Định nghĩa 1.5.1. Cho E và F là hai không gian véc tơ trên trường số phức. Một ánh xạ L : En → F được gọi là n tuyến tính trên E nếu nó
tuyến tính theo từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại. Ta ký hiệu La(nE;F) là tập hợp tất cả các ánh xạ n tuyến tính từ E vào F.
Định nghĩa 1.5.2. Một ánh xạ n tuyến tính L : En → F được gọi là đối xứng nếu
L(x1, x2, ..., xn) =L xσ(1), xσ(2), ..., xσ(n) ,
với mọi x1, x2, ..., xn ∈ E và σ là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên đầu tiên. Ta ký hiệu Lsa(nE;F) là không gian véc tơ của tất cả các ánh xạ n tuyến tính đối xứng từ E vào F.
Một ánh xạ n tuyến tính đối xứng có thể liên kết với ánh xạ n tuyến tính bởi toàn ánh chính tắc s : La(nE;F) → Lsa(nE;F) được xác định bởi công thức
s(L) (x1, x2, ..., xn) = 1 n!
X
σ∈Sn
L xσ(1), xσ(2), ..., xσ(n) ,
ở đó Sn ký hiệu là tập tất cả các phép hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên.
Định nghĩa 1.5.3. Giả sử E và F là hai không gian véc tơ tô pô lồi địa phương trên C. Một ánh xạ P : E → F được gọi là một đa thức n thuần nhất nếu tồn tại một ánh xạ n tuyến tính L : E → En sao cho P = L◦ ∆, trong đó ∆ (x) = xn; x ∈ E. Ký hiệu Pa(nE;F) là không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất từ E vào F.
Một đa thức từ E vào F là một tổng hữu hạn của các đa thức thuần nhất từ E vào F. Ta ký hiệu Pa(E;F) là không gian véc tơ tất cả các đa thức từ E vào F.
Ví dụ 1.5.1. Giả sử L : Cn×Cn → C là một ánh xạ 2 tuyến tính trên Cn. Khi đó tồn tại một ma trận A = (aij)1≤i≤n,1≤j≤n sao cho
L(z, w) = X
1≤i≤n 1≤j≤n
aijziwj,
với mọi z = (z1, z2, ...zn) ∈ Cn và w = (w1, w2, ...wn) ∈ Cn. Do đó, một đa thức 2 thuần nhất P :Cn →C trên Cn có dạng
P (z) = L(z, z) = X
1≤i≤n 1≤j≤n
aijzizj.
Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa thức n thuần nhất và các ánh xạ n tuyến tính. Tuy nhiên nếu chỉ hạn chế trên tập hợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu được một tương ứng duy nhất. Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất và toán tử đối xứng biểu đồ sau giao hoán
La(nE;F) →Lsa(nE;F)
& ↓ ∧ Pa(nE;F)
Như một hệ quả của bổ đề phân rã dưới đây, chúng ta chứng minh được ánh xạ ∧ là một đơn ánh. Do đó, chúng ta nhận được một song ánh chính tắc giữa không gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và không gian các đa thức n thuần nhất trên E.
Định lý 1.5.1 (công thức phân rã). Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C. Khi đó, nếu L ∈ Lsa(En;F) và x1, x2, ..., xn ∈ E, thì
L(x1, x2, ..., xn) = 1 2nn!
X
εi=±1
ε1...εnLˆ
n
X
j=1
εjxj
! .
Chứng minh. Bởi tính đối xứng, ta có Lˆ
n
X
j=1
εjxj
!
= L
n
X
j=1
εjxj, ...,
n
X
j=1
εjxj
!
= X
0≤mi≤n Pmi=n
εm1 1.εm2 2...εmnn n!
m1!...mn!L(x1)m1(x2)m2...(xn)mn . Do đó
1 2nn!
P
εi=±1
ε1...εnLˆ
n
P
j=1
εjxj
!
=
= 1 2n
P
0≤mi≤n Pmi=n
εm1 1...εmnnm n!
1!...mn!L(x1)m1...(xn)mn
P
εj=±1 i≤j≤n
εm1 1+1...εmnn+1
Nếu m1 = m2 = ... = mn = 1 thì
X
εj=±1 i≤j≤n
εm1 1+1...εmnn+1 = 2n
và các hệ số của L(x1, x2, ..., xn) trong khai triển trên bằng 1.
Nếu mi > 1 với i nào đó thì mj = 0 với j nào đó. Khi đó chúng ta nhận được
X
εj=±1 1≤i≤n
εm1 1+1...εmnn+1 = X
εj=±1
εj X
εj=±1 1≤i≤n,i6=j
εm1 1+1...εmj−1j−1+1εmj+1j+1+1...εmnn+1 = 0
Do đó, tất cả các số hạng khác triệt tiêu và công thức phân rã được
chứng minh.
Hệ quả 1.5.1. Ánh xạ ∧ : Lsa(nE;F) → Pa(nE;F) là một song ánh tuyến tính.
Chứng minh. Bởi công thức phân rã L ∈ Lsa(nE;F) đồng nhất bằng 0 nếu và chỉ nếu Lˆ đồng nhất bằng 0. Do đó, ánh xạ ∧ là tuyến tính có hạt nhân bằng 0 và là đơn ánh.
Vậy ∧ là một song ánh tuyến tính.
Cho A là một tập con của không gian lồi địa phương E và hàm f : A → F và β là một nửa chuẩn trên F ta đặt
kfkβ,A = sup
x∈A
β(f (x)).
Định lý 1.5.2. Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C và A là một tập lồi, cân trong E và β là một nửa chuẩn trên F. Khi đó, ta có
Lˆ β,A
≤ kLkβ,An ≤ nn n!
Lˆ β,A
,
với mọi L ∈ Lsa(nE, F).
Chứng minh. Bất đẳng thức thứ nhất là tầm thường vì L(A)ˆ ⊂ L(An).
Theo công thức phân rã, chúng ta có kLkβ,An = 1
2n. 1 n!
X
εi=±1 1≤i≤n
sup
xi∈A
β L(ˆ
n
X
i=1
εixi)
! .
Bởi vì A là lồi, cân nên nếu xi ∈ A; với mỗi i = 1, 2, ..., n và εi = ±1 thì n1
n
P
i=1
εixi ∈ A. Do đó β L(ˆ
n
X
i=1
εixi)
!
= nnβ L(ˆ 1 n
n
X
i=1
εixi)
!
≤ nn
Lˆ β,A. Từ đó, chúng ta nhận được
kLkβ,An ≤ 1 2n.1
n!
X
εi=±1 1≤i≤n
nn
Lˆ β,A
= nn
n!kLkβ,An.
Bổ đề 1.5.1. [5] Giả sử L ∈ Lsa(nE;F) và P = ˆL ∈ Pa(nE;F) thì với mọi x, y ∈ E và λ ∈ C ta có
P (x+λy) =
n
X
r=0
"
n r
!
L(x)n−r(y)r
# λr.
P (x+ y) =P (x) + P (y) +
n−1
X
r=0
n r
!
L(x)n−r(y)r.
Bổ đề 1.5.2. Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C. Nếu A là một tập cân trong E và x ∈ E, thì
kPkβ,A ≤ kPkβ,x+A. Hơn nữa, nếu λ 6= 0, λx ∈ E và A là tập lồi thì
kPkβ,x+A ≤
1 + 1 λ
n
kPkβ,A.
Chứng minh. Ta có kPkβ,x+A = sup
y∈A
β(P (x+y)),
= sup
y∈A,θ∈R
P x+eiθy
(vì A là tập cân),
= sup
y∈A,θ∈R
P eiθx+y
(vì tính thuần nhất),
≥sup
y∈A
|P (y)| (theo nguyên lý modul cực đại),
= kPkβ,A. Nếu λx ∈ A thì x+A ⊂ 1
λA+A =
1 + 1 λ
A và do đó ta có kPkβ,x+A ≤ kPkβ,
(1+1λ)A =
1 + 1 λ
n
kPkβ,A.
Không gian véc tơ của tất cả các đa thức nthuần nhất liên tục từ không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được ký hiệu bởi P (nE;F). Không gian véc tơ tất cả các đa thức liên tục từ không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được ký hiệu bởi
P (E;F).
Mệnh đề 1.5.1. Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C và P ∈ Pa(nE;F). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.
i) P là liên tục.
ii) P liên tục tại gốc.
iii) P bị chặn trong lân cận nào đó của điểm gốc.
iv) P là bị chặn địa phương (nghĩa là bị chặn trong lân cận của mỗi điểm).
Chứng minh. Các kéo theo (i) ⇒(ii) ⇒(iii) là tầm thường. Theo Bổ đề 1.4.2. thì ta nhận được (iii) ⇔(iv). Vấn đề còn lại là ta chứng minh (iii) ⇒ (i). Cho A ∈ Ls(nE;F) và giả sử Aˆ= P. Theo công thức phân rã và (iii) tồn tại một lân cận lồi cân V của 0 sao cho kAkVn = M < ∞.
Với x0 ∈ E tùy ý chọn α > 0 sao cho αx0 ∈ V. Theo Bổ đề 1.4.1, chúng ta có
sup
y∈V
kP (x0 +δy)−P (x0)k ≤
n
X
R=1
n R
! sup
y∈V
A(x0)R−n(y)R δR
=
n
X
R=1
n R
! 1
αn−R sup
y∈V
A(αx0)R−n(y)R δR
≤
n
X
R=1
n R
! M αn−RδR
= M 1
α +δ n
− 1
α n
→ 0 khi n → ∞
Như vậy P liên tục tại x0.