điểm cố định K đpcm.
Bài 6. HD:
Ph©n tÝch:
Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.
Khi đó: d ∩ Ox = B, d ∩ Oy = C, A d và AB = AC Gọi O’ = ĐA(O)
OBO’C là hình bình hành.
Cách dựng:
Dùng O’ = §A(O)
A
B
C
D M
N L
K
Qua O’ lần lượt kẻ các đường thẳng song song với Ox, Oy và cắt Oy, Ox lần lượt tại C , B.
Đường thẳng qua B và C là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Theo cách dựng ta có OBO’C là hình bình hành Do O’ = ĐA(O) nên A là trung điểm của OO’
A là tâm hình bình hành OBO’C
AB = AC đường thẳng d qua B, C thỏa mãn yêu cầu đề bài Biện luận:
Ta luôn xác định được duy nhất điểm O’ nên bài toán luôn có duy nhất một nghiệm hình.
Bài 7. HD
Trước tiên ta đi chứng minh MN là trục đối xứng của tứ diện ABCD.
Từ giả thiết ta suy ra BCD = ADC (c.c.c)
BN = AN
NAB cân tại N
MN là trung trực của AB Tương tự từ giả thiết ta cũng có:
CBA = DAB
CM = DM
MCN cân tại M
MN là trung trực của CD Xét phép đối xứng ĐMN qua MN §MN: A B
C D AC BD
Khi đó từ giả thiết ta suy ra AK = BL
Ta dễ dàng chứng minh được cặp điểm K, L tương ứng nhau qua phép đối xứng ĐMN. Do đó khi K, L chuyển động thì trung điểm của nó sẽ chuyển động trên trục MN của ĐMN.
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn MN.
KÕT LUËN
Khi nghiên cứu toán học nói chung và hình học nói riêng, càng đi sâu ta càng thấy sự cuốn hút, hấp dẫn của nó. Việc lựa chọn và vận dụng các công cụ thích hợp cho mỗi loại toán hình học khác nhau là việc làm rất cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức để giải bài toán một cách hiệu quả.
Nhằm góp phần đạt được mục tiêu đó, khóa luận này đã đưa ra hệ thống lý thuyết, các ví dụ minh họa và bài tập đề nghị minh họa cho việc ứng dụng phép đối xứng, đã bước đầu thể hiện được ưu điểm của việc vận dụng phép đối xứng trong việc giải lớp các bài toán hình học. Như vậy đề tài “Phép đối xứng trong En và ứng dụng” đã hoàn thành nội dung và đạt được mục tiêu nghiên cứu.
Với vốn kiến thức ít ỏi và khả năng có hạn của bản thân và bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót và hạn chế. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo, đặc biệt là thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận của mình.